湖南省益陽(yáng)市安化縣2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

湖南省益陽(yáng)市安化縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期

第一次月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

i.給出下列四個(gè)說(shuō)法：①若同=°,貝藤=°；②若同=W，則）=很或③若

必區(qū)，則同=問(wèn)；④若出行，加逅,則向/J其中正確的說(shuō)法有（）個(gè).

A.]B.2C.3D.4

2.在中，若點(diǎn)。滿(mǎn)足詬=2比，則詬=（）

1—?2—?5—?2—?

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

C.-^C--ZsD.-AC+-AB

3333

3.己知P,A,B,C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且方+而+定=就，則下列向量一定共線(xiàn)

的是（）

A.正與麗B.聲與麗

C西與京D.1與羽

4.已知同=6,忖=3,無(wú)否=-12,則向量*在向量。方向上的投影向量是（）

7121

A.-5B.-aC.--aD.--a

3333

5.設(shè)“為O'。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，方=」在+鄉(xiāng)就，若瑟=久麗（北口）,則入等于

22

()

試卷第11頁(yè)，共33頁(yè)

A.—cB.aC.°D.,

Z—JZD

6.已知向量工是與向量1方向相同的單位向量，且|可=2,若“在加方向上的投影向量

為2工，則U）

A-2GB--273C-4

7-如圖，已知方=落漏=反區(qū)=己,方=2數(shù)，則己=（）

A.-b--aB.2』C.2日-彼D.-a--b

2222

8.已知點(diǎn)"是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若萬(wàn)=之前二茄，貝-PBC與“的面積

43

比為（）

二、多選題

9.侈選題）設(shè)￡=（京+而）+（就+五5），區(qū)是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的有

()

T)

A.a//b?a+b=a

Ca+b=bD.|a+fe|<|a|+|S|

10.（多選）已知向量［=（T,2），￡=（2,1），若向量￡=41+4］，則可使;18<0成

試卷第21頁(yè)，共33頁(yè)

立的z可能是（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（-1,0）D.（0,-1）

ii.已知平面向量.，\。滿(mǎn)足同明T4=i.若則（￡一斗（25一3的值可

能為（）

A-3-V3B.一2C.0D.

12.如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形中，AD=-AC,且點(diǎn),在以的中

3

點(diǎn)。為圓心，CM為半徑的半圓上，若麗=、詼+）前，則（）

—?1—?2-*B.X+-”的最大值為］+立

A.BD=-BA+-BC

333

C麗最大值為9D-BODO=1

三、填空題

13.在中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,1），邊8c的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為則“BC的

重心坐標(biāo)為_(kāi)__.

14.已知向量成=（x,l），萬(wàn)=（-3,2），若2所+為=（1,4），則應(yīng)=——?

15.在平行四邊形/BCD中，分別為48,40上的點(diǎn)，S.AM=2MB,AN=ND'

連接/c，與MM交于點(diǎn)尸，若N=；CE，則2的值為一.

16.在梯形N8CD中，ABHCD-AB=BC=2,CD=\，NBCD=120°，尸、0分別

試卷第31頁(yè)，共33頁(yè)

為線(xiàn)段'C和線(xiàn)段8上的動(dòng)點(diǎn)，且8尸=28C,DQ=—DC,則°尸“°的取值范圍

4A

為一.

四、解答題

17.已知|句=6，歷|=4，(5-26)-(5+36)=-72-

(1)求向量￡,g的夾角。；

⑵求而+3%

18.已知平面向量@=(2x+3,-x)(xeR)

(1)若求x的值：

(2)若2/4,求歸叫

19.如圖,若。(1,2)，￡(-5,-1),尸(4,-4)，點(diǎn)X,y,Z分別在線(xiàn)段上,且

滿(mǎn)足在？=2XF,FY=2YD,DZ=2ZE-

⑴求叵+網(wǎng);

⑵求cos(FD,FZ),

20,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，04=(1,V3),O5=(cosa,sina),

⑴若a/,求而+西；

3

試卷第41頁(yè)，共33頁(yè)

瓦,礪的取值范圍.

(2)若ae0,—，求

2

21.如圖，在A"。中，。是"的中點(diǎn)，BE=-BC.

3

AC=2BC=2,ZACB=60°>求而|；

⑵若函=4函，求4的值?

22.如圖，在@8中,OA=a

OC^-OA,OD=-OB,4D與8c交于點(diǎn)M,設(shè)

42

OB=b-

(1)若的=4+仍，求x及乃

(2)在線(xiàn)段NC上取一點(diǎn)用在線(xiàn)段3。上取一點(diǎn)凡使跖過(guò)M點(diǎn)，設(shè)礪

OF=qOB^求7pq+2q的最小值.

試卷第51頁(yè)，共33頁(yè)

參考答案:

1.A

【分析】

根據(jù)零向量定義、向量模長(zhǎng)、平行的定義等知識(shí)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于①，模長(zhǎng)為零的向量為零向量，①正確；

對(duì)于②，扇石的模長(zhǎng)相同，但方向不確定，落彼未必同向或反向，②錯(cuò)誤;

對(duì)于③，若引區(qū)，則,石同向或反向，但模長(zhǎng)未必相同，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)B=O時(shí)，&/區(qū)，成立，但此時(shí)落?未必平行，④錯(cuò)誤.

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可求出結(jié)果.

【詳解】由昉=2比，得口一萬(wàn)=2（三一通），

得3亞=2正+刀，得前=2次+工刀.

33

故選：D.

3.B

【分析】利用平面向量的減法法則以及向量共線(xiàn)即可判斷選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)樯?麗+定=%，

所以莎+麗+京-就=6，

即-2PA=PB，

所以強(qiáng)與麗共線(xiàn).

故選：B.

4.D

【分析】

根據(jù)投影向量定義直接求解即可.

答案第11頁(yè)，共22頁(yè)

a-ba1.

【詳解】誹|cos=魯二-2，TT=-Q,

aa6

向量°在向量“方向上的投影向量為WcosR,B'a1一

同P

故選：D.

5.C

【分析】

由金女此町可得就-4汨-a，化為小券而與

而=」次+3％比較，即可得結(jié)果.

22

【詳解】若前=彳函（4eR），AC-AB=AAD-AAC'

,___.1___.;+1____

\^AD=--AB+^^AC,

AA

,.1—.3，

又因?yàn)?0=――AB+-AC,

22

所以可得一J_=一J_,4±l=3,

2222

解得2=2，

故選：C.

6.C

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的幾何意義求解.

［詳解］=BHqcos(a1)=B，2e［=2x2=4

答案第21頁(yè)，共22頁(yè)

故選：C

7.A

【分析】

根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算可求己的表示形式.

【詳解】因?yàn)?=2前，故礪-a=2（反-網(wǎng),

__.3—?1—■3-1-

故OC=-O8——OA=-b——a，

2222

故選：A.

8.A

【分析】假設(shè)“Be是等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，求得?點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得

△PBC與A/BC的面積比.

【詳解】假設(shè)“3C是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2,

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸

則3（0,2）,C（2,0），貳=（2,-2）,瓦=（0,-2），

___3__2一

依題意"=—8C——BA,

43

即=-g（0,-2）=、,一：，

S"c=；x2x2=2,

S“PBC=S“FAC+SMBC—SJAB

答案第31頁(yè)，共22頁(yè)

111,13132

=—x2x——i——x2x2—x2x—=——i-2—=一

26222623

△PBCAABC2

所以與的面積比為

23

故選：A

9.AC

【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，求得［=6,結(jié)合零向量的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由題意，向量°=(益+詼)+(瑟+力2)=而+方3=6,且g是一個(gè)非零向量,

所以成立，所以A正確；

由￡+加=心所以B不正確，c正確；

由B+'=W，|q+W=W，所以K+q=|a|+W，所以D不正確.

故選：AC.

10.AC

【分析】

由向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求￡的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量相等逐項(xiàng)求4,4，由此作出判斷.

【詳解】

因?yàn)閍=44+402，￡1=(-1,2)'e2=(2,1),

答案第41頁(yè)，共22頁(yè)

所以￡=(一4+24,24+4)，

"1“2<0

Q=(1,O)\-4+2^2—1

,貝/24+4=°,解得.

若,滿(mǎn)足題意，A正確;

4=1

a-(0,1)]一4+2%2=0[._244〉o

<4=-

若，則[24+4=1,解得5

,不滿(mǎn)足題意，B錯(cuò)誤;

“14<0

Q二(—1,0)-4+2^2=-1]_

4=

5

若，則24+4=0,解得,滿(mǎn)足題意，C正確;

a=(0,-1)]-4+2A2=02認(rèn)>。

,貝-24+42=-1A=-

5

若解得,不滿(mǎn)足題意，D錯(cuò)誤;

]_

4=一

5

故選：AC.

11.BCD

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可將所求數(shù)量積化為R-4w-。=t-B-4cos和/

由此得到結(jié)果.

【詳解】=2a-b-2b-c-^a-b^=-l-\a-b\cos(c,a-b

^\a-b\=\l2-2a-b=1,

故=-1-cos(c,a-B)G[-2,0]

故選：BCD.

答案第51頁(yè)，共22頁(yè)

12.AC

【分析】對(duì)于AD,將麗，而，麗分別用阪就表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷；

對(duì)于BC,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(cosa,sina)兩例］，根據(jù)平面向

量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?=2就，且點(diǎn)尸在以的中點(diǎn)。為圓心，°4為半徑的半圓上,

3

所以。/=。。=。。=1/。=1,

3

貝質(zhì)=能+麗=數(shù)+；聲=就+；蟀_網(wǎng)=:說(shuō)+|■就，故A正確；

—?—?—?—?2——?—?2/——?—?、2——?1—?

對(duì)于B,BO=BC+CO=BC+-CA=BC+-\BA-BC]=-BA+-BC,

33、>33

Dd=BO-BD=-BA+-BC-\-BA+-BC\=-BA--BC，

33(33J33

貝3屈叫江方)(押+/卜押2-揮2-刀反

=2—1——x3x3x—=—,故D錯(cuò)誤;

922

對(duì)于C,如圖，以點(diǎn)0為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

答案第61頁(yè)，共22頁(yè)

B

則Z（TO）,0雪,C（2,0），

\21）

因?yàn)辄c(diǎn)P在以4。的中點(diǎn)0為圓心，°%為半徑的半圓上,

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為一+/=],且在x軸的下半部分,

設(shè)P（cosa,sina）,?；M]，

所以BP.BCuOcosa-O—^^sina+^^Bcosja+—1+6'

2424I

因?yàn)椤?，2兀］,所以a+噢歸,—

333

所以當(dāng)。+工=2兀時(shí)，2PBe取得最大值9,故c正確;

3

因?yàn)辂?就'

答案第71頁(yè)，共22頁(yè)

所以sina--------=--------(x+y)，

22v7

所以x+y=-2近sina+1，

9

因?yàn)閍e［n，2兀］,所以當(dāng)a=型時(shí)，’取得最大值亞+i,故B錯(cuò)誤.

29

故選：AC.

13-(-1,1)

【分析】

設(shè)“8C的重心為G(x,y),則就=2而，即可得到方程組，解得即可.

3

【詳解】解：設(shè)A"。的重心為GUM,則布=,而，

因?yàn)?(3,1)，0(-3,1)，

所以(、一3，"1)=：(一6,0),即「-3=|X(-6),解得］；=，，即改革)，

y-l=0

即^ABC的重心坐標(biāo)為(_罩).

故答案為：

14.(2,1)

【分析】

根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】?/2m+n=(2x—3,4)=(1,4))?-2x-3=1,解得：x=2,m=(2,1),

答案第81頁(yè)，共22頁(yè)

故答案為：（2,1），

2

15.

7

【分析】

根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線(xiàn)向量定理的推論求解作答.

【詳解】

在Y48co中，在，礪不共線(xiàn)，因?yàn)槎?2雙瓦麗=而5,

貝I］有萬(wàn)=2就=2（益+詼）=2弓而+2不）=弓而+22前,

又尸,三點(diǎn)共線(xiàn)，于是得2+22=1,解得4二，

27

所以”的值為義

故答案為：!9

1八r131

10.-----

.2'4_

【分析】

以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)B且垂直于直線(xiàn)48的直線(xiàn)為y軸建立平面直角

坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出而.而關(guān)于久的函數(shù)關(guān)系式，求出久的取

答案第91頁(yè)，共22頁(yè)

值范圍，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得加.而的取值范圍?

【詳解】以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)為X軸，過(guò)點(diǎn)8且垂直于直線(xiàn)月2的直線(xiàn)為V軸建立

如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則4（一2,0）、味1,現(xiàn)可-2,電尸卜入網(wǎng),則麗=（2-九⑨-6）,

2<A<I

由題意可得3,解得4一"

0<—<1

144

而=與+即=25+金友=(o,G)+點(diǎn)(1,0)

所以，麗.而=與4+3（2-1）=3,+：］-?，

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/（為=3］；1+（］-?在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增,

313

當(dāng)±4241時(shí)，

42v74

因此，皮.歷的取值范圍是1,2.

24

故答案為：上二

24

答案第101頁(yè)，共22頁(yè)

17.(1)e=—(2)6c

3

【解析】(1)利用平面向量數(shù)量積的分配律求出,然后代入夾角公式求解即可；

(2)結(jié)合⑴中0”的值，利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：歸+彳=(a+b^=a2+2a-b+b2進(jìn)行

運(yùn)算，求出|"+3邛的值，然后再開(kāi)方即可.

［詳解［伍-2石)?伍+3b)=-72,問(wèn)2+￡.g_6J,=-72,

?.?卜卜6,|S|=4e\36+(2-S—6X16=-72

解得73=72,由平面向量數(shù)量積的夾角公式得，

?a-b-121

??下"雨=寄==

,.0<0<71.2萬(wàn)

???C7—-----

3

(2)因?yàn)椴?3.=|a|+64.石+9忖，

所以口+3邛=36+6x(72)+9x16=展

.+3@=6月.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其夾角公式;考查運(yùn)算求解能力;屬于中檔題、常

考題型.

答案第111頁(yè)，共22頁(yè)

此d）x=3或x=-l

⑵2或2后

【分析】（1）直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解；

（2）先通過(guò)向量平行的坐標(biāo)公式求出尤，再通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模.

【詳解】⑴..口，

II

=2x+3--=0，

解得x=3或L1；

（2）...〃//5，

.*.-x=（2x+3）x，即2、2+4%=0解得％=0或%=-2，

當(dāng)工=0時(shí)，Q=（1,0）1=（3,0）,〃一否二（一2,0）,.?..一斤=2；

當(dāng)了二-2時(shí)，〃=（1,一2）花二（-1,2）,（7-S=（2,-4）,忖_耳=V4+16=275,

「.卜_4=2或卜-q=2A/5.

19.⑴田叫疝；

⑵3岳

13

【分析】

答案第121頁(yè)，共22頁(yè)

(1)根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)可求得x,y的坐標(biāo)，根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果;

(2)同理可求得z點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)公式即可求得余弦值.

【詳解】(1)設(shè)X/的坐標(biāo)為X(Xx，7x)，Y(Xy,%)；

由EX=2XF,FY=2YD可得分點(diǎn)可得+5,川+D=2(4-右T-Vx)

_

[(jty4,_yr+4)=2(l-xy,2-yr)

即卜=1,川=-3,得X(l,-3)/(2,0)

[Xy—2,—0

所以而+市=(7,1)+(0,-5)=(7,-4);

貝I]叵+/=Q+l=V65

(2)設(shè)Z點(diǎn)的坐標(biāo)為Z(Xz/z)，

由成=2君得(XZ-1/Z-2)=2(-5-XZ，-1-NZ)

所以Xz=-3,yz=0>即Z(-3,0)

麗=(-3,6),豆=(-7,4)，

FD?FZ21+243而

ces〈FD,Fz)

MR375x765-13

20.(1)3

(2)[1,2]

【分析】

(1)利用a=生，求出力+礪，利用向量的模長(zhǎng)公式，即可求解.

3

答案第131頁(yè)，共22頁(yè)

(2)利用04?Qg=J^sina+cosa=2sin[a+看],再根據(jù)ae0,-^-,即可求出的

取值范圍.

【詳解】（1）

TI_.、

a=-—CRQB

r.0A+=[1^

3時(shí)，12'2),,122,

.?.西+國(guó)喟+亍=3

(2)

OA?OB=道sina+cosa=2sina+工

I6

V0<a<-,

2663

■■OA-OB的取值范圍為[1,2].

21.⑴也

2

(2)g

【分析】（）將無(wú)用古、而表示，根據(jù)平面向量的運(yùn)算律以及定義可求出結(jié)果;

1CziCn

（2）根據(jù)平面向量基本定理可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)楹?；（歸+3），

1____________________11-1

22

所以|函2=削前+2G4,C5+|C5|）=：_X（2+2X2X1XCOS600+1）--,

答案第141頁(yè)，共22頁(yè)

（2）因?yàn)槎?'反"所以無(wú)-而