蘇教版高數(shù)選修2-3第6講：數(shù)學(xué)期望與方差及正態(tài)分布(學(xué)生版)

數(shù)學(xué)期望與方差及正態(tài)分布____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.理解離散型變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念.2.熟練掌握離散型變量的數(shù)學(xué)期望與方差的公式.3.熟練掌握離散型變量的數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì).4.能利用數(shù)學(xué)期望與方差解決簡單的實際問題.5.理解概率密度曲線和正態(tài)分布的概念.1.離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，則稱______________________為離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為______，其中，i=1，2，…，n，xX1X2…XnpP1P2…pn2.離散型隨機變量X的方差一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，xX1X2…XnpP1P2…pn則稱____________________________________為離散型隨機變量X的方差，記為_________，即≥0，i=1，2，…，n，3.離散型隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差隨機變量X的方差也稱為X的概率分布的方差，X的方差V(X)的算術(shù)平方根稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差，即_____________4.必備公式(1)離散型隨機變量：X的數(shù)學(xué)期望（均值）公式、方差公式、標(biāo)準(zhǔn)差公式E(X)=____________________________；V(X)=_____________________________________________；______________.(2)二項分布的數(shù)學(xué)期望、方差的計算公式當(dāng)X～B(n，p)時，E(X)=np；V(X)=np(1-p).5.離散型隨機變量方差的性質(zhì)設(shè)是離散型隨機變量，則其方差具有如下性質(zhì)：(1)V(k)=_____(k為常數(shù))；(2)(3)___________;(4)6.概率密度曲線(1)若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率直方圖的頂邊無限縮小乃至形成一條光滑的曲線，我們將此曲線稱為概率密度曲線.(2)正態(tài)密度曲線的函數(shù)表達式為7.正態(tài)分布(1)若X是一個隨機變量，對任給區(qū)間(a，b]，P(a<X≤b)恰好是正態(tài)密度曲線下方和X軸上(a，b]上方所圍成的圖形的面積；我們就稱隨機變量X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，簡記為X～N().(2)我們將正態(tài)分布N(0，1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以確定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的有關(guān)概率.8.正態(tài)密度曲線圖象的特征(1)當(dāng)x<時，曲線上升；當(dāng)x>時，曲線下降；當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸以____為漸近線.(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對稱；(3)越大，正態(tài)曲線越________；越小，正態(tài)曲線越________.(4)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為_____.類型一.離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望例1：已知隨機變量X的概率分布表是：x-101p則E(X)等于()A.0 B.-1 C. D.練習(xí)1：某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人做上海世博會志愿者,若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù),則數(shù)學(xué)期望E______.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)類型二.離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差例2：已知隨機變量X的分布表為：X012345P0.10.150.250.250.150.1求V(X).練習(xí)1：甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布表如下：射手甲：所得環(huán)數(shù)Ｘ１１０９８概率Ｐ１０.２０.６０.２射手乙：所得環(huán)數(shù)Ｘ２１０９８概率Ｐ２０.４０.２０.４誰的射擊水平比較穩(wěn)定.類型三.二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差例3：已知隨機變量～B(n，p)，且則n，p的值為()A.8，0.3 B.6，0.4 C.2，0.2 D.5，0.6練習(xí)3：設(shè)隨機變量服從二項分布,即,且則n=______,D=______.類型四.離散型隨機變量方差的性質(zhì)例4：一次測試有25道選擇題，每題選對得4分，選錯或不選得0分，滿分為100分，某生選對每道題的概率為0.8，則這名考生在這次考試中成績的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差為()A.80，8 B.80，64 C.70，4 D.70，3練習(xí)4：已知的分布列如下表,設(shè)則=()x-101pA. B.4 C.-1 D.1類型五.數(shù)學(xué)期望與方差的計算與應(yīng)用例5：一個人每天開車上班，從他家到上班的地方有6個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件互相獨立，并且概率都是假定他只在遇到紅燈或到達上班地點時才停止前進.(1)設(shè)為這個人的首次停止前經(jīng)過的路口數(shù).求的分布表；(2)設(shè)為這個人的途中遇到紅燈的次數(shù)，求的期望和方差；(3)求這個人首次停止前已經(jīng)過兩個交通崗的概率.練習(xí)5：有一名運動員投籃的命中率為0.6，現(xiàn)在他進行投籃訓(xùn)練，若沒有投進則繼續(xù)投籃，若投進則停止，但最多投籃5次，求他投籃次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.類型六.正態(tài)密度曲線的特征例6：下面給出了關(guān)于正態(tài)曲線的四個敘述：①曲線在x軸上方且與x軸不相交；②當(dāng)x>時，曲線下降；當(dāng)x<時，曲線上升；③當(dāng)一定時，越小，總體分布越分散；越大，總體分布越集中；④曲線關(guān)于直線x=對稱，且當(dāng)x=時，位于最高點.其中正確的是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個練習(xí)6：若,則下列判斷正確的是()A.f(x)有最大值,也有最小值 B.f(x)有最大值,無最小值C.f(x)無最大值,有最小值 D.f(x)無最大值,也無最小值類型七.正態(tài)分布例7：已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(-3，-1)內(nèi)的概率和落在(3，5)內(nèi)的概率相等，那么這個正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為________.練習(xí)7：設(shè)隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),已知,那么=()A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.9751.若某籃球運動員投籃命中率P=0.6,則其兩次投籃命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為()A.0.6 B.1.2 C.1.3 D.0.82.設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍,用隨機變量描述1次試驗的成功次數(shù),則()A.0 B. C. D.3.已知連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)f(x)=則P(=3)的值為()A. B.0 C.3 D.不確定4.如果隨機變量服從,而且P,那么P等于()A.0 B.0.5 C.1 D.不確定5.若從1,2,4,6,9這5個數(shù)字之中任取2個,則這2個數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是()A.8 B.17.3 C.9 D.9.56.兩封信隨機投入A,B,C三個空郵箱,則A郵箱的信件數(shù)的教學(xué)期望E=______.7.某車間甲組有10名工人,其中有4名女工人;乙組有5名工人,其中有3名女工人,現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術(shù)考核.(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù);(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)記表示抽取的3名工人中男工人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.8.設(shè)籃球隊A與B進行比賽,每場比賽均有一球隊獲勝,若一球隊勝4場,則比賽結(jié)束,假定A,B兩隊在每場比賽中獲勝的概率都是,試求需要比賽場數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.如果兩名士兵在一次射擊比賽中,士兵甲得1分,2分,3分的概率分別為0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分別為0.1,0.6,0.3,那么兩名士兵得勝希望較大的是()A.甲 B.乙 C.甲與乙相同 D.無法確定2.同時拋擲2枚相同的均勻硬幣,隨機變量=1表示結(jié)果中有正面向上的,=0表示結(jié)果中沒有正面向上的,則E=()A.0.6 B.0.75 C.0.85 D.0.953.如果是離散型隨機變量,那么()A. B.C. D.4.某地有A,B,C,D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到過疫區(qū),B肯定是受A感染的,對于C,因為難以斷定他是受A還是受B感染,于是假定他受A和受B感染的概率都是,同樣也假定D受A,B和C感染的概率都是,在這種假定之下,B,C,D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量,X的均值(即數(shù)學(xué)期望)=()A. B. C. D.5.設(shè)隨機變量服從二項分布,即,且則n=______,D=______.6.在某次測量中,測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1,)(>0),若在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則在(0,2)內(nèi)取值的概率為______.7.(2014浙江卷)隨機變量X的取值為0，1，2.若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，則D(X)＝________．8.(2015東城二模)某校高一年級開設(shè)，，，，五門選修課，每位同學(xué)須彼此獨立地選三門課程，其中甲同學(xué)必選課程，不選課程，另從其余課程中隨機任選兩門課程．乙、丙兩名同學(xué)從五門課程中隨機任選三門課程．(1)求甲同學(xué)選中課程且乙同學(xué)未選中課程的概率；(2)用表示甲、乙、丙選中課程的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．能力提升1.如果,那么P(≤2)=()A.0.0729 B.0.00856 C.0.91854 D.0.991442.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．100 B．200 C．300 D．4003.1盒產(chǎn)品中有9件正品和3件廢品,若每次取1件產(chǎn)品,取出后不再放回,則在取得正品前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望E=______.4.某射擊選手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8,現(xiàn)在他連續(xù)向一個目標(biāo)射擊,直到第一次擊中目標(biāo)為止,則射擊次數(shù)這一隨機變量的數(shù)學(xué)期望為______.5.從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,…,n的n張卡片中任取一張,若卡片上數(shù)字是隨機變量,則的數(shù)學(xué)期望為______.6.(2014湖南卷)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望．7.(2015湖南)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（1）求