九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 相似全章復(fù)習(xí)與鞏固（學(xué)生版）

相似全章復(fù)習(xí)與鞏固

金目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段;

2、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成

比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利

用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問題；

3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的

坐標(biāo)的變化；

4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的

表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.

相

似

圖

形

的

應(yīng)

用

繳知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01相似圖形及比例線段

1.相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把稱為相似圖形(similarfigures).

要點(diǎn)詮釋：

（1）相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

（2）“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等;

2.相似多邊形

如果兩個(gè)多邊形的,對(duì)應(yīng)邊的,我們就說它們是相似多邊形.

要點(diǎn)詮釋：

（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì).

（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.

3.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a?.斤c:d,

我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

要點(diǎn)詮釋：

（1）若a:蛇,貝！Jad%c；（d也叫第四比例項(xiàng)）

（2）若a:6=6:c,貝=ac（6稱為a、c的比例中項(xiàng)）.

知識(shí)點(diǎn)02相似三角形

1.相似三角形的判定：

判定方法（一）：,所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：,那么這兩個(gè)三角形相似.

判定方法（三）：,那么這兩個(gè)三角形相似.

要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的

夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.

判定方法（四）：,那么這兩個(gè)三角形相似.

要點(diǎn)詮釋：

要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，

若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

2.相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形的,對(duì)應(yīng)邊的；

（2）相似三角形中的等于相似比；

相似三角形,,都等于相似比.

要點(diǎn)詮釋：

要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.

（3）相似三角形周長的比等于相似比；

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

3.相似多邊形的性質(zhì)：

（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

（2）相似多邊形的周長比等于相似比.

（3）相似多邊形的面積比等于.

知識(shí)點(diǎn)03位似

1.位似圖形定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)

叫做位似中心.

2.位似圖形的性質(zhì)：

（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在；

（2）位似圖形的等于相似比；

（3）位似圖形中的對(duì)應(yīng)線段平行.

要點(diǎn)詮釋：

（1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)

為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

知識(shí)點(diǎn)04黃金分割

L定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB,若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全

PRAp

長之比，即——=—（此時(shí)線段AP叫作線段PB、AB的比例中項(xiàng)），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃

APAB

金點(diǎn)），這種分割就叫.

APB

2.黃金三角形：—的等腰三角形，它的底角為72°,恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形.

黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割.

知識(shí)點(diǎn)04射影定理

在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,

.,.△ABC^AACD^ACBD（“角角”）

______________________________（射影定理）;

_____________________________（等積）.

u能力拓展

考法01相似三角形

【典例1】已知：如圖，/ABC=/CDB^90°,A（=a,BC=b,當(dāng)BD與a、6之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)三

角形相似？

【即學(xué)即練1］如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,沿直線MN對(duì)折，使A、C重合，直線MN交AC于0.

(1)求證：△COMs/XCBA；(2)求線段0M的長度.

-------+~ID

B/MC

【典例2】如圖，在AABC中，ZC=90°,將AABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處,

已知MN〃AB,MC=6,NC=26,則四邊形MABN的面積是()

A.6GB.1273C.18GD.24G

考法02相似三角形的綜合應(yīng)用

【典例3】已知，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB,

連接DE.

(1)求證：DE±BE；

【典例4】如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，ZAED=ZB,射線AG分別交線段DE,

BC于點(diǎn)F,G,且坦

ACCG

(1)求證：△ADFs^ACG；

(2)若m求處的值.

AC2FG

A

D

【即學(xué)即練2］如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,Z\ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.

(1)求證：△BDESZ\BAC；

(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.

【典例5】如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD=2,BC=4,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，aMBC是等邊三角形.

(1)求證：梯形ABCD是等腰梯形.

(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且NMPQ=60°保持不變.

設(shè)PC=x,MQ=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

【即學(xué)即練3］如圖所示，在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=8,AC=6.若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度.過點(diǎn)D作DE〃BC交AC于點(diǎn)E,設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

x秒，AE的長為y.

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，4BDE的面積S有最大值，最大值為多少？

考法03黃金分割用

【典例6】如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD,先折出BC的中點(diǎn)E,再折出線段AE,

然后通過折疊使E