2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納（全國）全等與相似模型-半角模型（解析版）

全等與相似模型-半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.半角模型

半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補短）構(gòu)造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化.

解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與

半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半

角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)一一證全等一一得到相關(guān)結(jié)論.

【模型展示】

1）正方形半角模型

FDGA

條件：四邊形/BCD是正方形，Z￡CF=45°；

結(jié)論：①△BCE0ADCG;②ACEF/ACGF;@EF=BE+DF；④ZUEP的周長=2/3；

⑤）CE、C/分別平分4廠和乙￡即。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：△4BC是等腰直角三角形，NDAE=45°；

結(jié)論：①△BAD//XCG;②△D4E9AGAE；③4ECG==90°;@DE2=BD2+EC2

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3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：ZUBC是等邊三角形，ABDC是等腰三角形，＞BD=CD,NBDC=120。,/EDF=60°；

結(jié)論：①4BDE組/\CDG；②△EDF94GDF；③EF=BE+FC；④△/斯的周長=2/5；

⑤DE、。廠分別平分43所和乙EFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

條件：A4BC是等邊三角形，NEAD=3Q。；

結(jié)論：①人BDA0ACFA;②△D4E0AF4E；③NECF=120。；@DE2=^BD+EC）2+BD

5）半角模型（2a-a型）

條件：NBAC=2a,AB=AC,"AE=a；

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結(jié)論：①△24D2△C4F;②△E4D94EAF；③4ECF=180°-2a。

例1.（2022?黑龍江?九年級階段練習）已知四邊形/BCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點

與/點重合，將此三角板繞/點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線8。，C〃于M,N.

⑴如圖1,當MN分別在邊2C,CD上時，求證：BM+DN^MN

（2）如圖2,當M,N分別在邊8C,CO的延長線上時，請直接寫出線段DN,九加之間的數(shù)量關(guān)系―

（3）如圖3,直線ZN與2C交于尸點，MN=W,CN=6,MC=8,求CP的長.

【答案】（1）見解析；（2）BM-DN=MN-，⑶3

【分析】⑴延長CB到G使3G=￡W,連接/G,先證明AAGB合AAND,由此得到/G=/N,4GAB=4DAN,

再根據(jù)2MAN=45°,ABAD=90°,可以得到NGAM=ZNAM=45°,從而證明AAMN”△/MG,然后根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)即可證明即/+。"=及亞；（2）在8河上取一點G,使得BG=Z）N,連接NG,先證明

AAGB=AAND,由此得到NG=/N,ZGAB=ADAN,由此可得NG/N=NB/。=90。，再根據(jù)NM4N=45。

可以得到/GAM=ZNAM=45。，從而證明4AMN^^AMG,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明

BM-DN=MN；（3）在。N上取一點G,使得DG=5M,連接NG,先證明,再證明

AAMN^AAGN,^DG=BM=x,根據(jù)。C=3C可求得丈=2,由此可得NB=BC=CD=CN=6,最后再證明

△ABP"4NCP,由此即可求得答案.

【詳解】（1）證明：如圖，延長C3到G使3G=ON,連接/G,

???四邊形/5CD是正方形，:=ZABG=ZADN=ZBAD=90°

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AB=AD

在"BG與△ADN中，/ABG=ZADN,/.RAGB-RAND也AS),：.AG=AN,4GAB=/DAN,

BG=DN

*./MAN=45。,ABAD=90°,；DAN+/BAM=/BAD-/MAN=4,,

/GAM=/GAB+/BAM=ADAN+/BAM=45°,/.ZGAM=ANAM,

AM=AM

在△力MV與△ZMG中，＜4GAM=4NAM,/\AMN^/\AMG(SAS),:.MN=GM,

AN=AG

又TBM+GB=GM,BG=DN,：.BM+DN=MN

(2)BM-DN=MN,理由如下：如圖,在8M上取一點G,使得2G=DN,連接NG,

.??四邊形/BCD是正方形，==〃BG=ZADN=NB4D=90。,

-AB=AD

在“BG與中，2ABG=ZADN,:.dAGB*AND(SAS),：.AG=AN,NGAB=/DAN,

GB=DN

：,NGAB+Z.GAD=Z.DAN+NGAD,：.NGAN=ABAD=90°,

文：ZMAN=45°,AGAM=^GAN-ZMAN=43==^MAN,

?AM=AM

在A/ACV與A/MG中，2GAM=2N4M,/^AMN^/^AMG(SAS),:.MN=GM,

AN=AG

34'.'BM-BG=GM,BG=DN,BM—DN=MN,故答案為：BM—DN=MN

(3)如圖，在DN上取一點G,使得Z)G=BM,連接NG,

,四邊形/BCD是正方形，AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=NBAD=90°,ABUCD,

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AB=AD

在A/BM與AADG中，ZABM=ZADG,AABM^AADG(SAS)t

BM=DG

AM=AG,AMAB=AGAD,:.NMAB+NBAG=NGAD+NBAG,:.NMAG=NBAD=98,

文：ZMAN=45：ZGAN=ZMAG-ZMAN=45°=ZMAN,

'AM=AG

在.AAMN與AAGN中,,4MAN=4GAN,/\AMN^AAGN(SAS),MN=GN=10,

AN=AN

設(shè)。G=BA/=x,CN=6,MC=8,DC=DG+GN-CN=x+l0-6=x+4,BC=MC-BM=8-x,

-：DC=BC,：.x+4=S-x,解得：x=2,：.AB=BC=CD=CN=6,'：AB!/CD,：.4BAP=ZCNP、

ZAPB=ZNPC

在△AB尸與ANC尸中，2B4P=NCNP,:4BP*NCP(AAS),:.CP=BP=^BC=3,二.CP的長為3.

AB=CN

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠作出正確的輔助線并能靈活運用全等

三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的的關(guān)鍵.

例2.（2022?北京四中九年級期中）如圖，在△48C中，//C3=90。，CA=CB,點尸在線段48上，作射

線CP（0°<NACP<45°）,射線CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到射線CQ,過點A作ADLCP于點D,交

C0于點凡連接BE⑴依題意補全圖形；（2）用等式表示線段DE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴作圖見解析.（2）結(jié)論：AD+BE=DE.證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.（2）結(jié)論：AD+BE=DE.延長。4至尸，使DF=DE,連接CE利用

全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

（1）解：如圖所示：

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理由：延長D4至尸，＜DF=DE,連接CF.-：ADLCP,DF=DE,:.CE=CF,:/DCF=NDCE=45。,

-：AACB=90°,：.AACD+AECB=45°,,:NDCA+/ACF=/DCF=45°,:"FCA-ECB,

'CA=CB

在和△BCE中,4CF=/8C￡,:.△ACFiQABCE（SAS）,：.AF=BE,：.AD+BE=DE.

CF=CE

【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

例3.（2022秋?江蘇揚州?八年級?？茧A段練習）如圖，在等邊三角形/3C中，在/C邊上取兩點可、N,使

AMBN=30°.若4M=m,MN=x,CN=n,則以不〃?,"為邊長的三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C,鈍角三角形D.隨三件"的值而定

【答案】C

【分析】將繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△C8H,連接HN,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的等量

關(guān)系可得：±NBM=±NBH,然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得ANSM/△仍以，由全等三角形的性質(zhì)可

將X、機、"放在△%（行中，即可確定三角形的形狀.

【詳解】解：如圖所示：將△48M繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△C2H,連接HN,

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A

jn

T^C

H

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，BM=BH,CH=AM,ZABM=NCBH,ZBCH=AA,

「A4BC是等邊三角形，："4BC=/4CB=NA=60°,-/ZMBN=30°,:"ABM+/CBN=30°,

：.ZNBH=ZCBH+ZCBN=ZABM+ZCBN=30°,ANBM=ANBH,

BN=BN

在ANBM與4NBH中,/NBM=ZNBH,^NBM^ANBH(SAS),:.MN=NH=x,

BM=BH

.:NBCH=/4=6Q°,CH=AM=m,:"NCH=12。。,

:.以x,m,〃為邊長的三角形是鈍角三角形.故選：C.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利

用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，

例4.(2022?廣東深圳?八年級期末)如圖，44BC中,ZBAC=120°,/8=/C,點〃為3c邊上一點.點

￡為線段CD上一點，且CE=2,AB=4框,ADAE=60°,則的長為.

【分析】將如繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)120。至連接ME,過“作MQ1BC于0,過/作4F13C

于尸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AZERA/CM,設(shè)CQ=X,貝iJCM=2x,QM=瓜,證明,

得EM=D￡=10-2x,最后利用勾股定理來解答.

【詳解】解：如圖，將△4B。繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)120。至△/CM,連接ME,過河作于0,過N

作/尸_LBC于尸，

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Z3AC=120°,AB=AC,CE=2,AB=4拒,

ZACM=Z5=30°=AACB,ZBAD=ZCAM,ZMCQ=60°,/尸=g/2=gx4百=2百，

2CMQ=30°,BF=CF=yjAB2-AF2="4用工2可=6.

在MAQMC中，CQ=gc”.CE=2,:.BE=2BF-CE=12-2=10.

設(shè)C0=x,CM=2x,QM=JCM2—CG=J(2尤y一/=瓜,EQ=x-2.

■:ZDAE=60。=NFAC,ZBAC=120°,ABAD+AEAC=ZEAC+ZCAM=60°,:.ZDAF=NEAG.

'AD=AM

■：Z.DAE=AEAM,在A/OE和中,=:.AADE"/\AME(SAS),

AE=AE

EM=DE=BE-BD=BE-CM=lQ-2x,由勾股定理得：EM2=EQ2+QM2,

(10-2X)2=(X-2)2+(V3X)2,；.X=|，即CQ=|D￡=10-2x=10-y=y.故答案為：y.

【點睛】本題考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形有判定和性質(zhì)，勾股定理,

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是求解本題的關(guān)鍵.

例5.(2022?廣東廣州?二模)如圖，點。為等邊A4BC外一點，ZBDC=120°,BD=CD,點、M,N分別

在和/C上，NMDN=60。且NW=9,AN=4,MN=8,則A48C的邊長為.

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【分析】先證明/。即/=/。。'=90。，如圖，延長/C至4使CH=BM,連接再證明△D8M/4DC”

(SAS),證明(SAS),可得MN=HN=BM+CN,從而可得答案.

【詳解】解：???△45C為等邊三角形.,.N/5C=N/C8=60。，AB=AC,

■."Z5DC=120°,BD=CD,:"DBC=￡DCB=gx(180°-120°)=30°,￡DBM=ADCN=Q0°,

如圖，延長NC至〃，使CH=BM,連接

：.ADCH=90°,：.ADBM=/LDCH,

iBM=CH

在和△7X7/中，\EDBM=E)DCH,：.ADBM^/\DCH(SAS),：.DM=DH,ABDM=ACDH,

\DB=DC

-：ABDM+ACDN=60°,：.ZCDN+ACDH=&0°,：.AMDN=AHDN,

[DM=DH

在△MDN和中，\DMDN=DHDN,:./\MDN^/XHDN(SAS),：.MN=HN=BM+CN,

\DN=DN

'：AM=9,AN=4,MN=8,\AM+AN+MN=9+4+8=21=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

\AB^21=10.5.即等邊三角形的邊長為：10.5.故答案為：10.5

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形

是解本題的關(guān)鍵.

例6.(2023春?江蘇?八年級專題練習)(1)如圖①，在四邊形/3CO中，AB=AD,NB=ND=90。，E,

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(2)如圖②，在四邊形48co中，AB=AD,ZS+Z￡>=180°,E,尸分別是邊8C,。。上的點，且

ZEAF=^ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；

(3)在四邊形48。中，AB=AD,/3+/。=180。，E,尸分別是邊8C,8所在直線上的點，且

/胡尸=；2切。請畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段E尸，BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴EF=BE+FD；(2)成立，理由見解析；(3)圖形見解析，EF=BE-FD

【分析】(1)延長EB到G,使BG=DF,連接/G.證明"5G二”。尸，則2G=Zb，Zl=Z2,

Zl+Z3=Z2+Z3=/LEAF=^ZBAD,證明A/GE/AAFE(SAS),得出￡/=GE,由此可得M=GE,

EF=BE+FD；

(2)思路和作輔助線的方法同(1)；

(3)根據(jù)(1)的證法，可得出分=3G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【詳解】解：(1)延長E8至G,使3G=D尸，連接/G,

JAB=AD,ZABG=AABC=ND=90°,BG=DF,：.△ABG/A^Z)F(SAS),

AG=AF,Z1=Z2,Z1+Z3=Z2+Z3=ZEAF=-ZBAD,;.ZG4E=NEAF,

2

-AG=AF

在“GE和AAFE中，,NGAE=ZEAF,/.^AGE^AFE(SAS),EG=EF,

AE=AE

-：EG=BE+BG,5.BG=FDEF=BE+FD,故答案為：EF=BE+FD.

(2)解：(1)中的結(jié)論仍成立，證明：如圖所示，延長C8至W,使BM=DF,

ZABC+ZD=180°,Zl+ZABC=180°,/.ZJ=Z￡>,

AB=AD

在和尸中，?4=ND,AABM^AADF(SAS)tAF=AM,N2=N3,

BM=DF

■：/LEAF=\ABAD,：,Z2+Z4=-ABAD=/LEAF,：.N3+N4=NE4F,BPZ.MAE=Z.EAF,

22

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AM=AF

在1和△/FE中，?/-MAE=AEAF,^AME^AFE(S\S.),

AE=AE

：.EF=EM,即EF=EM=BE+BM=BE+DF.

(3)EF=BE-FD,證明：如圖所示，在BE上截取3G使BG=。尸，連接/G,

Z5+Z^DC=180P,ZADW+/ADC=180°,：.ZB=ZADF,

'AB=AD

在AABG和△ADF中，-ZABG=ZADF,r.AABG^△/￡?尸(SAS),

BG=DF

：.ZBAG=NDAF,AG=AF,：.ABAG+NEAD=NDAF+ZEAD=ZEAF=；N&4D,二NGAE=NEAF,

'AG=AF

在a/EG和中，,ZGAE=ZEAF,:.“EGdAEF(SAS),：,EG=EF,

AE=AE

-：EG=BE-BG,S.BG=FD,：.EF=BE-FD.

【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有

明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.

例6.(2023.山東八年級期中)綜合與實踐

(1)如圖1,在正方形/BCD中，點M、N分別在CD上,若/MBN=45。，則MV,AM,CN的數(shù)

量關(guān)系為.(2)如圖2,在四邊形/BCD中，BCHAD,AB=BC,//+/C=180。，點A/、N分別在

AD、CD上,若NMBN=gNABC,試探索線段MMNM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證

明.

(3)如圖3,在四邊形/BCD中，AB=BC,//3C+/4DC=180。，點林N分別在CD的延長線上,

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若4MBN=g"BC,試探究線段AW、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為,

圖1圖2圖3

【答案】(1)MN=AM+CN；(2)MN=AM+CN,理由見解析；⑶MN^CN-AM,理由見解析

【詳解】解：⑴如圖，把繞點2順時針旋轉(zhuǎn)使48邊與2C邊重合，則8M=2吠々A=4BCM',

2ABM=4M'BC,

N

在正方形4BCD中，￡A=^BCD=￡ABC=90°,AB=BC,:./BOT+NBCD=18。。,

.,.點ATC、N三點共線，ZMBN=45°,:.乙ABM+4CBN=45°,

ZM'BN=ZM'BC+ZCBN=ZABM+ZCBN=45。,即ZM'BN=ZMBN,

:BN=BN,：.^NBM^ANBM',：.MN=M'N,-：M'N=M'C+CN,.-.MN=M'C+CN=AM+CN-,

(2)MN=AM+CN-,理由如下：

如圖，把河繞點8順時針旋轉(zhuǎn)使邊與3C邊重合，貝BM=BM\NA=/BCM1

AABM=AM'BC,

■：Z^+/C=180°,：.^BCM'+ABCD=-\80°,二點“、C、N三點共線,

■：AMBN=yAABC,:ZABM+LCBN*LABC=LMBN,ZCBN+ZM'BC=ZMBN,即

AM'BN=￡MBN,

-：BN=BN,/\NBM^/\NBM',:.MN=M'N,-：M'N=M'C+CN,:.MN=M'C+CN=AM+CN-,

(3)MN=CN-AM,理由如下：如圖，在NC上截取連接

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,在四邊形中，AABC+￡ADC=J\80°,/C+N8/0=180。，

?；NBAM+/B4D=180°,：.ABAM=AC,；AB=BC,AABM^ACBM',

：.AM=CM',BM=BM',AABM=ACBM',:"MAM'=4ABC,

■：￡MBN=yAABC,：.AMBN=AMAM'=AM'BN,-：BN=BN,：.ANBM^ANBM',：.MN=M'N,

-：M'N=CN-CM',：.MN=CN-AM.故答案是：MN=CN-AM.

模型2.半角模型（相似模型）

【常見模型及結(jié)論】

1）半角模型（正方形中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABC。中，/EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且/日尸=45。

Ap4EEFI—

結(jié)論：如圖1,AAMNsAAFE且——=——=—=V2.（思路提示：AANM=AAEF,AAMN=AAFE）-,

AMANMN

圖1圖2

結(jié)論：如圖2,AMANs4MDA,ANAMSANBA；

ApAri—

結(jié)論：如圖3,連接NC,則△NAffisa/bC,/\AND^/\AEC,且——=——=應(yīng);

AMAB

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圖3圖4

結(jié)論：如圖4,ABMEsAAMNsADFN.

2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）

⑴含45°半角模型

條件：如圖1,已知43/C=90°,ZABC=ZACB=ADAE=45°；

結(jié)論:①；②理=坦=；③2

LABEs^DAEsADCA"AB.ac=BE-CD{AB=BE-CD)

BEAEAC

(2)含60°半角模型

條件：如圖1,已知48NC=120°,ZADE=ADAE=60°；

結(jié)論:①八4BDs八CAEs八CBA；②更=絲=￡；③AD-AE=BD-CE(。爐=BD.CE)

BDAEAB

例1.（2023?山東濟南?九年級期中）如圖，在正方形4BCD中，點￡、尸分別是3C、。。邊上的兩點，且

ZEAF=45°,AE、"分別交2。于M,N.下列結(jié)論：?AB2=BN-DM;②AF平分NDFE；

③AM-AE=AN-AF；@BE+DF=42MN.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①②③C.①③D.①②

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【答案】A

【分析】①轉(zhuǎn)證48:2席=?！?48,因為4B=4D,所以即證48:2席=。”:40.證明②把△4BE

繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得汨證明的△/FE（&45）；③即證/Af:/N=4FUE,證明△WWsz\/FE■（兩

角相等）；④由②得8E十。尸=跖，當E點與8點重合、尸與C重合時，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)論成立.

【詳解】①:4BAN=4BAM+4MAN=/BAM+45。,

ZAMD=ZABM+ZBAM^45°+ZBAM,；.ZBAN=ZAMD.

XZABN=zADM=45°,:.AABNs^MDA,：.AB:BN=DM:AD,

'.'AD=AB,AB2=BNDM.故①正確；

②如圖，把A/BE繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△4。〃，

ABAD=Q0°,^EAF=45°,ABAE+ADAF=45°.：2EAF=4HAF,

'.'AE=AH,AF=AF,/\AEF^/\AHF,

：.AAFH=AAFE,即4F平分NDFE,故②正確；

③：ABIICD,：.ADFA=ABAN,

AAFE=^AFD,￡BAN=AAMD,：2AFE=』AMN,

又4MAN=LFAE,：.AAMN^AAFE,

■■.AM:AF=AN-.AE,BPAM-AE^AN-AF,故③正確；

④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE,過/作NO_L8D,^fAG_LEF,

則△4FE1與的相似比就是4G:/。，易證△/￡）尸0ZUG尸（445）,

則可知/6=40=血/0,從而得證，故④正確，故選：A.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、相似（包括全等）三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，綜合性

極強，難度較大.

例2.（2023?山西晉城?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形/BCD中，AD=9,AB=6,E,尸分別為，CD邊

上的點.若NENF=45。，AE=3y/5,則DF的長為.

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【答案】3

【分析】先做輔助線，作出相似三角形，再用等腰直角三角形的性質(zhì)，相似的判定和性質(zhì)即可求得。尸的長.

【詳解】在48上作點G,使BG=BE,在AD上作點“，使DH=DF,

BE=JAE。-AB。=?3布j_6。=3BG=BE=3

又=90°EG=42BE=372,ZBGE=45°:NNGE=180°-4BGE=180°-45°=135°

^DH=DF=xAH=AD-DH^9-x同理可得出=血。下=也-ZD必=45。

:"AHF=180°-ZDHF=180°-45°=135°;4GE=ZAHF=135°

???ZGAE=ABAD-ZEAF-ADAF=90°-45°-/DAF=45°-4DAF

ZAFH=Z.DHF-NDAF=45°-ZDAF/GAE=ZAFH

4r「Foa歷

■：AAGE=ZAHF,4GAE=ZAFH；.AAGE~AAHF；.——=——；.〒-=二^.。=3:。尸=3故填：3

HFAH岳9-x

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)，嚴格的邏輯思維時解題的

關(guān)鍵，做輔助線時解題的難點.

例3.（2023秋?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知ANBC中，ZACB=90°,AC=BC,點、D、E在

邊43上，CE2=BE-DE.⑴求證：/_DCE=45。；（2）當/C=3,時，求OE的長.

【答案】⑴見解析(2)迫

4

CFDF

【分析】(1)根據(jù)已知條件得出//8C=45。，冬，又乙DEC=4CEB,根據(jù)兩邊成比例夾角相等證

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明ADECSACEB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)過點。作DN//C于點N,勾股定理求得DC,由(1)可知ADECSAC仍，根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)列出比例式，進而即可求解.

【詳解】(1)證明：ZACB=90°,AC=BC,AABC=ABAC=45°

CEDE

"CE2=BE,DE----=-----,又/DEC=/CEB,「.ADECS^CEB,

BECE

ZDCE=ACBE=AABC=45°,BPZDCE=45°-,

(2)解：如圖，過點。作。N/ZC于點N,.?.乙4沏=90。，

?.?NCUN=45。，△4ON是等腰直角三角形,

ADAN_2

-：DN//BC,AD=2BD,

~AB~^4C~3

AC=3,..BC=AC=3,AB=3C,AN=DN=2,CN=\,

-：AD=2BD,.-.BD=42,在Rt/XOCW中，DC=個DN。+CN°=,

由(1)可知ADECS^CEB：.些=/=叵,

CEBC3

設(shè)DE=Mx,CE=3x,/—'"廠='^解得:x=,=DE=石x=.

V2+V5x344

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

例4.(2023?江蘇無錫?九年級期中)如圖，在“BC中，AB=AC=M,NA4c=120。，點D、￡都在邊3C

上，NZ2仞=60。.若BD=2CE,則?！甑拈L為.

【答案】6V3-6/-6+6V3

【分析】將△48。繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到△/CF,取CF的中點G,連接封、EG,由48=4=46,

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NA4c=120。，可得出乙8=4CB=30。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出NECG=60。，結(jié)合CF=8。=2CE可得出

△CEG為等邊三角形,進而得出△(?￡尸為直角三角形,求出BC的長度以及證明全等找出。E=EE,設(shè)￡C=x,

則BD=CF=2x,DE=FE=U-3x,在RaCEF中利用勾股定理可得出所=?戶-E?=瓜,利用

FE=12-3x=Sx可求出x以及尸E的信此題得解.

【詳解】解：將△48。繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到△4CF,取CF的中點G,連接E尸、EG,如圖所示：

過點/作/N13C于點N,如圖，

;4B=AC=46、ZBAC=120°,:.BN=CN,NB=ZACB=30°.

在RMB4N中,ZB=30°,AB=4后,:.AN.AB=2拒,

BN=^AB2-AN2=6,:-BC=12.ZACB=ZB=ZACF=30°,ZECG=6Q°.

CF=BD=2CE,CG=CE,..ACEG為等邊三角形，

：.EG=CG=FG,:.4EFG=ZFEG=；ZCGE=3Q°,Z\CEF為直角三角形.

ABAC=120°,ZDAE=60°,J.ZBAD+^CAE=60°,

ZFAE=ZFAC+NCAE=ABAD+NCAE=60°.

AD=AF

在VADE和△/尸E中，,NDAE=NFAE,：.^ADE^AFE(SAS),/.DE=FE.

AE=AE

設(shè)￡C=x,貝1」BD=C尸=2x,DE=FE=\2-,ix,

在及ACEF中，NC斯=90。，CF=2x,EC=x,EF7cFe-EC?=瓜,

.-.12-3x=V3x,x=2(3-V3),:.DE=瓜=66-6.故答案為：6^-6.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過勾股定理找出關(guān)于x的方程

是解題的關(guān)鍵.

例5.(2023秋?江蘇泰州?九年級?？计谀?(1)如圖1,D、￡為等邊力3C中8C邊所在直線上兩點，

ND4E=120。，求證：MBDS^ECA；(2)V/OE中，NONE=120。，請用不含刻度的直尺和圓規(guī)在DE

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上求作兩點B、C,點B在點。的左側(cè)，使得“3C為等邊三角形；

（3）在（1）的條件下，H為3c邊上一點，過“作必〃4D交Z8延長線于點尸，HG〃/E交4c延長

線于點G,若48=6,BD=a,ZHAE=60°,求一的值.（用含有。的代數(shù)式表示）

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）—

a"

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得48D=4c￡=120。，再由ND4E=120。，可得

/BAD+NC4E=60°,從而得到ND=NC/E,即可；

（2）作NB4D=NE,NCAE=ND,分別交于點民C,即可；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及功￡=60。，可彳導(dǎo)NBAD=NG4H,NFAH=NCAE,再由小〃/。，可

2A

得/F=NBAD,再由△ZADS4￡C4,可得CE=—，/F=/E,可證得,從而得到

FHAHGHAHGHFH

-^7=——,同理△ZGH,可得二X=從而得到了X=即可求解.

CEACBDABBDCE

【詳解】(1)證明：???”5C是等邊三角形，，乙48。=乙4c5=NA4C=60。，

/.ZABD=ZACE=120°,ZD+ZBAD=60°,

ADAE=120°,:ABAD+ACAE=/.DAE-ABAC=60°,

/.ND=/CAE,：.△ABDECA-,

(2)解：如圖，力BC即為所求；

理由：根據(jù)作圖得：4BAD=/E/CAE=4D,

:.叢ABDMECA,：.ZABD=ZACE,：.AABC=ZACB,

??/DAE=120。,，/D+/E=/D+/BAD=60。,NO+N￡=/￡+NG4￡=60。，

...ZABC=ZD+ABAD=60°,ZACB=NE+NCAE=60。,

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AABC=AACB=60°,ABAC=/LABC=AACB=60°,二AABC是等邊三角形;

(3)?；AABC是等邊三角形，ABAC=60°,AB=AC=6,

；NHAE=60°,ZDAE=nO°,ADAH=ZEAH=ABAC=60°,

ABAD=ZGAH,ZFAH=ZCAE,-：HF//AD,：.NF=NBAD,

ARDr)

由(1)得：AABDsAECA,,NBAD=NE,/D=/EAC,

CEAC

.6

--,即CE=—,/.Z_p—/E,/.^AFHs△力,

,~CE~6a

AHdeGHAHGHFH〃廠廠廠吧〃

?FH=---,同理△/G//------=------,-----=------,HFCE36.

"~CE'ACBDABBDCE后=訴=a==

HGBDaa

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例6.(2023?江西吉安?統(tǒng)考一模)綜合與實踐

數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習方式.通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習興趣，提高動手動腦能力，拓

展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗.讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片N8CD折疊，使邊AS、4D都落在對角線NC上，展開得折痕/￡、AF,連接

如圖1.

(1)AEAF=°,寫出圖中兩個等腰三角形：(不需要添加字母);

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的2瓦4尸繞點N旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊3。、CD于點P、Q,連接尸。，如圖2.

(2)線段BPPQ、。。之間的數(shù)量關(guān)系為；(3)連接正方形對角線22若圖2中的的

邊4P、AQ分別交對角線BD于點M、點、N.如圖3,則筆=________；

BM

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線3。剪開，如圖4.(4)求證：BM2+DN2=MN2.

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,4D

【答案】⑴45,“BC,△ADC；(2)BP+DQ=PQ；⑶&；⑷見解析

【分析】(1)由翻折的性質(zhì)可知：NDAF=NF4C,NBAE=NEAC,ZEAF=ZFAC+ZEAC,根據(jù)正方形

的性質(zhì)：AB=BC=CD=AD,ABAD=90°=ADAF+AFAC+Z.BAE+AEAC,則NE/尸==45。,

A/8C,A/DC為等腰三角形；

(2)如圖：將順時針旋轉(zhuǎn)90。，證明△APg△/尸。'全等，即可得出結(jié)論；

(3)證明■即可得出結(jié)論；

(4)根據(jù)半角模型，將順時針旋轉(zhuǎn)90。，連接MV',可得DN=BM,通過得出

MN=MN',△BKN為直角三角形，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由翻折的性質(zhì)可知：NDAF=NFAC/B4E=NEAC

:4BCD為正方形NBAD=90°,AB=BC=CD=AD:.AABCQADC為等腰三角形

.:NBAD=ZDAF+NFAC+NBAE+NEAC：2BAD=2(ZFAC+ZEAC)

■:NEAF=AFAC+AEAC：.NEAF=-ABAD=工x90°=45°

22

(2)如圖：將△4。。順時針旋轉(zhuǎn)90。,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AQ=AQ',DQ=BQ'ADAQ=ABAQ'由（1）中結(jié)論可得乙?/。=45。

..Z3CD為正方形，NBAD=90°：.ZBAP+ZDAQ=45°

ZBAQ'+ABAP=45°APAQ=APAQ'在△/尸°和△APQ1中

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AP=AP

■ZPAQ=ZPAQ':./\APQ^/\APQ':.PQ=PQ''：PQ'=BQ'+BPPQ=DQ+BP

AQ=AQ'

(3)-：BD,AC為正方形ABCD對角線/C=42AB

AABM=AACQ=45°,ABAC=45°

：ZPAQ=45°./BAM=45°-NPAC,ZCAQ=45°-Z.PAC

ABAM=ACAQAABM絲=—=72

BMAB

(4)如圖：將△4DN順時針旋轉(zhuǎn)90。，連接MM,

由(2)中的結(jié)論可證=

..2。=45。,/48。=45。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AABN'=45°,DN=BN'

：.ZMBN'=4ABD+4BN'=90°，在必△W中有BM2+BN'2=MN'2BM2+DN2=MN2

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，能夠綜合運用這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例7.(2023?湖北武漢??？寄M預(yù)測)在矩形48C。中，AD=nAB,AEAF=a(0。<a<90。)，點￡、

廠分別是邊3C、C。上的點，過點尸作FG〃3C,交直線ZE于點G.

⑴如圖1：若AD=6,〃=1,a=45°,BE=2,則EF=S^AEF=；

(2)如圖2：若〃=2,a=45。，過點/作FG〃3C,交/E于點G,過E作EH〃皿交AF于點H,求證:

尸G=2E〃；(3)如圖3：若"=2,BE=6,DF=△過點、F性FG〃BC,交/E于點G,FG=50,直

接寫出tana的值________.

【答案】⑴5,15(2)見詳解(3)4-a

【分析】⑴由〃=1,可得四邊形48co是正方形,將△ASE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得至U△ADG，可求CG=8,

可證三△G/尸，設(shè)EF=x,由C爐+。加=￡尸，即可求解；

(2)過A作_LNE交C。的延長線于取4W的中點N,連接HN、GM,過M作MP//HN交AF

于P,可得PM=2HN,可證△及4石一。//,可得=可證△及可得EH=HN,

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ZANH=ZAEH,設(shè)乙BAE=/3,=APFM,由NG/M+NGFW=180°,可證A、G、F.M

四點共圓，可得歹6=而，從而可得證；(3)過A作/M交CD的延長線于M,連接GW,由(2)

RF4R1

得可證NF0G=NE4b=a,——=——=-,即可求解.

DMAD2

【詳解】(1)解:

-：n=\,四邊形4BC。是正方形，，/氏4。=NC=N8=4DC=90。,

AB=