9年級(jí)數(shù)學(xué)教案

28.1.1圓的認(rèn)識(shí)

知識(shí)與能力：使學(xué)生理解圓、等圓、等弧、圓心角等概念

過程與方法：讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)圓中的基本概念

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生觀察事物的能力

教學(xué)重點(diǎn)圓中的基本概念的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)難點(diǎn)對(duì)等弧概念的理解。

教學(xué)過程

（一）情境導(dǎo)入：圓是如何形成的？

請(qǐng)同學(xué)們畫一個(gè)圓，并從畫圓的過程中闡述圓是如何形成的。如右圖，線段

0A繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形。

同學(xué)們想一想，如何在操場(chǎng)上畫出一個(gè)很大的圓？說說你的方法。

由以上的畫圓和解答問題的過程中，讓同學(xué)們思考圓的位置是由什么決定的？

而大小又是由誰決定的？（圓的位置由圓心決定，圓的大小由半徑長(zhǎng)度決定）

（二）問題：

據(jù)統(tǒng)計(jì)，某個(gè)學(xué)校的同學(xué)上學(xué)方式是，有50%的同學(xué)步行上學(xué)，有20%的同學(xué)

坐公共汽車上學(xué)，其他方式上學(xué)的同學(xué)有30%,請(qǐng)你用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映這個(gè)學(xué)校

學(xué)生的上學(xué)方式。

圖28.1.1

我們是用圓規(guī)畫出一個(gè)圓，再將圓劃分成一個(gè)個(gè)扇形，右上圖28.1.1就是反映

學(xué)校學(xué)生上學(xué)方式的扇子形統(tǒng)計(jì)圖。

如圖28.1.2,線段0A、OB、0C都是圓的半徑，線段AB為直徑，.這個(gè)以點(diǎn)0為

圓心的圓叫作“圓0”，記為“。0”。

線段AB、BC、AC都是圓0中的弦，曲線BC、BAC都是圓中的弧，分別記為2、

BAC,其中像弧S?這樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧,

像弧京.這樣的大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。

NAOB、ZAOC,NB0C就是圓心角。

結(jié)合上面的扇形統(tǒng)計(jì)圖，進(jìn)一步闡述圓心角、優(yōu)弧、劣弧等圓中的基本元素。

三、課堂練習(xí)

1、直徑是弦嗎？弦是直徑嗎？

2、半圓是弧嗎？弧是半圓嗎？

3、半徑相等的兩個(gè)圓是等圓，而兩段弧相等需要什么條件呢？

4、比較右圖中的三條弧，先估計(jì)它們所在圓的半徑的大小關(guān)系，再用圓規(guī)

驗(yàn)證你的結(jié)論是否正確。

5、說出上右圖中的圓心角、優(yōu)弧、

6、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦嗎？為什么?

（四）小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)本節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了圓中的一些元素，同學(xué)應(yīng)能從具體的圖形中對(duì)這些元素加

以識(shí)別。

作業(yè)：習(xí)題28.1第1題

教學(xué)反思：

28.1.2圓的對(duì)稱性

知識(shí)與能力：使學(xué)生知道圓是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，并能運(yùn)用其特有的性

質(zhì)推出在同一個(gè)圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系

過程與方法：能運(yùn)用這些關(guān)系解決問題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生善于從實(shí)驗(yàn)中獲取知識(shí)的科學(xué)的方法。

教學(xué)重點(diǎn)由實(shí)驗(yàn)得到同一個(gè)圓中，圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用同一個(gè)圓中，圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系解決問題。

教學(xué)過程

（一）情境導(dǎo)入

要同學(xué)們畫兩個(gè)等圓，并把其中一個(gè)圓剪下，讓兩個(gè)圓的圓心重合，使得其

中一個(gè)圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)，可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)圓都是互相重合的。如果沿著任意一條

直徑所在的直線折疊，圓在這條直線兩旁的部分會(huì)完全重合。

由以上實(shí)驗(yàn)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圓是中心對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱中心是哪一點(diǎn)？圓不

僅是中心對(duì)稱圓形，而且還是軸對(duì)稱圖形，過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸。

（二）實(shí)踐與探索1

1、同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等。

圖28.1.3

實(shí)驗(yàn)1、將圖形28.1.3中的扇形AOB繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度，得到圖28.1.4

中的圖形，同學(xué)們可以通過比較前后兩個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)=AB=AB,

AB=AB.

實(shí)質(zhì)上，NAOB確定了扇形AOB的大小，所以，在同一個(gè)圓中，如果圓心

角相等，那么它所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。

問題：在同一個(gè)圓中，如果弧相等，那么所對(duì)的圓心角，所對(duì)的弦是否相等

呢？

在同一個(gè)圓中，如果弦相等，那么所對(duì)的圓心角，所對(duì)的弧是否相等呢？

（三）應(yīng)用與拓展思考：如圖，在一個(gè)半徑為6米的圓形花壇里，準(zhǔn)備種植六

種不同顏色的花卉，要求每種花卉的種植面積相等，請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)種植方案。

如圖28.1.5,在。0中，AC=BC,Zl=45°,求N2的度數(shù)。

4）如圖，是直徑，BC=CD=DE,NBOC=40°,求乙仞S'的度數(shù)

（四）小結(jié)與作業(yè)

本節(jié)課我們通過實(shí)驗(yàn)得到了圓不僅是中心對(duì)稱圖形，而且還是軸對(duì)稱

圖形，而由圓的對(duì)稱性又得出許多圓的許多性質(zhì)，即（1）同一個(gè)圓中，相等的

圓心角所對(duì)弧相等，所對(duì)的弦相等。（2）在同一個(gè)圓中，如果弧相等，那么所

對(duì)的圓心角，所對(duì)的弦相等。（3）在同一個(gè)圓中，如果弦相等，那么所對(duì)的圓

心角，所對(duì)的弧相等。

教學(xué)反思：

3

圓的對(duì)稱性(2)

知識(shí)與能力：知道圓是軸對(duì)稱圖形，并會(huì)用它推導(dǎo)出垂徑定理。

教程與方法：能運(yùn)用垂徑定理解決問題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生善于從實(shí)驗(yàn)中獲取知識(shí)的科學(xué)的方法。

教學(xué)重點(diǎn)知道圓是軸對(duì)稱圖形，并會(huì)用它推導(dǎo)出垂徑定理

教學(xué)難點(diǎn)能運(yùn)用垂徑定理解決問題

教學(xué)過程

(一)實(shí)驗(yàn)情境導(dǎo)入

我們知道圓是軸對(duì)稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸,

由此我們可以如圖28.1.6那樣十分簡(jiǎn)捷地將一個(gè)圓2等分、4等分、8等分.

圖28.1.6

試一試

如圖如果在圖形紙片上任意畫一條垂直于直徑切的弦46,垂足為尸，再將

紙片沿著直徑切對(duì)折，比較4尸與傲眾與滂，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

你的結(jié)論是：____________________________________________

這就是我們這節(jié)課要研究的問題。

(二)應(yīng)用與拓展

例1、如圖，46是。。的直徑，弦5，于M

1、BC=1cm,4〃=4cm,那么故=cm，AC=

cm,0的周長(zhǎng)為cm.

2、若CD=8,AB=10,則0M=

3、若BM=1,CD=8,則0C=

例2、如圖已知以點(diǎn)0為公共圓心的兩個(gè)同心圓，大圓的弦AB交小

圓于點(diǎn)C、D(1)試說明線段AC與BD的大小關(guān)系。

(2)若AB=8,CD=4,求圓環(huán)的面積。

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例3、在直徑為10的圓柱形油桶內(nèi)裝入一些油后，截面如圖示，

如果油面寬AB=8,那么油的最大深度是

（三）小結(jié)與作業(yè)

教學(xué)反思：

28.1.3圓周角

知識(shí)與能力：知道什么樣的角是圓周角，r解圓周角和圓心角的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角的

特征

過程與方法：能應(yīng)用圓心角和圓周角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征解決相關(guān)問題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過對(duì)圓心角和圓周角關(guān)系的探索，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、

猜想、論證，從而得到新知。進(jìn)一步體會(huì)分類討論的思想。

教學(xué)重點(diǎn)：1、了解圓周角和圓心角的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角的特征

2、能應(yīng)用圓心角和圓周角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征解決相關(guān)問題

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圓心角和圓周角關(guān)系的探索，分類思想的應(yīng)用。

教學(xué)過程：

（一）情境導(dǎo)入

如下圖，同學(xué)們能找到圓心角嗎？它具有什么樣的特征？（頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交

的角叫做圓心角），今天我們要學(xué)習(xí)圓中的另一種特殊的角，它的名稱叫做圓周角。

如下圖，同學(xué)們能找到圓心角嗎？它具有什么樣的特征？（頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角

叫做圓心角），今天我們要學(xué)習(xí)圓中的另一種特殊的角，它的名稱叫做圓周角。

5

（二）實(shí)踐與探索1:圓周角

究竟什么樣的角是圓周角呢？像圖（3）中的解就叫做圓周角，而圖（2）、（4）、（5）中

的角都不是圓周角。同學(xué)們可以通過討論歸納如何判斷一個(gè)角是不是圓周角。（頂點(diǎn)在圓上,

兩邊與圓相交的角叫做圓周角）練習(xí)：試找出圖中所有相等的圓周角。

（第1題）

圖28.1.9

（三）實(shí)踐與探索2：

圓周角的度數(shù)

（-）探究半圓或直徑所對(duì)的圓周角等于多少度？而90。的圓周角所對(duì)的弦是否是直徑

如圖28.1.9,線段AB是。0的直徑，點(diǎn)C是。0上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)/、8）,那么，NACB

就是直徑46所對(duì)的圓周角.想想看，/力⑦會(huì)是怎么樣的角？為什么呢？

啟發(fā)學(xué)生用量角器量出NAC3的度數(shù)，而后讓同學(xué)們?cè)佼嫀讉€(gè)直徑AB所對(duì)的圓周角，并

測(cè)量出它們的度數(shù)，通過測(cè)量，同學(xué)們感性認(rèn)識(shí)到直徑所對(duì)的圓周角等于90。（或直角），

進(jìn)而給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明。

證明：因?yàn)镺A=OB=OC,所以△/%、△80。都是等腰三角形，所以N如AOBC

[80

=ZOCB.又ZOAC+ZOBC+ZACB=180°,所以ZACB=ZOCA+ZOCB=——

2

=90°.因此，不管點(diǎn)。在。。上何處（除點(diǎn)/、6）,乙仞?總等于90°,即

半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°（直角）。反過來也是成立的，即90°的圓

周角所對(duì)的弦是圓的直徑

（二）探究同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系

1、分別量一量圖28.1.10中弧AB所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)比較一下.再變動(dòng)點(diǎn)。在圓周

上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化.你發(fā)現(xiàn)其中有什么規(guī)律嗎？

/戈、（2）分別量出圖28.1.10中弧48所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，比

較一下，你發(fā)現(xiàn)什么？

、於W我們可以發(fā)現(xiàn)，圓周角的度數(shù)沒有變化.并且圓周角的度數(shù)恰好為同

興一’弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半。

S28.1.10由上述操作可以猜想：在一個(gè)圓中，一條弧所對(duì)的任意一個(gè)圓周角的

6

大小都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半.

為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，如圖28.L11所示，可將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過圓心。和圓周角的頂

點(diǎn)C,這時(shí)可能出現(xiàn)三種情況：（1）折痕是圓周角的一條邊，（2）折痕在圓周角的內(nèi)部,

（3）折痕在圓周角的外部。

圖28.1.11

（三）應(yīng)用與拓展D，

1、在同一個(gè)圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等嗎？為什么？相等的圓周角（

所對(duì)的弧相等嗎，為什么？A

2、你能找出右圖中相等的圓周角嗎？

3、這是一個(gè)圓形的零件，你能告訴我，它的圓心的位置嗎？你有什么簡(jiǎn)捷的辦

法？

1、如圖，如圖28.1.12,16是。。的直徑，ZA=80°.求/46c的度數(shù).

在圓中，一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角分別為（2x+100）°和（5x—30）°,

求這條弧所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù).

（四）課后小結(jié)本節(jié)課我們一同探究了同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；由這個(gè)結(jié)論進(jìn)一步得到：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)

的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；相等的圓周角所對(duì)的弧相等；半圓或直

徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑

等結(jié)論，希望同學(xué)們通過復(fù)習(xí)，記住這些知識(shí)，并能做到靈活應(yīng)用他們解決相關(guān)問題。

課后作業(yè)：課本43頁習(xí)題6、7

教學(xué)反思:

28.2.1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

7

知識(shí)與能力：了解點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，能夠用數(shù)量關(guān)系來判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

過程與方法：掌握不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，能畫出三角形的外接圓,求出特殊三角

形的外接圓的半徑

情感態(tài)度與價(jià)值觀：滲透方程思想，分類討論思想。

教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，用尺規(guī)作三角形的外接圓，求直角三角形、等

邊三角形和等腰三角形的半徑。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用方程思想求等腰三角形的外接圓半徑。

教學(xué)過程：

（一）情境導(dǎo)入

同學(xué)們看過奧運(yùn)會(huì)的射擊比賽嗎？射擊的靶子是由許多圓組成的，射

擊的成績(jī)是由擊中靶子不同位置所決定的；右圖是一位運(yùn)動(dòng)員射擊10發(fā)

子彈在靶上留下的痕跡。你知道這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)嗎？請(qǐng)同學(xué)們算一算。

（擊中最里面的圓的成績(jī)?yōu)?0環(huán)，依次為9、8、…、1環(huán)）

這一現(xiàn)象體現(xiàn)了平面上的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)

系呢？這就是本節(jié)課研究的課題。

（二）實(shí)踐與探索1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

我們知道圓上的所有點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，若點(diǎn)在圓上，那么這個(gè)點(diǎn)到圓心的距

離等于半徑，若點(diǎn)在圓外，那么這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，若點(diǎn)在圓內(nèi)，那么這個(gè)點(diǎn)到

圓心的距離小于半徑。

如圖28.2.1,設(shè)。。的半徑為八/點(diǎn)在圓內(nèi)，5點(diǎn)在圓上，。點(diǎn)在圓外，那的<r,OB=r,

OOr.反過來也成立，即

若點(diǎn)A在。。內(nèi)

若點(diǎn)A在O0上<=^>OA=ry"僑、

若點(diǎn)A在<30外<=>OA>r7'

圖28.2.1

思考與練習(xí)

1、。。的半徑r=5c?n,圓心0到直線的AB距離d="）=3c7%。在直線AB上有P、Q、R

三點(diǎn)，且有PD=4C7??,QD>4cm,RD<4cm?P、Q、R三點(diǎn)對(duì)于G）0的位置各是怎么

樣的？

2、RtABC中，ZC=90°,CDLAB,AB=13,AC=5,對(duì)C點(diǎn)為圓心，如為

13

半徑的圓與點(diǎn)A、B、D的位置關(guān)系是怎樣的？

（三）實(shí)踐與探索2：不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

問題與思考：平面上有一點(diǎn)A,經(jīng)過A點(diǎn)的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？平面上有兩點(diǎn)A、B,

經(jīng)過A、B點(diǎn)的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？平面上有三點(diǎn)A、B、C,經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓有

8

幾個(gè)？圓心在哪里？O

從以上的圖形可以看到，經(jīng)過平面上一點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，這些圓的圓心分布在整個(gè)平

面；經(jīng)過平面上兩點(diǎn)的圓也有無數(shù)個(gè)，這些圓的圓心是在線段AB的垂直平分線上。經(jīng)過A、

B、C三點(diǎn)能否畫圓呢？同學(xué)們想一想，畫圓的要素是什么？（圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q

定圓的大?。躁P(guān)鍵的問題是定其加以和半徑。

如圖28.2.4,如果力、B、。三點(diǎn)不在一條直線上，那么經(jīng)過從8兩點(diǎn)所畫的圓的圓心

在線段46的垂直平分線上，而經(jīng)過6、C兩點(diǎn)所畫的圓的圓心在線段力的垂直平分線上，

此時(shí)，這兩條垂直平分線一定相交，設(shè)交點(diǎn)為。，則》=如=0。，于是以。為圓心，》為

半徑畫圓，便可畫出經(jīng)過4、B、。三點(diǎn)的圓.

思考：如果A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，能畫出經(jīng)過三點(diǎn)的圓嗎？為什么？

即有：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

也就是說，經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，并且只能畫一個(gè).經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)

的圓叫做三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.這個(gè)三角形叫做這

個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形三個(gè)

頂點(diǎn)的距離相等。

思考：隨意畫出四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一條直線上，是否一定可以畫一個(gè)圓經(jīng)過這四

點(diǎn)？請(qǐng)舉例說明。

（四）應(yīng)用與拓展.C

例1、如圖，已知RrA3C中，NC=90。，若AC=5cm,

BC=l2cm,求AABC的外接圓半徑。\

解：略例;777二^A

例2、如圖，已知等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為6CTW,求它的外接圓半徑。

解：略

9

例3、如圖，等腰ABC中，AB=AC=13cm,BC=\Ocm,求ABC外接圓的半徑。

（四）課后小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和不在同一直線上

的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，求解了特殊三角形直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的外接圓半徑,

在求解等腰三角形外接圓半徑時(shí)，運(yùn)用了方程的思想，希望同學(xué)們能夠掌握這種方法，領(lǐng)會(huì)

其思想。

課后作業(yè)：習(xí)題1、2、3、4

教學(xué)反思：

28.2.2直線與圓的位置關(guān)系

知識(shí)與能力：使學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系

過程與方法：能用數(shù)量來判斷直線與圓的位置關(guān)系。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步體會(huì)分類討論思想。

教學(xué)重點(diǎn)用數(shù)量關(guān)系（圓心到直線的距離）判斷直線與圓的位置關(guān)系

教學(xué)難點(diǎn)用數(shù)量關(guān)系（圓心到直線的距離）判斷直線與圓的位置關(guān)系

教學(xué)過程

（-）情境導(dǎo)入：用移動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)系

10

1、同學(xué)們也許看過海上日出，如右圖中，如果我們把太陽看作一個(gè)圓，那么太陽在升

起的過程中，它和海平面就有右圖中的三種位置關(guān)系。

2、請(qǐng)同學(xué)在紙上畫一條直線，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動(dòng)硬幣，你能發(fā)現(xiàn)直線與圓

的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況嗎？公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最少時(shí)有幾個(gè)？最多時(shí)有幾個(gè)？

(二)實(shí)驗(yàn)與探究1：

數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系從以上的兩個(gè)例子，可以看到，直線與圓的位置關(guān)系只

有以下三種，如下圖所示：如果一條直線與一個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這條直線與這個(gè)圓

相離，如圖28.2.6(1)所示.如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這條直

線與這個(gè)圓相切，如圖28.2.6(2)所示.此時(shí)這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切

點(diǎn).如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這條直線與這個(gè)圓相交，如圖28.2.6

(3)所示.此時(shí)這條直線叫做圓的割線.

如何用數(shù)量來體現(xiàn)圓與直線的位置關(guān)系呢？

圖28.2.6

如上圖，設(shè)。〃的半徑為r,圓心。到直線/的

如何用數(shù)量來體現(xiàn)圓與直線的位置關(guān)系呢？

如上圖，設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為a從圖中可以看出:

若d>r直線/與。。相離；

若d=r弋一直線/與。。相切；

若dvr直線，與。。相交；

11

所以，若要判斷圓與直線的位置關(guān)系，必須對(duì)圓心到直線的距離與圓的半徑進(jìn)行比較大小,

由比較的結(jié)果得出結(jié)論。

（三）應(yīng)用與拓展

練習(xí)1、已知圓的半徑等于5厘米，圓心到直線/的距離是：

（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.

直線/和圓分別有幾個(gè)公共點(diǎn)？分別說出直線/與圓的位置關(guān)系。

練習(xí)2、已知圓的半徑等于10厘米，直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求圓心到直線的距離.

練習(xí)3、如果。。的直徑為10厘米，圓心0到直線46的距離為10厘米，那么O0與直線

AB有怎樣的位置關(guān)系？

例1、RtAABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,CM_LAB于M,以C為圓心,CM為半徑作。C,則

點(diǎn)A、B、C、AB的中點(diǎn)E與。C的位置關(guān)系分別是、、、—。

解略

（四）課后小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)我們判斷直線與圓的位置關(guān)系

時(shí)，應(yīng)該用數(shù)量關(guān)系（圓心到直線的距離）來體現(xiàn)，即上面講解的圓心到直線的距離與圓的

半徑進(jìn)行比較大小，從而斷定是哪種關(guān)系。

若d>r<=>直線/與。。相離：

若d=r直線］與。。相切；

若d<r直線/與。。相交；

課后作業(yè)：習(xí)題5、6、7

教學(xué)反思：

28.2.3切線（1）

知識(shí)與能力：使學(xué)生掌握切線的識(shí)別方法，并能初步運(yùn)用它解決有關(guān)問題

過程與方法：通過切線識(shí)別方法的學(xué)習(xí)

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問題的能力

教學(xué)重點(diǎn)：切線的識(shí)別方法

教學(xué)難點(diǎn)：方法的理解及實(shí)際運(yùn)用

教學(xué)過程：

（-）復(fù)習(xí)情境導(dǎo)入：1、復(fù)習(xí)、回顧直線與圓的三種位置關(guān)系.

2、請(qǐng)學(xué)生判斷直線和圓的位置關(guān)系.

學(xué)生判斷的過程，提問：你是怎樣判斷出圖中的直線和圓相切的？根據(jù)學(xué)生的回答，繼續(xù)

12

提出問題：如何界定直線與圓是否只有一個(gè)公共點(diǎn)？教師指出，根據(jù)切線的定義可以識(shí)別

一條直線是不是圓的切線，但有時(shí)使用定義識(shí)別很不方便，為此我們還要學(xué)習(xí)識(shí)別切線的

其它方法.（板書課題）

（二）實(shí)踐與探索1:圓的切線的判斷方法1、由上面的復(fù)習(xí)，我們可以把上節(jié)課所學(xué)的切線

的定義作為識(shí)別切線的方法1一—定義法：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.

2、當(dāng)然，我們還可以由上節(jié)課所學(xué)的用圓心到直線的距離d與半徑廠之間的關(guān)系來判斷直

線與圓是否相切，即：當(dāng)"=r時(shí)，直線與圓的位置關(guān)系是相切.以此作為識(shí)別切線的方法

2——數(shù)量關(guān)系法：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線.

3、實(shí)驗(yàn)：作。0的半徑0A,過A作1L0A可以發(fā)現(xiàn)：（1）直線/經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)A；

（2）直線/垂直于半徑OA.這樣我們就得到了從位置上來判/、

斷直線是圓的切線的方法3——位置關(guān)系法：經(jīng)過半徑的外端[.0；,

且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.\）

三、課堂練習(xí)-----——

思考：現(xiàn)在，任意給定一個(gè)圓，你能不能作出圓的切線？

應(yīng)該如何作？

請(qǐng)學(xué)生回顧作圖過程，切線/是如何作出來的?它滿足哪些條件？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：①經(jīng)過

半徑外端；②垂直于這條半徑.

請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)思考：這兩個(gè)條件缺少一個(gè)行不行？（學(xué)生畫出反例圖）

（圖1）（圖2）圖（3）

圖（1）中直線/經(jīng)過半徑外端，但不與半徑垂直；圖（2）中直線/與半徑垂直，但不經(jīng)過半

徑外端.從以上兩個(gè)反例可以看出，只滿足其中一個(gè)條件的直線不是圓的切線.

最后引導(dǎo)學(xué)生分析，方法3實(shí)際上是從前一節(jié)所講的“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)直線

和圓相切”這個(gè)結(jié)論直接得出來的，只是為了便于應(yīng)用把它改寫成“經(jīng)過半徑的外端且垂

直于這條半徑的直線是圓的切線”這種形式.

（四）應(yīng)用與拓展：

例1、如圖，已知直線AB經(jīng)過。0上的點(diǎn)A,并且AB=0A,Z0BA=45°,直線AB是。0的切

線嗎？為什么？

AB

例2、如圖，線段AB經(jīng)過圓心0,交。0于點(diǎn)A、C,ZBAD=ZB=30°,邊BD交圓于點(diǎn)D.BD

是。0的切線嗎？為什么？

分析：欲證BD是。。的切線，由于BD過圓上點(diǎn)D,若連結(jié)0D,則BD過

半徑0D的外端，因此只需證明BDL0D,因0A=0D,NBAD=NB,易證BD

10D.

教師板演，給出解答過程及格式.

課堂練習(xí)：課本練習(xí)1—4

（四）課后小結(jié)識(shí)別一條直線是圓的切線，有三種方法：

（1）根據(jù)切線定義判定，即與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；

（2）根據(jù)圓心到直線的距離來判定，即與圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線；

（3）根據(jù)直線的位置關(guān)系來判定，即經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，

說明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線，如果已知直線過圓上某一點(diǎn)，則作出過這

一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑即可（如例2）.

課后作業(yè)：P558、9

教學(xué)反思：

28.2.3切線（2）

知識(shí)與能力：通過探究,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、掌握切線長(zhǎng)定理，并初步長(zhǎng)定理，并初步學(xué)會(huì)應(yīng)用切

線長(zhǎng)定理解決問題

過程與方法：通過從三角形紙片中剪出最大圓的實(shí)驗(yàn)的過程中發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)切圓的畫法，能

用內(nèi)心的性質(zhì)解決問題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生探索精神

教學(xué)重點(diǎn)：切線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用，三角形的內(nèi)切圓的畫法和內(nèi)心的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：三角形的內(nèi)心及其半徑的確定。

教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

14

請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，如何判斷一條直線是圓的切線？圓的切線具有什么性質(zhì)？（經(jīng)過

半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。）

你能說明以下這個(gè)問題？如右圖所示，PA是N8AC的平分線，AB是。0的切線，切點(diǎn)E,

那么AC是。0的切線嗎？為什么？

（二）實(shí)踐與探索問題1、從圓外一點(diǎn)可以作圓的幾條

切線？請(qǐng)同學(xué)們畫一畫。

2、請(qǐng)問:這一點(diǎn)與切點(diǎn)的兩條線段的長(zhǎng)度相等嗎？

為什么？

3、切線長(zhǎng)的定義是什么？通過以上幾個(gè)問題的解決，使同學(xué)們得出以下的結(jié)論:

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等。這一點(diǎn)與圓心的連線

平分兩條切線的夾角。

（三）拓展與應(yīng)用例：右圖，PA、PB是，切點(diǎn)分別是A、B,直線EF也是。。的切線，切點(diǎn)

為P,交PA、PB為E、F點(diǎn)，已知B4=12cm,NP=70°,（1）求PEF

的周長(zhǎng)；（2）求NEOf的度數(shù)。

解：（1）連結(jié)PA、PB、EF是。0的切線

所以=EA=EQ,FQ=FB

所以PEF的周長(zhǎng)=OE+EP+PF+EB=P4+PB=24C〃2

（2）因?yàn)镻A、PB、EF是。0的切線

所以小_LQ4,PB上OB,EF1OQ

4AEO=4QEO,ZQFO=ZBFO

所以ZAOB=180°—NP=110°,/EOF=-ZAOB=55°

2

（四）課后小結(jié)

課后作業(yè)：P5510、11

教學(xué)反思:

28.2.4圓與圓的位置關(guān)系

知識(shí)與能力：使學(xué)生了解圓與圓位置關(guān)系的定義

15

過程與方法：掌握用數(shù)量關(guān)系來識(shí)別圓與圓的位置關(guān)系

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)合作探索精神

教學(xué)重點(diǎn)用數(shù)量關(guān)系識(shí)別圓與圓的位置關(guān)系

教學(xué)難點(diǎn)用數(shù)量關(guān)系識(shí)別圓與圓的位置關(guān)系

教學(xué)過程

（一）情境導(dǎo)入：

在現(xiàn)實(shí)生活中，圓與圓有不同的位置關(guān)系，如下圖所示:

轉(zhuǎn)輪

圓與圓的位置關(guān)系除了以上幾種外，還有其他的位置關(guān)系嗎？我們?nèi)绾闻袛鄨A與圓的位置

關(guān)系呢？這些問題待學(xué)習(xí)完這節(jié)課后就可以得到解決。

（二）實(shí)踐與探索：

圓與圓的位置關(guān)系請(qǐng)同學(xué)們?cè)诩埳袭嬕粋€(gè)圓，把一枚硬幣當(dāng)作另一個(gè)圓，紙上移動(dòng)這枚

硬幣，觀察兩圓的位置關(guān)系和公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

如圖23.2.14⑴、（2）、（3）所示，兩個(gè)圓

沒有公共點(diǎn)，那么就說兩個(gè)圓相離，其中（1）

又叫做外離，（2）、（3）又叫做內(nèi)含。（3）中

兩圓的圓心相同，這兩個(gè)圓還可以叫做同心

圓。如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說

這兩個(gè)圓相切，如圖23.2.14（4）、（5）所

示.其中（4）又叫做外切，（5）又叫做內(nèi)切。

如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)

圓相交，如圖23.2.14（6）所示。

（三）實(shí)踐與探索：用數(shù)量關(guān)系識(shí)別兩圓的位置關(guān)系思考:如果兩圓的半徑分別為3和5,

圓心距（兩圓圓心的距離）d為9,你能確定他們的位置關(guān)系嗎？若圓心距。分別為8、6、

4、2、1、0時(shí)，它們的位置關(guān)系又如何呢？

利用以上的思考題讓同學(xué)們畫圖或想象，概括出兩圓的位置關(guān)系與圓心距、兩圓的半徑具有

什么關(guān)系。

16

(1)兩圓外離od>R+r；

(2)兩圓外切od=R+r；

(3)兩圓外離oR-r<d<R+r；

(4)兩圓外離od=R-r；

(5)兩圓外離oO<d<H—廠；

為了使學(xué)生對(duì)兩圓的位置關(guān)系用數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)有更深刻的理解以及更牢的記憶，教師

可有以下數(shù)軸的形式讓學(xué)生加以理解。

內(nèi)含切相交切外離

1】I一

0R-rR+rd

要判斷兩圓的位置關(guān)系，要牢牢抓住兩個(gè)特殊點(diǎn)，即外切和內(nèi)切兩點(diǎn)，當(dāng)圓心距剛好等于

兩圓的半徑和時(shí)，兩圓外切，等于兩圓的半徑差時(shí)，兩圓內(nèi)切。若圓心距處于半徑和與半

徑差之間時(shí)，兩圓相交，大于兩圓半徑和時(shí)，兩圓外離，小于兩圓半徑差時(shí)

(四)應(yīng)用與拓展例1、已知。/、。6相切，圓心距為10cm,其中。/的半徑為

4cm,求<36的半徑。

分析：兩圓相切，有可能兩圓外切，也有可能兩圓內(nèi)切，所以。5的半徑就有兩種情

況。

解設(shè)。6的半徑為此

(1)如果兩圓外切，那么d=10=4+",R=6.

(2)如果兩圓內(nèi)切，那么d—|R—4I=10,R=-6(舍去)，414.

所以。6的半徑為6cm或14cm

例2、兩圓的半徑的比為2:3,內(nèi)切時(shí)的圓心距等于8cm,那么這兩圓相交時(shí)圓心距

的范圍是多少？

解：設(shè)其中一個(gè)圓的半徑為2r,則另一個(gè)圓的半徑為3r因?yàn)閮?nèi)切時(shí)圓心距等于8所以

3r—2廠=8所以廠=8當(dāng)兩圓相交時(shí)，圓心距的取值范圍是8<d<40(cm)(五)課后小

結(jié)就好象識(shí)別點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系一樣，這節(jié)課我們同樣也用數(shù)量關(guān)系來體現(xiàn)

圓與圓的位置關(guān)系。在識(shí)別圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，關(guān)系式比較多，也難于忘記，如果同學(xué)

17

們能夠掌握老師上課時(shí)講的用數(shù)軸來體現(xiàn)圓與圓的位置關(guān)系，理解起來就會(huì)更深刻，記憶

也會(huì)更容易。

課后作業(yè)：習(xí)題8、9

教學(xué)反思：

28.3.1弧長(zhǎng)和扇形的面積

知識(shí)與能力：認(rèn)識(shí)扇形，會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)和扇形的面積

過程與方法：發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)弧長(zhǎng)和扇形面積的公式

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)探究問題獲得新知的能力。

教學(xué)重點(diǎn)弧長(zhǎng)和扇形面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算弧長(zhǎng)和扇形的面積。

教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用弧長(zhǎng)和扇形的面積公式計(jì)算比較復(fù)雜圖形的面積。

教學(xué)過程

（-）情境與探究1：弧長(zhǎng)公式

如圖23.3.1是圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌的半徑為100米，圓心角為90°.你

能求出這段鐵軌的長(zhǎng)度嗎？（取3.14）我們?nèi)菀卓闯鲞@段鐵軌是圓周長(zhǎng)的上，所以鐵軌的

4

長(zhǎng)度2x3x100=157.0（米）.

4

圖23.3.1

問題：上面求的是90°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，若圓心角為〃。，如何計(jì)算它所對(duì)的弧長(zhǎng)呢？

請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算半徑為3c根,圓心角分別為180。、90。、45。、1°、〃。所對(duì)的弧長(zhǎng)。

等待同學(xué)們計(jì)算完畢，與同學(xué)們一起總結(jié)出弧長(zhǎng)公式（這里關(guān)鍵是1°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

多少，進(jìn)而求出〃。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)。）

弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為

練習(xí)：已知圓弧的半徑為50厘米，圓心角為60°,求此圓弧的長(zhǎng)度。

18

（二）

情境與探究2：扇形的面積。如圖23.3.3,由組成圓心角的兩條半徑和

圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形

問：右圖中扇形有幾個(gè)？

同求弧長(zhǎng)的思維一樣，要求扇形的面積，應(yīng)思考圓心角為1。的扇形面積圓

面積的幾分之幾？進(jìn)而求出圓心角〃的扇形面積。

如果設(shè)圓心角是的扇形面積為S,圓的半徑為r,那么扇形的面積為

n7ir~n兀rr

S=---x—

1802

因此扇形面積的計(jì)算公式為

。n7ir2

3---------S=—lr

360或2

練習(xí)：1、如果扇形的圓心角是230°,那么這個(gè)扇形的面積等于這個(gè)扇形所在圓的面積的

2

2、扇形的面積是它所在圓的面積的這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是

3、扇形的面積是S,它的半徑是人這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是一

（三）應(yīng)用與拓展

例1如圖23.3.5,圓心角為60°的扇形的半徑為10厘米，求這個(gè)扇形的面

積和周長(zhǎng).（”23.14）

例2、右圖是某工件形狀，圓弧BC的度數(shù)為60。，AB=6cm,點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離等于AB,

N84C=30。，求工件的面積。

（四）課后小結(jié)本節(jié)課我們共同探尋了弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式，一方面，要理解公式

的由來，另一方面，能夠應(yīng)用它們計(jì)算有關(guān)問題，在計(jì)算力求準(zhǔn)確無誤。

19

課后作業(yè)：習(xí)題1、2

教學(xué)反思:

28.3.2圓錐的側(cè)面積和全面積

知識(shí)與能力：通過實(shí)驗(yàn)使學(xué)生知道圓錐的側(cè)面積展開圖是扇形

過程與方法：知道圓錐各部分的名稱，能夠計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生善于觀察的能力

教學(xué)重點(diǎn)：圓錐的側(cè)面展開圖，計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積。

教學(xué)難點(diǎn)：圓錐的側(cè)面展開圖，計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積。

教學(xué)過程：

（一）情境探究：由具體的模型認(rèn)識(shí)圓錐的側(cè)面展開圖，認(rèn)識(shí)圓錐各個(gè)部分的名稱:把一個(gè)

課前準(zhǔn)備好的圓錐模型沿著母線剪開，讓學(xué)生觀察圓錐的側(cè)面展開圖，學(xué)生容易看出，圓錐

的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。如圖23.3.6,我們把圓錐底面圓周上的任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的

連線叫做圓錐的母線，連結(jié)頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高，如圖中“，而//就是圓錐

的高。

問題：圓錐的母線有幾條？

（二）實(shí)踐與探索：圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算方法A

問題；1、沿著圓錐的母線，把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的

弧長(zhǎng)與底面的周長(zhǎng)有什么關(guān)系？Z-V

2、圓錐側(cè)面展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑與圓錐中的N那一條線段相等？圖23.3；

待學(xué)生思考后加以闡述。

圓錐的底面周長(zhǎng)就是其側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的母線就是其側(cè)面展開圖扇形的

半徑。

圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面的周長(zhǎng)、半徑為圓錐的一條母線的長(zhǎng)的扇形面積，

而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積的和。

20

圖23.3.7

（三）應(yīng)用與拓展：

例1、一個(gè)圓錐形零件的母線長(zhǎng)為a,底面的半徑為r,求這個(gè)圓錐形零件的側(cè)面積和

全面積.

解圓錐的側(cè)面展開后是一個(gè)扇形，該扇形的半徑為a,扇形的弧長(zhǎng)為2"r,所以

]_

5制=2X2*rXa=Hra；

S欣="r<

S="ra+r.

答：這個(gè)圓錐形零件的側(cè)面積為"ra,全面積為“ra+不？？

（難）例2、已知：在R/46c中，ZC=90°,AB=13cm,BC=5cm,求以AB為軸

旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的全面積。

分析：以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是由公共底面的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體,

因此求全面積就是求兩個(gè)圓錐的側(cè)面積。

解：過C點(diǎn)作CDLA8,垂足為D點(diǎn)因?yàn)槿切蜛BC是RrABC,ZC=90°,

AB=13cfn,BC=5cm,

nnACxBC5x1260120萬

所以AC=12cmCD-........=-----=—底面周長(zhǎng)為2萬—=------

AB13131313

1120萬「1120萬三1020萬

所以S全=——------5H------2=(cm)2

21321313

答：這個(gè)幾何體的全面積為U”工（C7W）2

13

（四）課后小結(jié)本節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了圓錐的側(cè)面展開圖，學(xué)會(huì)計(jì)算圓錐的側(cè)面

積和全面積，在認(rèn)識(shí)圓錐的側(cè)面積展開圖時(shí)，應(yīng)知道圓錐的底面周長(zhǎng)就是其側(cè)面展開圖扇形

的弧長(zhǎng)。圓錐的母線就是其側(cè)面展開圖扇形的半徑，這樣在計(jì)算側(cè)面積和全面積時(shí)才能做到

熟練、準(zhǔn)確。

課后作業(yè)：習(xí)題3、4

教學(xué)反思:

21

29.1.1幾何問題的處理方法

知識(shí)與能力：使同學(xué)們用合情推理與邏輯推理的方法證明幾何問題

過程與方法：能熟練應(yīng)用，從而進(jìn)一步理解證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的必要性

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力

【重點(diǎn)難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：合情推理與邏輯推理的方法是教學(xué)重點(diǎn)。

難點(diǎn)：合情推理與邏輯推理的方法。

【教學(xué)過程】：

一、給出問題，學(xué)習(xí)討論，回憶

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們做一張等腰三角形的半透明紙片，每個(gè)人的等腰三

角形的大小和形狀可以不一樣，把紙片對(duì)折，讓兩腰AB、AC重疊在一起，折痕為AD,

如圖(2)所示，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎?請(qǐng)你盡可能多的寫出結(jié)論。

圖⑵

可讓學(xué)生有充分的時(shí)間觀察、思考、交流，可能得到的結(jié)論:

(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形

(2)ZB=ZC

(3)BD=CD,AD為底邊上的中線。

(4)ZADB=ZADC=90°,AD為底邊上的高線。

(5)/BAD=NCAD,AD為頂角平分線。

結(jié)論(2)用文字如何表述？

等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)。

結(jié)論(3)、(4)、(5)用一句話可以歸結(jié)為什么？

結(jié)論是：

等腰三角形的頂角平分線，底邊上的高和底邊上的中線互相重合(簡(jiǎn)稱“三

線合一”)。

以上這種推理方法叫合情推理方法，是我們研究幾何圖形的一種基本方法。下面我們結(jié)

合我們已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)問題來說明什么叫邏輯推理方法。

己知：如圖(2),在AABC中，AB=AC。求證：/B=/C。

證明：畫NBAC的平分線

?.?AB=AC（已知）

N1=N2（畫圖）

AD=AD（公共邊）

/.△BAD^ACAD（SAS）

22

ZB=ZC

這個(gè)例中的每一個(gè)過程都是邏輯推理過程，它們都是從上一步的條件得出下一步結(jié)論

的，換言之就是沒有上面的條件就不會(huì)有下一步的結(jié)論。

邏輯推理是需要依據(jù)的，我們用最少的幾條基本事實(shí)作為邏輯推理的最原始的依據(jù)，于

是我們第一步就想到了公理和己經(jīng)證明是正確的定理。

二、用邏輯推理方法證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理

1.等腰三角形的判定定理。

已知：如圖（1）,在AABC中，ZB-ZC；

求證：AB=AC?

分析：要證明兩條線段相等，可設(shè)法構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，使AB、AC分別是這兩個(gè)全

等三角形的對(duì)應(yīng)邊。基于這種想法，同學(xué)們會(huì)想到畫什么樣的輔助線呢？

同學(xué)的回答可能是以下三種；

⑴取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)AD；

（2）畫NBAC的平分線AD；

（3）過頂點(diǎn)A作底邊BC的高線ADo

老師就第（2）種給出以下證明：

證明：畫NBAC的平分線AD。

在4BAD和ACAD中

???NB=NC（已知）

/1=/2（畫圖）

AD=AD（公共邊）

/.△BAD^ACAD（AAS）

AAB=AC

請(qǐng)同學(xué)們給出第（3）種添加輔助線的證明過程，并就第（1）種的添加方法證明AB=AC是

否可行，展開討論。

由于以上的等腰三角形的識(shí)別方法是經(jīng)過邏輯推理證明它是正確的，而且在今后的其他

命題證明中經(jīng)常用到，所以我們把它稱為等腰三角形的判定定理，即：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等,簡(jiǎn)稱為（“等角對(duì)等邊”兀

2.如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全

等。

已知：如圖（3）,在△ABC和△A'B'C'中，NACB=NA'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'。

求證：ZXABC四△A'B'C'

(3)

23

分析：把AABC和△A'B'C'拼在一起，使相等的的直角邊AC和A'C'重合在一起，并使

點(diǎn)B和點(diǎn)B'在A'C'的兩旁，B、C（C'）、B'在一條直線上，由上述圖形，利用等腰直角三角

形的性質(zhì)與全等三角形的識(shí)別方法，即可證明這兩個(gè)直角三角形全等。

證明：像圖（3）一樣，把a(bǔ)ABC和△A'B'C'拼在一起。

VZA'CB，=ZACB=90°（已知）

/.ZB'C'B=180°

...點(diǎn)B'、C'、B在同一條直線上。

在AA'lTB中，因?yàn)?/p>

VA'B'=AB=A'B（已知）

/./B=NB'（等邊對(duì)等角）

在aABC和4A'B'C'中，

?.?/ACB=NA'C'B'（已知）

NB=NB'（已證）

AB=A'B'（已知）

.,.△ABC^AA'B'C（AAS）

斜邊、直角邊定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩

個(gè)直角三角形全等。

三、課堂練習(xí)

1.求證；等邊三角形的各角相等，并且每一個(gè)角都等于60。。

2.求證；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

四、小結(jié)

本節(jié)課我們用推理證明的方法證明了等腰三角形的性質(zhì)定理、判定定理和直角三角形的

判定定理“HL”，要求同學(xué)們初步掌握命題證明的步驟、方法。體會(huì)邏輯推理證明重要性。

五、作業(yè)（略）

補(bǔ)充作業(yè)：

1：如圖，Z\ABC中，AB=AC,D、E、F分別是BC、AB、AC上的點(diǎn)，BD=CF,CD=BE,G為

EF中點(diǎn)，連結(jié)OG,問DG與EF之間有何關(guān)系?證明你的結(jié)論。

2.已知點(diǎn)D為等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD=CD,PC-AC,DC平分/BCP,求NP的度數(shù)。

3.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，Z\ACM和4CBN是等邊三角形，AN交MC于P,BM交CN于Q,

連結(jié)PQ,試判斷APCQ的形狀.并證明你的結(jié)論。

六、課后反思:

24

29.2反證法

知識(shí)與能力：使學(xué)生初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本方法.

過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡(jiǎn)單推理的技能

情感態(tài)度與價(jià)值觀：發(fā)展學(xué)生的思維能力.

教學(xué)重點(diǎn)：

反證法證題的步驟.

教學(xué)難點(diǎn)：

理解反證法的推理依據(jù)及方法.

教學(xué)方法：

講練結(jié)合教學(xué).

教學(xué)過程：

提問：

師：通過預(yù)習(xí)我們知道反證法，什么叫做反證法？

生：從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做

反證法.

師：本節(jié)將進(jìn)一步研究反證法證題的方法，反證法證題的步驟是什么？

生：共分三步：

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

(2)從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.

師：反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題時(shí)，如果運(yùn)用直接

證明法比較困難或難以證明時(shí)，可運(yùn)用反證法進(jìn)行證明。

例如：在AABC中，AB=c,BC=a,AC=b，如果NC=90°,a、b、c三邊有何關(guān)系？

為什么？

解析：由/C=90°可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知a2+b2=c2

二、探究

問題：

若將上面的條件改為“在AABC中，AB=c,BC=a,AC=b,NCW90°”，請(qǐng)問結(jié)論

a2+b2Wc2成立嗎？請(qǐng)說明理由。

探究：

假設(shè)a2+b2=c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且/C=90°,這與已

知條件/CW90°矛盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論a2+b2#c2成立。

這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過正確

的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明

方法叫做反證法。

三、應(yīng)用新知

例1：在AABC中，ABWAC,求證：/B#/C

25

證明：假設(shè)，ZB=ZC

則AB=AC

這與已知ABWAC矛盾.

假設(shè)不成立.

AZBWNC

小結(jié)：

反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立一邏輯推理得出矛盾-肯定原結(jié)論正確

例2

已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c,求證：a//b

證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。

那么過點(diǎn)A就有兩條直線a、b與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線