教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷3

教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷3一、計算題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√3sinAcosA－√3sinBcosB．1、求角C的大小；標準答案：∵△ABC中，a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√2sinAcosA－√3sinBcosB,∴即cos2A—cos2B=√3sin2A－√3sin2B，即－2sin(A+B)sin(A—B)=2√3cos(A+B)sin(A—B)．∵a≠b，∴A≠B，sin(A—B)≠0，∴tan(A+B)=－√3，∴A+B=∴C=知識點解析：暫無解析2、若sinA=，求△ABC的面積．標準答案：∵sinA=(舍去)，∴cosA=．由正弦定理可得∴sinB=sinf(A+B)－A]=sin(A+B)cosA—COS(A+B)sinA=，∴△ABC的面積為知識點解析：暫無解析已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2．3、求an和bn；標準答案：∵a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)①，當n≥2，n∈N*時，a1a2a3…an-1=(√2)bn-1②，由①②知：an=(√2)bn-bn-1，令n=3，則有a3=(√2)b3-b2．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{an}為等比數(shù)列，且a1=2，∴{an}的公比為q，則q2==4，由題意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．∴an=2n(n∈N*)．又由a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)得：21×22×23…×2n=(√2)bn，=(√2)bn,∴bn=n(n+1)(n∈N*)．知識點解析：暫無解析4、設cn=(n∈N*)．(i)求Sn；(ii)求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn．標準答案：(i)∵cn=．∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=(ii)因為c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；當n≥5時，cn=－1]，而＜1，所以，當n≥5時，cn＜0，綜上，對任意n∈N*，恒有S4≥Sn，故k=4．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)，其中a∈R，θ∈5、當a=√2，θ=時，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；標準答案：當a=√2，θ=時，f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)=sin(x+)+√2cossinx+cosx－√2sinx=－cosx=sin(—x)=－sin(x－)．∵x∈[0，π]，∴x－∈，故f(x)在區(qū)間[0，π]上的最小值為－1，最大值為.知識點解析：暫無解析6、若f()=0，f(π)=1，求a，θ的值．標準答案：∵f(x)=sin(x+θ)+scos(x+2θ)a∈R，θ∈=0，f(π)=1，∴cosθ－asin2θ=0①，－sinθ－acos2θ=1②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ=再根據(jù)cos2θ=1－2sinθ，可得－，求得a=－1，∴sinθ=－．綜上可得，所求的a=－1，θ=－．知識點解析：暫無解析給定常數(shù)c＞0，定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|—|x+c|，數(shù)列a1，a2，a3…滿足an+1=f(an)，n∈N*．7、若a1=－c－2，求a2及a3；標準答案：因為c＞0，a1=－(c+2)，故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=2，a3=f(a2)=2|a2+c+4|—|a2+c|=c+10．知識點解析：暫無解析8、求證：對任意n∈N*，an+1－an≥C；標準答案：要證明原命題，只需證明f(x)≥x+c對任意x∈R都成立，f(x)≥x+c2|x+c+4|—|x+c|≥x+c即只需證明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c若x+c≤0，顯然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c＞0，則2|x+c+4|≥|x+c|+x+cx+c+4＞x+c顯然成立．綜上，f(x)≥x+c恒成立，即對任意的n∈N*，an+1－an≥c．知識點解析：暫無解析9、是否存在a1，使得a1，a2，…an，…成等差數(shù)列?若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．標準答案：由(Ⅱ)知，若{an}為等差數(shù)列，則公差d≥c＞0，故n無限增大時，總有an＞0此時，an+1=f(an)=2(anc+4)－(an+c)=an+c+8即d=c+8故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=a1+c+8，即2|a1+c+4|=|a1+c|+a1+c+8，當a1+c≥0時，等式成立，且n≥2時，an＞0，此時{an}為等差數(shù)列，滿足題意；若a1+c＜0，則|a1+c+4|=4[*]a1=－c－8，此時，a2=0，a3=c+8，…，an=(n－2)則a1=－(c+8)也滿足題意；綜上，滿足題意的a1的取值范圍是[－c，+∞)∪{－c－8)．知識點解析：暫無解析在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(A—B)cosB—sin(A—B)sin(A+C)=－.10、求sinA的值；標準答案：由cos(A－B)cosB—sin(A－B)sin(A+C)=－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB=．則cos(A－B+B)=－，即cosA=－．又因為0＜A＜π，則sinA=.知識點解析：暫無解析11、若a=4√2，b=5，求向量方向上的投影．標準答案：由正弦定理，得．所以sinB=由題知a＞b，則A＞B，故B=．根據(jù)余弦定理，有(4√2)2=52+c2－2×5c×，解得c=1或c=－7(負值舍去)．故向量方向上的投影為知識點解析：暫無解析在△ABC中，a=3，b=2√6，∠B=2∠A，12、求cosA的值；標準答案：因為a=3，b=2√6，∠B=2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得.所以知識點解析：暫無解析13、求C的值．標準答案：由(1)知，cosA=，所以sinA=．又因為∠B=2∠A，所以cosB=2cos2A－1=．所以sinB=．在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=所以c==5．知識點解析：暫無解析在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c．已知cos2A－3cos(B+C)=1．14、求角A的大小；標準答案：由已知條件得：cos2A+3cosA=1．∴2cos2A+3cosA－2=0，解得cosA=，角A=.知識點解析：暫無解析15、若△ABC的面積S=5√3，b=5，求sinBsinC的值．標準答案：S=bcsinA=5√3c=4，由余弦定理得：a2=21，(2R)2==28∴sinBsinC=.知識點解析：暫無解析已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|=10，a1a2a3=125．16、求數(shù)列{an}的通項公式；標準答案：由已知條件得：a2=5，又∵a2|q－1|=10，∴q=－1或3，所以數(shù)列{an}的通項為an=5×3n-2或an=5×(－1)n-2．知識點解析：暫無解析17、是否存在正整數(shù)m，使得≥1?若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由．標準答案：若q=－1，或0，不存在這樣的正整數(shù)m；若q=3，，不存在這樣的正整數(shù)m．知識點解析：暫無解析設向量a=(√3sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈[0，].18、若|a|=|b|，求x的值；標準答案：由|a|2=(√3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1，及|α|=|b|，得4sin2x=1．又∵x∈，從而sinx=，所以x=知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)f(x)=a·b，求f(x)的最大值．標準答案：f(x)=a·b=√3sinx·cosx+sin2x=，當x=時，sin(2x－)取最大值1．所以f(x)的最大值為.知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=ax++1+2xcosx．當x∈[0，1]時，20、求證：1－x≤f(x)≤標準答案：要證：x∈[0，1]時，(1+x)e-2x≥1－x，只需證明(1+x)e-x≥(1－x)ex．記h(x)=(1+x)e-x(1－x)ex，則h＇(x)=x(ex－e-x)，當x∈(0，1)時，h＇(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函數(shù)，故h(x)≥h(0)=0．所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．要證x∈[0，1]時，(1+x)e-2x≤，只需證明ex≥x+1．記K(x)=ex－x－1，則K＇(x)=ex－1，當x∈(0，1)時，K＇(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函數(shù)，故K(z)≥K(0)=0．所以f(x)≤，x∈[0，1]．綜上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．知識點解析：暫無解析21、若f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．標準答案：解法一：f(x)－g(x)=(1+x)e-2x一(ax++1+2xcosx)≥1－x－ax－1－－2xcosx=－x(a+1++2cosx)．設G(x)=+2cosx，則G＇(x)=x－2sinx．記H(x)=x－2sinx，則H＇(x)=1一2cosx，當x∈(0，1)時，H＇(x)＜0，于是G＇(z)在[0，1]上是減函數(shù)，從而當x∈(0，1)時，G＇(x)＜G＇(0)=0，故G(x)在[0，1]上是減函數(shù)．于是G(x)≤G(0)=2，從而a+1+G(x)≤a+3．所以，當a≤－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面證明當a＞－3時，f(x)≥g(z)在[0，1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤記I(x)=+a+G(x)，則I＇(x)=+G(x)，當x∈(0，1)時，I＇(x)＜0，故I(x)在[0，1]上是減函數(shù)，于是I(x)在[0，1]上的值域為[a+1+2cos1，a+3]．因為當a＞一3時，a+3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此時f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]．解法二：先證當x∈[0，1]時，1－x2≤cosx≤1－x2．記F(x)=cosx－1+x2，則F＇(x)=－sinx+x．記G(x)=－sinx+x，則G＇(x)=－cosx+1，當x∈(0，1)時，G＇(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函數(shù)，因此當x∈(0，1)時，G(x)＞G(0)=0，從而F(x)在[0，1]上是增函數(shù)．因此F(x)≥F(0)=0，所以當x∈[0，1]時，1－x2≤cosx．同理可證，當x∈[0，1]時，cosx≤1－x2．綜上，當x∈[0，1]時，1－x2≤cosx≤1－x2．因為當x∈[0，1]時，f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－(ax++1+2xcosx)≥(1－x)－ax－－1－2x(1一x2)=－(a+3)x,所以當a≤－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面證明當a＞－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因為f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－一(a+3)x≤，所以存在x0∈(0，1)(例如x0取中的較小值)滿足f(x0)＜g(x0)．即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(一∞，一3]．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=√2cos(x－),x∈R．22、求的值；標準答案：知識點解析：暫無解析23、若cosθ=，求標準答案：=cos2θ－sin2θ因為cosθ=.所以sinθ=－，所以sin2θ=2sinθcosθ=－，cos2θ=cos2θ－sin2θ=－所以f(2θ+)=cos2θ－sin2θ=—.知識點解析：暫無解析設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1，,n∈N*．24、a2的值；標準答案：依題意，2S1=a2－，又因為S1=a1=1，所以a2=4．知識點解析：暫無解析25、求數(shù)列{an}的通項公式；標準答案：當n≥2時，2Sn=nan+1－n3—n2－n，2Sn-1=(n—1)an－(n—1)3－(n－1)2－(n－1)，兩式相減得2an=nan+1－(n－1)an－(3n2－3n+1)－(2n－1)－，整理得(n+1)an=nan+1－n(n+1)，即=1，又因為=1故數(shù)列是首項為=1，公差為l的等差數(shù)列，所以：1+(n－1)×1=n，所以an=n2.知識點解析：暫無解析26、)證明：對－切正整數(shù)n，有標準答案：當n=1時，；當n=2時，；當n≥3時，綜上，對－切正整數(shù)n，有.知識點解析：暫無解析設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=27、求a，c的值；標準答案：由余弦定理，得cosB=．∴ac=9，故a=c=3．知識點解析：暫無解析28、求sin(A—B)的值．標準答案：由cosB=，得sinB=：cosA=．sinA=；∴sin(A—B)=sinAcosB—sinBcosA=知識點解析：暫無解析設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2，a2n=2an+1．29、求數(shù)列{an}的通項公式；標準答案：設