第一章 集合與常用邏輯用語（B能力卷）（解析版）

集合與常用邏輯用語（B能力卷）單項(xiàng)選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意.故選：B2．命題“，0”的否定為（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】因?yàn)槊}“，0”是全稱量詞命題，所以其否定為，，故選：C3．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．1 B．2 C． D．1或2【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足要求；當(dāng)時(shí)，或，若，此時(shí)，集合不滿足元素互異性；若，此時(shí)，滿足要求，綜上可知，的取值為或，故選：D.4．對(duì)任意實(shí)數(shù)，給出下列命題：①“”是“”的充要條件；②“方程有且只有一個(gè)負(fù)實(shí)根”的充要條件是“”；③“”是“”的充要條件；④“”是“”的必要非充分條件，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】對(duì)于①中，當(dāng)時(shí)，可得，即充分性成立；反之，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，與不一定相等，即必要性不成立，所以的充分不必要條件，所以①不正確；對(duì)于②中，當(dāng)時(shí)，方程，解得，此時(shí)有一個(gè)負(fù)實(shí)根，所以②不正確；對(duì)于③中，由，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得，即充分性成立；反之：由，可得成立，即必要性成立，所以是的充要條件，所以③正確；對(duì)于④中，當(dāng)時(shí)，不一定成立，即充分性不成立；反之：當(dāng)時(shí)，可得一定成立，即必要性成立，所以是的必要非充分條件，所以④正確.故選：B.5．若集合至多含有一個(gè)元素，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榧现炼嗪幸粋€(gè)元素，所以時(shí)，，此時(shí)滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，需方程無實(shí)根或兩相等實(shí)根，即，所以.綜上知，的取值范圍是.故選：B.6．命題，使得成立.若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】命題，使得成立.若是假命題則命題的否定為：，使得成立，為真命題.所以在上恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).所以故選：A7．已知，，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．或【答案】B【詳解】集合A中，由得，當(dāng)時(shí)，，（舍）；當(dāng)時(shí)，，，所以集合；集合B中，若，，則，符合要求；若，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸為，若，則，，綜上可得：故選：B8．若不等式成立的充分條件為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：不等式成立的充分條件是，設(shè)不等式的解集為A，則，當(dāng)時(shí)，，不滿足要求；當(dāng)時(shí)，，若，則，解得.故選：A.多項(xiàng)選擇題（本大題共4題，每小題5分，共計(jì)20分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，多選或錯(cuò)選不得分）9．下列各組集合不表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】ABD【詳解】選項(xiàng)A：集合中的元素為，集合中的元素為，故不表示同一個(gè)集合；選項(xiàng)B：集合中的元素是直線上的點(diǎn)，集合是所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，故不表示同一個(gè)集合；選項(xiàng)C：集合和集合都是和這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合，故是同一個(gè)集合；選項(xiàng)D：集合中的元素是和，集合中的元素是點(diǎn)，故不表示同一個(gè)集合.故選：ABD.10．下列表述正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】對(duì)A，即，解得或，故A正確；對(duì)B，因?yàn)楹愠闪?，故B正確；對(duì)C，即，解得或，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，即，故D錯(cuò)誤故選：AB11．在下列結(jié)論中，正確的有（）A．是的必要不充分條件B．在中，“”是“為直角三角形”的充要條件C．若，則“”是“，不全為0”的充要條件D．一個(gè)四邊形是正方形是它是菱形的必要條件【答案】AC【詳解】對(duì)于A中，由，可得，可得，所以充分性不成立，反之：由，可得，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分條件，所以A正確；對(duì)于B中，在中，由，可得為直角三角形，反之：由為直角三角形，不一定得到，所以是為直角三角形的充分不必要條件，所以B不正確；對(duì)于C中，若，由，可得不全為，反之：當(dāng)不全為，可得，所以是不全為0”的充要條件，所以C正確；對(duì)于D中，若一個(gè)四邊形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立，反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立，所以一個(gè)四邊形是正方形是它是菱形的充分不必要條件，所以D不正確.故答案為：AC12．設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時(shí)，有.給出如下四個(gè)命題，其中正確命題的有（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，根據(jù)當(dāng)時(shí)，有，可得，得，可得，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，則，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，時(shí)，此時(shí)符合題意，D錯(cuò).故選：ABC．三、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）13．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【詳解】由于，所以，所以的取值范圍是.故答案為：14．向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度（只有“贊成”、“不贊成”兩種態(tài)度），有如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，贊成B的比贊成A的多4人；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)是對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的九分之二，則對(duì)A、B兩事件都贊成的學(xué)生有______人.【答案】【詳解】設(shè)對(duì)A、B兩事件都贊成的學(xué)生有人，則，解得故答案為：15．若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的最小值為__________.【答案】【詳解】解：因?yàn)椤?，”是真命題，即，所以，則實(shí)數(shù)的最小值為；故答案為：16．設(shè)為實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集為A，若，則的取值范圍是_____________【答案】【詳解】由題意，，則或解得或.四、解答題（解答題需寫出必要的解題過程或文字說明，共70分）17．已知集合，.求：（1）（2）（3）【詳解】解不等式，即，解得，所以集合.集合.（1）由，可得.（2）由得或，又因?yàn)?，所?（3）由，可得，所以或.18．已知集合，，，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）∵，∴，∴或，解之得或或，經(jīng)檢驗(yàn)或不合題意，舍去，故.（2）由（1）可得，∵，當(dāng)時(shí)，適合題意，故，當(dāng)時(shí)，，得或，∴實(shí)數(shù)的值為或或19．已知集合（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值，并寫出相應(yīng)的集合；（3）若A中至少有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）若A是空集，則方程無解，此時(shí)且，即，所以的取值范圍為；（2）若A中至多有一個(gè)元素，則方程有且只有一個(gè)實(shí)根或者無解，若方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，滿足條件，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得：，若方程無解，由（1）可知，綜上可知：若A中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）若A中至少有兩個(gè)元素，則有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)且，解得且，所以a的取值范圍是.20．已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：，得：或.因?yàn)?，所以，所以集合中只能有元?1，4，所以或，所以或.21．已知命題，命題.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和均為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：(1)根據(jù)題意，知當(dāng)時(shí)，.，為真命題，.實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)由(1)知命題為真命題時(shí)，.命題為真命題時(shí)，，解得為真命題時(shí)，.，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.（1）若，試證明A中還有另外兩個(gè)元素；（2）集合A能否只含有兩個(gè)元素?請(qǐng)說明理由；（3）若A中元素個(gè)數(shù)不超過8，所有元素的和為，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合A中的所有元素.【詳解】解：（1）證明：由題意可知若，則.，.，，若，則A中還有另外兩個(gè)元素，.（2）集合A不是雙元素集合.理由如下：若，則，則，因?yàn)椋?，，，?/p>