魯教版初三(上)數(shù)學(xué)第73講：與圓有關(guān)的位置關(guān)系(教師版)

與圓有關(guān)的位置關(guān)系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握點、直線、圓與圓的位置關(guān)系；2.掌握圓的切線有關(guān)概念、定理的應(yīng)用.1．判定一個點P是否在⊙O上．設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有d>r點P在⊙O外；d＝r點P在⊙O上；d<r點P在⊙O內(nèi)．2．直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O半徑為R，點O到直線l的距離為d．(1)直線和圓沒有公共點直線和圓_________d>R．(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O________d＝R．(3)直線l和⊙O有兩個公共點直線l和⊙O相交d<R．3．圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距．(1)沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離d>R＋r．(2)沒有公共點，且的每一個點都在外部內(nèi)含d<R－r(3)有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切d＝R－r．(5)有兩個公共點相交__________．4.切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：①____________________________________________是圓的切線．②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于過切點的半徑．②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心．(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，_______________________________長度叫做切線長．(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．參考答案：2.（1）相離(2)相切3.(5)R－r<d<R＋r4.(1)經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(3)這一點和切點之間的線段的1.判斷點在圓上【例1】A.點在圓上 B.點在圓內(nèi) C.點在圓外 D.不能確定【解析】通過判斷點到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系來確定點和圓的位置關(guān)系。【答案】B練習(xí)1.A.點在圓上 B.點在圓內(nèi) C.點在圓外 D.不能確定【答案】A練習(xí)2.⊙0的半徑為5，A、B兩動點在⊙0上，AB=4,AB的中點為點C,在移動的過程中，點C始終在半徑為_______的一個圓上?！敬鸢浮?2.直線與圓的位置關(guān)系【例2】已知半徑為3的⊙O上一點P和圓外一點Q，如果OQ＝5，PQ＝4，則PQ和圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.位置不定【解析】在沒有明確知道圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系時，通過已有的知識進(jìn)行推證。本題也可以通過切線的判定定理求解，即通過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線?！敬鸢浮拷猓骸逴P＝3，PQ＝4，OQ＝5，∴，∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。即圓心O到PQ的距離等于圓的半徑?！郟Q和圓的位置關(guān)系相切，故選B。練習(xí)3.一個圓的周長為acm,面積為acm2，如果一條直線到圓心的距離為πcm,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是.A.相切 B.相離 C.相交 D.不能確定【答案】B練習(xí)4.已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為6cm,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是.A.相切 B.相離 C.相交 D.不能確定【答案】C練習(xí)5．已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為4cm,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是.A.相切 B.相離 C.相交 D.相離或相交【答案】C3.圓與圓的位置關(guān)系【例3】⊙O1和⊙O2的半徑分別為3cm和4cm，若O1O2=10cm，則這兩圓的位置關(guān)系是A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【解析】根據(jù)圓心距和半徑之和的大小關(guān)系進(jìn)行比較，半徑之和R1+R2=7cm，O1O2=10cm，R1+R2＜O1O2，可求出答案?！敬鸢浮緼練習(xí)6.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=9cm,則這兩個圓的位置關(guān)系是.A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離【答案】D練習(xí)7.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm,若O1O2=1cm,則這兩個圓的位置關(guān)系是.A.外切 B.相交 C.內(nèi)切 D.內(nèi)含【答案】D4.位置關(guān)系的綜合問題【例4】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O為AB上一點，AO＝m，⊙O的半徑，問m在什么范圍內(nèi)取值時，AC與圓：（1）相離；（2）相切；（3）相交。【解析】要判定直線與圓的位置關(guān)系，只要比較圓心到直線的距離與半徑的大小?！敬鸢浮拷猓喝鐖D所示，過O作OD⊥AC垂足為D，，∴（1）當(dāng)，即，也即時，則AC與⊙O相離；（2）當(dāng)，即，也即時，AC與⊙O相切；（3）當(dāng)，即，也即時，AC與⊙O相交。練習(xí)8．如圖，D為⊙O的直徑AB延長線上一點，PD是⊙O的切線，∠D=300，求證;PA=PD?！敬鸢浮窟B接PO,∵PD是⊙O的切線∴PO⊥PD,∠OPD=90°,

∴∠POD=180°-∠OPD-∠D=60°,

∵AO,PO為圓O半徑∴AO=OP,∠A=∠APO,

∵∠POD是三角形OAP外角∴∠POD=∠A+∠APO

∠A==30°

∴∠A=∠D

∴PA=PD練習(xí)9.如圖5，AB是⊙O直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，∠C=20°。求∠CDA的度數(shù)?！敬鸢浮?25°5.切線問題【例5】已知⊙O中，AB是直徑，過B點作⊙O的切線，連結(jié)CO，若AD∥OC交⊙O于D，求證：CD是⊙O的切線。【解析】要證CD是⊙O的切線，須證CD垂直于過切點D的半徑，由此想到連結(jié)OD?！敬鸢浮孔C明：連結(jié)OD。輔助線OD構(gòu)造于“切線的判定定理”與“全等三角形”兩個基本圖形，先用切線的性質(zhì)定理，后用判定定理?！逜D∥OC，∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD∴∠COB＝∠COD∵CO為公用邊，OD＝OB∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC∵BC是切線，AB是直徑，∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切線。練習(xí)10．如圖所示，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，⊙O與腰AB相切于點D。求證：AC與⊙O相切?！窘馕觥匡@然AC與⊙O的公共點沒有確定，故用“d＝r”證之。而AB與⊙O切于D點，可連結(jié)OD，則OD⊥AB?！敬鸢浮孔C明：連結(jié)OD、OA。過O作OE⊥AC，垂足為E。∵AB＝AC，O為BC的中點，∴∠BAO＝∠CAO又∵AB切⊙O于D點，∴OD⊥AB，又OE⊥AC，∴OE＝OD，∴AC與⊙O相切。練習(xí)11.已知⊙O的半徑OA⊥OB，點P在OB的延長線上，連結(jié)AP交⊙O于D，過D作⊙O的切線CE交OP于C，求證：PC＝CD。【解析】要證PC＝CD，可證它們所對的角等，即證∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等證題?！敬鸢浮孔C明：連結(jié)OD，則OD⊥CE。∴∠EDA＋∠ODA＝90°∵OA⊥OB∴∠A＋∠P＝90°，又∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA∵∠EDA＝∠CDP，∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD【例6】如圖6，AB是⊙O直徑，CA與⊙O相切于點A，連接CO交⊙O于D，CO的延長線交⊙O于E。連接BE、BD，∠ABD=30°.求∠EBO和∠C的度數(shù)?！窘馕觥坑蒁E是⊙O直徑，可得直徑所對的圓周角是90°，∠DBE=90°，可求∠EBO；進(jìn)而可求∠AOD，CA與⊙O相切于點A，可求。【答案】解：∵DE是⊙O直徑∴∠DBE=90°，∵∠ABD=30°∴∠EBO=∠DBE-∠ABD=60°∵OB=OE∴∠EBO=∠OEB=60°∴∠AOC=∠BOE=60°∵CA與⊙O相切于點A∴∠CAO=90°∴∠C=30°練習(xí)12.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別為點A、B，若直徑AC=12，∠P=60o，求弦AB的長．【答案】解：連接BC∵PA,PB切⊙O于A,B∴PA=PB∵∠P=600∴△ABC是正三角形∵∠PAB=600∵PA是⊙O切線∴CA⊥AP∴∠CAP=900∴∠CAB=300∵直徑AC∴∠ABC=900∴cos300=∴AB=練習(xí)13.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）當(dāng)OA＝3時，求AP的長．【答案】解：（1）∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°∴∠AOB＝180°－2×30°＝120° ∵PA、PB是⊙O的切線∴OA⊥PA，OB⊥PB．即∠OAP＝∠OBP＝90°∴在四邊形OAPB中，∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°． （2）如圖①，連結(jié)OP ∵PA、PB是⊙O的切線∴PO平分∠APB，即∠APO＝∠APB＝30°又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∠APO＝30°∴AP＝＝3．1．已知⊙O的半徑為8cm，如一條直線和圓心O的距離為8cm，那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是（）【答案】BA．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相離2．如圖1，AB與⊙O切于點B，AO=6cm，AB=4cm，則⊙O的半徑為（）【答案】BA．4cm B．2cm C．2cm D．m1233．如圖2，已知∠AOB=30°，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當(dāng)OM=______cm時，⊙M與OA相切．【答案】44．已知：如圖3，AB為⊙O直徑，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切線，那么圖中的角應(yīng)滿足的條件為_______（只需填一個條件）．【答案】∠B=∠C5．（2014四川巴中一模）如圖4，AB為半圓O的直徑，CB是半圓O的切線，B是切點，AC交半圓O于點D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．【答案】456．（2014武漢市中考）如圖5，BC為半⊙O的直徑，點D是半圓上一點，過點D作⊙O的切線AD，BA⊥DA于A，BA交半圓于E，已知BC=10，AD=4，那么直線CE與以點O為圓心，為半徑的圓的位置關(guān)系是________．【答案】相離7．（2014山西省平遙中考）如圖，⊙O的半徑為1，圓心O在正三角形的邊AB上沿圖示方向移動．當(dāng)⊙O移動到與AC邊相切時，OA的長為多少？【答案】8．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別是切點，判定△DEF的形狀（按角分類），并說明理由．【答案】△DEF是銳角三角形．連結(jié)OD、OE、OF．綜合應(yīng)用圓的切線性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理和圓周角定理．可以證得∠DEF=90°-∠A，∠DFE=90°-∠B，∠EDF=90°-∠C．△DEF的三個內(nèi)角都是銳角。9．如圖，直線AB切⊙O于點A，點C、D在⊙O上．試探求：（1）當(dāng)AD為⊙O的直徑時，如圖①，∠D與∠CAB的大小關(guān)系如何？并說明理由．（2）當(dāng)AD不為⊙O的直徑時，如圖②，∠D與∠CAB的大小關(guān)系同②一樣嗎？為什么？①②【答案】（1）∠D=∠CAB，理由（略）（2）∠D=∠CAB作直徑AE、連結(jié)CE由（1）可知：∠E=∠CAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CAB10．如圖，⊙O的直徑AB=6cm，D為⊙O上一點，∠BAD=30°，過點D的切線交AB的延長線于點C．求：（1）∠ADC的度數(shù)；（2）AC的長．【答案】（1）∠ADC的度數(shù)為120°（2）9cm11．（2014內(nèi)蒙古包頭市一模）在圖1和圖2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直徑為10．（1）如圖1，AB與⊙O相切于點C，試求OA的值；（2）如圖2，若AB與⊙O相交于D、E兩點，且D、E均為AB的三等分點，試求tanA的值．【答案】（1）解：連結(jié)OC，∵AB與⊙O相切于C點，∴∠OCA=90°，∵OA=OB，∴AC=BC=12在Rt△ACO中，OA==13（2）作OF⊥AB于點F點，連結(jié)OD，∴DF=EF；AF=AD+DF=8+4=12，在Rt△ODF中，OF==3，在Rt△AOF中，tanA=12．如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N．（1）求證：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點，當(dāng)AC=3時，求AB的值．【答案】（1）證明：連接MN則∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴，∴AB·BM=BC·BN（2）解：連接OM，則∠OMC=90°，∵N為OC中點，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°．∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=613．（2014云南清綿一模）已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在OC的延長線上，sinB=，∠CAD=30°．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長．【答案】（1）證明：如圖，連結(jié)OA，因為sinB=，所以∠B=30°，故∠O=60°，又OA=OC，所以△ACO是等邊三角形，故∠OAC=60°，因為∠CAD=30°，所以∠OAD=90°，所以AD是⊙O的切線（2）解：因為OD⊥AB，所以O(shè)C垂直平分AB，則AC=BC=5，所以O(shè)A=5，在△OAD中，∠OAD=90°，由正切定義，有tan∠AOD=，所以AD=5__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.已知⊙O的半徑為r，點P到點O的距離等于2r，那么點P的位置一定在【答案】圓外2.在半徑為5cm的⊙O中，弦AB長為8cm，那么弦AB的弦心距為cm【答案】3cm3.已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分成6cm和8cm兩段，第二條弦的長為16cm，則第二條弦被交點分成的兩段的長為【答案】4cm，12cm4.一個點到圓上的最小距離為4cm，最大距離為9cm，則圓的半徑為cm【答案】6.5cm或2.5cm5.下列命題錯誤的是（）【答案】AA.經(jīng)過三個點一定可以作圓 B.三角形的外心到三角形各頂點的距離相等C.同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等D.經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心6.如圖，O為圓心，A、B、C、D是圓上四點，下面角度間等量關(guān)系不成立的是（）【答案】DA.∠1＝∠2 B.∠3＝2∠2 C.∠1＋∠2＝∠3 D.∠3＝∠27.已知⊙O的直徑為12cm