2024年高考數(shù)學(xué) 全等與相似模型之十字模型（含答案）

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全等與相似模型之十字模型

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對(duì)位置等幾何對(duì)象的性質(zhì)和變換。在初中幾

何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識(shí)的一個(gè)重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生

更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角

及一組全等的三角形。

1）如圖1,在正方形N8CD中，若￡、尸分別是8C、CD上的點(diǎn)，AE1BF；則AE=BF?

2）如圖2,在正方形/BCD中，若E、F、G分別是2C、CD、上的點(diǎn)，AE1GF；則AE=GF。

3）如圖3,在正方形48c。中，若￡、F、G、〃分別是8C、CD、AB、40上的點(diǎn)，EHLGF-,則HE=GF。

模型巧記：正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.

例1.（2223下?廣東?課時(shí)練習(xí)）如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片的頂點(diǎn)/折疊至DC邊上的點(diǎn)

E,使DE=5,若折痕為尸。，則尸。的長(zhǎng)為（）

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A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作PM18C于點(diǎn)由折疊得到P0L4E,從而得到乙乙4尸0,可得△PQM三A4DE,從

而得到「。=/￡,再由勾股定理，即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作PM15C于點(diǎn)”，由折疊得到尸QL4E,.?.乙D/E+乙4P0=90。，

在正方形48CD中，AD\\BC,〃）=90。，CD1BC,

■■■ZJDAE+Z-AED=90°,■?■ZAED-/-APQ,/-APQ-Z.PQM,■■■/-PQM-/-APQ-/-AED,

■■■PMLBC,：.PM=AD,-：/-D=Z-PMQ=90a,:APQM三5DE,：.PQ=AE,

在RtA4DE中，DE=5,AD=12,由勾股定理得：AE=^52+122=13--.PQ=13.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，得到△尸0初三?。片是解題

的關(guān)鍵.

例2.（2024年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形4BCD中，AB=12,點(diǎn)、E,廠分別在邊3C,

CD上，/E與8尸相交于點(diǎn)G,若BE=CF=5,則8G的長(zhǎng)為.

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■一60

【答案】F

【分析】根據(jù)題意證明A/BE會(huì)△8CF（SAS）,MEBG^MFBC,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，.?.N48E="=9O。，AB=BC,

■：BE=CF,.1△/BEgA8CF（SAS）,ZBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABG=90°,：.ZBAE+ZABG^90°,:.ZBGE=90°,ZBGE=ZC,

又???ZEBG=NFBC,:VEBGWFBC,

BCBF

2222

vBC=AB=n,CF=BE=5,BF=^BC+CF=V12+5=13.

BG56060

??.『K.MG=ir故答案為：1r

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

例3.（2024安徽省蕪湖市九年級(jí)期中）如圖，正方形/BCD中，點(diǎn)￡、F、H分別是4B、BC、CD的中點(diǎn),

CE、DF交于G,連接ZG、HG.下列結(jié)論：①CE工DF；@AG=DG；③NCHG=NDAG；

@2HG=AD.正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用正方形的性質(zhì)找條件證明V8CE絲VCD尸（SAS）,則=尸，ZBCE+ZECD=90°

得至叱ECO+/C。尸=90。，則NCGO=90。，即可判斷①；連接/〃，同理可得：出△OCF（SAS）,

AH1DF,在Rt^CG。中，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到HG=^-CD=^-AD,即可判

22

斷④；可得VDG〃是等腰三角形，由等腰三角形三線合一得到OK=GK,N”垂直平分DG,AG=AD；

假設(shè)/G=OG,推出矛盾，則/GwDG,即可判斷②；證明△/DG是等腰三角形，由三線合一可知

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/DAG=2/DAH,由△4D"四△QC廠得到=NCD尸，由GH=DH得至I]/HDG=NHGD,由三角形

外角的性質(zhì)得到NCHG=2ZCDF=2ZDAH,即可判斷③.

【詳解】解：???四邊形48。是正方形，.?.48=JBC=CD=4D,NB=/BCD=NADC=90°,

???點(diǎn)E、F、〃分別是43、BC、CD的中點(diǎn)，.?.JBE=CF,

BE=CF

在VBCE與VCDF中,=NDCF,BCE會(huì)VCDF(SAS),NECB=NCDF,

BC=CD

■：ZBCE+ZECD=90°,：.AECD+NCDF=90°,

.■.ZCGD=90°,.-.CE1DF；故①正確；連接如圖所示:

同理可得：A4DH出△DCF（SAS）,AHIDF,在RtACGZ>中，X是CO邊的中點(diǎn)，

；.HG=；CD=；AD,即2HG=/。；故④正確；

=.?.VDG〃是等腰三角形，.?.！?=GK,垂直平分DG,：.AG=AD-,

若/G=Z）G,則△/OG是等邊三角形，則/4DG=60。，ZCDF=ZADC-ZADG=30°,

貝=尸，而CF=；8C=；CD,與￡>R>CD矛盾，

.-.ZCDF^30°,.-.ZADG^60°,：.AG^DG,故②錯(cuò)誤；

???/G=4D,是等腰三角形，

■.■AH1DF,：.ZDAG=2ZDAH,^ADH^/XDCF,ADAH=ACDF,

???GH=DH,ZHDG=ZHGD,.-.ZCHG=ZHDG+ZHGD=2ZCDF=2ZDAH,

；.NCHG=NDAG；故③正確；正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例4.（廣西2024-2024學(xué)年九年級(jí)月考）（1）感知：如圖①，在正方形/BCD中，E為邊48上一點(diǎn)（點(diǎn)

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￡不與點(diǎn)重合），連接過(guò)點(diǎn)N作加工龐，交BC于點(diǎn)尸，證明：DE=AF.

（2）探究：如圖②，在正方形/BCD中，E,尸分別為邊48,C。上的點(diǎn)（點(diǎn)E,尸不與正方形的頂點(diǎn)重

合），連接斯，作斯的垂線分別交邊AD,BC于點(diǎn)G,H,垂足為。.若E為48中點(diǎn)，DF=\,

4B=4,求G”的長(zhǎng).（3）應(yīng)用：如圖③，在正方形/BCD中，點(diǎn)￡,尸分別在3C,CD上，BE=CF,

BF,/E相交于點(diǎn)G.若NB=3,圖中陰影部分的面積與正方形48co的面積之比為2：3,則V/8G的面積

為,V/8G的周長(zhǎng)為.

圖①圖②圖③

【答案】（1）見解析；（2）GH=后；（3）-,V15+3

【分析】感知：由正方形的性質(zhì)得出乙DAE=UBF=90。,證得乙4?！?必/尸，由4SL4證得

ADAE=AABFCASA）,即可得出結(jié)論；

探究：分別過(guò)點(diǎn)/、D作AN〃GH,DM〃EF,分別交BC、4B于點(diǎn)、N、M,由正方形的性質(zhì)得出

AB//CD,AB=CD,乙DAB=4B=9G°,推出四邊形。Affi戶是平行四邊形，ME=DF=\,DM=EF,證出

DM].GH,同理，四邊形/GHN是平行四邊形，GH=AN,ANA.DM,證得乙由/取證得

AADM=ABAN,得出推出DM=GH,由￡為48中點(diǎn)，得出/￡=：48=2,則4W=/E-

1-由勾股定理得出。=*7,即可得出結(jié)果;

應(yīng)用：S正方/ABCD=9,由陰影部分的面積與正方形A8CD的面積之比為2：3,得出陰影部分的面積為6,

空白部分的面積為3,由"S證得A42E三ABC凡得出乙BE4=4FC,S&ABG=S四邊形CEGF,貝US/8G=

313

乙FBC+乙BEA=90°,貝此5GE=90。，UGB=90。,設(shè)4G=eBG=b,則,仍=,,2ab=6,由勾股定

理得出序+〃=452=32,a2+2ab-^b2=15,即（a+b）2=15,得出即可得出結(jié)果.

【詳解】證明：???四邊形45CD是正方形，

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圖②

AD=AB,ZDAE=ZABF=90°,

；AF_\_比,/.ZDAF+ZBAF=90°,ZDAF+ZADE=90°,/.ZADE=ZBAF,

ZADE=ZBAF

在VZUE和△48尸中，［AD=AB,：.\/DAE^/\ABF(ASA),；.DE=AF.

/DAE=/ABF

探究：解：分別過(guò)點(diǎn)4、。作/N〃GH,DM//EF,分別交BC、AB于點(diǎn)N、M,如圖②所示:

???四邊形45CD是正方形，.?.4B〃CQ,AB=CD,/DAB=/B=90。,

???四邊形。河￡尸是平行四邊形，.?.ME=DF=LDM=EF,

vAN//GH,GH1EF,；.DMLGH,

同理，四邊形4GHV是平行四邊形，.?.G”=AN,

-DM//EF,GH1EF,/.AN1DMf/.ADAN+ZADM=90°,

vADAN+/BAN=90°，:.ZADM=/BAN,

/ADM=/BAN

在河和VB/N中，\AD=AB,

ADAM=/ABN=90°

.?.△ADMzYBAN(ASA),DM=AN,/.EF=GH=DM=AN,

???E為45中點(diǎn)，/.AE=-AB=2,/.AM=AE-ME=2-1=1,

2

-DM=^AD2+AM2=V42+12=V17，-GH=V17.

應(yīng)用：解：???Z3=3,??.S_/8CD=3x3=9,

???陰影部分的面積與正方形45cZ)的面積之比為2：3,

???陰影部分的面積為：梟9=6,??.空白部分的面積為：9-6=3,

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1BE=CF

在a/BE和尸中，\￡）ABE=QBCF=9Q°,.-.AABE^ABCF（SAS）,

\AB=BC

工乙BEA=cBFC,SMBG=S四邊形CEGF,

13

.-.S^5G=-x3=-,dBC+乙BEA=9b,；/BGE=90。,；2GB=90。,

設(shè)4G=〃，BG=b,貝.?.2qb=6,

,：a2+b2=AB2=32,^.a2+2ab+b2=32+6=15,即（a+b）2=15,而a+b>0,

3

--a+b=415,即3G+NG=JiW,.?.AABG的周長(zhǎng)為岳+3,故答案為：-,V15+3.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角

形面積與正方形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)

鍵.

模型2.矩形的十字架模型（相似模型）

矩形的十字架模型：矩形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩

形的兩邊之比。通過(guò)平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。

如圖1,在矩形/BCD中，若E是48上的點(diǎn)，5.DELAC,則%=些.

ACAB

如圖2,在矩形/BCD中，若E、尸分別是48、CD上的點(diǎn)，>EF1AC,則——=—.

ACAB

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FFRC

如圖3,在矩形/BCD中，若E、F、M,N分別是48、CD、AD、2c上的點(diǎn)，且EFLMN,則——=—

MNAB

例L（2223下?廣西?九年級(jí)期中）如圖，把邊長(zhǎng)為43=2應(yīng)，8C=4且N8=45。的平行四邊形Z3CD對(duì)

折，使點(diǎn)8和。重合，求折痕AGV的長(zhǎng).

【分析】先證明△。河G,得至IJT7==R7，求出BE和BF,然后得到BD,DG和MG的長(zhǎng)度，再

利用全等三角形的性質(zhì)，即可得到答案.

ZMDF=ZDFB=90°，:.ZMDB+ZBDF=90°,

又,：MN工BD,：.ZDMG+ZMDG=90°,ZBDF=ZDMG,

DFBF

又???ZBFD=ZDGM=90°,：-ABDF一叢DMG,——=——，

MGDG

AB=2正且N4BF=45°,：.BE=DF=2,

又?；BC=4.：.BF=BC+CF=BC+DF=6,

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BD=y/BF2+DF2=A/62+22=2V10>:.DG=；BD=5，

：.MG=0F，DG=2x710=Vw,BG=DG,MN±BD,ZMDB=ZDBF，

BF63

:.叢DMG”叢BNG,：.MG=NG,MN=2MG=.

3

【點(diǎn)睛】此題是折疊問(wèn)題，考查折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，運(yùn)用所學(xué)的性質(zhì)定理得到△8〃尸"從而求出所需邊的長(zhǎng)

度.

例2.（2223下?河北?九年級(jí)期中）如圖，在矩形/8C。中，E、F、G、H分別為40、BC、AB、CD

邊上的點(diǎn)，當(dāng)即_LG〃時(shí)，證明：EF:GH=AB:BC.

【答案】見解析

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)“，過(guò)點(diǎn)G作GNLCD于點(diǎn)N,先根據(jù)余角的性質(zhì)證明

4MEF=ZGHN,再證明△GN〃即可證明結(jié)論成立.

【詳解】證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)尸作為0，/。于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GNLCD于點(diǎn)N,

■.■FM1AD,且四邊形/BCD為矩形，

FMI/CD,：.N1=NGHN,ZEFM+ZMEF=90°.

又?:EF1GH,：.NEFM+N1=9Q°,："MEF=NGHN.

又?:NFME=NGNH=90°,:.叢FME“叢GNH,

EF:GHMF:GN=AB:BC.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

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例3.（22-23?貴港?中考真題）己知：在矩形/BCD中，AB=6,AD=20尸是3c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

矩形"BCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，折痕為EF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則線段￡2=,EF=；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8,C均不重合時(shí)，取E尸的中點(diǎn)O,連接并延長(zhǎng)尸。與G廠的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)",

連接尸尸，ME,MA.

①求證：四邊形ME尸尸是平行四邊形：②當(dāng)tan/M4D=g時(shí)，求四邊形MEPF的面積.

圖1圖2

【答案】（1）2,4；（2）①見解析；②竽

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作FH1AB,由翻折的性質(zhì)可知：AE=CE,ZFEA=ZFEC,NG=NA=90。根據(jù)平行線的性

質(zhì)和等量代換可得NCFE=NFEC,由等角對(duì)等邊可得：CF=CE,設(shè)AE=CE=x,BE=6-X,在Rt^BCE中，由

勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程求得X的值，進(jìn)而可得BE、DF的長(zhǎng)，由矩形的判定可得四邊形DAHF

是矩形，進(jìn)而可求FH、EH的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得EF的長(zhǎng)；

（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得MG//PE,進(jìn)而可得/兒不。=/P￡。，根據(jù)已知條件可得。尸=。￡,從而易證

△FOMHEOP,進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定即可求證結(jié)論；

②連接P4與EF交于點(diǎn)H,則EF_LPN且尸〃=又由①知：PO=MO,MAIIEF,則

繼而易證NMAD=PAB,接根據(jù)三角函數(shù)求得PB,設(shè)PE=x,則3￡=6-x,根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方

程，解方程可得PE的長(zhǎng)，繼而代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】解：（1）EB=2,EF=A；過(guò)點(diǎn)F作FH1AB,

,?,折疊后點(diǎn)A、P、C重合，.AE=CE,ZFEA=ZFEC,

???CD||AB；.NCFE=NFEA,.-.ZCFE=ZFEC,.?.CF=CE=AE,

設(shè)AE=CE=CF=x,BE=AB-AE=6-x,

在RSBCE中，由勾股定理可得2c2+m2=以2,gp（2V3）2+（6-X）2=X2

解得：x=4,即AE=CE=CF=4;.BE=2、DF=2,

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?.2D=NA=NFHA=90。.?.四邊形DAHF是矩形,

??.FH=AD=2百、EH=AB-BE-AH=6-2-2=2

在RtaEFH中，由勾股定理可得:

(2)①證明：如圖2,???在矩形48co中，CDHAB,

由折疊(軸對(duì)稱)性質(zhì)，得：MG//PE,ZMFO=ZPE0,

,?,點(diǎn)。是E尸的中點(diǎn)，.5=0E,XZF0M=ZE0P,,-,AFOM^^EOP,

；.MF=PE,.?.四邊形MET方是平行四邊形：

②如圖2,連接R4與交于點(diǎn)〃，則即_LR4且=,

又由①知：PO=MO,：.MAHEF,則

又DALBA,.-.ZMAD=ZPAB,?-,tanZMAD=tanZPAB=-

3

PB1

在RNPAB,tanZPAB=—=-,^AB^6,：.PB=2,

AB3

又在RNPEB中,若設(shè)尸E=x,則BE=6-x,

由勾股定理得：x?—(6—x)=2~,貝!］尸E=x=w，而PG_LAfG且尸G=40=2,

又四邊形MEPF是平行四邊形，.??四邊形MEPF的面積為尸ExPG=3x26=迎.

33

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與翻折的問(wèn)題，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判

定及其性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、正切的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識(shí)并且學(xué)會(huì)作輔助線.

例4.(2024年四川樂(lè)山中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷)解答

圖1圖2圖3

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⑴如圖1,矩形ZBCQ中，EFLGH,EF分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,G”分別交4),3C于點(diǎn)G,H.求證:

FFADFF11RN

華=*；(2)如圖2,在滿足(1)的條件下，點(diǎn)/，N分別在邊8C,上，若優(yōu)=￡，求*的值;

GHABGH15AM

DN

⑶如圖3四邊形/BCD中，4LBC=90。，42=40=10,AMLDN,點(diǎn)、M,N分別在邊8C,AB±.,,求——

AM

的值.

114

【答案】⑴見解析(2)石⑶]

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)/作/川斯，交CD于P,過(guò)點(diǎn)2作B0IIG8,交4D于0,如圖1,易證4P=ERGH

=BQ,△PDAMQAB,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；

(2)只需運(yùn)用(1)中的結(jié)論，就可得到名=與=整，就可解決問(wèn)題；

GHABAM

(3)過(guò)點(diǎn)。作平行于的直線，交過(guò)點(diǎn)/平行于2c的直線于凡交8C的延長(zhǎng)線于S,如圖3,易證四

邊形/3SR是矩形，由(1)中的結(jié)論可得器=當(dāng).設(shè)SC=x,DS=y,則4R=8S=5+x,RD=10-y,

AMAB

在M/kCSD中根據(jù)勾股定理可得N+J?=25①，在必ZUR。中根據(jù)勾股定理可得(5+無(wú))2+(10-y)2=

100②，解①②就可求出x,即可得到/R,問(wèn)題得以解決.

(1)解：過(guò)點(diǎn)N作/尸||￡尸，交CD于P,過(guò)點(diǎn)8作BQIIG”,交4。于0，如圖1

O,PFCD----FNCRDS

AEBAEB

ANB

圖圖

12圖3

???四邊形"BCD是矩形，??4BILDC,ADWC.

，四邊形/￡戶尸、四邊形都是平行四邊形，GH=BQ.

又rGHLEF,-.AP1BQ,：./.QAT+/-AQT=90°.

???四邊形/BCD是矩形，.-.ADAB=^D=90a,：.乙DAP+乙DPA;=90°,

APADEFAL

.■.^AQT=^DPA..-.APDA^QAB,—=—,-

(2)如圖2,"EF1GH,AMLBN,

,,、EFADBNADBNEl11

.?.由(1)中的結(jié)論可得——=——，——=——，——=—

GHABAMABAMG1i15,

(3)過(guò)點(diǎn)。作平行于N3的直線，交過(guò)點(diǎn)/平行于8C的直線于凡交2C的延長(zhǎng)線于S,如圖3,

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則四邊形是平行四邊形.???乙48C=90。，.??□/AST?是矩形,

???〃=ZS=9O°,RS=4B=10,AR=BS.

,_i_/_L_>A—r/口DNA.R

?.?NMirw,?,.由（ix）中的結(jié)論可得——=——.

AMAB

設(shè)SC=x,DS=y,貝l|NR=8S=5+x,7?。=10-y,???在&△GST）中，x2+y2=25（l）,

在RDM中，（5+x）2+（10-y）2=100②，由②-①得x=2y-5③，

x2+y2=25x=3

解方程組（舍去），或

x=2y-5y=4

DN_AR84

???4R=5+x=8,

105

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解二元二次方程組等

知識(shí)，運(yùn)用（1）中的結(jié)論是解決第（2）、（3）小題的關(guān)鍵.

模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）

1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：

如圖1,已知等邊BD=EC（或CD=/E）,則且ND和8E夾角為60。，AABC。

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

如圖2,在A42C中，AB=BC,AB±BC,①。為2c中點(diǎn)，②BFLAD,③AF：FC=2：1,④

乙BDA"CDF,⑤乙AFBMCFD,⑥乙4EC=135°,@AE=y[lEC,以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。

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3）直角三角形中的十字模型：

如圖3,在三角形48c中，BC=kAB,ABLBC,。為8c中點(diǎn)，BFLAD,貝UNF：FC=2：F,（相似）

例：1.（22-23.成都市.八年級(jí)期中）如圖，在等邊△/8C中，D、￡分別是8C、NC上的點(diǎn)，且3O=CE,AD

與BE相交于點(diǎn)P.下列結(jié)論：?AE=CD-,（2）AP=BE；③NPAE=/ABE；@ZAPB=nO°,其中正

確的結(jié)論是（填序號(hào)）

【解答】解：①因?yàn)镹C=BC,BD=CE,所以/￡=CD.故①正確,

②?.?△43C是等邊三角形，；./4BZ）=/C=60°,AB=BC.

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rAB=BC

在△48。與△2CE中，，NABD=NC，:?△ABD"ABCE(SAS)；:.AD=BE.故②錯(cuò)誤；

LBD=CE

③由②知等△3CE,所以NDAB=/CBE,則NP/￡=N/8￡,故③正確；

④\,由②知等△BCE.；.NBAD=NEBC,；./BAD+NABP=NABD=60°.

；//PE是△NAP的外角，ZAPE=ZBAD+ZABP=60°,ZAPB=nO°,故④正確.

例2.(2223下,淄博?一模)如圖，等邊VABC,點(diǎn)、E,尸分別在NC,8c邊上，AE=CF,連接//，BE,

相交于點(diǎn)尸.⑴求NAPF的度數(shù)；(2)求證：BPBE=BFBC.

BFC

【答案】(1)/BPF=6O。；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)SAS證明△A4E之利用三角形的外角性質(zhì)即可得解;

(2)證明45尸尸利用對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例列式即可.

【詳解】(1)解：???V/8C是等邊三角形，.?.48=/C,ZBAE=ZACF=60°,

又AE=CF,；.ABAE2AACF(SAS)ZABE=/CAF,

ZBPF=AABP+ZBAP=ZCAF+NBAP=ABAC=60°；

(2)證明：/BPF=60°,ZBCE=60°,："BPF=NBCE.

BPBF

?：4BF=NCBE：.ABPFs^BCE,：.—=—,BP-BE=BF-BC.

BCBE

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條

件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

例3.Q223下?無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊V/BC中，D、E分別為邊BC、/C上的點(diǎn)，AD

與3E相交于點(diǎn)P,若8￡>=CE=2,則44尸￡=。；則V/8P的周長(zhǎng)為.

B

D

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42+18/

【答案】120

7

【分析】根據(jù)“S證V/5D絲V8CE,得出乙4尸8=120。，在上取一點(diǎn)尸使C7=CE=2,則

BF=BC-CF=4,證YAPBsVBFE,根據(jù)比例關(guān)系設(shè)8P=x,則4P=2x,作14D延長(zhǎng)線于77,利

用勾股定理列方程求解即可得出BP和好的長(zhǎng).

【詳解】解：???V/8C是等邊三角形，.1/8=8。，/4&D=/C=60。,

AB=BC

在△48。和V3CE中,<AABD=NCNABD到BCE(SAS),；.ABAD=ACBE,

BD=CE

/.NAPE=ZABP+ABAD=NABP+ACBE=/ABD=60°,ZAPB=120°,

在。5上取一點(diǎn)廠使CF=CE=2,貝產(chǎn)=5C—CF=4,

ZC=60°,「.VCE戶是等邊三角形，ZBFE=120°,BPZAPB=ZBFE,:VAPBs'BFE,

APBF4

A—=—=-=2,設(shè)BP=x,貝!]4P=2x,作皿延長(zhǎng)線于

BPEF2

x八r5

?/ZBPD=ZAPE=60°,:.ZPBH=30°,:.PH=-,BH=—X,**-AH=AP+PH=2x+-=-x,

2222

在RtV/8”中，AH2+BH2=AB2,B|J(|X)2+(^X)2=62,解得工=字或-亨(舍去)，

;.AP=^~,BP=—,,V/BP的周長(zhǎng)為/8+2P+8P=6+^^+辿=6+^^=^^^,

777777

故答案為：120,42+180.

7

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等

知識(shí)，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例4.（2223下?六安?一模）如圖1,等邊V4BC中，點(diǎn)。、E分別在BC、AC±,S.BD=CE,連接/￡＞、BE

交于點(diǎn)凡⑴求證：///芭=60。；⑵如圖2,連接CF,若BD=；BC,判斷CF與的位置關(guān)系并說(shuō)明理

由；（3汝口圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)G在NE上，GF的延長(zhǎng)線交2。于“，當(dāng)/G=/G=5時(shí)，請(qǐng)直接寫出

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線段F”的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

【答案】①詳見解析⑵，詳見解析(3)2

【分析】(1)因?yàn)閂/3C為等邊三角形，所以4BD=4CE=60",AB=AC=BC,又BD=CE,即可判定

△ABDmYBCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ABAD=NCBE,利用三角形外角性質(zhì)解答即可；

(2)延長(zhǎng)2E至使廠”=/尸，連接NM、CM,取印的中點(diǎn)N,連接。V,可證得是等邊三

角形，得出NE4M=60°,AF=AM=FM,再證得/三V/C"(SNS),推出a4FM=NCW,

CM//AF,證得△/MsVCE”，推出FA/=2CM,結(jié)合點(diǎn)N是尸N的中點(diǎn)，得出CM=MN=FN,MCMN

是等邊三角形，進(jìn)而可得NMCN=NMVC=60。，CN=MN,推出

ZAFC=ZAFM+ZNFC=600+30°=90°,即CF_L4D；(3)延長(zhǎng)AE■至使FA/=4F,連接

DFBD1

AM.CM,取4D的中點(diǎn)K,連接GK,可得YBDF“YBCM,——=—=一，推出40=7。/，再由GK

CMBC3

是V/CA的中位線，可得GK//BC,G^=1cz>=|xy=y,FK=DK-DF=^DF,再由V。尸〃一

\IKFG,可得里=變=2,進(jìn)而可得出7=2,再證得NB尸〃=/C8E,得出FH=BH=2.

GKFK5

【詳解】(1)為等邊三角形，.?.4g=ZC=5C,ZABD=ZBCE=600,

AB=BC

在4ABD和\JBCE中，*ZABD=ZBCE,；NABD=YBCE(SAS),/BAD=ZCBE,

BD=CE

■：ZADC=ACBE+ZBFD=ABAD+NB,：,ZBFD=NB=ZAFE=60°；

(2)CF±AD,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)BE至朋r，使=N尸，連接/M、CM,取R0的中點(diǎn)N,連接。V,

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由⑴得：NAFE=60°,r是等邊三角形，=60°,AF=AM=FM,

ABAC=ZFAM=ZAMF=60°,/.NBAC-ACAD=ZFAM-ACAD,即ZBAF=ZCAM,

在/和△/CM中，vAB=AC,NBAF=/CAM,AF=AM,

:.MABF三MACM(SAS),...ZAFB=ZAMC=180°-60°=120°,

ACME=ZAMC-ZAMF=120°-60°=60°,ZAFM=ACME,

CM//AF:.VAEF—VCEM,-----=,

AFAE

iiCE1

BD=—BC,BD=CE,BC=AC,:.CE=—AC即---=—,

33fAE2

gpAF=2CM,FM=2CM,

AF2

??,點(diǎn)N是尸M的中點(diǎn)，F(xiàn)M=2FN=2MN,CM=MN=FN,

又?.?NCM7V=6O。，是等邊三角形，.?.NMCN=NJWC=60。，CN=MN,

：.CN=FN,ZNFC=ZNCF=30°,/.ZFCM=ZNCF+AMCN=300+60°=90°,

ZAFC=AAFM+ZNFC=600+30°=90°,/.CF1AD■,

(3)如圖，延長(zhǎng)BE至/,使FAf=4F,連接/M、CM,取4D的中點(diǎn)K,連接GK,

由(2)知：AF=FM=2CM,AABF空AACM,CM//AF,ZAFC=90°,

DFBD1

:MBDFBCM,——=—=一，CM=3DF,AF=6DF,AD=IDF,

CMBC3

AG=FG=5,ZCAF=ZAFG,ZCAF+ZACF=90°,ZAFG+ZCFG=90°,

ZACF=ZCFG,:.CG=FG=5=AG,.,.點(diǎn)G是NC的中點(diǎn)，AC=10=BC,

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,?,點(diǎn)K是的中點(diǎn)，，GK是V4CZ）的中位線，廠.GK〃8C,GK=—CD=—x--=--,

2233

175

vAK=DK=-AD=-DF,FK=DK-DF=-DF,

222

■：GK//BC,NDFHsX/KFG,—=—=DH=-GK=-x—=-,

GKFK55533

BD=-BC=—,:.BH=BD-DH=---=2,

3333

NBFH=ZEFG=ZAFE-NAFG=600-ZAFG=60°-ZCAF=ABAD=NCBE,FH=BH=2.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，直角三角形性質(zhì),

三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線

構(gòu)造全等三角形和相似三角形.

例5.（2223上?深圳,期中）如圖，在MV/8C中，ZABC=90°,氏4=8C=3,點(diǎn)。為8C邊上的中點(diǎn)，

連接4D,過(guò)點(diǎn)8作2EL4D于點(diǎn)E,延長(zhǎng)3E交/C于點(diǎn)足則3尸的長(zhǎng)為.

【答案】亞

【分析】以342C為鄰邊作正方形，延長(zhǎng)3尸交CG為//,先求出NEBD=/B4D,再證明出

RtMABD^RtMBCH,得出即H為CG的中點(diǎn)，再證明V4F8svC,利用相似比及勾股定理即可求解.

【詳解】解：以B48C為鄰邊作正方形，延長(zhǎng)3尸交CG為如下圖：

?.?ZBDE=ZADB,ABED=ZABD=90°,.MBED^MABD,：.NEBD=ZBAD,

itRtMABDRt\JBCH41，;NEBD=/BAD,ZHBC=ZDAB,

■：ZABD=ZBCH,AB=BC,：.RtMABD^RtMBCH,BD=CH,即H為CG的中點(diǎn),

AB//CH,：.ZABF=ZCHF,ZBAF=NHCF.MAFB^MCFH,

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HFCH

:.BF=-BH,

3

■l-BH=^BC2+CH2=—,:.BF=-BH=-x—=45,故答案為：B

2332

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)、三角形全等、正方形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利

用相似三角形的相似比來(lái)求解.

例6.（2223下?滄州?二模）如圖，在Rt445C中，ZABC=90°,48=8。，點(diǎn)。是線段a8上的一點(diǎn),

連接CD,過(guò)點(diǎn)8作2GLCZ）,分別交C。、C4于點(diǎn)E、F,與過(guò)點(diǎn)/且垂直于的直線相交于點(diǎn)G,連

接DF,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

AfZAT7B

A.冬=蕓B.若點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，則Zb

ABFC3

1

C.當(dāng)2、C、F、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF=DBD.若二二刀，貝USV?BC=9SVB°F

ALJZ.

【答案】D

［分析］由\JAFGsVCFB,可確定A項(xiàng)正確；由7ABG4BCD可得4G=g43=g8C,進(jìn)而由NAFGsVCFB

確定點(diǎn)廠為C4的三等分點(diǎn)，可確定B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)得到/CED=//BC=90。，得到CD為圓的直徑，因?yàn)?GLC。，根據(jù)垂徑定理得到。尸=,故C項(xiàng)

Ap1

正確；因?yàn)镈為的三等分點(diǎn)，V/FGsVCEB即次=刀，可得凡”?=，由此確定。項(xiàng)錯(cuò)誤.

Cr3