《3.3.2 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教案（第一課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線(xiàn)和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)《拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》是人教A版選修2-1第二章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)課是在是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。拋物線(xiàn)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)內(nèi)容。坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個(gè)“圓錐曲線(xiàn)方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握的基本數(shù)學(xué)方法運(yùn)動(dòng)變化和對(duì)立統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)在這節(jié)知識(shí)中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進(jìn)行教學(xué).【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).B.歸納、對(duì)比四種方程所表示的拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)的異同.C.掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的判斷。1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)2.邏輯推理：運(yùn)用拋物線(xiàn)的方程推導(dǎo)其幾何性質(zhì)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用拋物線(xiàn)的方程推導(dǎo)其幾何性質(zhì)4.直觀想象：拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【教學(xué)重點(diǎn)】：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的判斷【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)類(lèi)比用方程研究橢圓雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的過(guò)程與方法，

y2=2px(p>0)你認(rèn)為應(yīng)研究拋物線(xiàn)的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？1.范圍拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線(xiàn)向右上方和右下方無(wú)限延伸．拋物線(xiàn)是無(wú)界曲線(xiàn)．2.對(duì)稱(chēng)性觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線(xiàn)的軸．拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸．

3.頂點(diǎn)拋物線(xiàn)和它軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)．4.離心率拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比，叫做拋物線(xiàn)的離心率.用e表示，e=1．探究如果拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y2=-2px(p>0)

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)那么拋物線(xiàn)的范圍（開(kāi)口方向）、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率中，哪些與①所表示的拋物線(xiàn)是相同的？哪些是有區(qū)別的？拋物線(xiàn)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=11.對(duì)以上四種位置不同的拋物線(xiàn)和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比、分析,其共同點(diǎn):(1)頂點(diǎn)都為原點(diǎn);(2)對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直,垂足與焦點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的14(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離均為p.其不同點(diǎn):(1)對(duì)稱(chēng)軸為x軸時(shí),方程的右端為±2px,左端為y2;對(duì)稱(chēng)軸為y軸時(shí),方程的右端為±2py,左端為x2;(2)開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上,方程的右端取正號(hào);開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上,方程的右端取負(fù)號(hào).2.只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程.1.判斷(1)拋物線(xiàn)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng).()(2)拋物線(xiàn)只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱(chēng)軸,無(wú)對(duì)稱(chēng)中心.()(3)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.()答案:(1)×(2)√(3)√2.思考：怎樣根據(jù)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向?解析:一次項(xiàng)的變量若為x(或y),則x軸(或y軸)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向.如果y是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向下,正時(shí)向上.如果x是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向左,正時(shí)向右.3.以x軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦)長(zhǎng)為8,若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依題意得x=p2,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴拋物線(xiàn)方程為y2=8x或y2=-8答案:C問(wèn)題思考(1)掌握拋物線(xiàn)的性質(zhì),重點(diǎn)應(yīng)抓住“兩點(diǎn)”“兩線(xiàn)”“一率”“一方向”,它們分別指的是什么?提示:“兩點(diǎn)”是指拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn);“兩線(xiàn)”是指拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)軸;“一率”是指離心率1;“一方向”是指拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向.(2)拋物線(xiàn)的性質(zhì)與橢圓和雙曲線(xiàn)性質(zhì)的主要區(qū)別有哪些?提示:拋物線(xiàn)的離心率等于1,它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱(chēng)軸和一條準(zhǔn)線(xiàn).它沒(méi)有中心,通常稱(chēng)拋物線(xiàn)為無(wú)心圓錐曲線(xiàn),而稱(chēng)橢圓和雙曲線(xiàn)為有心圓錐曲線(xiàn).二、典例解析例3.已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x

軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x

軸，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,-2

y2因?yàn)辄c(diǎn)M2,-2

解得p=2因此，所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,-22跟蹤訓(xùn)練1.設(shè)拋物線(xiàn)y=mx2(m≠0)的準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)y=1的距離為3,求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.錯(cuò)解:由y=mx2(m≠0)可知其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-m4由題意知-m4=-2,解得m=故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=8x2.錯(cuò)因分析本題在解答過(guò)程中容易出現(xiàn)兩個(gè)錯(cuò)誤:一是不能正確理解拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,錯(cuò)誤地將所給方程看成是拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-;二是得到準(zhǔn)線(xiàn)方程后,只分析其中的一種情況,而忽略了另一種情況,只得到了一個(gè)解.正解:y=mx2(m≠0)可化為x2=1my,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-14m.由題意知-14m=-2解得m=18或m=-1故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y.例4.斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)A、B，求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB的長(zhǎng)．解：方法一：由拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(1，0)，所以直線(xiàn)AB的方程為，即，①將方程①代入拋物線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)得，解這個(gè)方程，得，，將，代入方程①中，得，，即A(，)，B(，)，∴.解：方法二：由拋物線(xiàn)的定義可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|=x2＋1，于是|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋x2＋2．在方法一中得到方程x2－6x＋1=0后，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以直接得到x1＋x2＝6，于是立即可以求出|AB|=6＋2=8．方法三：拋物線(xiàn)y2＝4x中2p＝4，直線(xiàn)的傾斜角為，所以焦點(diǎn)弦長(zhǎng).直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離將直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y的）方程組：Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0），其中A，B，C為常數(shù).若A=0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交（直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行），有一個(gè)交點(diǎn)；若A≠0，計(jì)算判別式Δ＝B2－4AC：若Δ＞0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）；若Δ=0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切（有一個(gè)交點(diǎn)）；若Δ＜0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相離（無(wú)交點(diǎn)）.跟蹤訓(xùn)練2(1)過(guò)定點(diǎn)P(0,1)作與拋物線(xiàn)y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有幾條？(2)若直線(xiàn)l：y＝(a＋1)x－1與曲線(xiàn)C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合．[思路探究](1)分斜率存在、不存在兩種情況，存在時(shí)將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化為Δ＝0求解；不存在時(shí)顯然滿(mǎn)足題意．(2)eq\x(將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立)→eq\x(消去y后化為關(guān)于x的方程)→分類(lèi)討論方程有一解時(shí)a的取值[解](1)當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)x＝0，符合題意．當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為y＝kx＋1，當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y＝1，滿(mǎn)足直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2＝2x僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，將直線(xiàn)方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝eq\f(1,2)，直線(xiàn)方程為y＝eq\f(1,2)x＋1.故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有三條．(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l與曲線(xiàn)C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax))只有一組實(shí)數(shù)解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①.(ⅰ)當(dāng)a＋1＝0，即a＝－1時(shí)，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時(shí)，原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(ⅱ)當(dāng)a＋1≠0，即a≠－1時(shí)，方程①是關(guān)于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq\f(4,5).所以原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))).通過(guò)，類(lèi)比橢圓和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)。通過(guò)拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)的討論，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，熟練掌握根據(jù)幾何條件求拋物線(xiàn)的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，熟練掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．若拋物線(xiàn)y2＝2x上有兩點(diǎn)A、B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,8)A[線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)方程為x＝1，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]2．在拋物線(xiàn)y2＝16x上到頂點(diǎn)與到焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(4eq\r(2)，±2)B．(±4eq\r(2)，2)C．(±2,4eq\r(2))D．(2，±4eq\r(2))D[拋物線(xiàn)y2＝16x的頂點(diǎn)O(0,0)，焦點(diǎn)F(4,0)，設(shè)P(x，y)符合題意，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x2＋y2＝x－42＋y2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4\r(2).))所以符合題意的點(diǎn)為(2，±4eq\r(2))．]3．已知AB是過(guò)拋物線(xiàn)2x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)的弦，若|AB|＝4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________．eq\f(15,8)[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線(xiàn)2x2＝y(tǒng)，可得p＝eq\f(1,4).∵|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq\f(1,4)＝eq\f(15,4)，故AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(15,8).]4.已知拋物線(xiàn)y2=8x.(1)求出該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)方程、對(duì)稱(chēng)軸、變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線(xiàn)的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長(zhǎng).解:(1)拋物線(xiàn)y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)方程、對(duì)稱(chēng)軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,x≥0.(2)如圖所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,又焦點(diǎn)F是△OAB的重心,則|OF|=23|OM|.因?yàn)镕(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0).故設(shè)A(3,m),代入y2=8x得m2=24,所以m=26或m=-26,所以A(3,26),B(3,-26),所以|OA|=|OB|=33,所以△OAB的周長(zhǎng)為233+45．已知點(diǎn)P(1，m)是拋物線(xiàn)C：y2＝2px上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且|PF|＝2，直線(xiàn)l：y＝k(x－1)與拋物線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．[解](1)拋物線(xiàn)C：y2＝2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－eq\f(p,2)，由|PF|＝2得：1＋eq\f(p,2)＝2，得p＝2.所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∵直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝8，解得k＝±1，所以k的值為1或－1.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】學(xué)生已熟悉和掌握橢圓和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，有親歷體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和探究的興趣；具有一定的動(dòng)手操作和邏輯推理的能力；有分組討論、合作交流的習(xí)慣。在教師的指導(dǎo)下能夠主動(dòng)與同學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)、歸納數(shù)學(xué)知識(shí)?！?.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教案（第二課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第三章《圓錐曲線(xiàn)的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)《拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》是人教A版選修2-1第二章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)課是在是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。拋物線(xiàn)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)內(nèi)容。坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個(gè)“圓錐曲線(xiàn)方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握的基本數(shù)學(xué)方法運(yùn)動(dòng)變化和對(duì)立統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)在這節(jié)知識(shí)中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進(jìn)行教學(xué).【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．B.掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問(wèn)題．C.掌握拋物線(xiàn)中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題．1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)2.邏輯推理：運(yùn)用拋物線(xiàn)的性質(zhì)平行3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：拋物線(xiàn)中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題4.直觀想象：拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【教學(xué)重點(diǎn)】：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的判斷【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)拋物線(xiàn)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=1二、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+m,拋物線(xiàn):y2=2px(p>0),將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切,有一個(gè)切點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離,沒(méi)有公共點(diǎn).(2)若k=0,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸或與對(duì)稱(chēng)軸重合.因此直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的必要不充分條件.二、典例解析例5.過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)D，求證：直線(xiàn)DB平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．【分析】設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px（p＞0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．直線(xiàn)OA的方程為：＝＝，可得yD＝．設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：my＝x﹣，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立化為y2﹣2pm﹣p2＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得．可得yD＝y(tǒng)2．即可證明．【解答】證明：設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px（p＞0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．直線(xiàn)OA的方程為：＝＝，令x＝，可得yD＝．設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：my＝x﹣，聯(lián)立，化為y2﹣2pm﹣p2＝0，∴．∴．∴yD＝y(tǒng)2．∴直線(xiàn)DB平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．例6.如圖，已知定點(diǎn)Ba,-h,BC⊥x軸于點(diǎn)C,M是線(xiàn)段OB上任意一點(diǎn),MD⊥x軸于點(diǎn)D,ME⊥BC于點(diǎn)E,OE解：設(shè)點(diǎn)Px,y

,Mx,m

,其中0≤x≤a,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為有題意，直線(xiàn)OB的方程為y=-bax因?yàn)辄c(diǎn)Mm=-ba所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿(mǎn)足②直線(xiàn)OE的方程為y=m因?yàn)辄c(diǎn)P在OE上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y

滿(mǎn)足③將②代入③，消去m得，

x2即P點(diǎn)的軌跡方程。例6中，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，則方程x2對(duì)應(yīng)的軌跡是常見(jiàn)的拋物拱AOB.拋物拱在現(xiàn)實(shí)生活中有許多原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線(xiàn)等，拋擲出的鉛球在天空中劃過(guò)的軌跡也是拋物拱一部分。例7.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線(xiàn)x=-1相切,設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線(xiàn)l1,l2分別與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ).證明:直線(xiàn)AB的斜率為定值.思路分析:(1)由拋物線(xiàn)的定義可知E的軌跡為以D為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn);(2)設(shè)l1,l2的方程,聯(lián)立方程組消元解出A,B的坐標(biāo),代入斜率公式計(jì)算kAB.(1)解:∵動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線(xiàn)x=-1相切,∴E到點(diǎn)D(1,0)的距離等于E到直線(xiàn)x=-1的距離,∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn),以直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).∴曲線(xiàn)C的方程為y2=4x.(2)證明:設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y=k(x-1)+2.∵直線(xiàn)l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),∴l(xiāng)2的方程為y=-k(x-1)+2.聯(lián)立得方程組y=k(x-1)+2,y2=4x,消元得k2x2-(2設(shè)A(x1,y1),則x1=(k同理,設(shè)B(x2,y2),可得x2=k2∴x1+x2=2k2+8k2,x1∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k=2k2+8k-∴kAB=y1-y∴直線(xiàn)AB的斜率為定值-1.定值與定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略1.欲證某個(gè)量為定值,先將該量用某變量表示,通過(guò)變形化簡(jiǎn)若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即為定值.2.尋求一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)的常用方法:(1)通過(guò)方程判斷;(2)對(duì)參數(shù)取幾個(gè)特殊值探求定點(diǎn),再證明此點(diǎn)在直線(xiàn)上;(3)利用曲線(xiàn)的性質(zhì)(如對(duì)稱(chēng)性等),令其中一個(gè)變量為定值,再求出另一個(gè)變量為定值;(4)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線(xiàn)的斜率相等或向量平行等.跟蹤訓(xùn)練1.已知拋物線(xiàn)的方程是y2=4x,直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中點(diǎn)為(3,3),求直線(xiàn)l的方程;(2)若y1y2=-12,求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn).解:(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的方程為y2=4x,則有y12=4x1,y22=4x2,因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為(3,3),所以x1兩式相減得y12-y22=4x所以y1所以直線(xiàn)l的方程為y-3=23(x-3),即y=23x+(2)當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+b,代入拋物線(xiàn)方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2=4bk=-12,b=-3l的方程為y=kx-3k=k(x-3),過(guò)定點(diǎn)(3,0).當(dāng)l的斜率不存在時(shí),y1y2=-12,則x1=x2=3,l過(guò)定點(diǎn)(3,0).綜上,l過(guò)定點(diǎn)(3,0).通過(guò)，回顧拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，幫助學(xué)生整理知識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，綜合運(yùn)用拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，提升學(xué)生綜合運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，幫助學(xué)生掌握拋物線(xiàn)中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．若拋物線(xiàn)y2＝2x上有兩點(diǎn)A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,8)【答案】A[線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的方程為x＝1，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]2．若直線(xiàn)x－y＝2與拋物線(xiàn)y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是________.【答案】(4,2)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2,y2＝4x))得x2－8x＋4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)．]3．設(shè)直線(xiàn)y＝2x＋b與拋物線(xiàn)y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，已知弦AB的長(zhǎng)為3eq\r(5)，求b的值．【答案】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b，,y2＝4x，))消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜eq\f(1,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4).∴|x1－x2|＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(1－2b).∴|AB|＝eq\r(1＋22)|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(1－2b)＝3eq\r(5)，∴1－2b＝9，即b＝－4.4.過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)。(1)求證:A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積分別為定值(2)證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；解：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2），中點(diǎn)P（x0,y0）∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∴∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-4p2∴x1x2=4p2⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)∴∴∴直線(xiàn)AB：∴∴∵∴∴∴AB過(guò)定點(diǎn)（2p,0）.5.如圖,已知直線(xiàn)l:y=2x-4交拋物線(xiàn)y2=4x于A,B兩點(diǎn),試在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P,使△PAB的面積最大,并求出這個(gè)最大面積.思路分析:先求出弦長(zhǎng)|AB|,再求出點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離,從而可表示出△PAB的面積,再求最大值即可.解:由y=2x∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=35.(方法1)設(shè)P(x0,y0)為拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上一點(diǎn),d為點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離,則有d=|2x0-y0-4|5∵-2<y0<4,∴(y0-1)2-9<0.∴d=125[9-(y0-1)2從而當(dāng)y0=1時(shí),dmax=925,Smax=12×因此,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為14,1時(shí),△PAB(方法2)由y=2x∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=35.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4t2,4t),∵點(diǎn)P(4t2,4t)在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上,∴-2<4t<4,得-12<t<1由題意得點(diǎn)P(4t2,4t)到直線(xiàn)AB的距離d=|8∵當(dāng)t∈-12,1∴d=45∴當(dāng)t=14時(shí),dmax=4此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為14,1,S△PAB的最大值為12|AB|·dmax=1(方法3)設(shè)y=2x+m是拋物線(xiàn)y2=4x的切線(xiàn)方程.由y=2x+m,y2=4x,消去x∵Δ=4-8m=0,∴m=12此時(shí),方程為y2-2y+1=0,解得y=1,x=14∴P14此時(shí)點(diǎn)P到直線(xiàn)y=2x-4的距離d最大(在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上).∴dmax=2×14-1-45=925通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】學(xué)生已熟悉和掌握橢圓和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，有親歷體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和探究的興趣；具有一定的動(dòng)手操作和邏輯推理的能力；有分組討論、合作交流的習(xí)慣。在教師的指導(dǎo)下能夠主動(dòng)與同學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)、歸納數(shù)學(xué)知識(shí)?！?.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案（第一課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.歸納、對(duì)比四種方程所表示的拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)的異同.3.掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的判斷?！局攸c(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用難點(diǎn)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的判斷【知識(shí)梳理】拋物線(xiàn)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=11.對(duì)以上四種位置不同的拋物線(xiàn)和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比、分析,其共同點(diǎn):(1)頂點(diǎn)都為原點(diǎn);(2)對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直,垂足與焦點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的14(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離均為p.其不同點(diǎn):(1)對(duì)稱(chēng)軸為x軸時(shí),方程的右端為±2px,左端為y2;對(duì)稱(chēng)軸為y軸時(shí),方程的右端為±2py,左端為x2;(2)開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上,方程的右端取正號(hào);開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上,方程的右端取負(fù)號(hào).2.只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程.1.判斷(1)拋物線(xiàn)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng).()(2)拋物線(xiàn)只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱(chēng)軸,無(wú)對(duì)稱(chēng)中心.()(3)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.()2.思考：怎樣根據(jù)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向?3.以x軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦)長(zhǎng)為8,若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y問(wèn)題思考(1)掌握拋物線(xiàn)的性質(zhì),重點(diǎn)應(yīng)抓住“兩點(diǎn)”“兩線(xiàn)”“一率”“一方向”,它們分別指的是什么?(2)拋物線(xiàn)的性質(zhì)與橢圓和雙曲線(xiàn)性質(zhì)的主要區(qū)別有哪些?【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)類(lèi)比用方程研究橢圓雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的過(guò)程與方法，

y2=2px(p>0)你認(rèn)為應(yīng)研究拋物線(xiàn)的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？1.范圍拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線(xiàn)向右上方和右下方無(wú)限延伸．拋物線(xiàn)是無(wú)界曲線(xiàn)．2.對(duì)稱(chēng)性觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線(xiàn)的軸．拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸．3.頂點(diǎn)拋物線(xiàn)和它軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)．4.離心率拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比，叫做拋物線(xiàn)的離心率.用e表示，e=1．探究如果拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y2=-2px(p>0)

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)那么拋物線(xiàn)的范圍（開(kāi)口方向）、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率中，哪些與①所表示的拋物線(xiàn)是相同的？哪些是有區(qū)別的？二、典例解析例3.已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x

軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,-22跟蹤訓(xùn)練1.設(shè)拋物線(xiàn)y=mx2(m≠0)的準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)y=1的距離為3,求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.例4.斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)A、B，求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB的長(zhǎng)．直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離將直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y的）方程組：Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0），其中A，B，C為常數(shù).若A=0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交（直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行），有一個(gè)交點(diǎn)；若A≠0，計(jì)算判別式Δ＝B2－4AC：若Δ＞0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）；若Δ=0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切（有一個(gè)交點(diǎn)）；若Δ＜0，則直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相離（無(wú)交點(diǎn)）.跟蹤訓(xùn)練2(1)過(guò)定點(diǎn)P(0,1)作與拋物線(xiàn)y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有幾條？(2)若直線(xiàn)l：y＝(a＋1)x－1與曲線(xiàn)C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．若拋物線(xiàn)y2＝2x上有兩點(diǎn)A、B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,8)2．在拋物線(xiàn)y2＝16x上到頂點(diǎn)與到焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(4eq\r(2)，±2)B．(±4eq\r(2)，2)C．(±2,4eq\r(2))D．(2，±4eq\r(2))3．已知AB是過(guò)拋物線(xiàn)2x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)的弦，若|AB|＝4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________．4.已知拋物線(xiàn)y2=8x.(1)求出該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)方程、對(duì)稱(chēng)軸、變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線(xiàn)的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長(zhǎng).5．已知點(diǎn)P(1，m)是拋物線(xiàn)C：y2＝2px上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且|PF|＝2，直線(xiàn)l：y＝k(x－1)與拋物線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．【課堂小結(jié)】【參考答案】知識(shí)梳理1.判斷答案:(1)×(2)√(3)√2.解析:一次項(xiàng)的變量若為x(或y),則x軸(或y軸)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向.如果y是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向下,正時(shí)向上.如果x是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向左,正時(shí)向右.3.解析:設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依題意得x=p2,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴拋物線(xiàn)方程為y2=8x或y2=-8答案:C問(wèn)題思考(1)提示:“兩點(diǎn)”是指拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn);“兩線(xiàn)”是指拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)軸;“一率”是指離心率1;“一方向”是指拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向.(2)提示:拋物線(xiàn)的離心率等于1,它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱(chēng)軸和一條準(zhǔn)線(xiàn).它沒(méi)有中心,通常稱(chēng)拋物線(xiàn)為無(wú)心圓錐曲線(xiàn),而稱(chēng)橢圓和雙曲線(xiàn)為有心圓錐曲線(xiàn).學(xué)習(xí)過(guò)程一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)二、典例解析例3.解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x

軸，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,-2

y2因?yàn)辄c(diǎn)M2,-2

解得p=2因此，所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y跟蹤訓(xùn)練1.錯(cuò)解:由y=mx2(m≠0)可知其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-m4由題意知-m4=-2,解得m=故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=8x2.錯(cuò)因分析本題在解答過(guò)程中容易出現(xiàn)兩個(gè)錯(cuò)誤:一是不能正確理解拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,錯(cuò)誤地將所給方程看成是拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-;二是得到準(zhǔn)線(xiàn)方程后,只分析其中的一種情況,而忽略了另一種情況,只得到了一個(gè)解.正解:y=mx2(m≠0)可化為x2=1my,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-14m.由題意知-14m=-解得m=18或m=-1故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y.例4.解：方法一：由拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(1，0)，所以直線(xiàn)AB的方程為，即，①將方程①代入拋物線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)得，解這個(gè)方程，得，，將，代入方程①中，得，，即A(，)，B(，)，∴.解：方法二：由拋物線(xiàn)的定義可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|=x2＋1，于是|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋x2＋2．在方法一中得到方程x2－6x＋1=0后，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以直接得到x1＋x2＝6，于是立即可以求出|AB|=6＋2=8．方法三：拋物線(xiàn)y2＝4x中2p＝4，直線(xiàn)的傾斜角為，所以焦點(diǎn)弦長(zhǎng).跟蹤訓(xùn)練2[思路探究](1)分斜率存在、不存在兩種情況，存在時(shí)將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化為Δ＝0求解；不存在時(shí)顯然滿(mǎn)足題意．(2)eq\x(將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立)→eq\x(消去y后化為關(guān)于x的方程)→分類(lèi)討論方程有一解時(shí)a的取值[解](1)當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)x＝0，符合題意．當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為y＝kx＋1，當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y＝1，滿(mǎn)足直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2＝2x僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，將直線(xiàn)方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝eq\f(1,2)，直線(xiàn)方程為y＝eq\f(1,2)x＋1.故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有三條．(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l與曲線(xiàn)C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax))只有一組實(shí)數(shù)解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①.(ⅰ)當(dāng)a＋1＝0，即a＝－1時(shí)，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時(shí)，原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(ⅱ)當(dāng)a＋1≠0，即a≠－1時(shí)，方程①是關(guān)于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq\f(4,5).所以原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))).達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．A[線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)方程為x＝1，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]2．D[拋物線(xiàn)y2＝16x的頂點(diǎn)O(0,0)，焦點(diǎn)F(4,0)，設(shè)P(x，y)符合題意，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x2＋y2＝x－42＋y2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4\r(2).))所以符合題意的點(diǎn)為(2，±4eq\r(2))．]3．eq\f(15,8)[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線(xiàn)2x2＝y(tǒng)，可得p＝eq\f(1,4).∵|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq\f(1,4)＝eq\f(15,4)，故AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(15,8).]4.解:(1)拋物線(xiàn)y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)方程、對(duì)稱(chēng)軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,x≥0.(2)如圖所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,又焦點(diǎn)F是△OAB的重心,則|OF|=23|OM|.因?yàn)镕所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0).故設(shè)A(3,m代入y2=8x得m2=24,所以m=26或m=-26,所以A(3,26),B(3,-26),所以|OA|=|OB|=33,所以△OAB的周長(zhǎng)為233+46.5．[解](1)拋物線(xiàn)C：y2＝2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－eq\f(p,2)，由|PF|＝2得：1＋eq\f(p,2)＝2，得p＝2.所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∵直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝8，解得k＝±1，所以k的值為1或－1.《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案（第二課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．2.掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問(wèn)題．3.掌握拋物線(xiàn)中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題．【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問(wèn)題難點(diǎn)：拋物線(xiàn)中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題．【知識(shí)梳理】拋物線(xiàn)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=1二、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+m,拋物線(xiàn):y2=2px(p>0),將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切,有一個(gè)切點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離,沒(méi)有公共點(diǎn).(2)若k=0,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸或與對(duì)稱(chēng)軸重合.因此直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的必要不充分條件.【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、典例解析例5.過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)D，求證：直線(xiàn)DB平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．例6.如圖，已知定點(diǎn)Ba,-h,BC⊥x軸于點(diǎn)C,M是線(xiàn)段OB上任意一點(diǎn),MD⊥x軸于點(diǎn)D,ME⊥BC于點(diǎn)E,OE例6中，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，則方程x2對(duì)應(yīng)的軌跡是常見(jiàn)的拋物拱AOB.拋物拱在現(xiàn)實(shí)生活中有許多原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線(xiàn)等，拋擲出的鉛球在天空中劃過(guò)的軌跡也是拋物拱一部分。例7.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線(xiàn)x=-1相切,設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線(xiàn)l1,l2分別與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ).證明:直線(xiàn)AB的斜率為定值.定值與定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略1.欲證某個(gè)量為定值,先將該量用某變量表示,通過(guò)變形化簡(jiǎn)若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即為定值.2.尋求一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)的常用方法:(1)通過(guò)方程判斷;(2)對(duì)參數(shù)取幾個(gè)特殊值探求定點(diǎn),再證明此點(diǎn)在直線(xiàn)上;(3)利用曲線(xiàn)的性質(zhì)(如對(duì)稱(chēng)性等),令其中一個(gè)變量為定值,再求出另一個(gè)變量為定值;(4)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線(xiàn)的斜率相等或向量平行等.跟蹤訓(xùn)練1.已知拋物線(xiàn)的方程是y2=4x,直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中點(diǎn)為(3,3),求直線(xiàn)l的方程;(2)若y1y2=-12,求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn).【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．若拋物線(xiàn)y2＝2x上有兩點(diǎn)A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,8)2．若直線(xiàn)x－y＝2與拋物線(xiàn)y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是________.3．設(shè)直線(xiàn)y＝2x＋b與拋物線(xiàn)y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，已知弦AB的長(zhǎng)為3eq\r(5)，求b的值．4.過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)。(1)求證:A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積分別為定值(2)證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；5.如圖,已知直線(xiàn)l:y=2x-4交拋物線(xiàn)y2=4x于A,B兩點(diǎn),試在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P,使△PAB的面積最大,并求出這個(gè)最大面積.【課堂小結(jié)】【參考答案】一、典例解析例5.【分析】設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px（p＞0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．直線(xiàn)OA的方程為：＝＝，可得yD＝．設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：my＝x﹣，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立化為y2﹣2pm﹣p2＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得．可得yD＝y(tǒng)2．即可證明．【解答】證明：設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px（p＞0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．直線(xiàn)OA的方程為：＝＝，令x＝，可得yD＝．設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：my＝x﹣，聯(lián)立，化為y2﹣2pm﹣p2＝0，∴．∴．∴yD＝y(tǒng)2．∴直線(xiàn)DB平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．例6.解：設(shè)點(diǎn)Px,y

,Mx,m

,其中0≤x≤a,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為有題意，直線(xiàn)OB的方程為y=-bax因?yàn)辄c(diǎn)Mm=-ba所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿(mǎn)足②直線(xiàn)OE的方程為y=m因?yàn)辄c(diǎn)P在OE上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y

滿(mǎn)足③將②代入③，消去m得，

x2即P點(diǎn)的軌跡方程。例7.思路分析:(1)由拋物線(xiàn)的定義可知E的軌跡為以D為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn);(2)設(shè)l1,l2的方程,聯(lián)立方程組消元解出A,B的坐標(biāo),代入斜率公式計(jì)算kAB.(1)解:∵動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線(xiàn)x=-1相切,∴E到點(diǎn)D(1,0)的距離等于E到直線(xiàn)x=-1的距離,∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn),以直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).∴曲線(xiàn)C的方程為y2=4x.(2)證明:設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y=k(x-1)+2.∵直線(xiàn)l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),∴l(xiāng)2的方程為y=-k(x-1)+2.聯(lián)立得方程組y=k(x-1)+2,y2=4x,消元得k2x2-(2設(shè)A(x1,y1),則x1=(k同理,設(shè)B(x2,y2),可得x2=k2∴x1+x2=2k2+8k2,x1∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k=2k2+8k-∴kAB=y1-y∴直線(xiàn)AB的斜率為定值-1.跟蹤訓(xùn)練1.解:(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的方程為y2=4x,則有y12=4x1,y22=4x2,因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為(3,3),所以x1兩式相減得y12-y22=4x所以y1所以直線(xiàn)l的方程為y-3=23(x-3),即y=23x+(2)當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+b,代入拋物線(xiàn)方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2=4bk=-12,b=-3l的方程為y=kx-3k=k(x-3),過(guò)定點(diǎn)(3,0).當(dāng)l的斜率不存在時(shí),y1y2=-12,則x1=x2=3,l過(guò)定點(diǎn)(3,0).綜上,l過(guò)定點(diǎn)(3,0).達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．【答案】A[線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的方程為x＝1，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則焦點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]2．【答案】(4,2)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2,y2＝4x))得x2－8x＋4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)．]3．【答案】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b，,y2＝4x，))消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜eq\f(1,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4).∴|x1－x2|＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(1－2b).∴|AB|＝eq\r(1＋22)|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(1－2b)＝3eq\r(5)，∴1－2b＝9，即b＝－4.4.解：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2），中點(diǎn)P（x0,y0）∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∴∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-4p2∴x1x2=4p2⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)∴∴∴直線(xiàn)AB：∴∴∵∴∴∴AB過(guò)定點(diǎn)（2p,0）.5.思路分析:先求出弦長(zhǎng)|AB|,再求出點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離,從而可表示出△PAB的面積,再求最大值即可.解:由y=2x∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=35.(方法1)設(shè)P(x0,y0)為拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上一點(diǎn),d為點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離,則有d=|2x0-y0-4|5∵-2<y0<4,∴(y0-1)2-9<0.∴d=125[9-(y0-1)2從而當(dāng)y0=1時(shí),dmax=925,Smax=12×因此,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為14,1時(shí),△PAB(方法2)由y=2x∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=35.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4t2,4t),∵點(diǎn)P(4t2,4t)在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上,∴-2<4t<4,得-12<t<1由題意得點(diǎn)P(4t2,4t)到直線(xiàn)AB的距離d=|8∵當(dāng)t∈-12,1∴d=45∴當(dāng)t=14時(shí),dmax=4此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為14,1,S△PAB的最大值為12|AB|·dmax=1(方法3)設(shè)y=2x+m是拋物線(xiàn)y2=4x的切線(xiàn)方程.由y=2x+m,y2=4x,消去x∵Δ=4-8m=0,∴m=12此時(shí),方程為y2-2y+1=0,解得y=1,x=14∴P14此時(shí)點(diǎn)P到直線(xiàn)y=2x-4的距離d最大(在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上).∴dmax=2×14-1-45=925《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．對(duì)拋物線(xiàn)，下列描述正確的是（）A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為C．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為 D．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為2．在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線(xiàn)大致是（）A． B．C． D．3．若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則下列點(diǎn)中一定在該拋物線(xiàn)上的是（）A． B． C． D．4．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，到直線(xiàn)：為，則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．5．（多選題）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．6．（多選題）已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝1 B．線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值為4C．M的坐標(biāo)可能為(3，2) D．＝－3二、填空題7．拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和橢圓的中心重合，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，則拋物線(xiàn)的方程為.8．已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A為C上一點(diǎn)，且|AF|＝5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAF的面積為.9．設(shè)P是曲線(xiàn)y2＝4(x－1)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，1)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是________10.如圖，一拋物線(xiàn)型拱橋的拱頂O離水面高，水面寬度.現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長(zhǎng)方體的貨物欲從橋下中央經(jīng)過(guò)，已知長(zhǎng)方體貨物總寬6米，若要使船只順利通過(guò)該橋，則長(zhǎng)方體貨物的頂部離水面的距離應(yīng)低于______.三、解答題11.若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向上,F為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn),A為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且|AM|=17,|AF|=3,求此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.12．斜率為的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)．求該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程；求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．對(duì)拋物線(xiàn)，下列描述正確的是（）A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為C．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為 D．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)，可知化為標(biāo)準(zhǔn)式為拋物線(xiàn)，2p=1/4，故焦點(diǎn)在y軸上，開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，選B2．在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線(xiàn)大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，得表示焦點(diǎn)在軸上開(kāi)口向左的拋物線(xiàn).故選：D.3．若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則下列點(diǎn)中一定在該拋物線(xiàn)上的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)易知，點(diǎn)一定在該拋物線(xiàn)上.故選：B4．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，到直線(xiàn)：為，則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以過(guò)焦點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，則到直線(xiàn)的距離為的最小值，如圖所示：所以故選：B5．（多選題）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.故選：AC．6．（多選題）已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝1 B．線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值為4C．M的坐標(biāo)可能為(3，2) D．＝－3【答案】BCD【解析】焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p=2，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的焦點(diǎn)為(1，0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=－1，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)PQ垂直于x軸時(shí)長(zhǎng)度最小，此時(shí)P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，則選項(xiàng)B正確；設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線(xiàn)PQ的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1，y2＝2px，消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，當(dāng)m=1時(shí)，可得M(3，2)，則選項(xiàng)C正確；又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，則選項(xiàng)D正確；故選：BCD二、填空題7．拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和橢圓的中心重合，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，則拋物線(xiàn)的方程為.【答案】【解析】依題意知，橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為：，則，．拋物線(xiàn)的方程為：．8．已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A為C上一點(diǎn)，且|AF|＝5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAF的面積為.【答案】2【解析】根據(jù)題意，拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，設(shè)，則，，，.9．設(shè)P是曲線(xiàn)y2＝4(x－1)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，1)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是________【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程是y2＝4(x－1)，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，如圖所示：由拋物線(xiàn)的定義得：，所以，當(dāng)A，P，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，1)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是.10.如圖，一拋物線(xiàn)型拱橋的拱頂O離水面高，水面寬度.現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長(zhǎng)方體的貨物欲從橋下中央經(jīng)過(guò)，已知長(zhǎng)方體貨物總寬6米，若要使船只順利通過(guò)該橋，則長(zhǎng)方體貨物的頂部離水面的距離應(yīng)低于______.【答案】【解析】以O(shè)為原點(diǎn),過(guò)O垂直于的直線(xiàn)為y軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線(xiàn)方程為,根據(jù)題意知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上.,,.可設(shè),過(guò)C作的垂線(xiàn),交拋物線(xiàn)于,則,.∴長(zhǎng)方體貨物的頂部離水面的距離應(yīng)低于（）.三、解答題11.若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向上,F為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn),A為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且|AM|=17,|AF|=3,求此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】設(shè)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0),設(shè)A(x0,y0),由題意知M0,-∵|AF|=3,∴y0+p2=3,∵|AM|=17,∴x0∴x02=8,代入方程x02=8=2p3-p2,解得p=2或∴所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2=8y.12．斜率為的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)．求該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程；求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．【解析】由焦點(diǎn)，得，解得所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，直線(xiàn)l的方程為與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得，消去y，整理得，由拋物線(xiàn)的定義可知，．所以，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．A是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，,則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．2．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，是C的準(zhǔn)線(xiàn)與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則()A． B． C． D．3．已知直線(xiàn)y=kx-k及拋物線(xiàn)y2=2px(p>0),則()A.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)B.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)C.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)D.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可能沒(méi)有公共點(diǎn)4.P為拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn),A,B,P三點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別是|AA1|,|BB1|,|PP1|,則有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=12C.|PP1|>12|AB|D.|PP1|<15．（多選題）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）、與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．為中點(diǎn) C． D．6．（多選題）設(shè)A，B是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論成立的是（）A．若，則B．若，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)C．若，到直線(xiàn)AB的距離不大于1D．若直線(xiàn)AB過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，且，則二、填空題7．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為．是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)作軸于，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________.8．已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線(xiàn)l,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交l于點(diǎn)A,與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為B,且FA=3FB,則|AB|=__________.9.已知雙曲線(xiàn)C1：＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線(xiàn)C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)的距離為2，則拋物線(xiàn)C2的方程為_(kāi)_______．10.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)．若，且的面積為，則______．三、解答題11.已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為5，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)依次與拋物線(xiàn)及圓交于、、、四點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡為的方程（2）設(shè)斜率為的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，求直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．A是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，,則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)AC，過(guò)點(diǎn)F作AC的垂線(xiàn)FB，垂足分別為C，B，如圖．由題意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因?yàn)閨AF|＝4，所以|AB|＝2.點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，則拋物線(xiàn)y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x＝－1.故選A.2．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，是C的準(zhǔn)線(xiàn)與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為所以橢圓的右焦點(diǎn)為即且橢圓的方程為拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)為代入橢圓方程中得故選B.3．已知直線(xiàn)y=kx-k及拋物線(xiàn)y2=2px(p>0),則()A.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)B.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)C.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)D.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可能沒(méi)有公共點(diǎn)【答案】C【解析】∵直線(xiàn)y=kx-k=k(x-1),∴直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0),又點(diǎn)(1,0)在拋物線(xiàn)y2=2px的內(nèi)部,∴當(dāng)k=0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k≠0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn).4.P為拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn),A,B,P三點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別是|AA1|,|BB1|,|PP1|,則有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=12C.|PP1|>12|AB|D.|PP1|<1【答案】B【解析】如圖所示,根據(jù)題意,PP1是梯形AA1B1B的中位線(xiàn),故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=5．（多選題）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）、與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．為中點(diǎn) C． D．【答案】ABC【解析】如圖所示：作準(zhǔn)線(xiàn)于，軸于，準(zhǔn)線(xiàn)于.直線(xiàn)的斜率為，故，，，故，.，代入拋物線(xiàn)得到；，故，故為中點(diǎn)；，故；，，故；故選：.6．（多選題）設(shè)A，B是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論成立的是（）A．若，則B．若，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)C．若，到直線(xiàn)AB的距離不大于1D．若直線(xiàn)AB過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，且，則【答案】ACD【解析】B.設(shè)直線(xiàn)方程為，，，，，將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，得，則，，，，．于是直線(xiàn)方程為，該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．故不正確；C.到直線(xiàn)的距離，即正確；A.．正確；D.由題得,所以，不妨取.所以，所以直線(xiàn)AB的方程為，所以.由題得=.所以.所以D正確.故選：ACD．二、填空題7．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為．是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)作軸于，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由于，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，將代入拋物線(xiàn)方程得，所以.8．已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線(xiàn)l,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交l于點(diǎn)A,與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為B,且FA=3FB,則|AB|=__________.【答案】8【解析】拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)和準(zhǔn)線(xiàn)l:x=-1,設(shè)A(-1,a),B(m,n),∵FA=3FB,∴m+12∴m+1=43,AB=89.已知雙曲線(xiàn)C1：＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線(xiàn)C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)的距離為2，則拋物線(xiàn)C2的方程為_(kāi)_______．【答案】x2＝16y【解析】∵雙曲線(xiàn)C1：＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，∴＝2，∴b＝a，∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為x±y＝0，∴拋物線(xiàn)C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為＝2，∴p＝8.∴所求的拋物線(xiàn)方程為x2＝16y.10.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)．若，且的面積為，則______．【答案】2【解析】由條件知，所以，所以，由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，及拋物線(xiàn)的定義可知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，則P的縱坐標(biāo)為，所以，解得．三、解答題11.已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為5，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)依次與拋物線(xiàn)及圓交于、、、四點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；【解析】（1）由題意，設(shè)拋物的方程為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為5，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為；（2）由（1）知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，恰好為圓的圓心，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)依次與拋物線(xiàn)及圓交于、、、四點(diǎn)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得，，，則，由得，所以，因此，即為定值.12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡為的方程（2）設(shè)斜率為的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，求直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，整理的，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）在點(diǎn)的軌跡中，記，，依題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由方程組得①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，把代入軌跡的方程得，所以此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程①的判別式為②設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得③（?。┤?，由②③解得或.即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn).（ⅱ）若或，由②③解得或，即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與有一個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與有兩個(gè)共點(diǎn)，與沒(méi)有公共點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn).（ⅲ）若，由②③解得或，即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與有兩個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn).綜上所述，當(dāng)或時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn).《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1．過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．或 B．C．或 D．2．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)及對(duì)稱(chēng)軸的距離分別為3和，則（）A．2 B．2或4 C．1或2 D．13.已知是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則拋物線(xiàn)的方程為（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)：上一點(diǎn)，且點(diǎn)到軸的距離比它到焦點(diǎn)的距離小3，則（）A．3 B．6 C．8 D．125．（多選題）點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，則a的值可以為（）A． B． C． D．6.（多選題）設(shè)是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，下列結(jié)論正確的為（）A．為定值 B．直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)C．最小值為16 D．到直線(xiàn)的距離最大值為4二、填空題7．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)滿(mǎn)足，則拋物線(xiàn)的方程為_(kāi)_________.8.若拋物線(xiàn)y2=2x上有兩點(diǎn)A,B,且AB垂直于x軸,若|AB|=22,則點(diǎn)A到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)________.9．已知點(diǎn)(x,y)在拋物線(xiàn)y2=4x上,則z=x2+12y2+3的最小值是10.拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x23-y23=1相交于A,B兩點(diǎn),若三、解答題11.設(shè)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).（1）若點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.12.在平面直角坐標(biāo)系中，平面上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線(xiàn)的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡交于兩個(gè)不同點(diǎn)、.若點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程.《3.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．或 B．C．或 D．【答案】C【解析】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入可得，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是；設(shè)焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入可得，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是．綜上可知，過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是或．故選：C.2．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)及對(duì)稱(chēng)軸的距離分別為3和，則（）A．2 B．2或4 C．1或2 D．1【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)及對(duì)稱(chēng)軸的距離分別為3和，所以，即，代入拋物線(xiàn)方程可得，整理得，解得或.故選：B.3.已知是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，