材料力學(xué)研究的內(nèi)容

材料力學(xué)研究的內(nèi)容這篇文章對(duì)材料力學(xué)做一個(gè)小結(jié)，其目的一方面是為同學(xué)們學(xué)習(xí)材料力學(xué)提供一個(gè)參考，更主要的目的，是為進(jìn)入CAE提供一個(gè)入口。每門學(xué)科，都以某一類實(shí)際的物體為研究對(duì)象，考察他們某一個(gè)方面的性質(zhì)及其規(guī)律。材料力學(xué)也是如此。材料力學(xué)面對(duì)的是實(shí)際生活中的桿件受力問(wèn)題。桿件，是指這樣一種對(duì)象，它的一個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)尺寸。我們身體上的胳膊，腿，我們的5個(gè)手指頭，我們頭上的根根秀發(fā)，我們坐下的凳子腿，桌子腿，我們床架的橫梁，立柱，我們寫字用的鉛筆，吃飯用的筷子，家里面的水管，煤氣管道…只要是在幾何里面可以用線段來(lái)描述的實(shí)物，都可以看成是桿件。而在機(jī)械里面，桿件也廣泛存在。安裝軸系的軸是最明顯的桿件，其次，連桿機(jī)構(gòu)中的連桿，凸輪機(jī)構(gòu)中的推桿，氣缸中的活塞桿，油缸中的活塞桿，起連接作用的螺釘，螺栓，螺柱，銷子，以及構(gòu)成床身機(jī)架的方管，方鋼，圓管，圓鋼，工字鋼，角鋼，槽鋼，等等，均為桿件。無(wú)論是日常生活中的桿件，還是機(jī)械中常見(jiàn)的桿件，只要它們受力，就存在變形和斷裂的問(wèn)題。研究單根桿件的變形或斷裂問(wèn)題，考察如何設(shè)計(jì)這些桿件對(duì)象，使得它們?cè)谑芰Φ臅r(shí)候，不要發(fā)生過(guò)大的變形，不要斷裂，不要失去穩(wěn)定，而又希望用最少的材料能夠滿足要求，這就是材料力學(xué)的任務(wù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，研究單根桿件的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題，這就是材料力學(xué)的研究?jī)?nèi)容。上面描述了桿件的概念，下面說(shuō)明四種變形。有兩種最重要的獨(dú)立的力學(xué)要素：力和力偶。力偶是由大小相等，方向相反，不在一條直線上的兩個(gè)力構(gòu)成的，它的作用是使得物體加速旋轉(zhuǎn)。材料力學(xué)就考察一根桿件在力，力偶的作用下，它會(huì)如何變形，在內(nèi)部分子之間會(huì)產(chǎn)生多大的力，從而最終可能會(huì)導(dǎo)致桿件斷裂而失效。每根桿件都有一根軸線。如果在桿件的兩端，沿著軸線施加一對(duì)平衡力，這兩個(gè)力或者相對(duì)，或者相反。如果這兩總之，材料力學(xué)研究四種變形：拉壓，扭轉(zhuǎn)，彎曲，剪切。其中彎曲的低位最重要，所有的材料力學(xué)書籍，都不惜重墨，在這里花費(fèi)了很多的力氣來(lái)講解。除了這四種最基本的變形外，拉壓可以與彎曲相組合，扭轉(zhuǎn)也可以與彎曲相組合而發(fā)生復(fù)雜的變形，我們稱之為組合變形。在弄清楚基本變形的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題以后，組合變形就變得相對(duì)簡(jiǎn)單了。本文說(shuō)明材料力學(xué)的一個(gè)重要概念，內(nèi)力。并給出四種變形下內(nèi)力的計(jì)算方法。以拉伸變形為例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。如圖1-1所示，一根桿件在其兩端點(diǎn)受到沿著軸線相反的一對(duì)平衡力作用，它將被拉長(zhǎng)。可以想象，該桿件內(nèi)部的每根纖維都被拉伸。為了考慮其內(nèi)部相互作用力的情況，假想的用一個(gè)垂直于軸線的橫截面將該軸切斷（如圖1-2），然后取出左半段來(lái)研究（如圖1-3），則在切斷面上應(yīng)該受到右半段給它的力的作用，這些作用本來(lái)是右邊截面上的每個(gè)微元給左邊截面上每個(gè)微元的，本質(zhì)上是一個(gè)分布力系。這里考慮這個(gè)分布力系的總體作用效果，顯然這個(gè)分布力系可以被該截面上一個(gè)力FN所取代，這個(gè)力稱為內(nèi)力。（對(duì)于拉伸而言，這個(gè)力有一個(gè)更加特殊的名字，稱為軸力。）這樣，左半段（圖1-3）就只受到兩個(gè)力的作用，這兩個(gè)力應(yīng)該相等，從而可以知道，該內(nèi)力與外力F是等大的。這樣就得到了內(nèi)力的大小。上圖實(shí)際上就是拉伸變形時(shí)內(nèi)力的計(jì)算方法。該方法是在適當(dāng)?shù)牡胤饺∫粋€(gè)橫截面，然后切斷整根桿件，任意取一邊來(lái)研究。而這一邊在切斷面上受到的分布力系用一個(gè)總的力或者力偶來(lái)取代。根據(jù)這一邊的力系平衡，從而推出切斷面上的力的大小，這種方法稱為截面法。截面法是材料力學(xué)中求解內(nèi)力的基本方法。下面考慮扭轉(zhuǎn)變形。如圖2-1所示的軸，兩端受到兩個(gè)相等力偶的作用，為了考察內(nèi)部的受力情況，用一個(gè)假想的平面切斷這根軸（如圖2-2），然后任取一邊來(lái)研究（這里取右半段，如圖2-3），同樣，該切斷面會(huì)受到被舍棄的左段的切斷面上微元給它的力的作用。這些作用本質(zhì)上仍舊是分布力系。為便于研究，同樣將該力系簡(jiǎn)化。根據(jù)其受力情況，可以推測(cè)，簡(jiǎn)化的結(jié)果會(huì)是一個(gè)力偶（如圖2-3），該力偶稱為扭矩。根據(jù)該段的受力情況及力系平衡，可以知道，該扭矩與外加的力偶等大。這就是扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計(jì)算方法。下面考慮剪切變形。如圖3-1所示的軸，在一個(gè)截面很近的兩邊分別受到兩個(gè)等大的力F的作用，為了考察內(nèi)部的受力情況，在該截面處切斷這根軸，然后任取一邊來(lái)研究（這里左半段，如圖3-2），同樣，該切斷面會(huì)受到被舍棄的左段的切斷面上微元給它的力的作用。這些作用本質(zhì)上仍舊是分布力系。為便于研究，同樣將該力系簡(jiǎn)化。根據(jù)其受力情況，可以推測(cè)，簡(jiǎn)化的結(jié)果會(huì)是一個(gè)力（如圖3-2），該力稱為剪力。根據(jù)該段的受力情況及力系平衡，可以知道，該剪力與外加的力等大。這就是剪切內(nèi)力的計(jì)算方法。

最后考慮彎曲變形。如圖4-1所示的桿，兩端支撐，而在中間某處受到一個(gè)豎直向下的集中力，為了考察內(nèi)部的受力情況，用一個(gè)假想的平面切斷這根桿，然后取右半段來(lái)研究（如圖4-2），同樣，該切斷面會(huì)受到被舍棄的左段的切斷面上微元給它的力的作用。這些作用本質(zhì)上仍舊是分布力系。為便于研究，同樣將該力系簡(jiǎn)化。根據(jù)其受力情況，可以推測(cè)，簡(jiǎn)化的結(jié)果會(huì)是一個(gè)力和一個(gè)力偶（如圖4-2），該力稱為剪力，該力偶稱為彎矩。根據(jù)該段的受力情況及力系平衡，可以推出這兩個(gè)內(nèi)力的大?。ㄈ鐖D4-2）。這就是彎曲內(nèi)力的計(jì)算方法?？梢?jiàn)，四種基本變形的內(nèi)力計(jì)算方法都是一樣的?？梢韵胂?，在復(fù)雜的受力狀態(tài)下，桿件不同的截面上其內(nèi)力是不同的。如圖4-1所示，在集中力F的左右兩邊取截面，截面上的剪力和彎矩都會(huì)變化，而且是隨著距支座的距離的變化而變化。此即，內(nèi)力是隨著截面位置的變化而變化的。這種變化與其到某一個(gè)支座的距離有關(guān)（如圖4-1中的X），是它的函數(shù)。把該內(nèi)力與X的關(guān)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來(lái)，稱為內(nèi)力方程（如圖4-2左邊的兩個(gè)方程），而依據(jù)該方程可以在二維笛卡爾坐標(biāo)系中繪制出該內(nèi)力方程，它會(huì)是一個(gè)曲線圖，該曲線稱為內(nèi)力圖。下面的圖形說(shuō)明了上述思想。圖5圖5是一個(gè)繪制彎曲的內(nèi)力圖的例子。該圖的最上面一個(gè)圖是實(shí)際的受力圖，這是一個(gè)A,B兩點(diǎn)簡(jiǎn)單支撐的簡(jiǎn)支梁，在其上受到一個(gè)豎直向下的分布力系作用?？梢韵胂螅珹B之間的任意一個(gè)截面的內(nèi)力都是不一樣的。根據(jù)截面法，任意取一個(gè)截面，由其平衡，列出平衡方程，可以分別得到剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)它們分別繪制出中間的剪力圖和下面的彎矩圖。從圖中可以知道，A,B截面的剪力最大，而中間截面的彎矩最大。這些內(nèi)力大的截面就是危險(xiǎn)截面。一根桿件的斷裂就是從這些危險(xiǎn)截面開(kāi)始的。材料力學(xué)分析強(qiáng)度問(wèn)題，就是首先繪制內(nèi)力圖，找到危險(xiǎn)截面，然后在該危險(xiǎn)截面上進(jìn)一步找到危險(xiǎn)點(diǎn)，計(jì)算該危險(xiǎn)點(diǎn)的力是多少，并把該力與該材料所能夠承受的極限相比較，從而判斷它有沒(méi)有超過(guò)允許值。這樣來(lái)判斷桿件的安全性?，F(xiàn)在說(shuō)明應(yīng)力的概念。應(yīng)力是材料力學(xué)最核心的概念，它也是變形固體力學(xué)中最重要的概念?？梢哉f(shuō)，材料力學(xué)這門課程就是以應(yīng)力為中心而展開(kāi)的，所以，理解應(yīng)力至關(guān)重要。我們從簡(jiǎn)單的拉伸試驗(yàn)開(kāi)始考察斷裂現(xiàn)象,從而闡述應(yīng)力的概念。我們?cè)囍诜酃P的兩端用力拉它，一根粉筆粗（圖1-1），而另外一根粉筆細(xì)（圖1-2），我們可以看到，在這兩種情況下，這兩根粉筆的內(nèi)力是一樣的（圖1-3，圖1-4），但是毫無(wú)疑問(wèn)，較細(xì)的粉筆更容易被拉斷。這意味著，粉筆斷裂的原因不能簡(jiǎn)單的歸于內(nèi)力（這里相同的內(nèi)力，較細(xì)的更容易斷裂），而需要進(jìn)一步去考察內(nèi)力在截面上的分布。

實(shí)際上，我們需要過(guò)渡到截面上更細(xì)微的元素，比如說(shuō)一個(gè)點(diǎn)。如圖2-1所示，為了描述截面上一個(gè)點(diǎn)受到的力的集中程度，我們?cè)谠摻孛嫔线x取一個(gè)微小的面積，則這個(gè)微小的面積上可以認(rèn)為只受到一個(gè)集中力的作用。用該力除以面積并取極限，這就意味著一個(gè)點(diǎn)受力的緊張程度，這個(gè)極限稱為應(yīng)力（圖2-1）。顯然，應(yīng)力表達(dá)了當(dāng)桿件受力以后，一個(gè)點(diǎn)的緊張程度。當(dāng)這個(gè)應(yīng)力達(dá)到某種程度，而超過(guò)了材料所允許的程度后，構(gòu)件就會(huì)首先從這個(gè)點(diǎn)開(kāi)始斷裂，然后裂紋產(chǎn)生，并向周圍擴(kuò)展，直到整個(gè)構(gòu)件被破壞。上面定義的應(yīng)力顯然是一個(gè)矢量，它的方向由ΔP決定，而ΔP可以取空間的任意方向。為了便于研究，我們把這個(gè)應(yīng)力向垂直于截面和在平面內(nèi)兩個(gè)方向分解，得到兩個(gè)應(yīng)力分量。垂直于截面的那個(gè)應(yīng)力分量我們稱為正應(yīng)力，記做σ；而在截面內(nèi)的那個(gè)應(yīng)力分量我們稱為切應(yīng)力，記做τ（圖2-2）。下面我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的變形而言，有的截面上只有正應(yīng)力，而有的只有切應(yīng)力，而有的同時(shí)有二者。首先考慮拉伸的應(yīng)力。如圖3所示，圖3中的上圖是用截面法后的圖形，右邊截面上的內(nèi)力是FN,該內(nèi)力是由很多正應(yīng)力合成的?？梢酝茢啵谠摻孛嫔?，正應(yīng)力均勻分布（見(jiàn)圖3-中圖），這樣，正應(yīng)力乘以面積就得到內(nèi)力，從而可以得出應(yīng)力的公式（見(jiàn)圖3-下圖）。從該公式可以知道，截面上內(nèi)力越大，而截面積越小，則正應(yīng)力越大，而且正應(yīng)力在面上是均勻分布的。接下來(lái)考慮扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力。由圖4的右上方扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力圖，知道截面上只有一個(gè)扭矩存在。該截面的右視圖見(jiàn)圖4-中圖。該截面的扭矩顯然是由截面內(nèi)的應(yīng)力合成的。而截面內(nèi)的應(yīng)力只能是切應(yīng)力。那么這些切應(yīng)力在截面內(nèi)還是均勻分布的嗎？經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)并非如此。實(shí)際上，從中心往外走，應(yīng)力越來(lái)越大，到外圓處達(dá)到最大，而且切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的推導(dǎo)，得到切應(yīng)力的公式見(jiàn)圖3-右下公式。從該公式可以看到，截面上每點(diǎn)的切應(yīng)力與該截面的扭矩MT成正比。扭矩越大，則分布在該截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力越大；ρ—是該點(diǎn)到圓心的距離。距離越遠(yuǎn)，則應(yīng)力越大；Ip---是極慣性矩，它是表達(dá)截面的慣性的一個(gè)幾何量，純粹由截面的幾何形狀和尺寸所決定。該量越大，就意味著截面的慣性越大，越是不容易變形。對(duì)于圓形截面而言，極慣性矩完全由圓的直徑D所確定（圖3-右下公式）。接下來(lái)的剪切應(yīng)力比較簡(jiǎn)單。圖5-右上圖是其內(nèi)力圖。該截面投影的右視圖見(jiàn)圖5-中圖。這是一個(gè)圓形，截面內(nèi)存在一個(gè)合力FQ.同樣，這個(gè)合力一定是截面內(nèi)分布的切應(yīng)力的合作用效果。那么，在該截面內(nèi)部，切應(yīng)力是怎么分布的呢？經(jīng)過(guò)研究，可以認(rèn)為，該截面內(nèi)部，切應(yīng)力是均勻分布的。其公式件圖5-右下公式?？梢?jiàn)，切應(yīng)力與該截面內(nèi)的剪力成正比，而與截面積成反比。最后來(lái)到彎曲。圖6-上圖是用截面法求一個(gè)截面的內(nèi)力（左面是截面）。該截面上本來(lái)是有一個(gè)剪力和彎矩的。經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，剪力所起的作用很小，所以這里忽略，只考慮彎矩。顯然，該彎矩是由很多垂直于截面的正應(yīng)力合成的。那么，這些正應(yīng)力在該截面上是均勻分布的嗎？經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，并非如此。實(shí)際上，該桿的中間有一個(gè)平面，截面上沒(méi)有正應(yīng)力。而往上走，應(yīng)力越來(lái)越大，而且所有的正應(yīng)力方向都指向截面內(nèi)部，這種正應(yīng)力是壓應(yīng)力。而從中面往下走，應(yīng)力也越來(lái)越大，而所有的應(yīng)力都離開(kāi)截面向外，稱為拉應(yīng)力。而且還發(fā)現(xiàn)，每個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力與距中面的距離成正比。經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的推導(dǎo)，最后得到圖6-正下的彎曲正應(yīng)力公式。該公式中的M就是截面內(nèi)的彎矩，而Y是某點(diǎn)到中面的距離，IZ是截面的慣性矩。該慣性矩也是由截面的幾何性質(zhì)唯一的確定的，對(duì)于矩形截面，其公式見(jiàn)圖6-右下公式?？梢?jiàn)，該慣性矩與截面的寬度成正比，而與高度的三次方成正比。所以，截面的高度對(duì)慣性矩影響很大。從彎曲正應(yīng)力公式（圖6-正下公式）可以知道，截面上的彎矩越大，則正應(yīng)力越大；而某點(diǎn)到中面的距離越遠(yuǎn)，則應(yīng)力越大；截面的慣性矩越大，則相應(yīng)的各個(gè)點(diǎn)的正應(yīng)力越小。

總之，我們可以看到，應(yīng)力表達(dá)了受力桿件內(nèi)某一個(gè)點(diǎn)的力集中程度。為便于研究，我們把應(yīng)力分為正應(yīng)力和切應(yīng)力。對(duì)于拉伸和彎曲而言，截面上是正應(yīng)力；對(duì)扭轉(zhuǎn)和剪切而言，截面上是切應(yīng)力。就分布而言，拉伸和剪切時(shí)，截面上應(yīng)力均勻分布；對(duì)于扭轉(zhuǎn)和彎曲而言，越往外，應(yīng)力越大?？梢?jiàn)，在任何一種情況下，桿件的表面都是最危險(xiǎn)的。所以，為了增加桿件的強(qiáng)度，我們都會(huì)進(jìn)行表面改性，例如淬火，正火，滲碳，滲氮等，以加強(qiáng)表面的強(qiáng)度。這篇文章舉一個(gè)強(qiáng)度問(wèn)題的例子，說(shuō)明在設(shè)計(jì)實(shí)踐中，材料力學(xué)如何用來(lái)求解強(qiáng)度問(wèn)題。如圖1所示的外伸梁，長(zhǎng)6米，截面為正方形，其寬度和高度都是200毫米。外伸梁上作用一個(gè)10KN/m的分布載荷和20KN的集中載荷如圖。該梁的許用應(yīng)力是20MPa.試確定該梁的強(qiáng)度是否合格。首先計(jì)算支座B和D處的反作用力。這樣繪制受力圖如圖2所示。由于該梁處于平衡狀態(tài)，因此它應(yīng)該滿足一個(gè)物體的三個(gè)平衡方程：水平方向上所有力相加為零；豎直方向上所有力相加為零；以及所有力對(duì)任何一個(gè)點(diǎn)取矩之和為零。由于圖2中只有兩個(gè)未知數(shù)，這里根據(jù)實(shí)際情況，只列出兩個(gè)方程。

求解上面兩個(gè)方程，得到如下結(jié)果

把這兩個(gè)結(jié)果替代圖2中的兩個(gè)未知力，得到圖3.現(xiàn)在，需要根據(jù)進(jìn)行梁內(nèi)部截面的內(nèi)力分析。根據(jù)前面內(nèi)力篇中的截面法，對(duì)各個(gè)截面列出方程，然后繪制出內(nèi)力圖如圖4所示。圖4的最上面圖來(lái)自于圖3的拷貝，根據(jù)這張圖，得到的中間圖是彎曲內(nèi)力的剪力圖，最下面這張是彎矩圖。我們最關(guān)心的是彎矩圖。對(duì)于這張圖，我們可以看到，從A到B截面，彎矩的絕對(duì)值在逐漸的增加到20KNM，而后從B到C,彎矩的絕對(duì)值首先減小到零，然后又增加到10KN.M,到C截面后，接著彎矩又開(kāi)始減小，到D截面時(shí)，彎矩減小到零。這樣，我們可以明白，這根梁最危險(xiǎn)的截面是B截面，其上的彎矩是20KNM，這就是我們關(guān)注的焦點(diǎn)，稱之為危險(xiǎn)截面?，F(xiàn)在我們來(lái)到這個(gè)危險(xiǎn)截面，從前面的彎曲應(yīng)力公式我們知道，這個(gè)截面上不同的點(diǎn)，其應(yīng)力是不一樣的，越往中面的上下走，應(yīng)力越大，到表面達(dá)到最大。我們要考察最外面應(yīng)力到底有多大。根據(jù)公式

代入這的具體數(shù)據(jù)，即最大彎矩是20KNM，YMAX是截面高度的一半，而IZ由截面的幾何性質(zhì)完全確定，得到

從而我們可以知道

因此，該最危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力是小于許用應(yīng)力的。所以該梁的強(qiáng)度是安全的。所謂安全，就是說(shuō)，這根梁是不會(huì)斷裂，或者不會(huì)發(fā)生很大的塑性變形。上述例子是材料力學(xué)理論最重要的應(yīng)用。它是用來(lái)計(jì)算該梁是否安全，是強(qiáng)度問(wèn)題的一種類型。實(shí)際上，有三種常見(jiàn)的強(qiáng)度問(wèn)題。第一種，強(qiáng)度的校核。已知梁的尺寸及受力，要考察它是否安全，上述例子就是如此。第二種，截面的設(shè)計(jì)。給定了梁的長(zhǎng)度及受力，要設(shè)計(jì)一下它的截面尺寸。對(duì)于該問(wèn)題，方法與上面的求解過(guò)程類似，只不過(guò)截面尺寸成為未知數(shù)。第三種，計(jì)算許用載荷。給定了梁的長(zhǎng)度截面，要考察它上面可以承受多大的力，才不至于發(fā)生斷裂或者過(guò)大的塑性變形。計(jì)算方法也與上面的過(guò)程類似。實(shí)際上，三種強(qiáng)度問(wèn)題的求解步驟都是四步：第一步，外力分析。根據(jù)受力平衡把支座的反作用力求出來(lái)。第二部，內(nèi)力分析。計(jì)算截面的內(nèi)力把內(nèi)力圖繪制出來(lái)，從而找到危險(xiǎn)截面。第三步，應(yīng)力分析。把危險(xiǎn)截面上最危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力求出來(lái)，這步只需要代入應(yīng)力公式。第四步，強(qiáng)度的校核或計(jì)算。根據(jù)得到的危險(xiǎn)應(yīng)力，與許用應(yīng)力相比較；如果沒(méi)有超過(guò)許用應(yīng)力，就算合格。如果超過(guò)了，則梁很危險(xiǎn)，需要重新設(shè)計(jì)。材料力學(xué)研究三大問(wèn)題：強(qiáng)度問(wèn)題，剛度問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題。上篇對(duì)強(qiáng)度問(wèn)題做了一個(gè)簡(jiǎn)要的小結(jié)，而本篇?jiǎng)t對(duì)剛度問(wèn)題做個(gè)迅速的小結(jié)。所謂剛度，是指物體抵抗變形的一種能力。而剛度問(wèn)題，是說(shuō)希望某結(jié)構(gòu)在受力以后變形不要超過(guò)某個(gè)許可值。比如下圖所示的鉆床，在鉆孔時(shí)，鉆頭受到一個(gè)向上的力，該力會(huì)使得鉆床的橫梁和立柱發(fā)生變形如圖。如果變形太大，這會(huì)使得鉆頭改變方向，從而使得孔鉆偏。因此，在設(shè)計(jì)鉆