高中數(shù)學(xué)必修一復(fù)習(xí)知識點總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

知識架構(gòu)

第一講集合

★知識梳理

集合的含義及其關(guān)系

1.集合中的元素具有的三個性質(zhì):確定性、無序性和互異性;

2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖;

3.集合中元素與集合的關(guān)系：

文字語言符號語言

屬于€

不屬于￡

4.常見集合的符號表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集

符號ZQ

NN*或N+RC

集合間的基本關(guān)系

表示文字語言符號語言

關(guān)系

相等集合A與集合B中的所有元素

都相同A=B

子集A中任意一元素均為B中的元A^B或B二A

素

真子集A中任意一元素均為B中的元A^B

素，且B中至少有一元素不是

A的元素

空集空集是任何集合的子集，是任

6三A,（!）展B

何非空集合的真子集

三：集合的基本運算

①兩個集合的交集:A（B={x|xeA<xGB}；

②兩個集合的并集：AB=

③設(shè)全集是U,集合A0。,則G；A={,xe。且X至A}

交并補

n

A\B={x|xGA,eB]AB={x|xGA,SUeB}CUA={乂％￡U且xe

方法:常用數(shù)軸或韋恩圖進行集合的交、并、補三種運算.

★重、難點突破

重點：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補三種運算。

難點：正確把握集合元素的特征、進行集合的不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化，準確進行集合

的交、并、補三種運算。

重難點：

1.集合的概念

掌握集合的概念的關(guān)鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性，

在解題過程中最易被忽視，因此要對結(jié)果進行檢驗；

2.集合的表示法

(1)列舉法要注意元素的三個特性；(2)描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性

質(zhì)，如向丁=/(%)｝、｛"=/(*)｝、｛(羽y)|y=/(%)｝等的差別，如果對集合中代表元素認

識不清，將導(dǎo)致求解錯誤：

問題：已知集合M…層+》=1，川=卜1+措=1｝,貝i］McN=()

A.①；B.｛(3,0),(0,2)｝；C.［-3,3］；D.｛3,2｝

22

［錯解］誤以為集合“表示橢圓二+二=1,集合N表示直線二+2=1,由于這直

9432

線過橢圓的兩個頂點，于是錯選B

［正解］C；顯然3WxW3｝,N=R,故=3,3］

(3)Venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關(guān)問題和集合的運算時常用

Venn圖。

3.集合間的關(guān)系的幾個重要結(jié)論

(1)空集是任何集合的子集，即?？贏

(2)任何集合都是它本身的子集，即A

(3)子集、真子集都有傳遞性，即若4口8,B=C,則A1C

4.集合的運算性質(zhì)

(1)交集：①4口3=3門4；②ACA=A；③4門。=。；A^B^B

⑤4門5=AoAu5；

（2）并集：①AUBnBljA；②AUA=A；③AUO=A;@A\JB^A,A\JB^B

⑤AU3=AoBcA；

(3)交、并、補集的關(guān)系

①AnC°A=。；AUC°A=U

②。(An3)=(CuA)u(QB)；Cu(AU3)=(CvA)「(QB)

★熱點考點題型探析

考點一：集合的定義及其關(guān)系

題型1：集合元素的基本特征

［例1］(2008年江西理)定義集合運算：A*B=［z］z=xy,x^A,y^B］.設(shè)

A={1,2},5={0,2},則集合A*3的所有元素之和為()

A.0；B.2；C.3；D.6

［解題思路］根據(jù)A*B的定義，讓x在A中逐一取值,讓y在8中逐一取值，孫在值就是A*3

的元素

［解析］:正確解答本題，必需清楚集合4*3中的元素，顯然，根據(jù)題中定義的集合運算知

A*3={0,2,4},故應(yīng)選擇D

【名師指引】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的一個熱點，

這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。

題型2：集合間的基本關(guān)系

［例2］.數(shù)集X={(2〃+1)肛〃62}與丫={(4左±1)肛左eZ}之的關(guān)系是()

A.X呈Y；B.Y^X；C.X="D.XwF

［解題思路］可有兩種思路：一是將x和y的元素列舉出來，然后進行判斷；也可依選擇支之

間的關(guān)系進行判斷。

［解析］從題意看，數(shù)集X與y之間必然有關(guān)系，如果A成立，則D就成立，這不可能；

同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個成立，這也不可能，所以只能是C

【名師指引】新定義問題是高考的一個熱點，解決這類問題的辦法就是嚴格根據(jù)題中的定義,

逐個進行檢驗，不方便進行檢驗的，就設(shè)法舉反例。

［新題導(dǎo)練］

1.第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧

運會比賽的運動員},集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員},集合C={參加北京奧運會比

賽的女運動員}，則下列關(guān)系正確的是()

A.A^BB.BcCC.AAB=CD.B［jC=A

［解析］D；因為全集為A,而BUG=全集=A

2.(2006?山東改編)定義集合運算：A⑤3={z［=Yy+盯2,%eAyeM，設(shè)集合

A={1,0},B={2,3},則集合ABB的所有元素之和為

［解析］18,根據(jù)的定義，得到A(8)8={0,6,12},故A⑤8的所有元素之和為18

3.(2007?湖北改編)設(shè)P和。是兩個集合，定義集合尸―Q=且X0。},如果

P=向隆3x<1}，Q=國忖<1},那么P-Q等于

［解析］{x|l<%<3)；因為尸=.log3X<l}=(0,3)，0={小<1}=(—LD，所以

尸_0=(1,3)

4.研究集合4={小=%2—4},5={y|y=f—4},4={(羽丁)卜=——4}之間的關(guān)系

［解析］A與C,B與C都無包含關(guān)系，而雇A；因為人=附=%2—4}表示

丁=必-4的定義域，故A=R；3==Y-4)表示函數(shù)y=/-4的值域，

5=［-4,+8)；C={(x,y)|y=Y—4}表示曲線丁=一一4上的點集，可見，B展A,而A

與C,5與C都無包含關(guān)系

考點二：集合的基本運算

［例3］設(shè)集合人={小2一3%+2=O},B={^x2+2(a+l)x+(a2-5)=o}

(1)若AnB={2},求實數(shù)a的值；

(2)若AU3=A,求實數(shù)a的取值范圍若AnB={2},

［解題思路］對于含參數(shù)的集合的運算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。

［解析］因為人=比2—3%+2=0}=也2},

(1)由4口8={2}知，2eB,從而得2?+4(a+l)+(4—5)=0,即

tz2+4a+3=0,解得〃二一1或〃=―3

當a=-1時，B={%|x2-4=0}=L2,-2j,滿足條件；

當a=-3時，B=(^X2-4X+4=O}={2},滿足條件

所以。=一1或。=一3

(2)對于集合3,由2=4(a+l)2—4(/—5)=8(」+3)

因為AU5=A,所以

①當A<0,即a<—3時，B=(j),滿足條件；

②當A=0,即a=—3時，3={2},滿足條件;

③當△>€),即a>—3時，8=A={1,2}才能滿足條件，

,(5

1+2=—2(a+1)a=—

由根與系數(shù)的關(guān)系得，n2,矛盾

lx2=a2-52r

［［a=7

故實數(shù)。的取值范圍是aW—3

【名師指引】對于比較抽象的集合，在探究它們的關(guān)系時，要先對它們進行化簡。同時，要

注意集合的子集要考慮空與不空，不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.

［新題導(dǎo)練］

6.若集合8=卜僅=3*/€尺},T=b|y=Y—1,XGR},則5口7是()

A.S；B.T；C.。；D.有限集

［解析］A；由題意知，集合5=卜卜=3*/6尺}表示函數(shù)丁=3工川67?的值域，故

集合S=(0,+co)；T-{y|y=x2一l,xe尺}表示函數(shù)y-x"-1,XER的值域，

T=［-l,+oo),故SCT=S

7.已知集合〃={(%丁),+丁=2},N={(羽y)|x—丁=4卜那么集合MnN為()

A.x=3,y=-l；B.(3,-1)；C.{3,-1}；D.{(3,-1)}

［解析］D；MhN表示直線x+y=2與直線X—y=4的交點組成的集合，A、B、C均不合題

后、O

8.集合A={x|ax-l=0},B=1x|x2-3x+2=01且A3=5,求實數(shù)a的值.

［解析］0,1,I；先化簡B得，8={1,2}.由于A8=8OA73,故A或2GA.

因此a—1=0或勿—1=0,解得。=1或。=L.

2

容易漏掉的一種情況是：4=0的情形,此時。=0.

故所求實數(shù)a的值為0,l,g.

備選例題1：已知“={y［y=x+l},N=,{(x,y)|x2+y2=1},則MPlN中的元素個數(shù)是

()

A.0；B.1；C.2；D.無窮多個

［解析］選A；集合Af表示函數(shù)y=x+l的值域，是數(shù)集，并且M=R，而集合N表示滿足

x2+y2=1的有序?qū)崝?shù)對的集合，即表示圓V+F=1上的點，是點集。所以，集合又與集合

N中的元素均不相同，因而故其中元素的個數(shù)為0

［誤區(qū)分析］在解答過程中易出現(xiàn)直線y=x+l與圓/+y2=i有兩個交點誤選c；或者誤認

為y=x+l中yeR,而/+y2=l中一從而〃ClN=有無窮多個解而選

Do注意，明確集合中元素的屬性（是點集還是數(shù)集）是準確進行有關(guān)集合運算的前提和關(guān)鍵。

備選例題2：已知集合A和集合3各有12個元素，AC3含有4個元素，試求同時滿足下面

兩個條件的集合。的個數(shù)：

（I）且C中含有3個元素；

（n）cnaw。（。表示空集）

［解法一］因為A、5各有12個元素，ACB含有4個元素，

因此，AU3的元素個數(shù)是12+12—4=20

故滿足條件（I）的集合C的個數(shù)是6°

上面集合中，還滿足的集合C的個數(shù)是C；

因此，所求集合C的個數(shù)是《°-=1084

［解法二］由題目條件可知，屬于B而不屬于A的元素個數(shù)是12—4=8

因此，在AU5中只含有A中1個元素的所要求的集合C的個數(shù)為Ch。；

含有A中2個元素的所要求的集合C的個數(shù)為

含有A中3個元素的所要求的集合C的個數(shù)為

所以，所求集合C的個數(shù)是ChCl+Cf2=1084

★搶分頻道

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練:

1.（09年吳川市川西中學(xué)09屆第四次月考）設(shè)全集rT

U=R,A={?。ǎ?3）<0},3={小<—1},則右圖中陰

影部分表示的集合為（）

A.卜卜>。}；B.{可一3<無<。}；C.|x|-3<x<-11；D.{x|x<-l}

［解析］C；圖中陰影部分表示的集合是AC3,而A=,—3<x<。},故

AP|B={%|-3<x<-l}

2.（韶關(guān)09屆高三摸底考）已知4={小（1一%）>0},3={2082尤<0}則4B=

A.（0,1）；B.（0,2）；C.（—8,0）；D.（f,0）（0,+8）

［解析］A；因為A=1x|0<x<l},B={^0<x<1},所以AU6={X（）<x<l}

3.（蘇州09屆高三調(diào)研考）集合{-1,0,1}的所有子集個數(shù)為

［解析］8；集合{-1,0,1}的所有子集個數(shù)為23=8

4.（09年無錫市高三第一次月考）集合A中的代表元素設(shè)為X,集合3中的代表元素設(shè)為y,

若ICGB且VyeA,則A與8的關(guān)系是

[解析]或AcBw0；由子集和交集的定義即可得到結(jié)論

5.(2008年天津)設(shè)集合S={x||x—2>3},T={x[a<x<a+8},SUT=R，則a的取值

范圍是()

A.—3<a<-1；B.—3<〃<—1

C.〃工一3或〃2-1；D.〃<一3或〃>一1

[解析]A；S={x||x-2|>3}={r|x<-l^u>5),T=[x\a<x<a+S]9S\JT=R

a<—1

所以《，從而得一3<〃<一1

〃+8>5

綜合提高訓(xùn)練:

6.P={m|-1<m<o},Q=\tn&I^twc2+47nx-4<。對于任意實頻恒成立}

則下列關(guān)系中立的是()

A.P^Q-B.eiP;C.尸=Q;D.PCQ=(I)

m<0

［解析］A；當時，有＜

A=(4/M)2-4Xmx(-4)<0

2={^G7?|—1<m<o}；當加=0時，+4/nr-4<0也恒成立，故

2={me^-l<m<0},所以尸梟。

7.設(shè)/S)=2〃+l("eN),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記

P={?e7V|/(?)eP},O=[eN*，(“)wQ},貝U(戶口。力U(OPl。戶)=()

A.{0,3};B.{1,2};C.{3,4,5};D.{1,2,6,7)

[解析]A；依題意得戶={0,1,2},2={1,2,3},所以(戶。'0)={。}，

(encNp)={3},故應(yīng)選A

8.(09屆惠州第一次調(diào)研考)設(shè)A、B是非空集合，定義

AxB={x|xeAnB},已知A={_xjy=一旦},B={y|y=2",x〉0},

則AXB等于()

A.[0,+oo);B.[0,1]I[2,+w);C.[0,1)[2,+w);D.[0,1](2,+00)

[解析]D；2x-x2>0=>0<x<2,.\A=[0,2],x>0=>2r>1,，B=(1,+℃),

.\AUB=[0,+8),AOB=(1,2],則AXB=[0,1],(2,+00)

第2講函數(shù)與映射的概念

★知識梳理

1.函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的定義：

設(shè)A、6是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中的每一個數(shù)x,在

集合3中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做從A到8的一個函數(shù)，通常記為

y=/(x),xeA

(2)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(%),尤eA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做y=的定義域;與

x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合ea｝稱為函數(shù)y=/(x)的值域。

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則

2.映射的概念

設(shè)A、5是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中的任意元素,在集合8

中都有唯一確定的元素與之對應(yīng),那么這樣的單值對應(yīng)叫做從A到3的映射，通常記為

f：AfB

★重、難點突破

重點：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、值域

難點：求函數(shù)的值域和求抽象函數(shù)的定義域

重難點：1.關(guān)于抽象函數(shù)的定義域

求抽象函數(shù)的定義域，如果沒有弄清所給函數(shù)之間的關(guān)系，求解容易出錯誤

問題1：已知函數(shù)y=/(x)的定義域為［a,b］,求y=/(x+2)的定義域

［誤解］因為函數(shù)y=/(x)的定義域為［a,b］,所以aWxW/?,從而a+2Wx+2WZ?+2

故"F(x+2)的定義域是［a+是T+2］

［正解］因為y=/(x)的定義域為［a,b］,所以在函數(shù)y=/(x+2)中，a<x+2<b,

從而。一2Wx<b-2,故丁=/(x+2)的定義域是［a-2,b-2］

即本題的實質(zhì)是求。4％+24人中工的范圍

問題2：己知y=/(x+2)的定義域是［a,b］,求函數(shù)y=/(x)的定義域

［誤解］因為函數(shù)y=/(x+2)的定義域是［a,b］,所以得到aWx+2W〃，從而

a-2<x<b-2,所以函數(shù)y=/(x)的定義域是[a—2,b—2]

[正解]因為函數(shù)y=/(x+2)的定義域是[a,b],則aWxWZ?,從而a+2Wx+2WZ?+2

所以函數(shù)y=/(x)的定義域是[a+2,b+2]

即本題的實質(zhì)是由aWxWZ?求x+2的范圍

即/(x)與/(%+2)中x含義不同

2.求值域的幾種常用方法

(1)配方法：對于(可化為)''二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)

y=-sin2x-2cosx+4,可變?yōu)閥=-sin2x—2cosx+4=(cosx-1)2+2解決

(2)基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求，如函數(shù)

2

y=logt(-x+2x+3)就是利用函數(shù)y=k>g]”和"=一％2+2x+3的值域來求。

22

2x+1

(3)判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)丁=,的值域

x—2x+2

由y=-----得一2(y+l)x+2y—1=0,若y=0,則得x=——,所以y=0是

x-2%+22

函數(shù)值域中的一個值；若ywO,則由△=[—2(y+l)r_4y(2y—1)20得

3—V13-3+V13*口痂后出/古”日13—3+-\[13

---<y<--一且yw0,故所求值域是[--一,---]

(4)分離常數(shù)法：常用來求''分式型〃函數(shù)的值域。如求函數(shù)y=的值域,因為

COSX+1

2COSX_3_5,r/ccrr-Lt、l5/5r

y—--------=2----------,而cosx+1E(0,2],所以----------G(—00,—],故

cosx+1cosx+1COSX+12

/In

ye(-00--]

3x

(5)利用基本不等式求值域：如求函數(shù)y=一一的值域

x+4

344

當x=0時，y=0；當xwO時，y=...-,若x>0,則％+—22]冗-一二4

XX

XH--

X

44433

若%<0,則%+—=—(—%+——)<2J(-x).(——)=4,從而得所求值域是

x-x\-x44

(6)利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)y=2——/+2(xe[-l,2])的值域

因y=8/—2x=2x(4%2—1),故函數(shù)y=2/一必+2(^[―1,2])在(―1,—g)上遞減、在

(-工,0)上遞增、在(0,工)上遞減、在(工,2)上遞增，從而可得所求值域為［”,30］

2228

(7)圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域(求某些

分段函數(shù)的值域常用此法)。

★熱點考點題型探析

考點一：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)

［例1］試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)?

(1)于(x)=G^,g(x)=V?；

1x>0,

(2)/(x)=U,g(x)=

X-1x<0;

(3)/(x)=2劃聲,g(x)=(2”—)21("GN*)；

(4)/(x)=4xJx+1,g(x)=y/x2+x；

(5)f(x)=x2-2x-l,g?)=〃—2r-1

［解題思路］要判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù)，就要考查函數(shù)的三要素。

［解析］(1)由于/(x)=J”=W，g(x)=^=x,故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，

所以它們不是同一函數(shù).

,Ixl,,flx>0,

(2)由于函數(shù)/(%)=上的定義域為(一8,0)1>1(0,+8),而g(x)=〈的定義

x［—1%<0;

域為R，所以它們不是同一函數(shù).

(3)由于當"GN*時，2”±1為奇數(shù)，；.〃幻=2"必產(chǎn)《=%,g(x)=(2^)2"-1=x,

它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).

(4)由于函數(shù)/(x)=&五工T的定義域為{x|x?o},而g(x)=J%?+%的定義域為

{^%>0<x<-l},它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).

(5)函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).

［答案］(1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函數(shù)

【名師指引】構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)

關(guān)系確定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)為同一函

數(shù)。第(5)小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)。原因是對函數(shù)的概念理解不透，在函數(shù)的定義域

及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母對于函數(shù)本身并無影響，比如/(x)=/+1,

/⑺=〃+1,/(M+1)=3+1)2+1都可視為同一函數(shù).

［新題導(dǎo)練］

1.(2009?佛山)下列函數(shù)中與函數(shù)y='相同的是()

A.y=(Vx)2;B.y=眇";C.y=V?；D.y=—

x

［解析］B；因為y=醉=t,所以應(yīng)選擇B

2.(09年重慶南開中學(xué))與函數(shù)＞=0.產(chǎn)(21)的圖象相同的函數(shù)是()

A.y=2x-l(x＞：)；B,y=—^―-;C.y=J^(x＞:)；D,y=\—^—\

22x-l2x-l22x-l

ig，1

［解析］C;根據(jù)對數(shù)恒等式得＞=0.產(chǎn)(21)=102”1=-----,且函數(shù)丁=0.產(chǎn)(21)的定義

2x-l

域為(g,+oo)，故應(yīng)選擇C

考點二：求函數(shù)的定義域、值域

題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域

［例2］.(08年湖北)函數(shù)/(x)=—3x+2+J-/一3x+4)的定義域為()

x

A.(―8,T)U［2,+8);B.(—4,0)U(0,D；C.［,^,0)U(0,l］;D.［,-4,0)U(0,1)

［解題思路］函數(shù)的定義域應(yīng)是使得函數(shù)表達式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍。

［解析］欲使函數(shù)/(盼有意義，必須并且只需

x~—3x+220

—x~—3x+420

=>xe[-4,0)U(0,l),故應(yīng)選擇。

Jx~—3x+2+J-x~—3x+4>0

XH0

【名師指引】如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的X的取值范圍，

實際操作時要注意：①分母不能為0；②對數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非

負數(shù)；④零指數(shù)哥中，底數(shù)不等于0；⑤分數(shù)指數(shù)基中，底數(shù)應(yīng)大于0；⑥若解析式由幾個

部分組成，則定義域為各個部分相應(yīng)集合的交集；依口果涉及實際問題，還應(yīng)使得實際問題有

意義，而且注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實際問題的定義域不要

漏寫。

題型2：求抽象函數(shù)的定義域

［例3］(2006?湖北)設(shè)/(x)=1g|±?,則/+/［2］的定義域為()

A.(-4,0)U(0,4);B.(-4,-1)U(1,4)；C.(-2-1)U(1,2)；D.(-4,-2)U(2,4)

［解題思路］要求復(fù)合函數(shù)f［^\+/［2］的定義域，應(yīng)先求/(%)的定義域。

-2<-<2,

［解析］由W2二+土x>0得，/(%)的定義域為—2<x<2,故2

2-x

-2<-<2.

X

解得1)_(1,4)o故/仁)+的定義域為(―4,—1)U(1,4).選B.

【名師指引】求復(fù)合函數(shù)定義域，即己知函數(shù)/(%)的定義為［a,句，則函數(shù)/［g(x)］的定義域

是滿足不等式a<g(x)〈人的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)力g(x)］的定義域是［a,切，指

的是xe［a,Z?］,要求/(x)的定義域就是時g(x)的值域。

題型3；求函數(shù)的值域

［例4］已知函數(shù)_y=--4奴+2a+6(aeR),若y20恒成立，求/(a)=2-a|a+3|的值

域

［解題思路］應(yīng)先由已知條件確定。取值范圍，然后再將/(a)中的絕對值化去之后求值域

［解析］依題意，y20恒成立，則八=16。2一4(2a+6)<0,解得—

3217=-

所以/(〃)=2—a(a+3)=—(a+—)+—,從而f(^)maxf(1)=4，

/(?)min=/(|)=—?，所以以G的值域是［―?,4］

【名師指引】求函數(shù)的值域也是高考熱點，往往都要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。

［新題導(dǎo)練］

J\x-2-1

3.(2008安徽文、理)函數(shù)/(x)=Y------的定義域為_________.

log2(x-l)

［解析］［3,+oo)；由J*1解得x?3

x—1〉0,x—Iwl

4.定義在R上的函數(shù)y=/(x)的值域為則函數(shù)y=/(x—1)的值域為()

A.［fl—1,Z?—1］；B.［a,b］；C.［<7+1,Z?+1］；D.無法確定

［解析］B；函數(shù)y=f(x-l)的圖象可以視為函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移一個單位而得到，

所以，它們的值域是一樣的

5.(2008江西改)若函數(shù)y=/(x)的定義域是［1,3］,則函數(shù)g(x)=13的定義域是

x-1

13

［解析］［-,l)u(l,-］；因為/(X)的定義域為［1,3］,所以對g(x),142］<3但XW1故

13

xw［-J)U(1,—］

21

6.(2008江西理改)若函數(shù)y=/(x)的值域是［—,3］,則函數(shù)F(x)=/(%)+——的值域

3f(x)

是__________

［解析］［2與；/(x)可以視為以/⑴為變量的函數(shù)，令t=則尸=。+夕|</<3)

?+1)尸)，所以，F(xiàn)=f在［2,1］上是減函數(shù)，在［1,3］上是增函

r12t2t3

數(shù)，故尸(X)的最大值是:，最小值是2

考點三：映射的概念

［例5］(06陜西)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文■密文(加密)，接收

方由密文—明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.

例如，明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文

為（）

A.7,6,1,4；B.6,4,1,7；C.4,6,1,7；D.1,6,4,7

［解題思路］密文與明文之間是有對應(yīng)規(guī)則的，只要按照對應(yīng)規(guī)則進行對應(yīng)即可。

［解析］當接收方收到密文14,9,23,28時，

a+2b=14a=6

2b+c=9b=4

解得1,解密得到的明文為c.

2c+3d=23c=1

4d=28d=7

【名師指引】理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點：

(1)集合A、8及對應(yīng)法則/是確定的，是一個整體系統(tǒng)；

(2)對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從集合8到集合A的

對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；

(3)集合A中每一個元素，在集合2中都有象，并且象是唯：的，這是映射區(qū)別于一般

對應(yīng)的本質(zhì)特征；

(4)集合A中不同元素，在集合8中對應(yīng)的象可以是同一個；

(5)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.

［新題導(dǎo)練］

7.集合A={3,4},8={5,6,7},那么可建立從A到B的映射個數(shù)是,從B到4的

映射個數(shù)是.

［解析］9,8；從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應(yīng)方法(可對應(yīng)5

或6或7),第二步A中的元素4也有這3種對應(yīng)方法.由乘法原理，不同的映射種數(shù)M=3x3

=9.反之從8到A,道理相同，有M=2x2x2=8種不同映射.

8.若/:y=3x+l是從集合A={1,2,3,行到集合8={4,7,°2+3°}的一個映射，求自然數(shù)

。、人的值及集合A、B.

［解析］a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,10,16)；

V/(l)=3xl+l=4,f(2)=3x2+l=7,f(3)=3*3+1=10,于(k)=3左+1,由映射的定義知(1)

a4=10,a1+3a=10,

\或⑵{

。-+3。=3%+1,。4=3左+1.

?aGN,...方程組(1)無解.

解方程組(2),得a=2或。=一5(舍)，3k+l=16,3k=15,k=5.

：.A={1,2,3,5},B={4,7,10,16).

備選例題：(03年上海)已知集合"是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/(%)的全體：存在非零常數(shù)T,

對任意尤GH,有/(x+T)=V(x)成立。

(1)函數(shù)/(x)=x是否屬于集合”？說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=a?a〉0,awl)的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：

/(%)=axeM

［解析］(1)對于非零常數(shù)T,/(x+T)=x+T,T/(x)=Tx.因為對任意xdR,x+T=Tx不能恒成立，所

以/(x)=x4M.

(2)因為函數(shù)/(x)=a、(a>0且a=l)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，

V—優(yōu)

所以方程組：f有解，消去y得a，=x,

y=x

顯然x=0不是方程a，=x的解，所以存在非零常數(shù)T,使蘇=工

于是對于f(x)=ax有f(x+T)-ax+T—aT-ax—T-ax—Tf(x)故/(x)=a*eM.

★搶分頻道

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：

1.(2007廣東改編)已知函數(shù)/(x)=~^=的定義域為N,g(x)=ln(l+x)的定義域為M,

■\1—x

則MUN=____________

［解析］(oo,+oo)；因為“=(—l,y),N=(f,1),故MljN=H

2.函數(shù)y=Jog］(3x—2)的定義域是

［解析］(1,1］；由0<3x—2W1得到<1

2X-1

3.函數(shù)y=------的值域是

2X+1

［解析］(—1,1);由y=2■^知y/1,從而得2,=山，而2、>0,所以山〉0,即

-2+11-y1-y

-1<y<1

4.(廣東從化中學(xué)09屆月考)從集合A到B的映射中，下列說法正確的是()

A.B中某一元素〃的原象可能不只一個；B.A中某一元素。的象可能不只一個

C.A中兩個不同元素的象必不相同；D.B中兩個不同元素的原象可能相同

［解析］A；根據(jù)映射的定義知可排除B、C、D

5.(深圳中學(xué)09屆高三第一學(xué)段考試)下列對應(yīng)法則/中，構(gòu)成從集合A到集合3的映射是

A.A={》|x〉0},5=R":xfy|=/

B.A={-2,0,2},5={4},/:x—y=/

C.A=R,B={y\y>0］,f:x^y=^-

X

x

D.A={0,2},B={0,l},f:x^y=-

［解析］D；根據(jù)映射的定義知，構(gòu)成從集合A到集合3的映射是D

25

6.(09年執(zhí)信中學(xué))若函數(shù)丁=f-3x-4的定義域為［0,詞，值域為［---,-4］,則加的取值范

-4

圍是()

A.(0,4］；B.［—,3］；C.［—94］；D.［―,+oo)

3953

［解析］B；因為函數(shù)y=f—3%—4即為y=(%—/)2—1，其圖象的對稱軸為直線％=鼻，

2525

其最小值為—上，并且當x=0及％=3時，y=-4,若定義域為［0,m］,值域為［--,-4］,

44

3

則一V加V3

2

綜合提高訓(xùn)練：

8.(05天津改)設(shè)函數(shù)/(x)=ln2上工則函數(shù)g(x)=/(二)+/(1)的定義域是_______

2-x2x

八%C

—2<一<2

II2+x9

［解析］(―4,一土)U(土,4)；由三工上>0得，/(幻的定義域為—2<%<2。故〈2

222-x-2<1<2

、X

解得—4<x<—或一<x<4。

22

。1

9.設(shè)函數(shù)/(X)=x2+x+5的定義域是［”,"+1］(〃是正整數(shù))，那么/(X)的值域中共有

個整數(shù)

［解析］2〃+2；因為/(%)=一+x+；=(x+g)2+：,可見，/(X)在+(〃是正整

,1。1

數(shù))上是增函數(shù)，又/(〃+1)—/5)=［(〃+1)2+(〃+1)+萬］—(“2+〃+萬)=2〃+2

所以，在/(x)的值域中共有2〃+2個整數(shù)

第3講函數(shù)的表示方法

★知識梳理

一、函數(shù)的三種表示法：圖象法、列表法、解析法

1.圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系;

2.列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系:

3.解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用等式來表示。

二、分段函數(shù)

在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

★重、難點突破

重點：掌握函數(shù)的三種表示法--圖象法、列表法、解析法，分段函數(shù)的概念

難點：分段函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式

重難點：掌握求函數(shù)的解析式的一般常用方法：

(1)若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，則用待定系數(shù)法；

(2)若已知復(fù)合函數(shù)/[g(X)]的解析式，則可用換元法或配湊法；

問題1.已知二次函數(shù)/(%)滿足/(2X+1)=4X2—6X+5,求/(x)

方法一：換元法

f—1t—1t—1

令2x+l=f?eR),則％=二，從而/?)=4(年產(chǎn)—6?虧+5=尸—5/+9?eR)

所以/(%)=--5x+9(xGR)

方法二：配湊法

因為/(2X+1)=4X2—6X+5=(2X+1)2-10X+4=(2X+1)2-5(2X+1)+9

所以/(%)-x2-5x+9(xeR)

方法三：待定系數(shù)法

因為/(x)是二次函數(shù)，故可設(shè)/(%)=依2+以+。，從而由/(2x+l)=4——6x+5可求

出a=1、b=一5、c=9,所以/(x)=X?-5x+9(xeR)

(3)若已知抽象函數(shù)的表達式，則常用解方程組消參的方法求出/(%)

問題2：已知函數(shù)/(x)滿足/(x)+2/d)=3x,求/(x)

因為/(x)+2/(^)=3x……①

X

以工代x得/d)+2〃x)=3」……②

XXX

★熱點考點題型探析

考點1:用圖像法表示函數(shù)

［例1］（09年廣東南海中學(xué)）一水池有2個進水口，1個出水口，一個口的進、出水的速度如

圖甲、乙所示.某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖丙所示.給出以下3個論斷：

進水量出水量蓄水量

甲乙丙

（1）。點到3點只進水不出水；（2）3點到4點不進水只出水；（3）4點到6點不進水不出水.

則一定不E強