廣東省揭陽市2024屆數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊期末考試試題含解析

廣東省揭陽市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.圓X?+—6y+8=0與圓X?+曠—8x=0的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.外離

2.如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子

A.9cmB.6cm

C.3cmD.4.5cm

3.我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為:

一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）

4020

A.—B.—

3131

105

C.—D.—

3131

4.已知三棱錐0-A3C,點(diǎn)、M,N分別為A3,。。的中點(diǎn)，且。1==仇（9。=c，用a'c表示MN，則MN

等于（）

B.~(a+b+c

2、

-(a-b+cD.-(c-a-b

2、2、

5.圓(x-5)2+(y-3)2=16與圓f+丁-4x+2y+4=0的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)含B.相交

C.外切D.外離

6.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積公式，設(shè)橢圓的長半軸長、

短半軸長分別為。力，則橢圓的面積公式為5=次力，若橢圓的離心率為:，面積為2岳，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

222222

A.土+y2=i或二十3=1B.±+匕=1或匕+土=1

444343

222222.2-2

C.—+—=—+—=1D.——十—=1或一+—=1

6363169916

7.已知Z?<O<a,則下列不等式一定成立的是()

11

^.b2<a2B.—<—

ba

C.—bV—aT).a—b<a+b

8.下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是()

2…，推斷：數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和SR=〃2

A.由求出S]=P,S2=2,其=32,

B.由/(x)=xcosx滿足對(duì)VxeH都成立，推斷：/(x)=xcosx為奇函數(shù)

C.由半徑為r的圓的面積S=?產(chǎn)，推斷單位圓的面積5=乃

D.由(1+1)2>2、(2+葉>22,(3+1)2>23,…，推斷：對(duì)一切〃wN*，(n+1)2>2"

9.拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置.當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽的時(shí)候，平行的太陽光線入射到旋

轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)

在它的主光軸上.如圖所示的太陽灶中，灶深。即焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為1m,則灶口直徑AB為()

A.2mB.3m

C.4mD.5m

io.下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2%的是

22

A.%2--=1B.-——y2=l

44'

22

C.—x2=lD.y2--=1

4-4

11.已知直線mx—2y+l=0,12：x—伽一1）,—1=0,則“》i=2"是"。平行于的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

22

12.曲線C：」-￡=1（。＞02〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)歹到兩條漸近線的垂線段分別為E4,FB,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊

形。4歹3是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）

A.0B.6

C.20.75

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某班有40位同學(xué)，將他們從01至40編號(hào)，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人參加文藝演出，抽出的編號(hào)從小到

大依次排列，若排在第一位的編號(hào)是05,那么第四位的編號(hào)是

14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)鳥的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段45的長為5,若2a=8,那

么△A3月的周長是.

15.已知曲線丁=17與曲線y=e*—1有相同的切線、=履+6,則匕=

22

16.雙曲線:-g=l的一條漸近線的一個(gè)方向向量為加=（"））,則:=（寫出一個(gè)即可）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，C是以A3為直徑的圓上異于A,3的點(diǎn)，平面平面筋已四:^^二人^二工瓦廠分別是

PC,P3的中點(diǎn).

(1)證明：所，平面PAC；

(2)若直線A3與平面PAC所成角的正切值為2,求銳二面角P-AF-￡的余弦值.

18.(12分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABC。滿足筋LAD,ABLBC,SAL底面ABC。，且

SA^AB=BC=1,AD=0.5.

(1)證明A￡>〃平面MC；

(2)求平面SBC與平面5AD的夾角.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=W.

e

(1)求函數(shù)八尤)的極值；

(2)若以29+(2%+1把*+1-％20對(duì)也611恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.(12分)浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政

治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門科目中自選3門參加考試.下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測

中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的第60百分位數(shù)；

(3)若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門學(xué)科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”

的概率

21.(12分)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，橢圓右焦

點(diǎn)也為，離心率為

(1)求拋物線方程和橢圓方程；

(2)若不經(jīng)過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，直線與橢圓交于、兩點(diǎn),

求面積的最大值

22.(10分)某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的

評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；

(3)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在[40,50)的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】圓f+y2—6y+8=。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+4—3)2=1,

圓x~+y?—8x=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4)2+y~=16,

兩圓的圓心距為J42+3?=5=1+4，即圓心距等于兩圓半徑之和，

故兩圓外切，

故選：C.

2、A

【解析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出

1Ajr1

【詳解】由題意可得，一X——X4.53=-X^X4.52X/I,解得〃=9.故選：A

233

3、C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項(xiàng)即可得解.

【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為外,公比為q=2,

則也二￡)=5,解得。1=工

1-231

所以第二天織布的尺數(shù)為出=3x2=平.

3131

故選：C

4、D

【解析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】MN=MA+AO+ON^^BA-OA+^OC

^-(OA-OB]-OA+-OC

2、>2

=--OA--OB+-OC

222

=3卜一口一b).

故選：D

5、C

【解析】分別求出兩圓的圓心、半徑，再求出兩圓的圓心距即可判斷作答.

【詳解】圓(x—5)2+(y—3)2=16的圓心G(5,3),半徑4=4,

圓/+丁2_4*+2>+4=0,即(x—2r+(y+1]=1的圓心C2(2,—1),半徑々=1,

則|CGI=J(2-5)2+(—1—3)2=5，即有ICC+4，

所以圓(x—5y+(y—3)2=16與圓Y+y—4x+2y+4=o外切.

故選：C

6、B

【解析】根據(jù)題意列出a,4c的關(guān)系式，即可求得儲(chǔ)=4,〃=3,再分焦點(diǎn)在x軸與V軸兩種情況寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.

222

【詳解】根據(jù)題意—=—,S=7iab=2?兀,a=b+c,可得/=44=3,c?=1,

a2

2222

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+乙=1或上+土=1.

4343

故選:B

7、B

【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.

詳解】對(duì)于A,如。=5,匕=-10,滿足條件，但〃〈/不成立，故A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)?<0<a,所以,<0,L〉0,所以!<1，故B正確；

baba

對(duì)于C,因?yàn)樨?lt;0<a,所以-b>0,—a<。，所以—B<—a不成立，故C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)樨?lt;0<a,所以一b>b,所以a—Z>>a+Z?,故D不正確.

故選：B

8、A

【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導(dǎo)結(jié)論可得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,由4=2〃-1,求出d=12,82=22,邑=32,…，

推斷：數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和，是由特殊推導(dǎo)出一般性的結(jié)論，

且S“=l+3+…+(2〃—1)=〃2,故A正確；

B和C屬于演繹推理，故不正確；

對(duì)于D,屬于歸納推理，但〃=6時(shí)，結(jié)論不正確，故D不正確.

故選：A.

9、C

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為丁2=2°九(〃>0),根據(jù)。(1,0)是拋物線的焦點(diǎn)，求得

拋物線的方程y2=4x,進(jìn)而求得A3的長.

【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，。與C重合,

設(shè)拋物線的方程為y2=2PMp>0),

由題意可得。(1,0)是拋物線的焦點(diǎn)，即孑=1，可得P=2,

所以拋物線的方程為y2=4x,

當(dāng)％=1時(shí)，可=2,所以|A@=4m.

故選：C.

【解析】焦點(diǎn)在y軸上的是C和D,漸近線方程為y=+—x,故選C

b

考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

11、C

【解析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得如再結(jié)合充分必要條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由直線〃平行于得一機(jī)(m一l)=lx(—2),得加=2或加=-1,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)機(jī)=—1時(shí)，直線。與，2重合，

舍去，所以“雨=2”是“平行于//的充要條件，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎(chǔ)題

12、A

【解析】依題意可得。4EB為正方形，即可得到從而得到雙曲線的漸近線為>=±乙即可求出雙曲線的

離心率；

【詳解】解：依題意E4LQ4,FBLOB,且四邊形。4EB為菱形，所以Q4EB為正方形，所以即雙

曲線的漸近線為y=±x,即a=。，所以e=￡=、忙邙1=血;

a\a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、29

【解析】根據(jù)給定信息利用系統(tǒng)抽樣的特征直接計(jì)算作答.

【詳解】因系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個(gè)編號(hào)相距￡40=8,

所以第四位的編號(hào)是5+3x8=29.

故答案為：29

14、16

【解析】利用橢圓的定義可知|伍|+|秋|=20=忸閭+忸胤，又取2的周長|9|+忸閶+|鉆|,即可求焦點(diǎn)

三角形的周長.

【詳解】由橢圓定義知：|然|+|明|=2。=忸閶+忸耳卜

所以△即月的周長為|至|+忸閶+|鉆|=|至|+|秋|+忸閭+|班|=4a=16.

故答案為：16.

15、0

【解析】設(shè)切點(diǎn)分別為人（國,%）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得左=9一］=曠2,則為―%=1.由％=9一,

%=e*-1,計(jì)算可得k=絲』=1,進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程即可求得結(jié)果.

x2一百

【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為B（x2,y2）

由題意可得左=t=e“2,則玉—1=%，即%—々=1

因?yàn)楸?0、％=即一1,所以、二上顯:e"le*=],即p-'i,解得罰=1,

%2一%—1

所以4U）,則1+A=1,解得6=0

故答案為：0

16、且（答案不唯一）

2

【解析】寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合方向向量的定義求巴即可.

V

【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線方程為丁=土當(dāng)X，又加=（〃#）是一條漸近線的一個(gè)方向向量，

所以m=（"0）或加=卜"0）或m=（點(diǎn)一0）或加=卜"-0）,

所以幺=，6或2=一逅.

V2V2

故答案為：漁（答案不唯一）

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）證明見解析

⑵也

19

【解析】（1）由瓦尸分別是P5PC的中點(diǎn)，得到BC//EF,在由是圓的直徑，所以結(jié)合面面垂直

的性質(zhì)定理，證得面PAC,即可證得EFL面尸AC；

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求

得平面AEF與平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【小問1詳解】

證明：在PBC,因?yàn)镋,尸分別是PB,PC的中點(diǎn)，所以BC//EF,

又因?yàn)槭菆A的直徑，所以5CLAC,

又由平面？AC，平面ABC,平面PACi平面ABC=AC,且BCu平面ABC,

所以面PAC,

因?yàn)锽CUEF,所以石尸，面PAC.

【小問2詳解】

解：由（1）知面尸AC,所以直線A3與平面尸AC所成角為N54C,

由題意知gg=2,BC=4,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4為A?軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

可得4(2,0,0),3(0,4,0),「(1,0,若),石|,O,^j,F

則AE=-|，°，￥，EF=(0,2,0),AP=(-1,0,73),AF=-|,2,^

3y/3

、日-3-.,../、_.AE?m=—X]H-----z[二°

設(shè)面AE/7的法向s量為根=(石,%，4),貝“22，

EF-m=2y1=0

取為=1,可得乂=0/1=百，所以機(jī)=,

AP-n=-x2+A/3Z2=0

設(shè)面B4尸的法向量為〃=(%2，%，Z2)，貝卜36

AF，ri=—%2+2%-----z1=0'

、22

取Z2=l,可得"所以"=6洋1,

2127

in.“2J572屈

則|cos〈私外|=------=^—,所以銳二面角P—A尸—石的余弦值為

|m||n|1919

18、(1)證明見解析

,、71

(2)—

4

【解析】(1)由已知結(jié)合線面平行判定定理可得；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可解.

【小問1詳解】

VAB±AD,ABLBC,：.AD//BC,

又AZ)U平面SBC,BC4平面SBC,

BC〃平面S4D；

【小問2詳解】

；&4_L平面ABC。且AB、ADCu平面ABC。，：.SA±AB,SALAD,又

故分別以AD,A3,AS所在直線為x軸，，軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

由&1=帥=5。=1,AD=L

2

可得：A(0,0,0),3(0,1,0),C(l,l,0),D(1,0,0),S(0,0,l),

由已知SA_L平面ABC。，ABI平面ABC。，SA±AB,AB±AD,

SA\AD=A,SA,A￡)u平面&ID,

所以平面SW,

.?.AB為平面SW的一個(gè)法向量，且A3=(0,1,0)；

設(shè)〃=(x,y,z)為平面SBC的一個(gè)法向量，

則〃，3C，n±SB>

n,BC=0>n-SB=0>

BC=(1,0,0),S5=(0,l,-l),

x=0

[y-z=o

令z=l,貝!Jx=0,y=i,

.?."=(0,1,1),

設(shè)平面154n與平面SBC的夾角大小為e,

1V2

cos0=|cos<AB,n>|=-----=---,

lxV22

ITTF

由0e(0,=]得：平面SCD與平面SAB的夾角大小為

24

19、(1)極大值為工，無極小值

e

(2)[0,+co)

【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷極值點(diǎn)，代入原函數(shù)計(jì)算即可；

(2)將以2e*+(2x+l)e'+i—x?0變形，即口之工—巴與0對(duì)X/xe(—8,0)(0,+8)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù),

XQX

利用求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定實(shí)數(shù)”的取值范圍..

【小問1詳解】

對(duì)函數(shù)了。)求導(dǎo)可得：r(x)=T

可知當(dāng)xe(—a?,l)時(shí)，/'(x)>0,xe(L+8)時(shí)，f'(x)<0,

即可知/(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+<?)上單調(diào)遞減

由上可知，f(x)的極大值為了⑴二,,無極小值

e

【小問2詳解】

由ax2ex+(2x+De'-x20對(duì)VxeH恒成立，

當(dāng)x=0時(shí)，e?0恒成立;

當(dāng)時(shí)，以2曠+(2x+l)e'M—xNO對(duì)Vxe(-oo,0)U(0,+<?)恒成立,

可變形為：a23-e(2'+1)對(duì)^(_oo,0)、(0,+o。)恒成立,

xex

令g(x)=二-e(2;+l),%(-oo,0)L(0,+oo),

xex

貝！JaNglAOma^xel-co,。)，(0,+oo)；

%+1+2e(x+1)

求導(dǎo)可得：g'(x)=-

x2e-X3

(2ex+1-x)(x+l)e12e—；(x+l)

x3ex3ex

|xY

由(1)知2e>—2—即2e——>0恒成立,

eexex

當(dāng)xe(0,+s)時(shí)，g'(x)>0,則g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增;

x(l-2ev+1-ex+1

又g(x)=!e(2尤+1)

x2x2eA

因xe(0,+oo),故1—2e*+i<0，x(l-2el+1)-e'r+1<0,

所以g(x)<0在(0,+s)上恒成立,

當(dāng)xe(—oo,0)時(shí)，令g'(x)=O,得％=-1,

當(dāng)xe(-oo,-l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(一8,T)上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，

從而可知g(x)的最大值為g(—l)=。，即g(x)<。,

因此，對(duì),0)50,+8)都有8。)<0恒成立，

所以。之0,實(shí)數(shù)。的取值范圍是［0,+?)).

20、(1)a=0.005

3

(2)232(3)-

5

【解析】(1)由頻率和為1列方程求解即可，

(2)由于前3組的頻率和小于0.6,前4組的頻率和大于0.6,所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第

60百分位數(shù)為了,則0.45+0.0125x(』-220)=0.6,從而可求得結(jié)果，

(3)利用列舉法求解即可

【小問1詳解】

由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)x20=1,

解得a=0.005

【小問2詳解】

因?yàn)?0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.6,(0.002+0.0095+0.011+0.0125)x20=0.7>0.6,

所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在［220,240)內(nèi)，

設(shè)第60百分位數(shù)為X,則0.45+0.0125X。-220)=0.6,

解得了=232,即第60百分位數(shù)為232

【小問3詳解】

將物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)5門學(xué)科分別記作a,b,c,d,e,則

。={(a,伍c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,

事件A表示小明選中“技術(shù)”，貝！IA={(a,b,e),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e)},

3

所以P(A)=-

21、(1)拋物線方程為，橢圓方程為

(2)