2024年江西省名校高三數(shù)學(xué)5月三模聯(lián)考試卷附答案解析

年江西省名校高三數(shù)學(xué)5月三模聯(lián)考試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．2．橢圓的長軸長與焦距之差等于（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．4．已知平面向量，，其中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條共面直線，，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某校成立了手工藝社團(tuán)，并開設(shè)了陶藝、剪紙等6門課程．該校甲、乙2名同學(xué)報(bào)名參加手工藝社團(tuán)，每人僅報(bào)2門課程，其中甲不報(bào)陶藝、乙不報(bào)剪紙，且甲、乙兩人所報(bào)課程均不相同，則甲、乙報(bào)名課程的方案種數(shù)為（

）A．18 B．24 C．36 D．427．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．3或 B．2或 C．或 D．或8．如圖，將邊長為1的正以邊為軸逆時(shí)針翻轉(zhuǎn)弧度得到，其中，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．若該三棱錐的外接球半徑不超過，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知是等比數(shù)列的前5項(xiàng)中的其中3項(xiàng)，且，則的前7項(xiàng)和可能為（

）A． B． C． D．10．已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．，使得11．已知定義在上的函數(shù)滿足，的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．是單調(diào)函數(shù)C． D．為偶函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某新能源汽車店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．13．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，是的中點(diǎn)，，則．14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)在的準(zhǔn)線上的射影分別為，且的面積是的面積的4倍，若軸被以為直徑的圓截得的弦長為，則的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間與最大值．16．如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．17．已知雙曲線的離心率為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求的值．18．已知袋中裝有除顏色外均相同的4個(gè)黑球、1個(gè)白球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，觀察顏色，若取出的是黑球，則放回后再往袋中加進(jìn)1個(gè)黑球；若取出的是白球，則放回后再往袋中加進(jìn)2個(gè)白球；第二次取球重復(fù)以上操作，記第次操作后袋中黑球與白球的個(gè)數(shù)之差為．(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)求在第2次操作中取出黑球的條件下，的概率．19．我國元代數(shù)學(xué)家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書中對高階等差數(shù)列求和有精深的研究，即“垛積術(shù)”．對于數(shù)列，①，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面相鄰一項(xiàng)的差構(gòu)成數(shù)列，②，稱該數(shù)列②為數(shù)列①的一階差分?jǐn)?shù)列，其中；對于數(shù)列②，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面相鄰一項(xiàng)的差構(gòu)成數(shù)列，③，稱該數(shù)列③為數(shù)列①的二階差分?jǐn)?shù)列，其中按照上述辦法，第次得到數(shù)列，④，則稱數(shù)列④為數(shù)列①的階差分?jǐn)?shù)列，其中，若數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列是非零常數(shù)列，則稱數(shù)列為階等差數(shù)列（或高階等差數(shù)列）．(1)若高階等差數(shù)列為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．（?。┣蟮闹担唬áⅲ┣髷?shù)列的前項(xiàng)和．附：．1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)可以得出對應(yīng)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，即可得解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以．故選：A．2．B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，再求長軸長與焦距之差.【詳解】由題得，，所以，，所以長軸長，焦距，所以長軸長與焦距之差等于．故選：B3．C【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】令，則，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，又函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合圖象，如圖所示，可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和．故選：C．4．A【分析】根據(jù)向量平行，得到，結(jié)合基本不等式即可求.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．故選：A5．B【分析】舉出反例說明“”不是“”的充分條件；再證明出以“”是“”的必要條件，即可.【詳解】如圖，，，，此時(shí)無法推出，所以“”不是“”的充分條件；由共面，設(shè)，則，，又因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6．D【分析】分類討論甲是否報(bào)剪紙，先安排甲，再安排乙，結(jié)合組合數(shù)分析求解.【詳解】按甲報(bào)的課程分為兩類：①若甲報(bào)剪紙，則從除了陶藝的其他4門課程中再選1門，有種結(jié)果，乙再從剩余4門課程中選2門，有種結(jié)果，有種；②若甲不報(bào)剪紙，則從除了陶藝、剪紙的其他4門課程中選2門，有種結(jié)果，乙再從剩余除剪紙外的3門課程中選2門，有種結(jié)果，有種；綜上所述：共有種方案．故選：D．7．A【分析】根據(jù)題意整理可得，其中，，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性可得，，分類討論的奇偶性，結(jié)合誘導(dǎo)公式分析求解.【詳解】由題意可知：，其中，．因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，整理可得，則，解得，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：或．故選：A．8．C【分析】作輔助線，則即為三棱錐的外接球球心，翻折的角即為的大小，設(shè)，結(jié)合題意分析可知，結(jié)合題意分析求解即可.【詳解】取線段的中點(diǎn)，線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則為正的外心，，可知為線段的中垂線，在平面內(nèi)過作的垂線交于，連接，

則即為三棱錐的外接球球心，翻折的角即為的大?。O(shè)，則，，，，，可得，化簡得，又因?yàn)?，即，解得，結(jié)合，可得，則，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；2.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解．9．AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列分析可知：且或8，分或，結(jié)合等邊數(shù)列通項(xiàng)公式分析求解，再結(jié)合等邊數(shù)列求和公式分析求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)，結(jié)合已知可知，其中2，8這兩項(xiàng)的奇偶性相同，又因?yàn)?，可知?，則有：若，，則，解得，符合題意，所以的前7項(xiàng)和為；若，，則，解得，此時(shí)，符合題意，所以的前7項(xiàng)和為；綜上所述：的前7項(xiàng)和為或．故選：AB．10．AB【分析】對于A：根據(jù)直線方程分析判斷；對于B：根據(jù)題意求直線交點(diǎn)即可；對于C：根據(jù)空集的定義結(jié)合直線平行運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)直線重合分析求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)楸硎具^定點(diǎn)，且斜率不為0的直線，可知表示直線上所有的點(diǎn)，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，則，，聯(lián)立方程，解得，所以，B正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則有：若，則；若，可知直線與直線平行，且，可得，解得；綜上所述：或，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若，由選項(xiàng)C可知，且，無解，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11．ACD【分析】對于A：利用賦值法分析可得，；對于B：根據(jù)結(jié)合單調(diào)性的定義分析判斷；對于C：分析可得，即可得結(jié)果；對于D：對求導(dǎo)，結(jié)合偶函數(shù)的定義分析判斷.【詳解】因?yàn)椋业亩x域?yàn)?，對于選項(xiàng)A：令，則，可得；令，則，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知，所以不是單調(diào)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：令，可得，即，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知，對兩邊求導(dǎo)得，即，所以為偶函數(shù)，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．12．13【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后算出分位數(shù)的位置，由百分位數(shù)的定義，即可得到答案.【詳解】將這8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列得，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．故答案為：1313．【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合正弦定理邊化角即可得解.【詳解】在中，是的中點(diǎn)，，則，即，因此，所以.故答案為：14．【分析】先研究點(diǎn)在第一象限時(shí)，由的面積是的面積的4倍，求出直線的斜率，聯(lián)立直線與拋物線方程求出的值；再根據(jù)對稱性研究在第三象限時(shí)的值即可.【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，由拋物線的定義，可得，，所以，所以，所以．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以，所以，所以，所以直線的斜率，則直線，直線與聯(lián)立，得，設(shè)與的橫坐標(biāo)分別為，，則，所以，所以以為直徑的圓的半徑，圓心到軸的距離，所以弦長為，解得；當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，由對稱性可得.綜上，.故答案為：.15．(1)，(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為．【分析】（1）先根據(jù)切點(diǎn)在曲線上確定切點(diǎn)的坐標(biāo)；再根據(jù)切點(diǎn)在切線上和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組求解即可.（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出單調(diào)區(qū)間；再根據(jù)單調(diào)性可求出最大值..【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得．（2）由（1）可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋海?令，得；令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的最大值為．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，可證平面，即可得結(jié)果；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，且為的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋瑒t，所以四點(diǎn)過面，因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，則，且，平面，可得平面，且平面，所以．（2）由（1）可得平面，平面，平面，所以，，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．(1)(2)或【分析】（1）由離心率及頂點(diǎn)到漸近線的距離列方程即可求；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，點(diǎn)到直線距離公式求解面積即可.【詳解】（1）記的半焦距為，由題得的離心率，①由對稱性不妨設(shè)的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，則，②又，③聯(lián)立①②③解得，，，所以的方程為．（2）設(shè)，由得，所以，解得，且，所以，，所以．又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，解得或，符合式，所以或．18．(1)分布列見解析，(2)．【分析】（1）先確定的取值，分別求解概率，寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）先利用全概率公式求，再利用條件概率可求答案.【詳解】（1）兩次操作取出的球均為黑球，則第2次操作后袋中有6個(gè)黑球、1個(gè)白球，此時(shí)，所以；兩次操作取出的球均為白球，則第2次操作后袋中有4個(gè)黑球、5個(gè)白球，此時(shí)，所以；兩次操作取出的球中黑、白球各一次，則第2次操作后袋中有5個(gè)黑球、3個(gè)白球，此時(shí)，所以，所以的分布列為25所以．（2）記事件為“在第次操作中取出黑球”，事件為“第3次操作后袋中黑球與白球的個(gè)數(shù)之差為3”．則，若第1次操作取到的是白球，且第2次操作取到的是黑球，則第2次操作后袋中有5個(gè)黑球、3個(gè)白球，①若第3次取到的是白球，則第3次操作后袋中有5個(gè)黑球、5個(gè)白球，此時(shí)；②若第3次取到的是黑球，則第3次操作后袋中有6個(gè)黑球、3個(gè)白球，此時(shí)；若第1次操作取到的是黑球，且第2次操作取到的是黑球，則第2次操作后袋中有6個(gè)黑球、1個(gè)白球，①若第3次取到的是白球，則第3次操作后袋中有6個(gè)黑球、3個(gè)白球，此時(shí)；②若第3次取到的是黑球，則第3次操作后袋中有7個(gè)黑球、1個(gè)白球，此時(shí)，所以表示第1次操作取到的是白球，且第2次和第3次操作取到的是黑球或第1次和第2次操作取到的是黑球，且第3次操作取到的是白球，所以，所以．19．(1)(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)階等差數(shù)列的定義，分別求出一階差分?jǐn)?shù)列和二階差分?jǐn)?shù)列，發(fā)現(xiàn)二階差分?jǐn)?shù)列為常熟列，即可得出，即，得到為等差數(shù)列，求得，即，然后用累加法即可求解；（2）（?。└鶕?jù)階等差數(shù)列的定義，從一階差分?jǐn)?shù)列、二階差分?jǐn)?shù)列、三階差分?jǐn)?shù)列…依次往下求，當(dāng)出現(xiàn)常數(shù)列時(shí)為止，即可確定為r的值；（?、。┙Y(jié)合二項(xiàng)式定理將轉(zhuǎn)化為了，