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文檔簡介
2023-2024學年福建省泉州實驗中學高三下第一次測試數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A,B=,則A∩B=A. B. C. D.2.已知集合,,則為()A. B. C. D.3.已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上,其底面邊長為4,、、分別為側棱,,的中點.若在三棱錐內,且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍,則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.5.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.6.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點,為的三等分點(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.7.已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為().A. B. C. D.8.拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.29.是虛數(shù)單位,復數(shù)在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應的極大值為,則的值為()A. B. C. D.11.已知的部分圖象如圖所示,則的表達式是()A. B.C. D.12.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設實數(shù),若函數(shù)的最大值為,則實數(shù)的最大值為______.14.四邊形中,,,,,則的最小值是______.15.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設,則在區(qū)間上的取值范圍為_______.16.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F,兩曲線的一個交點為P,若|FP|=5,則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,,且數(shù)列前項和為,求的取值范圍.18.(12分)設數(shù)陣,其中、、、.設,其中,且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一行,若其中有或,則將這一行中每個數(shù)都乘以;若其中沒有且沒有,則這一行中所有數(shù)均保持不變”(、、、).表示“將經過變換得到,再將經過變換得到、,以此類推,最后將經過變換得到”,記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.(1)若,寫出經過變換后得到的數(shù)陣;(2)若,,求的值;(3)對任意確定的一個數(shù)陣,證明:的所有可能取值的和不超過.19.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經過點,求直線被曲線截得的線段的長.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.21.(12分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.22.(10分)在本題中,我們把具體如下性質的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先解A、B集合,再取交集?!驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為,故選A【點睛】一般地,把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。2、C【解析】
分別求解出集合的具體范圍,由集合的交集運算即可求得答案.【詳解】因為集合,,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運算,考查基本運算能力.3、D【解析】
如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面,計算,由勾股定理解得,此外接球的體積為,三棱錐體積為,得到答案.【詳解】如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中,過作底面的垂線,垂足為,與平面交點記為,連接、.依題意,所以,設球的半徑為,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的體積為,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距離為,則,所以三棱錐體積為,所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選:D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,三棱錐體積,球體積,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.4、D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因為當時,,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故選:D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.5、B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.6、D【解析】
使用不同方法用表示出,結合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎題.7、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.考點:二項式系數(shù),二項式系數(shù)和.8、A【解析】
求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎題.9、D【解析】
求出復數(shù)在復平面內對應的點的坐標,即可得出結論.【詳解】復數(shù)在復平面上對應的點的坐標為,該點位于第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)對應的點的位置的判斷,屬于基礎題.10、C【解析】
對此分段函數(shù)的第一部分進行求導分析可知,當時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應極大值,分組求和即得【詳解】當時,,顯然當時有,,∴經單調性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應極值,,∴故選:C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達式中抽離出相應的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題11、D【解析】
由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點的坐標代入函數(shù)的解析式,結合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.12、A【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)相等的條件,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,是基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù),則當時,,即.當時,顯然成立;當時,由,轉化為,令,用導數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因為,又當時,,即.當時,顯然成立;當時,由等價于,令,,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,,則,又,得,因此的最大值為.故答案為:【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用,還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.14、【解析】
在中利用正弦定理得出,進而可知,當時,取最小值,進而計算出結果.【詳解】,如圖,在中,由正弦定理可得,即,故當時,取到最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查解三角形,同時也考查了常見的三角函數(shù)值,考查邏輯推理能力與計算能力,屬于中檔題.15、【解析】
先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉化為關于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.16、【解析】
設點為,由拋物線定義知,,求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因為點P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設點為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因為a2+b2=4,解得a=1,b=,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點到直線的距離公式可得,點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質;考查運算求解能力和知識遷移能力;靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由,可求,然后由時,可得,根據(jù)等比數(shù)列的通項可求(2)由,而,利用裂項相消法可求.【詳解】(1)當時,,解得,當時,①②②①得,即,數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,;(2)∴,∴,,.【點睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項求解中的應用,等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.18、(1);(2);(3)見解析.【解析】
(1)由,能求出經過變換后得到的數(shù)陣;(2)由,,求出數(shù)陣經過變化后的矩陣,進而可求得的值;(3)分和兩種情況討論,推導出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和,由此能證明的所有可能取值的和不超過.【詳解】(1),經過變換后得到的數(shù)陣;(2)經變換后得,故;(3)若,在的所有非空子集中,含有且不含的子集共個,經過變換后第一行均變?yōu)?、;含有且不含的子集共個,經過變換后第一行均變?yōu)?、;同時含有和的子集共個,經過變換后第一行仍為、;不含也不含的子集共個,經過變換后第一行仍為、.所以經過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若,則的所有非空子集中,含有的子集共個,經過變換后第一行均變?yōu)椤?;不含有的子集共個,經過變換后第一行仍為、.所以經過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.同理,經過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為.所以的所有可能取值的和為,又因為、、、,所以的所有可能取值的和不超過.【點睛】本題考查數(shù)陣變換的求法,考查數(shù)陣中四個數(shù)的和不超過的證明,考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎知識,考查運算求解能力,綜合性強,難度大.19、(1)曲線表示的是焦點為,準線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標方程為兩邊同時乘以,利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程;(2)由直線經過點,可得的值,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標準方程,由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析:(1)由可得,即,∴曲線表示的是焦點為,準線為的拋物線.(2)將代入,得,∴,∵,∴,∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得,由直線參數(shù)方程的幾何意義可知,.20、(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉化為“當時,”恒成立,利用絕對值不等式的性質可得:,問題得解.【詳解】當時,,當時,由得,解得;當時,無解;當時,由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價于在上恒成立,當時,等價于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉化能力及絕對值不等式的性質,考查計算能力,屬于中檔題.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由已知線面垂直得,結合菱形對角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計算出的長,寫出各點坐標,求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.又因為,平面,平面,所以平面.解:(2)據(jù)題設知,兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,因為與平面所成角為,即,所以又,所以,所以所以設平面的一個法向量,則令,則.因為平面,所以為平面的一個法向量,且所以,.所以二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質定理,考查用向量法求二面角.
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