人教版高二上學期期中考試數(shù)學試卷與答案解析（共兩套）

人教版高二上學期期中考試數(shù)學試卷（一）（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）測試范圍：選擇性必修第一冊：第一章、第二章一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．對于空間任意一點和不共線的三點、、，有如下關系：，則()。A、四點、、、必共面B、四點、、、必共面C、四點、、、必共面D、五點、、、、必共面2．已知平面、的法向量分別為、且，則的值為()。A、B、C、D、3．若()，則直線被圓所截得的弦長為()。A、B、C、D、4．已知三條直線、和中沒有任何兩條平行，但它們不能構(gòu)成三角形的三邊，則實數(shù)的值為()。A、B、C、D、5．直線：(是不等于的整數(shù))與直線的交點恰好是整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù))，那么滿足條件的直線有()。A、條B、條C、條D、無數(shù)條6．過點的直線與圓：交于、兩點，當時，直線的斜率為()。A、B、C、D、7．已知、兩點，則直線與空間直角坐標系中的平面的交點坐標為()。A、B、C、D、8．阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點與、距離之比為，當、、不共線時，面積的最大值是()。A、B、C、D、二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)()。A、B、C、D、10．已知、、和為空間中的個單位向量，且，可能等于()。A、B、C、D、11．給出下列命題，其中不正確的為()。A、若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B、若，則是鈍角C、若，則與一定共線D、非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面12．已知圓：，過點向圓作切線，切點為，再作斜率為的割線交圓于、兩點，則的面積為()。A、B、C、D、三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知正方體中，，若，則，。（本小題每空2.5分）14．已知直線及直線截圓所得的弦長均為，則圓的面積是。15．如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度是。16．已知點是直線：()上的動點，過點作圓：的切線，為切點。若最小為時，圓：與圓外切，且與直線相切，則的值為。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）如圖所示，三棱柱中，、分別是、上的點，且，。設，，。(1)試用、、表示向量；(2)若，，，求的長。18．（本小題滿分12分）過點作直線分別交、軸正半軸于、兩點。(1)當面積最小時，求直線的方程。(2)當取最小值時，求直線的方程。19．（本小題滿分12分）如圖所示，在中，，為邊上一點，且，，平面，且。(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值。20．（本小題滿分12分）已知平行四邊形的三個頂點的坐標為、、。(1)在中，求邊中線所在直線方程；(2)求平行四邊形的頂點的坐標及邊的長度；(3)求的面積。21．（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點。將沿折起到的位置，如圖2。(1)證明：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值。22．（本小題滿分12分）如圖所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分別是、、的中點。(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值。答案解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．對于空間任意一點和不共線的三點、、，有如下關系：，則()。A、四點、、、必共面B、四點、、、必共面C、四點、、、必共面D、五點、、、、必共面【答案】B【解析】由得：，可得四點、、、必共面，故選B。2．已知平面、的法向量分別為、且，則的值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得，即，則，故選A。3．若()，則直線被圓所截得的弦長為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵圓心到直線的距離，因此根據(jù)直角三角形的關系，弦長的一半就等于，∴弦長為，故選D。4．已知三條直線、和中沒有任何兩條平行，但它們不能構(gòu)成三角形的三邊，則實數(shù)的值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得三條直線必過同一個點，則聯(lián)立解得這兩條直線的交點為，代入可得，故選A。5．直線：(是不等于的整數(shù))與直線的交點恰好是整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù))，那么滿足條件的直線有()。A、條B、條C、條D、無數(shù)條【答案】B【解析】聯(lián)立，∴，即，，∴或或或，∵，∴值有個，直線有七條，故選B。6．過點的直線與圓：交于、兩點，當時，直線的斜率為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由題意得，則圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與圓相切，不合題意，舍去，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，則，解得，故選A。7．已知、兩點，則直線與空間直角坐標系中的平面的交點坐標為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】設連線與平面的交點為，∵、、三點共線，則，則，則，解得，則，故選B。8．阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點與、距離之比為，當、、不共線時，面積的最大值是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】如圖，以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建系，、，設，∵，∴，兩邊平方并整理得：，∴面積的最大值是，故選D。二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】∵，∴，解得或，時，符合，當時，符合，故選BD。10．已知、、和為空間中的個單位向量，且，可能等于()。A、B、C、D、【答案】CD【解析】∵，而，∴，又∵、、、是單位向量，且，∴、、一定不共線，∴，故選CD。11．給出下列命題，其中不正確的為()。A、若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B、若，則是鈍角C、若，則與一定共線D、非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面【答案】ABD【解析】對于A，考慮平行四邊形中，滿足，不滿足與重合，與重合，與為同一線段，故A錯，對于B，當兩個非零向量、的夾角為時，滿足，但它們的夾角不是鈍角，故B錯，對于C，當時，，則與一定共線，故C對，對于D，考慮三棱柱，、、，滿足與，與，與都是共面向量，但、、不共面，故D錯，故選ABD。12．已知圓：，過點向圓作切線，切點為，再作斜率為的割線交圓于、兩點，則的面積為()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】由題意知，過點作斜率為的割線，則直線的方程為，點到直線的距離為，則弦，過點作圓的切線，其中一條為軸，切點為軸，則點到直線的距離，∴的面積即為的面積，故，又另一條切線為，設直線的方程為，由題意得，且點到直線的距離，解得，則直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立易得，點到直線的距離，故，綜上所述的面積為或，故選BD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知正方體中，，若，則，。（本小題每空2.5分）【答案】【解析】∵，∴，∴，。14．已知直線及直線截圓所得的弦長均為，則圓的面積是?！敬鸢浮俊窘馕觥俊咭阎膬蓷l直線平行且截圓所得的弦長均為，∴圓心到直線的距離為兩平行直線距離的一半，即，又直線截圓所得的弦長為，∴圓的半徑，∴圓的面積是。15．如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度是?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?，∴，∴。16．已知點是直線：()上的動點，過點作圓：的切線，為切點。若最小為時，圓：與圓外切，且與直線相切，則的值為?！敬鸢浮俊窘馕觥繄A的圓心為，半徑為，當與垂直時，的值最小，此時點到直線的距離為，由勾股定理得，又，解得，圓的圓心為，半徑為，∵圓與圓外切，∴，∴，∵圓與直線相切，∴，解得。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）如圖所示，三棱柱中，、分別是、上的點，且，。設，，。(1)試用、、表示向量；(2)若，，，求的長。【解析】(1)2分；4分(2)6分，8分即，∴。10分18．（本小題滿分12分）過點作直線分別交、軸正半軸于、兩點。(1)當面積最小時，求直線的方程。(2)當取最小值時，求直線的方程?！窘馕觥吭O直線：(，)，∵直線經(jīng)過點，∴，2分(1)，∴，當且僅當，時等號成立，4分∴當，時，最小，此時直線的方程為，即；6分(2)∵，，，∴，9分當且僅當，時等號成立，10分∴當取最小值時，直線的方程為。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示，在中，，為邊上一點，且，，平面，且。(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值?！窘馕觥?1)證明：∵，，∴，∴，∴，1分又平面，平面，∴，2分又∵平面，，∴平面，即平面，3分又平面，∴平面平面；4分(2)解：以、、所在射線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，，則，，，，∴，，，6分設平面的一個法向量為，∴，∴，令，則，，∴，9分設與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為。12分20．（本小題滿分12分）已知平行四邊形的三個頂點的坐標為、、。(1)在中，求邊中線所在直線方程；(2)求平行四邊形的頂點的坐標及邊的長度；(3)求的面積?！窘馕觥咳鐖D建系，(1)設邊中點為，則點坐標為，1分∴直線，∴直線的方程為：，3分即：，∴邊中線所在直線的方程為：；4分(2)設點的坐標為，由已知得為線段的中點，有，解得，∴，6分又∵、，則；8分(3)由、得直線的方程為：，9分∴到直線的距離，∴。12分21．（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點。將沿折起到的位置，如圖2。(1)證明：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值?！窘馕觥?1)證明：在圖1中，∵，，是的中點，，∴，即在圖2中，、，1分又，、平面，平面，3分又，∴平面；4分(2)解：由已知，平面平面，又由(1)知，、，∴為二面角的平面角，∴，5分如圖，以為原點，、、為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，∵，，∴、、、，∴，，，7分設平面的法向量，則，即，令，則、，則，9分設平面的法向量，則，即，令，則、，則，11分設平面與平面的夾角的平面角為，∴。12分22．（本小題滿分12分）如圖所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分別是、、的中點。(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值?！窘馕觥?1)由題可得，四邊形為菱形，且，連接，則，又∵為的中點，則，∴，即，2分又∵平面，平面，平面，則，，∴以為原點，、、為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，4分由為中點，為中點，為中點，，，可得，，，5分則，，，則，，則，∴，∴，又∵平面，平面，∴平面；7分(2)由題可得，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，∴，，，，∴由可得：，令，則，，則，9分∴由可得：，令，則，，則，11分設二面角為，則，則，∴二面角的正弦值為。12分人教版高二上學期期中考試數(shù)學試卷（二）（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）測試范圍：選擇性必修第一冊：第一章、第二章一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．直線恒過一定點，則此定點為()。A、B、C、D、2．設直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的()。A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件3．設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則()。A、B、C、D、4．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為()。A、B、C、D、5．在邊長為的等邊三角形中，于，沿折成二面角后，，此時二面角的大小為()。A、B、C、D、6．已知平面內(nèi)的角，射線與、所成角均為，則與平面所成角的余弦值是()。A、B、C、D、7．在三棱錐中，平面，，，則該棱錐的外接球半徑為()。A、B、C、D、8．已知直線：，點，，若直線與線段相交，則的取值范圍為()。A、B、C、D、二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．已知直線經(jīng)過點，且被兩條平行直線：和：截得的線段長為，則直線的方程為()。A、B、C、D、10．已知，和直線：，若在坐標平面內(nèi)存在一點，使，且點到直線的距離為，則點坐標為()。A、B、C、D、11．定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：(1)，，且、和構(gòu)成右手系(即三個向量兩兩垂直，且三個向量的方向依次與拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夾角)。如右圖所示，在正方體中，有以下四個結(jié)論中，不正確的有()。A、與方向相反B、C、與正方體表面積的數(shù)值相等D、與正方體體積的數(shù)值相等12．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是棱的中點，是的延長線與的延長線的交點。若點在直線上，則下列結(jié)論不正確的是()。A、當點為線段的中點時，平面B、當點為線段的三等分點時，平面C、在線段的延長線上，存在一點，使得平面D、不存在點，使與平面垂直三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知是空間任一點，、、、四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且滿足，則。14．已知，方程表示圓，則圓心坐標是，半徑是。（本小題每空2.5分）15．已知圓：和點，若頂點()和常數(shù)滿足：對圓上任意一點，都有，則。16．空間直角坐標系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面成角的正弦值為。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）如圖所示，已知平行六面體中，各棱長均為，底面是正方形，且，設，，。(1)用、、表示，并求；(2)求異面直線與所成的角的余弦值。18．（本小題滿分12分）(1)求與向量共線且滿足方程的向量的坐標；(2)已知，，，求點的坐標使得；(3)已知，，求：①；②與夾角的余弦值；③確定、的值使得與軸垂直，且。19．（本小題滿分12分）已知點，點，圓：。(1)求過點的圓的切線方程；(2)求過點的圓的切線方程，并求出切線長。20．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱柱中，，，。(1)證明：；(2)若，在棱上是否存在點，使得二面角的大小為。若存在，求的長；若不存在，說明理由。21．（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為梯形，且滿足，，，平面平面。(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值。22．（本小題滿分12分）如圖所示，在多面體中，四邊形、、均為正方形，為的中點，過、、的平面交于。(1)證明：；(2)求二面角的余弦值。答案解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．直線恒過一定點，則此定點為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】直線可變形為：，若該方程對任意都成立，則，即，直線恒過點，故選D。2．設直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的()。A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得：，是必要條件，而“”不一定有，也可能，故不是充分條件，故選B。3．設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，則，故選C。4．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵兩條直線與的距離為，∴所求圓的半徑為，由得，由得，∴直徑的兩個端點、，因此圓心坐標，圓的方程為，故選B。5．在邊長為的等邊三角形中，于，沿折成二面角后，，此時二面角的大小為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】就是二面角的平面角，∵，∴，故選C。6．已知平面內(nèi)的角，射線與、所成角均為，則與平面所成角的余弦值是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由三余弦公式知，∴，故選D。7．在三棱錐中，平面，，，則該棱錐的外接球半徑為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知建立空間直角坐標系，，，由平面知識得，設球心坐標為，則，由空間兩點間距離公式知：，，，解得，，，∴半徑為，故選A。8．已知直線：，點，，若直線與線段相交，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】直線方程變形得：。由得，∴直線恒過點，，，由圖可知斜率的取值范圍為：或，又，∴或，即或，又時直線的方程為，仍與線段相交，∴的取值范圍為，故選C。二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．已知直線經(jīng)過點，且被兩條平行直線：和：截得的線段長為，則直線的方程為()。A、B、C、D、【答案】BC【解析】若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時與、的交點分別為，，截得的線段的長，符合題意，若直線的斜率存在，則設直線的方程為，解得，解得，由，得，解得，即所求的直線方程為，綜上可知，所求直線的方程為或，故選BC。10．已知，和直線：，若在坐標平面內(nèi)存在一點，使，且點到直線的距離為，則點坐標為()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】設點的坐標為，線段的中點的坐標為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點在直線上，∴，又點到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點的坐標為或，故選BD。11．定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：(1)，，且、和構(gòu)成右手系(即三個向量兩兩垂直，且三個向量的方向依次與拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夾角)。如右圖所示，在正方體中，有以下四個結(jié)論中，不正確的有()。A、與方向相反B、C、與正方體表面積的數(shù)值相等D、與正方體體積的數(shù)值相等【答案】ABD【解析】對于A、根據(jù)向量外積的第一個性質(zhì)可知與的方向相同，故A錯，對于B、根據(jù)向量外積的第一個性質(zhì)可知與的方向相反，不可能相等，故B錯，對于C、根據(jù)向量外積的第二個性質(zhì)可知，則與正方體表面積的數(shù)值相等，故C對，對于D、與的方向相反，則，故D錯，故選ABD。12．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是棱的中點，是的延長線與的延長線的交點。若點在直線上，則下列結(jié)論不正確的是()。A、當點為線段的中點時，平面B、當點為線段的三等分點時，平面C、在線段的延長線上，存在一點，使得平面D、不存在點，使與平面垂直【答案】ABC【解析】以為原點，、、為軸、軸、軸建系，由已知可得，，，，，則，，，，設平面的法向量為，則，取，則，，則，設在直線上存在一點，使得平面，設則，且，，則，，，則，若平面，則與共線，則，此時無解，故不存在點，使得平面，故選ABC。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知是空間任一點，、、、四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且滿足，則。【答案】【解析】∵，∴，∵是空間任一點，、、、四點滿足任三點均不共線，但四點共面，∴，∴。14．已知，方程表示圓，則圓心坐標是，半徑是。（本小題每空2.5分）【答案】【解析】由題意，或，當時方程為，即，圓心為，半徑為，當時方程為，不表示圓。15．已知圓：和點，若頂點()和常數(shù)滿足：對圓上任意一點，都有，則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O，∵，∴，任取、代入可得，，解得，，。16．空間直角坐標系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面成角的正弦值為?！敬鸢浮俊窘馕觥俊咂矫娴姆匠虨?，∴平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設兩平面的交線的方向向量為，由，令，則直線與平面所成角的大小為，則。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）如圖所示，已知平行六面體中，各棱長均為，底面是正方形，且，設，，。(1)用、、表示，并求；(2)求異面直線與所成的角的余弦值?！窘馕觥?1)∵，2分∴，4分∴；5分(2)，則，7分又，，∴，9分∴異面直線與所成的角的余弦值為。10分18．（本小題滿分12分）(1)求與向量共線且滿足方程的向量的坐標；(2)已知，，，求點的坐標使得；(3)已知，，求：①；②與夾角的余弦值；③確定、的值使得與軸垂直，且?！窘馕觥?1)∵與共線，故可設，由得：，故，∴；2分(2)設，則，，，∵，∴，∴點坐標為；5分(3)①，6分②∵，，∴，∴與夾角的余弦值為，9分③取軸上的單位向量，，依題意，即，故，解得，。12分19．（本小題滿分12分）已知點，點，圓：。(1)求過點的圓的切線方程；(2)求過點的圓的切線方程，并求出切線長?！窘馕觥坑深}意得圓心，半徑，(1)∵，∴點在圓上，又，2分∴切線的斜率，4分∴過點的圓的切線方程是，即；5分(2)∵，∴點在圓外部，當過點的直線斜率不存在時，直線方程為，即，6分又點到直線的距離，即此時滿足題意，7分∴直線是圓的切線，當切線的斜率存在時，設切線方程為，8分即，則圓心到切線的距離，解得，9分∴切線方程為，即，10分綜上可得，過點的圓的切線方程