廣東省湛江市2024屆普通高考第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

廣東省湛江市2024屆普通高考第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.已知集合4={2<國(guó)<4},B={x\x>-2\,則AB=()

A.(1,4)B.(-l,O)_(O,4)C.(-2,4)D.(-2,-l)(1,4)

2.如圖，這是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個(gè)圓臺(tái)(設(shè)上、下

底面的半徑分別為。厘米，6厘米，高為c厘米)，則該青銅器的容積約為(取兀=3)()

人.《片+覺(jué)+片)立方厘米：8.(片一函+〃)立方厘米

C.c(4+必+/)立方厘米D.c(/-必+〃)立方厘米

3.函數(shù)/(x)=4sin15x-在0,y上的值域?yàn)?)

A.[—2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3,4]D.[-2百,2]

4.若復(fù)數(shù)z=(2x+M)(2x—4yi)(x,yeR)的實(shí)部為4,則點(diǎn)(x,y)的軌跡是()

A.直徑為2的圓B.實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線

C.直徑為1的圓D.虛軸長(zhǎng)為2的雙曲線

2

5.已知(1—2x)=%…，則%+〃7.=()

i=2

A.-2B.-19C.15D.17

6.當(dāng)x>0,y>0時(shí)，X~^y>y/xy,這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)羽y>0時(shí)，

+其中2+"=1且；1>0,〃>0,考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)兀。丁

時(shí)，2x+jLiy?.用這個(gè)式子估計(jì)可以這樣操作：102x92xl0+—x9=一,

222

則祈。1233.167.用這樣的方法，可得病的近似值為()

6

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

7.已知函數(shù)〃x)=|2*—1|—a,g(x)=x2-4|x|+2-a,則()

A.當(dāng)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),/(x)只有1個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí),/(無(wú))有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)/(無(wú))有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),g(x)有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)/(尤)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),g(x)有4個(gè)零點(diǎn)

8.在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，以，底面ABCD,ZABD=6Q°,

PB,PC與底面ABC。所成的角分別為c,B,且1+尸=45。，則——=()

AB

A717-2n717-3?A/15-2_V15-3

2222

二、多項(xiàng)選擇題

9.廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則()

A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬(wàn)

B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)

C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬(wàn)

D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬(wàn)

10.已知函數(shù)〃無(wú))的定義域?yàn)镽,/(x)不恒為零，且

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),則()

A./(O)=l為偶函數(shù)

C./在％=0處取得極小值D.若=0,則〃尤)=/(x+4a)

11.下列命題為真命題的是()

A.-\/%2—4%—8A/—%+4+|%—1|的最小值是2

B.JX2-4x-8j-x+4+|x—1|的最小值是A/5

C.6-4尤-8二+4+2*-4口+2的最小值是應(yīng)

D.&-4X-8口+4+&—2x-4口+2的最小值是百

三、雙空題

12.若向量a=(—3,—1),/?=(%,尤一6),a//b,貝1]x=,

log-J3x=.

四、填空題

13.財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志

性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈

的一個(gè)最高點(diǎn)A,點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)。，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)5,C與。在同一水

平面上，他測(cè)得5C=102s■米，ZBOC=120°,在點(diǎn)3處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為

e(tan6=2),在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45。，則財(cái)富匯大廈的高度

0A=__________，米.

14.已知不工是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P滿足|P￡「=19|P閭2,則。

的離心率的取值范圍是.

五、解答題

15.甲、乙兩人進(jìn)行中國(guó)象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒(méi)有平局的情況，甲

2

每局贏的概率均為且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立.

⑴求該比賽三局定勝負(fù)的概率；

(2)在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期

望.

16.如圖，在直三棱柱ABC—a31cl中，AC=4G=3,44=4夜，。為A片的中

點(diǎn).

(1)證明：用?！ㄆ矫鍭G。；

(2)若以ABi為直徑的球的表面積為4871,求二面角C-AD-C的余弦值.

17.在〃個(gè)數(shù)碼1,2,3,〃之2)構(gòu)成的一個(gè)排列//…，”中，若一個(gè)較

大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序(例如上〉/；，則L與八構(gòu)成

逆序)，這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為/…力)，例

如，7(312)=2.

⑴計(jì)算7(51243);

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足%+i=a“1(51243)—7(3412),%=2,求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)排列jj…jn(72eN,?>2)滿足/=〃+1-通=1,2,…,bn=T(J1J2…j"),

S----1----1----1-----,求.

瓦b.bll+1

22

18.雙曲線C：,-1=1(?！?力〉0)上一點(diǎn)。(6,右)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6.

⑴求C的方程；

⑵已知A(-3,0),3(3,0),過(guò)點(diǎn)(5,0)的直線/與C交于M,N(異于A,3)兩點(diǎn)，直線

MA與NB交千點(diǎn)、P,試問(wèn)點(diǎn)P到直線k=-2的距離是否為定值?若是，求出該定值；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知函數(shù)/(x)=e"+xlnx.

⑴求曲線y=/(可在點(diǎn)(I"⑴)處的切線方程；

(2)若〃>0,b>0,且。2+匕2=],證明：/(6z)+/(Z?)<e+l.

參考答案

1.答案：D

解析：因?yàn)锳=(T,—1)(1,4),所以A5=(—2,—1)1(1,4).

2.答案：C

解析：該青銅器的容積約為三。(/+仍+/)={/+油+/)立方厘米.

3.答案：B

解析：因?yàn)閄/。二］,所以5x—巴』—二型］,所以故

5J6L66J16jL2_

/(x)=4sin15x由在0個(gè)上的值域?yàn)椋?2,4］.

4.答案：A

解析：因?yàn)?2x+M)(2x—4yi)=4爐+4y2—6以，IU4x2+4y2=4,IPx2+y2=L所

以點(diǎn)(匹y)的軌跡是直徑為2的圓.

5.答案：D

解析：令％=1,得Qo+q+Qz"1--H為=-1.因?yàn)閝=(—2)xCg=—18,所以

9

ao+^ai=-1-(-18)=17.

2

6.答案：C

j_2］Qon

解析：28^x273?-x28+-x27=—,則逐土一23.037.

33327

7.答案：D

解析：作出y=|2-1|,y=V-4國(guó)+2的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)g(x)有2

個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/(可無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/(無(wú))只有1個(gè)零

點(diǎn)；當(dāng)/(無(wú))有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn).

8.答案：B

解析：設(shè)=PA=b,因?yàn)镹AfiD=60。，所以AC=BD=2a,所以

bb

tana=tanZPBA=—,tanp=tanZ.PCA=一.因?yàn)閍+/?=45°,所以

a2a

bb

tan（i+￡）=tano+tan￡=4：怨=1）解得2=姮二1（負(fù)根已舍去）.

、71-tancrtan^a2

a2a

解析：由圖可知，B錯(cuò)誤.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的

順序排列為698.12,703.09,703.54,730.50,732.20,736.00,則極差為736-

698.12儀38萬(wàn)，6x0.6=36所以第60百分位數(shù)為730.50萬(wàn)，中位數(shù)為

703.54+730.50萬(wàn)”…七.八一年十母

-------------------=717.02萬(wàn)，A,C,D均正確.

2

10.答案：ABD

解析：令x=y=0,得2/(0)=2[7(0)]，解得〃0)=0或/⑼=1,當(dāng)“0)=0時(shí)，

令y=0,貝U2/(x)=2/(x)/(O),則/(尤)=0,這與/(九)不恒為零矛盾，所以

/(0)=1,A正確.

令光=0,貝iJ/(0+y)+〃0—y)=2/(y)/■⑼，即7?&)=/(—#,/(尤)為偶函數(shù)，B

正確.

取/(x)=cosx,滿足題意，此時(shí)光=0不是/(x)的極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤.

令y=a,得/(%+〃)+/(兄一.)=2/(%)/(〃)，若/(a)=0,貝！J/(%+〃)=-/(%-〃)，

貝U/(%)=—/(%+2a)，貝【J/(x+4tz)=—/(x+2tz)=/(%),D正確.

11.答案：BC

解析：設(shè)A(0,2),B(-l,l),尸(-1,0),P(x,VZ4^),易知點(diǎn)P的軌跡是拋物線

V=—4x的上半部分，拋物線V=_4x的準(zhǔn)線為直線x=l,P到準(zhǔn)線的距離d=|尤-小

R為拋物線丁=_4%的焦點(diǎn)：

所以y]x*2*4-4X-8A/-X+4+|x-l|=yjx2+(jTx-2)+d

=|/M|+tZ=|B4|+|PF|>|AF|=V5,

所以Jx?-4x-84金+i+|x-1|的最小值為卡,A錯(cuò)誤，B正確.

—4%—8'\/—x+4+Jx2-2x-4y-x+2

=^%2+(7^-2)2+Ja+lp+p^—=\PA\+\PB\>\AB\=42,

所以6—4-8Q+4+6—2x—4右+2的最小值是正,C正確，D錯(cuò)誤.

12.答案：9；-4

解析：因?yàn)椤ā╞,所以一3(%—6)+%=0,解得x=9,所以log有％=log有9=-4.

TT

13.答案：204

r)A

解析：設(shè)Q4=〃米，因?yàn)樵邳c(diǎn)3處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為e(tan8=2),所以潟=2,則

08=▲〃米.因?yàn)樵邳c(diǎn)。處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45。，所以O(shè)C=/i米.由余弦定理，得

2

117

BC2=OB'+OC2-2OB-OCcosZBOC,BP1022x7=-/:2+/z2+-/z2=-/i2,解得

424

〃=204.

14.答案：[10-M1

L9J

解析：因?yàn)閨P￡「=19歸閶2,所以|「司=屈|尸閶,

/.—、（719-1）^

則2。=|尸用+戶鳥(niǎo)|=（曬+1）|尸用，所以盧閶=1—-J—^a-c.a+c],

則八子又。<e<l,所以C的離心率的取值范圍是io-M'

15.答案：（1）；

（2）X的分布列為

X234

P412

939

解析：（1）該比賽三局定勝負(fù)意味著甲、乙兩人前面三局有一人連贏,

則該比賽三局定勝負(fù)的概率為[g]+（1—1]=1-

（2）X的可能取值為2,3,4,

2

P（X=2）

P（X=3）=C；

P（X=4）=C；

則X的分布列為

X234

P412

939

-4cl,225

故E（X）=2x—+3x—+4x—=—

9399

16.答案：（1）見(jiàn)解析

⑵告

解析：（1）證明：連接4。交AC|于點(diǎn)E,

則E為4。的中點(diǎn)，

因?yàn)?。為A片的中點(diǎn)，所以DE〃6C,

又DEu平面ACQ,^。仁在平面從。］。，

所以BQ〃平面ACQ.

（2）因?yàn)锳G=4G，。為4片的中點(diǎn)，所以4片,

且CQ=,32_（20『=1.

因?yàn)橐訟耳為直徑的球的表面積為48兀，

所以4兀x二48兀，

解得朋=4.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC1的方向?yàn)閥軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0（0,0,0）,q（0,1,0）,?260,4%C（0,l,4）,

設(shè)平面ACQ的法向量為加=（無(wú),y,z）,DQ=（0,1,0）,DA=（-272,0,4）,

則“DG=y=。，

m-DA=-2A/2X+4z=0,

令z=l,得加=（女,0,1）.

設(shè)平面ACD的法向量為n=（x',y',/）,DC=（0,1,4）,

ri-DC=y'+42'=0,

則

n-DA=-2yl2x'+4z'=0,

令z，=l,得"=

rpi>L/\rn-n3歷

因?yàn)閏os(min)—-；-ri-r=—j=—T==---,

'/|m||n|AM19

且由圖可知，二面角C-AD-￡為銳角,

所以二面角C-AD-￡的余弦值為叵.

119

17.答案：(1)5

(2)4=5"T+1

⑶S'=三

n+1

解析：(1)在排列51243中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與2構(gòu)

成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，

所以7(51243)=4+0+0+1+0=5.

(2)由(1)中的方法，同理可得7(3412)=4,

所以4+i=54-4，設(shè)q+1+4=5(%+孫

得%=5%+44,所以42=-4，解得二二一1,則=

因?yàn)?-1=1,所以數(shù)列｛q-1｝是首項(xiàng)為1,公比為5的等比數(shù)列,

所以4—1=5"-'貝l]a〃=5"T+L

(3)因?yàn)閖j=n+l-z(z=1,2,---,H),

n—ljn

所以2"(jj…))=〃T+"2+…+1+0=

~2-

2

所以」-==2|--—

%n+l^n1n〃+T-4

匚匚2ccL111112n

所以S=21-----1--------1-----1-----------

〃(223nn+1n+1

18.答案：(1)C的方程為今一丁=1.

2a-6,

解析：(1)依題意可得62

解得a=3,b?=1,

故C的方程為>2=1.

(2)由題意可得直線I的斜率不為0,設(shè)/的方程為x=my+5,

設(shè)〃(%,%),N(x2,y2),

x=my+5,

聯(lián)立X221得(蘇—9)/+10my+16=0

—y=1,

[9'

16

則加2—9/0，%+%=,

m-9m2-9

直線AM：y=^^(x+3),直線BN：y=—3),

苞+3X、—3

聯(lián)立y=—(x+3)與y=f(x-3)

%]+3%2—3

消去y得

x+3=%(石+3)=%。盯i+8)=7孫%+8%=7孫%+8(%+%)-8%

x—3乂(%-3)%。盯2+2)myly2+2ylmyly2+2y]

16m80m64mc

…一小一也

m—9

16m16m-

+2%

m2—9m—9

99

解得X所以點(diǎn)P在定直線X、上.

因?yàn)橹本€x=gQ與直線x=-2之間的距離為10

所以點(diǎn)P到直線x=-2的距離為定值，且定值為十.

19.答案：(l)(e+l)x-y-l=0

(2)見(jiàn)解析

解析：⑴由/'(X)=e*+xlnx,得/<x)=e*+lnx+l,

則/⑴=e,r(l)=e+l.

故曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7⑴)處的切線方程為y-e=(e+l)(x-l),即(e+l)x-y-l=O.

(2)證明：由〃>0,b>0,且〃2+/=1,不妨設(shè)a=cosx,b=sinx,,

則證明+<e+l等價(jià)于證明/(cos%)+/(sin%)<e+l,

即證ecosx+cosx-In(cosx