圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積類(lèi)問(wèn)題（解析版）（三大題型）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考專(zhuān)用）

圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積類(lèi)問(wèn)題（三大題型）

■考點(diǎn)■

直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積，處理方法：

①一般方法：S=gk4/（其中|A耳為弦長(zhǎng)，d為頂點(diǎn)到直線AB的距離），設(shè)直線為斜截式丁=米+加.

進(jìn)一步，S=—|A@d--Jl+公J（X]+/2）2-4X]X]員>+回

22-Jl+公

②特殊方法：拆分法，可以將三角形沿著％軸或者》軸拆分成兩個(gè)三角形，不過(guò)在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一

般在X軸或者y軸上，此時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng).

q^APQA+S"°B=；|PQ||以一九|P4|

。bPAB*XPAB丁°APQB=J。舊-

二*05（1+々）2—4%々

=gIPQ|回+城-今以

③坐標(biāo)法：設(shè)4>],凹）,8（々，乂），則SAW=3|七%一彳2丁||

④面積比的轉(zhuǎn)化：

三角形的面積比及其轉(zhuǎn)化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉(zhuǎn)化為可以利用設(shè)線法完成的線段之

比或者設(shè)點(diǎn)法解決的坐標(biāo)形式，通常有以下類(lèi)型：

1.兩個(gè)三角形同底，則面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離之比

2.兩個(gè)三角形等高，則面積之比轉(zhuǎn)化為底之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)之比）

3.利用三角形面積計(jì)算的正弦形式，若等角轉(zhuǎn)化為腰長(zhǎng)之比

4.面積的割補(bǔ)和轉(zhuǎn)化

⑤四邊形的面積計(jì)算

在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見(jiàn)的情況是四邊形的兩對(duì)角線相互垂直，此時(shí)我們借助棱形面積公

式，四邊形面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，

借助三角形面積公式求解.

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⑥注意某條邊過(guò)定點(diǎn)的三角形和四邊形

當(dāng)三角形或者四邊形某條邊過(guò)定點(diǎn)時(shí)，我們就可以把三角形，四邊形某個(gè)定頂點(diǎn)和該定點(diǎn)為邊，這樣就轉(zhuǎn)

化成定底邊的情形，最終可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.當(dāng)然，你需要把握住一些常見(jiàn)的定點(diǎn)結(jié)論，才能察覺(jué)出問(wèn)題的關(guān)鍵.

■題型I

題型一：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決弦長(zhǎng)問(wèn)題

【精選例題】

【例1】已知橢圓吟+。1（4>〃>0）,月,人分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)4（0,應(yīng)），P]-2,用在橢圓E上.

（1）求橢圓E的離心率；

（2）過(guò)左焦點(diǎn)耳且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交橢圓E于A,8兩點(diǎn)，若A8的中點(diǎn)為M,。為原點(diǎn)，直線交

AB

直線、=-3于點(diǎn)N,求何取最大值時(shí)直線’的方程.

【答案】（1）手，（2）y=±（x+2）

02?

+L

7

"二力,所以橢圓E的方程為

（1）解：將[（0,0）,R2,代入橢圓方程,/7—\2解得

b=42

22

N=1

.7+b2

62

又C="7=2,所以e=￡4*

6?V63

,>2

廠J一1

（2）解：設(shè)直線/方程為y=Mx+2）（AwO）,A（±,y）,8（電,M），聯(lián)立｛62可得

y=%（x+2）

22則A=24卜2+1）＞0,且西+々=_^^12-2-6

（3公+1）Y+\2kx+\2k-6=0；

設(shè)AB的中點(diǎn)小，兒），則%=中=一缶，％=鑒7+2]=言，坐標(biāo)為

ZJK+1I+1/JK+1

黑，言），叱甘*=*）,因此直線切的方程為尸一%從而點(diǎn)N為

網(wǎng)224公。+1）

-3,￡|,乂￡（一2,0）,

所以|樣|2（3公+1）2令t=3爐+1>1，則

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〃（它2=

呆9,因此當(dāng)f=4,即左=±1時(shí)，力(。最大值為3.

所以燃的最大值為G，此時(shí)，直線/的方程為丫=±(工+2).

22

【例2】已知圓0|：1+&丫+丫2=:和圓。2：(x-72)+y=l,以動(dòng)點(diǎn)尸為圓心的圓與其中一個(gè)圓外

切，與另一個(gè)圓內(nèi)切，記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為7\

(1)求軌跡T的方程；

(2)若斜率為-1的直線交軌跡T于A,B兩點(diǎn),求A8的長(zhǎng)度的最大值.

【答案】(1)片+片=1;(2)生質(zhì).

423

【分析】(1)確定圓。2在圓。?內(nèi)，設(shè)尸(x,y)且對(duì)應(yīng)圓半徑為r，根據(jù)題設(shè)及兩點(diǎn)距離公式得到「關(guān)于x關(guān)

系，代入距離公式整理即得軌跡方程；

(2)設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式建立關(guān)系并求出最大值即得.

?71

【詳解】(1)依題意，圓。I的圓心。(-0,0)，半徑4=5，圓。2的圓心。2(0，°)，半徑為='，

顯然10021=20<4—4=3,即圓。2在圓。內(nèi)，

設(shè)尸(x,y),半徑為r,顯然以P為圓心的圓與圓。2外切，與圓01內(nèi)切,

則(x-&)2+/=(2--'

所以軌跡7的方程為%

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22

(2)由(1)知，軌跡T的方程為主+匕=1,設(shè)直線的的方程為y=-x+t,

42

y=-x+t

由j=4消去)：并整理得3/-4a+2/-4=0,

顯然A=16/一24(產(chǎn)一2)>0,解得-

4/2產(chǎn)一4

設(shè)4>1，必),8(工2，%)，則%+工2=]，％工2=---，

因此|AB|="汨7、(%+々)2一4中2=亞X恃_^^=生母乙<半.當(dāng)且僅當(dāng)f=0時(shí)取等號(hào)，

所以A8長(zhǎng)度的最大值為生色.

3

【跟蹤訓(xùn)練】

22

1.已知橢圓C：W+*=l(a>b>0),圓。：x2+y2+x-3y-2=0,若圓。過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)作兩條相互垂直的直線小12,分別與橢圓相交于點(diǎn)A,B,D,E,試求|明+|。目的取值范圍.

2

【答案】⑴?尤2+三V=1,(2)[4y8,7]

⑴圓。：x2+y2+x-3)，-2=0與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),(l,0),即橢圓C的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)分別為(-2,0),(l,0),

故―，故匕3,所以橢圓C的方程為：%："

2b2

(2)當(dāng)直線4，4中，有一條直線斜率不存在，一條直線斜率為。時(shí)，弦長(zhǎng)分別為=3,2a=4,此時(shí)

\AB/[+\DE\=7；

x=my+\

當(dāng)直線/1，/2斜率都存在時(shí)，設(shè)/1：%=加7+1(加工。)，4%,乂),8。2，力),聯(lián)立.<「2,可得

—+—=1

143

(3"r+4)3,2+6my-9=0,A=36m2+36(3/1+4)>0,

?1-y+%=-y%=，1AB|=41+>\yt-y2\=&+>。％+%)2-4)，跖=零W,

12(加2+1)

同理|0E|二

4M+3

12(川+1)12(川+1)84(小+1)2

AB\+\DE|==12(療+1)?(丁丁二+)=

3m2+44m2+33/n2+4w7i(3m2+4)(4〃/+3)

84戶84r_84

:.\AB\+\DE\=

令f=/+l,則(3f+l)(4f-l)\2t2+t-\~~口~49,因?yàn)閞e(1,+?>),所

一(----)H---

t24

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i4區(qū)42

以*(O,1),，|A8|+|DE月三,7),所以|陰+|。目的取值范圍為［十,7J.

2.已知橢圓C：捺+015>/,>0)的兩焦點(diǎn)耳(-1,0),6(1,0),且橢圓C過(guò)p-6岑］

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F,作不與坐標(biāo)軸垂直的直線/交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與J軸負(fù)半軸交于點(diǎn)。，

若點(diǎn)。的縱坐標(biāo)的最大值為求|他|的取值范圍.

O

22

【答案】⑴土+匕=1

43

⑵阜％

【分析】(1)由題意列出方程組，求解即可:

(2)設(shè)直線/的方程為尢=陽(yáng)-1(利為不等于0的實(shí)數(shù))，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得A3

中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得線段AB的中垂線方程，求出。的縱坐標(biāo)，結(jié)合題意求得(4機(jī)42,由弦長(zhǎng)公式可得

112

|AB|=4(1--令g(㈤=4(1-丁三)，9m32,根據(jù)函數(shù)g(m)的單調(diào)性求出其值域即得答案.

3m~+43"+43

C=1a=2、

【詳解】(1)由題意可得：■"-從入?解得

序3+方3=,1c=1

2)

所以橢圓的方程為：三+匕=的

43

(2)因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)6(-1,0),

由題意可得直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為才=沖-1?！睘椴坏扔?的實(shí)數(shù))，&玉，％),B(X2,y2),

22

由<43,可得(3m2+4)V_6切一9=0,

x=my-l

6m9

貝ljA=(-6w)2+36(37??+4)=144(n?2+l)>0,y+y=------,到%=----;---

3tn~+43m+4

8

所以％+/=m(y+y)-2=

}23M+4

43m

所以他的中點(diǎn)為(-E

3病+4

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所以線段AB的中垂線方程為：y-M=-m+高），

4

令x=0,則丫=-藐彳即。點(diǎn)縱坐標(biāo)為-段,

又因?yàn)槭桥cy軸交于負(fù)半軸，所以-不工<o,m>0,

3m~+4

又因?yàn)辄c(diǎn)。的縱坐標(biāo)的最大值為-:，

O

所以一丁%<—:1，解得234機(jī)《2,

3布+483

又因?yàn)閨AB1=J(X]-%2'+(M-％)2=Vl+m2-Iy-％I=Jl+W?+%)2-4乂必

---2~6w—~2——9"/----7J144(/w2+1)12(m2+1)1

=Jl+機(jī)？.()--4.(-)=V1團(tuán)2.V_——：=—~/=4(1--r-

V3"+4342+4+3M+43切+43"十

2

因?yàn)榧庸?,

i?2

令g(m)=4(l―-),工機(jī)42,由于函數(shù)y=3>+4在工機(jī)42單調(diào)遞增，

3"+433

所以M)在g,2]上單調(diào)遞增，

所以g（M.=gg）=?，g（Mmax=g（2）=?，

所以g（，"）e[?,,

即1砌的取值范圍為：耳,%

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系;

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍：

（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

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題型二：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決三角形面積類(lèi)問(wèn)題

【精選例題】

【例I】已知橢圓r的方程為力+方=1("＞方＞0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)o,半徑為疝了的圓為橢圓「的

“蒙日?qǐng)A”，橢圓「的焦距為2,離心率為由.

3

⑴求橢圓「的方程；

(2)若直線/與橢圓「交于A、B兩點(diǎn)，與其“蒙日?qǐng)A”交于C、。兩點(diǎn)，當(dāng)|空=4時(shí)，求"08面積的最大值.

【答案】(1)二+工=1;(2)如

322

【分析】(1)根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、b,。的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓F的方程;

(2)對(duì)直線/的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，在直線/的斜率不存在時(shí)，根據(jù)的值求出/的方程，進(jìn)而

可求得▲O4B的面積；在直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丫=行+機(jī)，根據(jù)|CD|=4可得出療=1+二，

將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式以及基本不等式可求得

,Q4B面積的最大值.

【詳解】(I)解：因?yàn)闄E圓r，+/=l(a＞匕＞0)的焦距為2,離心率為當(dāng)，

則￡=坐，可得方=血，故橢圓廠的方程為.=1.

a3,32

b=\la2-c2

(2)解：由題意，蒙日?qǐng)A方程為x?+y2=5,圓心為0(0,0),半徑「=番，

①當(dāng)C￡＞J_x軸時(shí)，設(shè)直線C。的方程為*=/,

將x=f代入“蒙日?qǐng)A”的方程得t2+y2=5,解得y=石方，

則|8|=2)5-7=4,解得：f=±l,

將直線/的方程代入橢圓。的方程可得:+[=1,解得y=士半，則恒卻二怨，

所以,S△八0B==；

②當(dāng)直線/不垂直X軸時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=fcr+，"，即fcr-y+m=0,

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圓心0到直線CD的距離為d=-^=L=\出J=1,得病=]+公,

y=kx+m

聯(lián)立＜fy2,消去y得（2+3公）》2+6fanr+3"z--6=0,

---1----1

132

△=（6切2）2-4（2+3&2）（3療—6）＞0,可得/＜3^+1,

26

設(shè)A（x”y）、B（w，%），則再+々=_3m-

-2

乙十JK2+3k

h6Ar2m2-4（3w2-6）（2+3Z:2）

=Jl+J汽芭+三）2-4X[三=J1+&2

（2+3/）2

2赤、（1+內(nèi)乂3妙+2-療）2國(guó)（爐+］）（2&"）

33+2-3^+2

V6x^（l+Z:2）（2jt2+1）

所以,S…妊.”小2屆xl=

和+：鱉F）3^+2

46（\+k2+2k2+｝）

<2=回

3公+22

當(dāng)且僅當(dāng)公+1=2公+1時(shí)，即當(dāng)女=0時(shí)，等號(hào)成立,

又因?yàn)槿?gt;攣，故的面積的最大值為理.

232

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種:

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

【例2】已知橢圓*■+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是"，尸2,上頂點(diǎn)為4,橢圓的焦距等于橢圓的

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長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，且的面積為上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若&C是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且直線A8和直線AC的斜率之積為!，求/3C面積的最大值.

【答案】（1）三+匯=1;（2）必

432

【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可列方程求解不=1，廿=3,片=4,

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式表達(dá)出三角形的面

積，利用換元法及基本不等式求，/WC面積的最大值.

【詳解】（1）由題意得，2c=a,①

由△△百鳥(niǎo)的面積為招，得gx2cxb=石，②

又/=A?+，，得c?=1，b2=3fa2=41

29

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1.

43

（2）由（1）知點(diǎn)A（0,J5）,

易知直線AB和直線AC的斜率均存在，所以點(diǎn)8,C與橢圓的上、下頂點(diǎn)均不重合.

若直線8c的斜率不存在，不妨設(shè)3（%,%）（/*0）,則C（x。,-%）,

直線AB和直線AC的斜率分別是kAB=上且，kAC=ri,

與與

所以砥酸心。=贊，

又點(diǎn)3（%%）在橢圓上，所以§+抽=1,所以3-巾=殂，所以怎8,怎0=t』='，這與直線AB和直

4344。4

線AC的斜率之積為!矛盾，

所以直線8c的斜率存在.

設(shè)直線BC的方程為y="+機(jī)，其中小工土石，

將直線BC的方程代入[+[=1,得（4公+3b2+8切吠+4療—12=0,

則A=-4（4d+3乂4//-12）=48（4/一小+3）>0,

設(shè)鞏石,兇）（石片0）,C（毛,毛）（々*0），

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.8km4m2-12

n則玉+W=_亦=W，卒2

^TK十J4〃+3

直線AB和直線AC的斜率分別是Z八5二生氈，怎0=上@

玉X?

所以W^c=/一碰—⑹=（3+〃-6）（"+〃-⑹

中2中2

8km上一可傳2+3）=3m2-6拒m+9

=k2_4（，%_6）

4W2-12+4/M2-124m2-12

又鮑砥c=（，所以/_3j^?+6=0,即（〃?一2⑹（加一百）=0,

所以〃z=2jL故△=48（4二-病+3）>0,即4〃-9>0,

所以直線8C的方程為y=fcv+20，占+%=-卷|，占

所以忸。=JT7正上「司=37淳，（司+々）2_452=4^2^學(xué)士

點(diǎn)A（0,⑹到直線BC的距離d=

所以一ABC的面積S=」忸葉"=L延乒號(hào)也x-j^==6"廣9

21124/+3Ji+.4公+3

令44k2-9=r（r>0）,則4公=產(chǎn)+9,

j6t6<6一6

所以“+121+”一2至2，

t

當(dāng)且僅當(dāng)，=口，即r=26，%=±叵時(shí)，等號(hào)成立，

t2

所以.ABC面積的最大值為由.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何

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特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可

首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，如本題需先將A3C的面積用k表示出來(lái)，然后再利用基本不等

式長(zhǎng)最值.

【例3】動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足方程次+(y-l)2+“2+(y+1)2=4.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡「的方程；

⑵設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線/與軌跡「相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)A(&y),F(O,1),連接AF,BF并分別延長(zhǎng)交軌跡「于點(diǎn)

D,E,記△ABAZ'DQ'的面積分別是%S2,求寸的取值范圍.

【答案】(1)9+方=1;(2)，,得

【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義求得”,仇。，從而求得軌跡r的方程.

5s

(2)通過(guò)聯(lián)立方程組的方法求得RE兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求得苦的表達(dá)式，并利用不等式的性質(zhì)求得寸的取

值范圍.

【詳解】(1)方程Jx〉+(y-l)2+&+(y+l)2=4,

表示平面內(nèi)到定點(diǎn)(0,-1)、(0,1)的距離的和是常數(shù)4(4>2)的點(diǎn)的軌跡，

它的軌跡是以(0,-1)、(0,1)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸勿=4,焦距勿=2的橢圓.

a=2,c=1,b=,4—1=石>

.??軌跡r的方程是f+工=1.

43

(2)設(shè)A(X|,y),x1H0,8(-王,一乂)，E(x,,y,),。(事,必)，

V—1

所以直線A。的方程為>=2一x+i.

玉

與「的方程聯(lián)立，2X；,

匕+土=1

43

消去y得3(*」4+1)2+4/-12=0.

15-6y.26(y,-1)n八

即——產(chǎn)。2+*_i.x-9=0,

玉玉

3x2,3x,3x.

-2y-52*-52y+5

第11頁(yè)共47頁(yè)

.S|_\AF\-\BF\-sinZAFB_\AF\-\BF\_|x,|-x,|

,工一\DF\\EF\-sinZDFE-\DF\-\EF\-|x3|-x2|

_WF|4y：-25|

3XI3A-19,

2M-52j,+5

-2<y,<2,.,.04y；<4,-25<4y,2-25<-9,

c/25"

貝1]9<|4犬-25卜25,即才瓦.

【點(diǎn)睛】求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，可通過(guò)定義法來(lái)進(jìn)行求解.定義法是根據(jù)已知條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)滿足哪種類(lèi)

型的軌跡的定義，由此來(lái)求得軌跡方程.圓錐曲線問(wèn)題中，求解面積的范圍問(wèn)題，可根據(jù)面積的表達(dá)式，利

用不等式的性質(zhì)、基本不等式等知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.

【例4】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為尸(1,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的0倍.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過(guò)焦點(diǎn)/的直線/與橢圓C交于4、B兩點(diǎn),E是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，若48耳內(nèi)切圓的半徑尸=走，

3

求直線/的方程.

【答案】⑴、+y2=i：(2)x=±y+l

【分析】(1)由題意可求得c=l,a=同,并且/=從+02,求得。，b,。，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得解；

(2)設(shè)出直線/方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得X+%，M%，可求得

S*《閨用?帆-乂|=|必-叩，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑可表示出以出=；?4a?，由此求得答案?

第12頁(yè)共47頁(yè)

【詳解】（1）由題可得c=l,焦點(diǎn)在x軸上，2=3，a=6b，

2b

.?.（0了=/+1,解得從=1,“2=2,

所以楠圓C：—+/=1.

2-

（2）設(shè)4（占,%），8（孫必），設(shè)直線/的方程為工=0+1,

「'+"：2=t+2）y2+2o_i=0的根為3,〉2，

x=ty+l'7

2t-1

%+%=且△=8L+8>°'

又：SAA防=；?2c?I%一叩=|>2-yj=J（X+%『-4%為=2，S。硒=；4“"=；x4&x《=：,

.2&?^/7Ti4,4

??---;------=一=f=±],

產(chǎn)+23

所以直線/的方程為：x=±y+\.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二小問(wèn)屬于直線與圓錐曲線綜合性問(wèn)題，設(shè)出過(guò)點(diǎn)尸的直線/與橢圓聯(lián)立，由韋

達(dá)定理可得X+必，可求出工人孫=（|耳巴「帆-％|，另根據(jù)三角形內(nèi)切圓半徑和面積的關(guān)系可求得

SAA%=：4”"，由此可求得直線/的方程?

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，己知橢圓C的焦點(diǎn)為￡（-1,0）,月（1,0）,離心率為變，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A,B,右頂

點(diǎn)為￡?,直線/過(guò)點(diǎn)。且垂直于x軸，點(diǎn)。在橢圓C上（且在第一象限），直線AQ與/交于點(diǎn)N,直線8。

與x軸交于點(diǎn)M.

第13頁(yè)共47頁(yè)

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）判定，AQW（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）與△ADN的面積之和是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】（1）k+>2=1；（2）面積和為定值，定值為正

22

【分析】（1）根據(jù)題意求“，仇。即可得到橢圓方程；

（2）設(shè)分別求出點(diǎn)N,M坐標(biāo)，然后求三角形面積即可.

【詳解】（1）

設(shè)橢圓C方程為4+《=1,焦距為2c,則c=l,￡=受,

a2b2a2

所以a=b2=a2—c2=1

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為'+>2=1.

（2）由題意得A（O,1）,B（O,-1）,直線/：

設(shè)點(diǎn)。（七，X>），0<x0<72,0<y0<1,則本+y=i①，

直線A。：7-1=-令x=@則y=、（%7）+l,

%*o

所以加。|=夜（％一1）+1,

xo

直線BQ：產(chǎn)1=?3,令y=0,則x

X。%+1

所以|OM|=』7，

%+1

第14頁(yè)共47頁(yè)

L工1邛型亡11+Jg=+也

2%+12xQ2x()(JQ+1)2

由①得x：+2y；-2=0,所以5^加+叉皿,=￥?

2.已知橢圓C的方程為/=匕＞0）,其離心率為乎，"，尸z為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)月作一條不

平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，6的周長(zhǎng)為8G.

⑴求橢圓C的方程；

（2）過(guò)B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)￡）.

①試討論直線AO是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②求△40。面積的最大值.

【答案】（1）^1+（=1;⑵①恒過(guò)定點(diǎn)（-6,0）；②2

【分析】（1）根據(jù)已知焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數(shù)即可得方程;

（2）①設(shè)宜線AZ）為x=。+帆且"0,A（XQJ,,聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用書(shū)達(dá)定理并

結(jié)合A,B,及共線有弋=-+7,整理化簡(jiǎn)求參數(shù)〃?，即可確定定點(diǎn)；②由直線A。所過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合

人］I乙人。I乙

SA8=S/M-SM”并將韋達(dá)公式代入化簡(jiǎn)，應(yīng)用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.

【詳解】（1）由題^48瑪?shù)闹荛L(zhǎng)￡=|4?|+|4號(hào)+忸段=44=86，可得”=26,

又￡=且，則。=2,〃=/一。2=8,故橢圓的方程為￡+￡=1.

a3128

（2）①由題，設(shè)直線47為x="+膽且f#o,A（X|,yJ,￡）（%,%）,3（孫一力）,

x=ty+m

22

聯(lián)立方程可得：\xy，化簡(jiǎn)可得：（2產(chǎn)+3）/+4%。+2加2—24=0

1128

△=16/?2/2-8（2r2+3）（/M2-12）=24（8/一病+12）＞0,

匚口“4mt2m2-24

所以乂+以=-彳行

2*+3

第15頁(yè)共47頁(yè)

因?yàn)锳,B,片共線，則有—=一/，化簡(jiǎn)可得2/%+(/+2)(%+%)=0,

4]I乙人)乙

即2r.2力：_24_(_+2＞4^_=o，化簡(jiǎn)可得皿+6r=0恒成立.

二加=-6,即直線A。的方程為x=。-6恒過(guò)定點(diǎn)(-6,0).

②設(shè)直線AQ恒過(guò)定點(diǎn)記為M(-6,0),

由上A=24(8/一〃/+12)=24x8(/-3)>0,可得『>3,

24r48

所以芽TT

]1/2----------------

S"=S-SMOO=+%)--4yty2

24島

令〃=爐與＞0,則,研R碎=2幾

2(/+3)+32〃+22M

n

o15

當(dāng)且僅當(dāng)2〃==，即產(chǎn)=彳＞3時(shí)，取等號(hào).

n2

△A。。面積的最大值為2卡.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)直線4n為x="+，〃且rr0,利用橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及已知條件求

出參數(shù)加為關(guān)鍵.

3.已知拋物線E的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)為尸(-1,0).橢圓C的中心為。，左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,

右頂點(diǎn)為B，且ASM尸=1.

(1)求拋物線E和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)產(chǎn)，與拋物線E交于P,2兩點(diǎn)，與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).記△OP。和OMN的面積

分別為豆和邑，是否存在直線/,使得&-2=7:3?若存在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第16頁(yè)共47頁(yè)

【答案】（1）丁=一4工，工+二=1

43

（2）存在，其方程為x+y+l=O或x-y+l=O

【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得拋物線方程，再設(shè)A（O,b）,B（a,O）,結(jié)合AB.AF=1，可得

橢圓方程；

（2）設(shè)直線/的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可得面積，再根據(jù)岳：52=7:3,

可得直線方程.

【詳解】（1）由拋物線E的焦點(diǎn)為尸㈠,。），

可知-5=T,所以p=2,

所以拋物線的方程為V=-2px=-4x；

22

設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為「+4=1（々>6>0）,則｛0/），3（4,0）,

ab~

所以AB=（a,-b）,AF=（—1,-A）,

由AB-AF=1，可得=

又。2=〃+i,

所以-〃一2=0,解得。=2或。=一1（舍），

則〃=3,

由題意可知，直線/的斜率一定不為0,

則設(shè)直線/的方程為x="-l,P（5,y），。（毛，%），M（w，%），N（Z，M）.

第17頁(yè)共47頁(yè)

聯(lián)立直線與拋物線P'=一以，得V+4)-4=0,D=(4r)2-4倉(cāng)由(-4)=16(r2+1)>0,

x=ty-\

則%+%="y}y2=-4,

所以△OP。的面積E=JOF|.|R+；|OF|.昆|=)。斗,一必|

+%)-”跖=^7(-402-4X(-4)=2>/^7T,

但■+￡=i

聯(lián)立直線與橢圓43",得(3產(chǎn)+4)y2-6<y—9=0,

x=ty-\

A=(-6廳-4x(3r2+4)x(-9)=144(r2+l)>0,

6t9

則i?內(nèi)，

所以。MN的面積邑=g|O耳?國(guó)+g|。斗|%|=；|。斗|力-%|

=U（%+）4一與乂=乂（品j-4x（一1]6〃+1

3』+4

又S[:S)=2/不：地二=7:3,

123產(chǎn)+4

所以3r+4=7,解得f=±l,

所以存在滿足條件的直線/,且直線方程為x+y+i=o或x-y+i=o.

【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí).，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去M或y）建立一元二次方程，然后

借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

題型三：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決定四邊形面積問(wèn)題

【精選例題】

【例1】如圖所示，橢圓E：《+4=l（a>6>0）的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是4（0,1）和8,離心率e=3,C,

ab2

。是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CD//A8.

第18頁(yè)共47頁(yè)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求四邊形48co面積的最大值；

(3)試判斷直線AO與BC的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)《+V=1：(2)4；(3)是，定值為J

【分析】(1)由題意求出。的值，根據(jù)離心率可求出〃2,即得答案；

(2)設(shè)直線CD的方程，聯(lián)立橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求HI|8|的表達(dá)式，即可求

得四邊形ABCD面積的裝達(dá)式，利用三角代換，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得面積的最大值;

(3)求出直線與BC的斜率之積的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可得結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)锳(0,l),所以6=1,又離心率為走，所以￡=且,

2a2

口門(mén))

即=-4c2~=-4ta/~2-bi/>-\]=,-2a--4-a>=4^

33、7331

r2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+V=1

4"

(2)因?yàn)椤?2,所以B(2,0),所以％=-；,

設(shè)直線CO的方程為y=—gx+f(f<1),￡)(4%),C(9,力),

—+/=1

4-

III1得下一2及+2*-2=0,

1

y-——x+t

2

由△=4/-4(2/-2)>0得一五</<1，

則玉+々=2乙x,x2=2r-2,故|(7。|=乎歸_々|=J+(-g)2,J4fa-8產(chǎn)+8=右：2_『,

直線A3方程為x+2y-2=0,8(2,0),所以|即|=行，

直線AB與CD之間的距離為d=也涓4,

故四邊形ABCD的面積為5=3(|4回+|8|卜/=1石+石亞萬(wàn)).噲^="[(1+收二?),

令1=a856(；<6<瓦)，則S=(l-/)(l+5/^sine)=(l-A^cose)(l+&sine)

=1+V2sin0-V2cos0-2sin0cos0，

令，*=sin(9-cose=5/Lin[e-；卜則O<，〃40，2sin6?cos6?=l-/n2,

第19頁(yè)共47頁(yè)

所以S=>?而函數(shù)S=irr在(0,5/2]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)〃7=應(yīng)時(shí)，即，=-1時(shí)，四邊形ABCO面積的最大值為4；

2

(3)由第(2)問(wèn)得%+々=2/,x]x2=2/-2,

,,J-1月_11+"1)卜呆+,上「夕(％+々)—+入品

ADBC

xx/_2XjX2-2玉x}x2—2玉

=222'”=222?=2、/=1,

2廣—2—2石2tz—2—2%j2(/_]—%)4

故直線A。與BC的斜率之積為定值，且定值為!.

4

r22

【例2】已知耳，B分別為橢圓廠匕+與v=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K的直線4與橢圓廠交于A,B兩點(diǎn),

4b

且△?!4月的周長(zhǎng)為4+2百.

(1)求橢圓廠的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)F?的直線4與橢圓「交于C,。兩點(diǎn)，且4,L求四邊形AC3O面積的取值范圍.

f「32"

【答案】⑴三+y2=l；⑵—.2

4L25J

【分析】(1)根據(jù)題意，由△△片鳥(niǎo)的周長(zhǎng)即可得到c,從而求得〃，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式