第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)（知識(shí)通關(guān)詳解）-【單元測(cè)試】2023數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷（解析版）

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)詳解考點(diǎn)一：集合的定義及其關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.（2）常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集.（3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.（4）集合的表示法①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.（5）集合的分類(lèi)①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().題型一：集合的概念例1：1．下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的是（

）A．充分接近的所有實(shí)數(shù) B．所有的正方形C．著名的數(shù)學(xué)家 D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【詳解】選項(xiàng)A，C不滿足集合的確定性；集合B正方形是確定的，故能構(gòu)成集合；選項(xiàng)D不滿足集合的互異性．故選：B．舉一反三1．下列選項(xiàng)能組成集合的是（

）A．著名的運(yùn)動(dòng)健兒 B．英文26個(gè)字母 C．非常接近0的數(shù) D．勇敢的人【答案】B解：著名的運(yùn)動(dòng)健兒，元素不確定，不能組成集合；英文26個(gè)字母，滿足集合元素的特征，所以能組成集合；非常接近0的數(shù)，元素不確定，不能組成集合；勇敢的人，元素不確定，不能組成集合.故選：B．2．下列所給的對(duì)象能組成集合的是（

）A．“金磚國(guó)家”成員國(guó) B．接近1的數(shù)C．著名的科學(xué)家 D．漂亮的鮮花【答案】A.【詳解】對(duì)于A，“金磚國(guó)家”成員國(guó)即巴西，俄羅斯，印度，中國(guó)，南非，能組成集合，故A正確；對(duì)于B，C，D三個(gè)選項(xiàng)來(lái)說(shuō)，研究對(duì)象無(wú)法確定，所以不能組成集合.故選：A.題型二：元素與集合例2：1．下列關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)常見(jiàn)的數(shù)集，元素與集合的關(guān)系可知，，，不正確，故選：C2．已知集合，則______.【答案】【詳解】若，符合題意；若，不符合題意；若，符合題意.故答案為：.舉一反三1．若集合則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，要使原不等式無(wú)解，應(yīng)滿足，解得；綜上，的取值范圍是．故選：B．2．已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B解：由，解得，所以．所以，共有7個(gè)元素，故選：B．題型三：集合中元素的特性例3：2．若集合有且只有一個(gè)元素，則的取值集合為_(kāi)_________．【答案】##【詳解】①若，則，解得，滿足集合A中只有一個(gè)元素，所以符合題意；②若，則為二次方程，集合A有且只有一個(gè)元素等價(jià)于，解得.故答案為：.2．下列命題中正確的是（

）①與表示同一個(gè)集合②由1，2，3組成的集合可表示為或③方程的所有解的集合可表示為④集合可以用列舉法表示A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都對(duì)【答案】C解：對(duì)于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正確；對(duì)于②，根據(jù)集合中元素的無(wú)序性，知②正確；對(duì)于③，根據(jù)集合元素的互異性，知③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由于該集合為無(wú)限集、且無(wú)明顯的規(guī)律性，所以不能用列舉法表示，所以④不正確.綜上可得只有②正確.故選：C.舉一反三1．已知且，則由的值構(gòu)成的集合是_______.【答案】【詳解】，；或，解得.故答案為：．2．設(shè)集合，其中，且，若，則中的元素之和為_(kāi)____.【答案】0【詳解】因?yàn)?，所以若，則集合不成立．所以．若因?yàn)椋?，所以必有，所以．因?yàn)椋曰颍?，此時(shí)不成立，舍去．若，則，成立．所以元素之和為．故答案為：0.題型四：集合的表示法例3：1．設(shè)全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，圖中陰影部分表示的集合為．故選：A．2．試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于且小于的所有整數(shù)組成的集合．【解析】(1)方程的根可以用x表示，它滿足的條件是，因此，用描述法表示為；又方程的根是，因此，用列舉法表示為．(2)大于且小于的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是且，因此，用描述法表示為；大于且小于的整數(shù)有，因此，用列舉法表示為舉一反三1．設(shè)集合，則用列舉法表示集合為_(kāi)_____．【詳解】∵，則可得，則又∵，則當(dāng)成立，當(dāng)成立，∴故答案為：．2．用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(4)拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；(5)集合.【解析】(1)解：所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：(2)解：不等式的解集，用描述法可表示為：.(3)解：方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，用描述法可表示為：.(4)解：拋物線上所有點(diǎn)組成的集合，用描述法可表示為：.(5)解：集合，用描述法可表示為：且.考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系1.子集、真子集、集合相等名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA2.已知集合有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有非空真子集.題型一：子集、真子集例1：1．已知集合，且中的至多有一個(gè)偶數(shù)，則這樣的集合共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【詳解】當(dāng)集合中無(wú)偶數(shù)，則，或，當(dāng)集合中只有一個(gè)偶數(shù)，則，或，或，或，共有個(gè)，故選：D.2．集合至多有1個(gè)真子集，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，由題意得，得，綜上，的取值范圍是故選：D舉一反三1．集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】由題意可知，集合A的非空真子集為，共6個(gè).故選：B.2．（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4個(gè)子集C．集合D．集合【答案】BC【詳解】對(duì)A，空集不是它自身的真子集，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，所以有個(gè)子集，故B正確；對(duì)C，因?yàn)閮蓚€(gè)集合中的元素均為被3除余1的所有整數(shù)，所以?xún)蓚€(gè)集合相等，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，但，故兩個(gè)集合不相等，故D錯(cuò)誤.故選：BC.題型二：包含關(guān)系例2：若集合滿足，，，，則滿足上述條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．4【答案】D解：因?yàn)?，，所以中最多能含?，2兩個(gè)元素，所以，，，，共4個(gè)．故選：D．舉一反三1.（2022·江蘇鹽城·高一期末）設(shè)集合{是正四棱柱}，{是長(zhǎng)方體}，{是正方體}，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)正四棱柱的高與底面邊長(zhǎng)相等時(shí)，該正四棱柱為正方體；當(dāng)長(zhǎng)方體底面為正方形時(shí)，該長(zhǎng)方體為正四棱柱；.故選：B.2．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)高二期中）用適當(dāng)?shù)姆?hào)(?，?，∈，?)填空：（1）________；（2）2________；（3）N*________N；（4）R________Q.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故；（2）當(dāng)時(shí)，，故2；（3）因?yàn)闉檎麛?shù)集，為自然數(shù)集，所以（4）因?yàn)闉閷?shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，所以.故答案為：；；；.題型三：相等關(guān)系例3：已知集合，若，則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D解：因?yàn)榍遥?，且，又，所以和為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以；故選：D舉一反三設(shè)集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實(shí)數(shù)x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C解：因?yàn)椋?，解得或，的取值集合為，故選：C題型四：空集例3：①，②，③，④，其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】正確；正確；不正確，左邊是數(shù)集，右邊是點(diǎn)集；不正確，左邊是點(diǎn)集，右邊是點(diǎn)集，但點(diǎn)不相同.故正確的有①②，共2個(gè).故選：B.舉一反三下列各式中關(guān)系符號(hào)運(yùn)用正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C.【詳解】根據(jù)元素和集合的關(guān)系是屬于和不屬于，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)集合與集合的關(guān)系是包含或不包含，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；根據(jù)空集是任何集合的子集，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C正確.故選：C.考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補(bǔ)集（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。SCsAA（2）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即ASCsAA所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）。記作：CSA，即CSA={x|xS且xA}（3）性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)題型一：交集例1：（2022·全國(guó)·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故，故選：B.舉一反三（2022·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.題型二：并集例2：（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故選：D.舉一反三（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：.故選：B.題型三：補(bǔ)集、全集例3：（2022·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:舉一反三（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．題型四：集合的交并補(bǔ)例4：（2021·天津·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，.故選：C.舉一反三（2022·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)全集，集合，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.題型五：Venn圖例5：（2019·全國(guó)·高考真題（理））《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．舉一反三（2022·江西·九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班所有同學(xué)都參加了羽毛球或乒乓球比賽，已知該班共有23人參加羽毛球賽，35人參加乒乓球賽，既參加羽毛球又參加乒乓球賽有6人，則該班學(xué)生數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：設(shè)參加羽毛球賽為集合，參加乒乓球賽為集合，依題意可得如下韋恩圖：所以該班一共有人；故答案為：題型六：集合的新定義例6：（2022·貴州·凱里一中高一期中）已知且，若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題得.故選：B舉一反三（多選）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：對(duì)于任意的、，都有，則稱(chēng)集合關(guān)于運(yùn)算為“回歸集”．下列集合關(guān)于運(yùn)算為“回歸集”的是（

）A．為，為自然數(shù)的減法B．為，為有理數(shù)的乘法C．為，為實(shí)數(shù)的加法D．已知全集，集合，為，為實(shí)數(shù)的乘法【答案】BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，為自然數(shù)的減法，則，A不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，若，對(duì)任意的、，則，B滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，若，對(duì)任意的、，則，C滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，已知全集，集合，，取，，則，D不滿足條件.故選：BC.考點(diǎn)四：充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果已知，那么就說(shuō)：是的充分條件，是的必要條件；若，則是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來(lái)區(qū)分命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系：Ⅰ、從邏輯推理關(guān)系上看：①若，則是充分條件，是的必要條件；②若，但，則是充分而不必要條件;③若，但，則是必要而不充分條件;④若且，則是的充要條件；⑤若且，則是的既不充分也不必要條件.Ⅱ、從集合與集合之間的關(guān)系上看：已知滿足條件，滿足條件：,則是充分條件；②若,則是必要條件；③若AB，則是充分而不必要條件;④若BA，則是必要而不充分條件;⑤若，則是的充要條件；⑥若且，則是的既不充分也不必要條件.題型一：充分不必要條件例1：請(qǐng)寫(xiě)出不等式的一個(gè)充分不必要條件___________．【答案】(答案不唯一)【詳解】因?yàn)槟芡瞥觯遣荒芡瞥?，所以是不等式的一個(gè)充分不必要條件，故答案為：（答案不唯一）舉一反三已知集合，B={x|-1<x<m+2}，若x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】求出.【詳解】集合.因?yàn)閤∈A是x∈B成立的充分不必要條件，所以B.因?yàn)锽={x|-1<x<m+2}，所以只需滿足：，解得：.故答案為：.題型二：必要不充分條件例2：已知“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)不等式，再根據(jù)“”是“”的必要不充分條件求解.【詳解】不等式等價(jià)于，即，解得．因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以，即的取值范圍為．故答案為：舉一反三若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】解：由，得或，即不等式的解集為或，由，得，若，則不等式的解為，此時(shí)不等式的解集為為，若，則不等式的解集為或，若，不等式的解集為或，若“”是“”的必要不充分條件，則，則當(dāng)時(shí)，不滿足條件．當(dāng)時(shí)則滿足，即，得，當(dāng)時(shí)，則滿足，得，得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：.題型三：充要條件例3：“，”的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】“，”等價(jià)于，即，故“，”的充要條件是，故選：B舉一反三“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立”的一個(gè)充分必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，，由，得，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，,綜上，，.，“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立”的一個(gè)充分必要條件是，.故選：.題型四：既不充分也不必要條件例4：設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】解不等式，得，解不等式，得，故由可推出，由推不出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.舉一反三若a，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，兩邊除以b，得，當(dāng)且時(shí)，兩邊除以b，得.故“”是“”的既不充分也不必要條件