尺規(guī)作圖與計算- 2024年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破

專題05尺規(guī)作圖與計算大全

1.如圖，在已知的,ABC中，按以下步驟作圖：①分別以2,C為圓心，以大于gBC的長

為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)N；②作直線交48于點(diǎn)。，連接CD.若CD=AC,

【答案】A

【分析】根據(jù)作圖，得到。樂。C,根據(jù)CQ=/C,蜘=50。，利用三角形內(nèi)角和定理，三角形

外角性質(zhì)計算求解即可.

【詳解】是的垂直平分線，

^DB=DC,

雕后二配）C5,

^\CD=AC,[14=50°,

BBCDA=5QO=^B^DCB,l?L4CD=180o-50o-50o=80o,

^[B=W）CB=25°,^ACD=80°,

的4c族亞）CB+酎CZ）=80°+25°=105°,

故選：A.

【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，

熟練掌握線段垂直平分線，靈活運(yùn)用三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在4ABe中，AB=AC,NA=40。，點(diǎn)。，尸分別是圖中所作直線和射線與A3,

的交點(diǎn)，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（）

C.ZBPC=U5°D.ZPBC=ZACD

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直平分線的性質(zhì)判斷A、B,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和

三角形的內(nèi)角定理判斷C、D.

【詳解】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖可知，AC的垂直平分線交45于D平分/ABC,

團(tuán)AP=CD,ZABP=NCBP；選項A、B正確；

回NA=40。，

團(tuán)NACD=NA=40。，

團(tuán)NA=40。，AB=AC,

0ZABC=ZACB=7O°,

0ZABP=ZCBP=35°,

El/尸3cANACD選項D錯誤；

NBCP=ZACB-ZACD=70°-40°=30°,

ElZBPC=180°-ACBP-ZBCP=115°,選項C正確.

故選：D.

【我思故我在】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的

性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，已知/8〃8,小妍同學(xué)進(jìn)行以下尺規(guī)作圖:

①以點(diǎn)/為圓心，ZC長為半徑作弧，交射線48于點(diǎn)氏

②以點(diǎn)￡為圓心，小于線段CE的長為半徑作弧，與射線CE交于點(diǎn)M,N；

③分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于;MN的長為半徑作弧，交于點(diǎn)F,直線EF交CD于點(diǎn)G.若

NCGE=tz,則/A的度數(shù)可以用a表示為（）

A.90°-aB.90°--aC.180。-4cD.2a

2

【答案】D

【分析】由作圖可知：AC^AE,CE^CE,所以明CE=a4EC,IBCEG=90。，貝llEICGE+BECGug。。，

所以回ECG=90”,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得a4EC=aECG=905,即可由三角形內(nèi)角和定理求

解.

【詳解】解：由作圖可知：AC=AE,CE3\CE,

m4CE=S\AEC,^CEG=90°,

a3CG￡+0￡CG=9O°,

^S\ECG=90°-a,

^AB//CD,

aa4c￡=EL4EC=!3ECG=90°-a,

0EL4=18O--EL4C￡'-EL4E,C=18Oo-2[2L4EC=18O'>-2（9Oo-cc）=2ct,故D正確.

故選：D.

【我思故我在】本題考查作線段等于已知線段，經(jīng)過上點(diǎn)作直線的垂線，平行線的性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握尺規(guī)基本作圖和三角形內(nèi)角和定理是解題的

關(guān)鍵.

4.已知銳角回AOB如圖，（1）在射線0A上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，0C長為半徑作尸Q,

交射線0B于點(diǎn)D,連接CD；

（2）分別以點(diǎn)C,D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)M,N；

（3）連接OM,MN.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

/1\

\\

/

/\\

O[產(chǎn)6

\I

A.0COM=0CODB.若OM=MN,貝l][3AOB=20°

C.MN0CDD.MN=3CD

【答案】D

【分析】由作圖知CM=CD=DN,再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得.

【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN,

fflCOM=0COD,故A選項正確;

M

團(tuán)OM=ON=MN,

團(tuán)團(tuán)OMN是等邊三角形，

團(tuán)回MON=60°,

0CM=CD=DN,

團(tuán)團(tuán)MOA二團(tuán)AOB二團(tuán)BON二;回MON=20°,故B選項正確;

回團(tuán)MOA=R1AOB二回BON,

18(F-NCOD

團(tuán)團(tuán)OCD二團(tuán)OCM二

2

回團(tuán)MCD=1800-NCOD,

又回CMN=-回AON=0COD,

2

團(tuán)團(tuán)MCD+團(tuán)CMN=180°,

回MN回CD,故C選項正確；

團(tuán)MC+CD+DN>MN,且CM二CD=DN,

明CD>MN,故D選項錯誤；

故選D.

【我思故我在】本題主要考查作圖■復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角定理和圓周角定理

等知識點(diǎn).

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，以點(diǎn)A為圓心，A5長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)尸，再分別

以點(diǎn)8、歹為圓心，大于;B尸的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,連接AP并延長交3c于

點(diǎn)E,連接EF.根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，小明得到下列結(jié)論：①AE平分②MBF

是等邊三角形③EF=CD@AB=BE,其中，結(jié)論正確的有（）個

B

“7/

AFD

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由作圖可知，/￡平分取。，證明四邊形N3C。是菱形，可得結(jié)論.

【詳解】解：由作圖可知，NE平分勖4D,故①正確，

^BAE^EAD,

團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

團(tuán)C龐皿AB=CD,

m4EB=^\EADf

^BAE=^BEA,

^AB=BE,故④正確，

^\AF=AB,

^\BE=AF,

^\BE^AF,

回四邊形ABEF是平行四邊形，

^AB=AF,

回四邊形4BEF是菱形,

^AB=EF,

SEF=CD,故③正確.

無法判斷的3尸是等邊三角形，

故選：C.

【我思故我在】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

6.如圖，ASC中，若NBAC=80。，NACB=70。，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下

結(jié)論錯誤的是（）

B.DE=-BD

2

C.AF=ACD.ZEQF=25°

【答案】D

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形

的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】回ZBAC=80。，ZACB=70°,

團(tuán)團(tuán)5=180°-曲CME4c5=30°,

A.由作圖可知，AQ平分/B4C,

0NBAP=ZCAP=-ABAC=40°,

2

故選項A正確，不符合題意;

B.由作圖可知，A/Q是5C的垂直平分線,

0ZD￡B=9O°,

團(tuán)NB=30。，^\DE=-BD,

2

故選項B正確，不符合題意;

C.團(tuán)ZB=30。,ZBAP=40°,回ZAFC=70。,

0ZC=7O°,0AF=AC,

故選項C正確，不符合題意;

D.團(tuán)NKFQ=ZAbC=70。，ZQEF=90°,

回NEQ尸=20。；

故選項D錯誤，符合題意.

故選：D.

【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義,三角形外角的性質(zhì),

直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息.

7.如圖，在平行四邊形ABCD上，尺規(guī)作圖：以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫弧交AZ）于

點(diǎn)F,分別以點(diǎn)8、/為圓心，以大于;的長為半徑畫弧交于點(diǎn)尸，作射線轉(zhuǎn)交3c于

點(diǎn)、E,連接￡F.若即=12,AB=10,則線段AE的長為（）

BEC

A.18B.17C.16D.14

【答案】C

【分析】證明四邊形尸是菱形，得至IJO/=OE,OB=OF=G,AE3\BF,再在中由

勾股定理求出0A即可解決問題.

【詳解】解：回以點(diǎn)/為圓心，A3的長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)

^AF=AB,

團(tuán)分別以點(diǎn)8、尸為圓心，以大于;8尸的長為半徑畫弧交于點(diǎn)p,作射線AP交5c于點(diǎn)E,

團(tuán)直線AE是線段BF的垂直平分線，且AP為甌4B的角平分線，

MF=EB,^FAE=^\BAE,

團(tuán)四邊形ABCQ為平行四邊形，

皿。勖C,^FAE^AEB,

^BAEB^BAE,

國BA=BE,

^\BA=BE=AF=FE,

回四邊形即是菱形；

EUEfflSF,OB=OF=6,OA=OE,

團(tuán)m08=90°,

在MO403中：AO^^AB1-OB1=V102-62-8-

EIAE=2AO=16,

故選：C.

【我思故我在】本題考查的是菱形的判定、垂直平分線、角平分線的尺規(guī)作圖、勾股定理等

相關(guān)知識點(diǎn)，掌握特殊四邊形的判定方法及重要圖形的尺規(guī)作圖是解決本題的關(guān)鍵.

8.如圖，在，ABC中，ZC=90°,ZBAC=60°,用尺規(guī)作圖，作/&IC的平分線交2C于點(diǎn)

D,則下列說法中：

①若連接尸則AMP^ANP；

②ZA￡)C=60。；

③點(diǎn)。在AB的中垂線上；

④SDAC:SABC=1：3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①連接PM,PN,根據(jù)SSS定理可得△/A/P0E⑷VP,故可得出結(jié)論；

②先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出回。8的度數(shù)，再由4D是I33/C的平分線得出回1=回2=30。,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知西。。=60。；

③根據(jù)回1=勖可知故可得出結(jié)論；

④先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出回2=30。，CD=^AD,再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：①連接NP,MP,

在△/MP與AT5中，

'AN=AM

團(tuán)<NP=MP,

AP=AP

^AMP^ANP(SSS),

貝帆C/D=054D,

故4D是EI3/C的平分線，故此選項正確;

②證明：團(tuán)在EL48C中，0C=9O°,05=30°,

0fflG4B=6O°.

^AD是回吐4C的平分線,

001=02=10G45=3O°,

003=9O°-02=6O°,0Aoe=60°,故此選項正確；

③證明：001=05=30°,

^\AD=BD,

回點(diǎn)。在48的中垂線上，故此選項正確；

④證明：團(tuán)在RtEL4c。中，02=30",

SCD=^AD,

^BC=BD+CD=AD+^-AD=3-AiD,S^DAC=^-AC-CD=~AC-AD,

2224

^S^^A&BC^AC?-AD=-AC'AD,

2224

IBSADAC：SAABC=1：3,故此選項正確；

故選：D.

【我思故我在】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖-基本作圖，熟

知角平分線的作法是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在A/BC中，AB=AC,用尺規(guī)作圖的方法作出射線ND和直線￡足設(shè)AD交EF

于點(diǎn)。，連結(jié)BE、OC.下列結(jié)論中，不一定成立的是（）

A.AE3\BEB.￡/平分EL4EBC.OA=OCD.AB=BE+EC

【答案】A

【分析】由圖可知，AD平分團(tuán)BAC,EF垂直平分AB.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及線段垂直

平分線的判定與性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，平分勖/C,E戶垂直平分42.

^AB=AC,ND平分曲C,

的。垂直平分3C,

005=OC,

回跖垂直平分48,

回。4=。5,BE=AE,

回CM=0C,故選項C結(jié)論成立；

國BE=AE,M垂直平分48,

回所平分的班，故選項8結(jié)論成立；

忸BE=AE,AB=AC,

BiAB=4C=4E+EC=BE+EC,故選項。結(jié)論成立；

當(dāng)SB/C=45。時，AE^BE,故選項/不一定成立.

故選：A.

【我思故我在】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟

練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

10.小明在研究矩形的時候，利用直尺和圓規(guī)作出了如圖的圖形，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可

知/a的度數(shù)為（）

A.56B.68C.28°D.34

【答案】A

【分析】由尺規(guī)作圖可知，EF是AC的垂直平分線，AE是EIDAC的角平分線，即可求出I3AFE

和回EAF的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解.

【詳解】解：如圖所示，

由尺規(guī)作圖可知，EF是AC的垂直平分線，AE是回DAC的角平分線,

H3AFE=90°,0EAF=1-0DAC,

0AD0BC,

0EIDAC=0ACB=68O,

EHEAF=34°,

EBAEF=18OO-0EAF-0AFE=56°,

EHa=l3AEF=56",

故選A.

【我思故我在】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線和角平分線，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法

和線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

11.如圖，已知0A8C,a4c8=90。，BC=3,AC=4,小紅按如下步驟作圖：

①分別以/、C為圓心，以大于的長為半徑在NC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；

②連接MN,分別交/5、NC于點(diǎn)。、O；

③過C作CE〃/8交"N于點(diǎn)E,連接/￡、CD.

則四邊形NOCE的周長為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得：是NC的垂直平分線，即可得4D=CD,AE=CE,然后由CE//AB,

可證得CD0/1E,繼而證得四邊形/OCE是菱形，再根據(jù)勾股定理求出ND,進(jìn)而求出菱形

4DCE的周長.

【詳解】：回分別以/、C為圓心，以大于5/C的長為半徑在ZC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N,

0AW是NC的垂直平分線,

0AD=CD,AE=CE,

0aC4￡>=EL4CD,^\CAE=^\ACE,

^\CE//AB,

EBC4D=EUCE,

^ACD=^CAE,

SCD//AE,

回四邊形ADCE是平行四邊形，

國四邊形NOCE是菱形；

SlOA=OC=j-AC=2,OD=OE,AC^DE,

E1EXC8=9O°,

WE//BC,

回0。是EL43C的中位線，

回。。=；2C=gx3=1.5,

a4^=7OA2+OD2=2.5,

團(tuán)菱形ADCE的周長=4/。=10.

故選A.

【我思故我在】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，

三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

12.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°.按以下步驟作圖：①以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為

半徑畫弧，分別交AC,CB于點(diǎn)、N,M-,②分別以N為圓心，大于的長為半

徑畫弧，兩弧在—ACB內(nèi)交于點(diǎn)G；③作射線CG.若AC=4,。為AC邊的中點(diǎn)，E為

射線CG上一動點(diǎn)，則AE+DE的最小值為（）

A.3B.2非C.2A/3D.5

【答案】B

【分析】由題意得，CG為-ACB的角平分線，在C8上截取◎尸C4可得△ACA,是等腰

直角三角形，繼而得到CG垂直平分44/,則出為點(diǎn)/關(guān)于CG的對稱點(diǎn)，連接出。，交

CG于點(diǎn)E,此時AE+DE最小，即4。的值，利用勾股定理求解即可.

由題意得，CG為-ACB的角平分線，

在C8上截取C4尸C4,

ZACB=90°,

.?.△AC4是等腰直角三角形，

:.CG±AAl,AG=AiG,即CG垂直平分

；?4為點(diǎn)/關(guān)于CG的對稱點(diǎn)，

連接/必，交CG于點(diǎn)E,

/.AE=AE,

此時AE+DE最小，即AiD的值，

AC=4,。為AC邊的中點(diǎn)，

=4,CD=2,

\D=^\C~+CD-=2-x/5,

即AE+OE=2?,

故選：B.

【我思故我在】本題考查了角平分線的定義、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的

性質(zhì)及勾股定理等，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在YABCD中，以點(diǎn)/為圓心，以適當(dāng)長度為半徑作弧分別交AB、AD于點(diǎn)人

F,再分別以點(diǎn)￡、尸為圓心，大于所一半的長度為半徑作弧，兩弧交于一點(diǎn)“，連接4/

并延長交DC于點(diǎn)G,若AB=5,A￡>=4,則CG的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)作圖過程可得/G平分皿8,再根據(jù)角平分線的定義和平行四邊形的性質(zhì)可

證明皿4G=0Z）GH進(jìn)而得到NZ）=DG=4,即可求出CG.

【詳解】解：根據(jù)作圖的方法可得AG平分ND4B,

0ZZMG=ZBAG,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

SCD//AB,CD=AB=5,

^\ZDGA=ZBAG,

SZDAG=ZDGA,

SAD=DG=4,

0CG=CD-￡）G=5-4=1,

故選：A.

【我思故我在】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的作法、等角對等邊；熟記平

行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖，在矩形/BCD中，連接NC,以點(diǎn)/為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別交

ADf4C于點(diǎn)￡,F,分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于1斯的長為半徑畫弧，兩弧在皿。內(nèi)

交于點(diǎn)G,作射線4G,交DC于點(diǎn)H.若/。=6,AB=8,則的面積為（）

A.24B.30C.15D.9

【答案】c

【分析】過8點(diǎn)作如圖，利用基本作圖得到平分皿C,則根據(jù)角平分線的

性質(zhì)得到。再利用勾股定理計算出/C=10,接著證明用得/〃=/〃=6,

所以CM=4,設(shè)CH=x,則介8-x,在RfACffiW中利用勾股定理得到(8-x)2+42=^,

解得尤=5,然后利用三角形面積公式計算A/77C的面積.

【詳解】解：過〃點(diǎn)作HA超C,如圖，

由作法得47平分皿4C,

0DH=MH,

回四邊形ABCD為矩形，

回C￡>=/8=8,

在7?/A/￡)C中，4c=(62+8,=10,

在Rt畦4DH和RtLAMH中，

(AH=AH

[DH=MH'

旦RtAADHSRtAAMH(HL),

^\AM=AD=6,

0CM-AC-AM=10-6=4,

設(shè)CH=x,貝ljDH=HM=8-x,

在必△CHM中，(8-x)2+42=7,

解得x=5,

aa4〃C的面積=1C〃-AO=LX5X6=15.

22

故選：C.

【我思故我在】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也

考查了角平分線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì).

15.如圖，在Rta48c中，0C=9O°,首先以頂點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，在邊BC、

8/上截取BE、BD-,然后分別以點(diǎn)。、E為圓心，大于;OE為半徑作弧，兩弧在回CR4內(nèi)

交于點(diǎn)尸;作射線3尸交/C于點(diǎn)G.若CG=4,尸為邊48上一動點(diǎn)，則G尸的最小值為（）

A.2B.4C.8D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及垂線段最短解決問題即可.

【詳解】解：過點(diǎn)G作于點(diǎn)P，

由尺規(guī)作圖步驟可得，BG平分的3C,

E0C=9O°,GP'^AB,CG=4,

EIGC=GP=4,

回尸為邊48上一動點(diǎn)，

回GP2GP,

回GP的最小值為4.

故選：B.

【我思故我在】本題考查了垂線段最短，角平分線的性質(zhì)定理等知識，熟記垂線段最短是解

題的關(guān)鍵.

16.如圖，小明在以陰為頂角的等腰三角形/2C中用圓規(guī)和直尺作圖，作出過點(diǎn)/的射線

交BC于點(diǎn)、D,然后又作出一條直線與48交于點(diǎn)E,連接。E,若勖皮）的面積為4,則0ABe

的面積為（）

A.1B.4C.12D.16

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積解答即可.

【詳解】解：由作圖可知，4D平分曲C,所垂直平分48

SiAE=BE

回5匚8￡。=；5口/8。=4,BPSUABD=8

^AB=AC,平分曲C,

SBD=DC,

SSLABD=^SUABC=8,BPSQABC=16.

故選D.

【我思故我在】本題主要考查復(fù)雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中線等知識點(diǎn)，解題的

關(guān)鍵是理解三角形的中線平分三角形的面積.

17.如圖，在YABCD中，AD>AB,按以下步驟作圖：

（1）以點(diǎn)/為圓心，的長為半徑作弧，交/。于點(diǎn)￡；

（2）分別以點(diǎn)8、￡為圓心，大于;BE的長為半徑作弧，兩弧在勖4D的內(nèi)部交于點(diǎn)G,

連接/G并延長交8c于點(diǎn)足若/8=5,BE=6,則/尸的長是（）

AED

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】設(shè)//交BE于證明四邊形/瓦咕是菱形，利用勾股定理求出即可.

【詳解】解：設(shè)AF交BE于H,

由題意得斗￡,//平分皿Z),

^BAF^\EAF,

團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

^AD^BC,

^EAF^AFB,

^BAF=^AFB,

⑦BF=AE,

^\AE^\BF,

團(tuán)四邊形AEFB是平行四邊形，

^\AB=EF,

^\AB=AE=EF=BF,

團(tuán)四邊形AEFB是菱形,

^AH=FHfBH=HE=3,AF^BE,

酎H=JAB2—BH2=4,

^\AF=2AH=8,

故選：C.

【我思故我在】此題考查了角平分線的作圖，菱形的判定定理及性質(zhì)定理，勾股定