皖中聯(lián)盟2023-2024學年（上）高三第五次聯(lián)考數(shù)學試題含答案

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2023-2024學年(上)高三第五次聯(lián)考

數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若集合時=｛可3刀2—8x—330｝,N=｛x[y=V1-2x｝,則MnN=()

111111

A.[—十會B,C,[--,0]D,[0,-]

2.在等差數(shù)列｛即｝中,若即+的7=12,則為2=()

A.4B.6C.8D.12

3.若一2+孕i是關于汽的實系數(shù)方程a/+b%+1=0的一個復數(shù)根，且2=。+萬，則+=()

221+z

A13.^1,3.^31.p.3,1.

A-5-5lB-5+5lC-5-5lD-5+5l

4.已知向量2=(—1,2),b=(x,2)，且2與曲夾角余弦值為'則x=()

A.1或2B.1或—11C.1D.-1或—11

5.設立是等差數(shù)列5｝的前ri項和，若曰=a55=5S3-5,則CI9=()

A.2B.-2C.3D.-1

6.已知函數(shù)/Q)=(；)后加，在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，則正實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,11]C.(0,11]D.[111,|)

7.戰(zhàn)國時期成書傕說》記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”.這是中國古代人民首次對平

面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧.在平面直角坐標系xOy中，一條光線從點(2,3)射出，經(jīng)y

軸反射后與圓/-6x+y2+43/+9=0相交所得弦長為2肩，則反射光線所在直線的斜率為()

第1頁，共5頁

A4—n.3r>3廠5n5T3

A.一§或一疝B--4C-3D.一§或一二

8.已知。是三角形的一個內(nèi)角，滿足cos?！猻inO=—W，則Sne+cos?cos28

5smd

2Q29

A—B.一三C.=：D.m

510510

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.設正實數(shù)a、b滿足a+b=L則()

[1

A.+B.-a+-b>4

C.4a2+/>2的最小值為看D.2。+2b的最小值為

10.已知直線降過點(0,-1),且一個法向量為丘=0,1),若點做一3,—4),B(6,3)到Z的距離相等,則實數(shù)

m的可能值為()

7711

A.-1B二C.-iD.《

9933

11.若函數(shù)/(%)=1爐+/⑴田+|,則()

A.f(1)=1B.f(x)有兩個極值點

C.曲線y=的切線的斜率可以為—2D.點(1,1)是曲線y=/(x)的對稱中心

12.已知正方體4BCD-4遇165的棱長為1,。為底面2BCD的中心，4cl交平面4/。于點E,點尸為棱CD

的中點，貝1()

A.4，E,。三點共線

B.三棱錐&-BC。的外接球的表面積為3兀

C.直線&C與平面&BD所成的角為45°

D.過點B,F的平面截該正方體所得截面的面積為]

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.寫出同時滿足下列條件的函數(shù)/⑺的一個解析式.(答案不唯一)①/Q)=/(-X);@/(%+5=

14.現(xiàn)有甲乙兩個形狀完全相同的正四棱臺容器如圖所示，已知2B=BC=6,a/i=/G=2,現(xiàn)按一

定的速度勻速往甲容器里注水，當水的高度是正四棱臺高度的一半時用時7分鐘，如果按照相同的速度勻

第2頁，共5頁

速往乙容器里注水，當水的高度是正四棱臺高度的一半時用時分鐘.

15.《九章算術少中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉腌.如圖，在鱉犒P4BC中，P4,平面48C,

ABVBC,PA=AB=<6,BC=2,D,E分別為棱PC,PB上一點，貝lj4E+DE的最小值為

16.已知五=(sin3x,cosa>x),b=(/Scoswx,-costox)，3>0,且犯是函數(shù)f(%)=五,另一"的兩個零

點，|%1-％2lmin=兀，若函數(shù)g(x)=/(X)在區(qū)間［犯團(巾<n)上至少有10。個零點，則實數(shù)九一M的

最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

已知正項等差數(shù)列｛冊｝的前幾項和為治,53=15,S1，$2,$4+8成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)令'=而?2",求｛g｝的前n項和

第3頁，共5頁

18.(本小題12分)

已知△ABC內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,-\/-3(02—b2—c2)=2acsinB.

(1)求角4的大小;(2)若a=質，ABAC的角平分線交BC于點D,求線段2D長度的最大值.

19.(本小題12分)

已知等差數(shù)列的前幾項和為目,且滿足S7=49,2a4=。3+9,數(shù)列｛如｝滿足瓦=4,bn+1=3bn-

a九.

(1)證明：數(shù)列｛bn—n｝是等比數(shù)列，并求｛冊｝,｛g｝的通項公式；

(2)已知數(shù)列｛4｝滿足%=2”數(shù)，求數(shù)列｛%｝的前2n項和72貯

an,n為偶數(shù)

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=a(lnx+a)—x(a6R).

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)證明：當a>0時，/(%)<2a2—2a.

第4頁，共5頁

21.(本小題12分)

已知半徑為2的圓C的圓心在左軸的正半軸上，且直線I:3x-4y+4=0與圓C相切.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若Q的坐標為(-2,4),過點Q作圓C的兩條切線，切點分別為M,N,求直線MN的方程；

(3)過點4(1,0)任作一條不與y軸垂直的直線與圓C相交于E,F兩點，在x非正半軸上是否存在點B,使得

/ABE=N4BF?若存在，求點B的坐標;若不存在，請說明理由.

22.(本小題12分)

如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形4BMN所在平面垂直，AN//BM,AN=AB=BC=2,BM=4,

CN=2/3.

(1)證明：BM1平面4BCD;

(2)在線段CM(不含端點)上是否存在一點E,使得二面角E-BN-M的余弦值為空,若存在，求出需的值;

3匕M

若不存在，請說明理由.

第5頁，共5頁

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2023-2024學年(上)高三第五次聯(lián)考

數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若集合時={可3刀2—8x—330},N={x[y=V1-2x},則MnN=()

111111

A」-§,習B.LERC,[--(0]D,[0,-]

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集定義的合理運用.

分別求出集合M，N,由此能求出MnN.

【解答】

解：由3/—8%—3W0得一,<%<3,故M=[一

______-1

因為N={x\y=V1-2%}=(-8,習，

所以MnN=

故選A.

2.在等差數(shù)列中，若。7+的7=12,則%2=()

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了等差數(shù)列的通項公式與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

第1頁，共19頁

由等差數(shù)列的性質可得：2a12=。7+。17?

【解答】

解：由等差數(shù)列｛a九｝的性質可得：2al2=07+%7=12,

則。12=6.

故選：B.

3.若—<+空i是關于％的實系數(shù)方程a/+bx+i=o的一個復數(shù)根，且2=。+兒，則以=()

221+z

A13.?1,3.^31.p.3,1.

A-5-5JB-5+5lC-5-5l口.￡+二1

【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

根據(jù)一元二次方程復數(shù)根的特點及韋達定理即可求出a、b,再由復數(shù)的運算和共軌復數(shù)可得結果.

【解答】

解：根據(jù)一元二次方程復數(shù)根成共筑復數(shù)形式出現(xiàn)，

則另一個復數(shù)根為-g-苧i，

根據(jù)韋達定理兩根之積得(一;+苧i)(—：—苧i)=l=i,則a=1,

乙乙乙乙CL

且兩根之和：—1=--=一§得：b=1.

a1

則z=l+i,所以2=1-i,

的右z_1-i_1-i_(l-i)(2-i)_l-3i_13t

故侶1+z=1+1+i=2+i-(2+t)(2-i)=5=S-T'

故選A.

4.已知向量2=(—1,2),b=(x,2))且2與b的夾角余弦值為稱，則久=()

A.1或2B.1或一11C.1D.-1或—11

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了數(shù)量積運算性質、向量夾角公式，考查了計算能力，屬于基礎題.

利用數(shù)量積運算性質、向量夾角公式即可得出.

【解答】

解：：d?3=(-1,2).(久,2)=4-x，|引=\b\=Vx2+4,

第2頁，共19頁

a-b4—x

???COS0==|（顯然*<4）,

VTx7X2+4

故有：x2+lOx-11=0,解得久=1或尤=-11.

故選S

5.設立是等差數(shù)列的前ri項和，若搟=3,S5=5S3-5,則ci9=()

A.2B.-2C.3D.-1

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列的前幾項和公式，是基礎題.

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的前幾項和公式得出等差數(shù)列的基本量，可得結果.

【解答】

解：記等差數(shù)列國"的公差為d,

則S5=5al+10d=5（3%+3d）—5,整理得2al+d-1=0;

SoI

因為忒=§,.?.$6=3$3，即6的+15d=3（3的+3d）,

整理可得的=2d,

聯(lián)立可得：的=|,d=l，

故<29=a1+8d=2.

故選A.

6.已知函數(shù)/(x)=4)X次，在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，則正實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,11]C.(0,|1]D.[1,i1)

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔

題.

設t=YT、，a>0,則〃x)=(；y，運用復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，結合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的

單調(diào)性，可得所求范圍.

【解答】

解：根據(jù)題意，函數(shù)/0)=4)6=次，令[=廳二菽，

第3頁，共19頁

由正實數(shù)Q知，函數(shù)［=幻1-QX單調(diào)遞減,

因為/(%)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，

則f(x)=(；>單調(diào)遞增且t=VI-ax>0,

所以解得：0<a<1,

故a的取值范圍是(0,勺,

故選C.

7.戰(zhàn)國時期成書修說》記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”.這是中國古代人民首次對平

面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧.在平面直角坐標系xOy中，一條光線從點(2,3)射出，經(jīng)y

軸反射后與圓/-6x+y2+句/+9=0相交所得弦長為2門，則反射光線所在直線的斜率為()

.4—ix3n3萬5門5_n.3

A-_§或B-4C_3D.一百或一二

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查的知識要點：直線與圓的位置關系，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

直接利用直線與圓的位置關系求出結果.

【解答】

解：根據(jù)題意，設B與點(2,3)關于y軸對稱，貝的坐標為(-2,3),

則反射光線經(jīng)過點8,且與圓%2一6%+y2+4y+9=0相交.

設反射光線所在直線的方程為y—3=k(x+2),BP/cx—y+2fc+3=0,

圓——6%+y2+4y+9=。的標準方程為?！?)2+(y+2)2=4,

則圓心為(3,—2),半徑丁=2.

因為弦長‘=2門，根據(jù)勾股定理得，圓心(3,-2)到反射光線的距離d=L

故。一’/一1,即121+25^+12=0,解得憶=8或九=一右

故選A.

8.已知e是三角形的一個內(nèi)角，滿足cose—sine=—￥，則姻及誓竺=()

5smO

A2.B.9?C"D.<9

510510

【答案】B

第4頁，共19頁

【解析】【分析】

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求tcm。的值，進而利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡所求即可計算

得解.

【解答】

解：因為cos。—sin。=—合，兩邊平方得1—2sin0cos0=

BP2sin0cos0="可得(sin。+cos0)2=1+2sin0cos0=

若sin。+cos。=—壬三解得：sin。=—?，與6是三角形的一個內(nèi)角矛盾，

所以sin。+cos0=與三

此時sin。=等，cos。=胃，故有：tan0=2,

從而有(sine+cos6)cos2。

sinO

sinO+cosOcos20—sin20

sin9cos20+sin20

_tanO+l1—tan20_9

tan。l+tan2010,

故選及

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.設正實數(shù)a、b滿足a+b=l,則()

11

A.+B.-+->4

ab

C.4a2+匕2的最小值為5D.2。+2b的最小值為

【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查二次函數(shù)性質和基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵，屬于

基礎題.

利用二次函數(shù)性質和基本不等式分別判斷各個選項的對錯，即可得結果.

【解答】

解：對選項A取a=；,b=p4顯然錯誤；

第5頁，共19頁

對選項B:i+l=(i+1)(a+b)=2+^+^>2+2j^-^=4,

當且僅當a=6=g時等號成立，B正確；

對選項C:4a2+h2=h2+(2—2b)2=5h2—8b+4,

二次函數(shù)的性質知，當b=§a=機寸,

4a2+Z)2取得最小值，C正確；

對選項2a+2b>272a?2b=2，！，

當且僅當a=b=機寸取等號，。正確.

故選BCD.

10.已知直線，經(jīng)過點(0,7),且一個法向量為正=(犯1),若點4(—3,—4),8(6,3)到1的距離相等，則實數(shù)

M的可能值為()

7711

A.—工B.5C.-iDi

9933

【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查直線平行和點到直線的距離公式的運用，屬基礎題.

分直線4B〃Z和直線與直線/相交兩種情況求解即可.

【解答】

解：由直線I經(jīng)過點(0,-1),且一個法向量為日=(皿1),可得+y+1=0,

討論：當直線48〃時，則—爪=于興=：,即血=二;

t)一(—j)yy

當直線48與直線/相交時，則4B在直線I的兩側,

|—3m—4+1|_|6m+34-l|71

則[2；-I,2'解得加=-3或加=

lz+m2^m2+l293

故選AC.

11.若函數(shù)/(X)=+/⑴/+則()

A.f(1)=1B.f(x)有兩個極值點

C.曲線y=f(x)的切線的斜率可以為-2D.點(1,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

【答案】BD

【解析】【分析】

本題考查導數(shù)的運算，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的對稱性，屬于中

第6頁，共19頁

檔題.

a項，求導賦值可得；B項，利用導函數(shù)研究單調(diào)性再求極值；c項，研究導函數(shù)值域即可；。項，證

明f(x)+f(2—x)=2.

【解答】

解：選項A,由題意得(0)=*2+2/(1)》,

所以f(l)=1+21⑴，解得f(l)=-1,A錯誤；

選項8,由/''(1)=一1,則/(X)=一久2+g,

1(x)=x2—2x=x(x—2),由f'(無)=0得x=0,或x=2,

則當x<0或x>2時，f'(x)>0；

當0<久<2時，尸(久)<0,

所以/(%)在(-00,0)和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

則當x=0時，f(%)有極大值；當x=2時，/(無)有極小值.

所以/(x)有兩個極值點，3正確；

選項C,f'(x)=x2—2x=(%—I)2—1>—1,

所以曲線y=/(X)的切線的斜率不可能為—2,C錯誤；

選項D,因為/(%)+/(2-x)=|x3-%2+|+|(2-%)3-(2-x)2+|

1q1c

=-x3—x2+-+-(8+6x2—12x—x3)—(4—4x+x2)+-=2,

所以點(1,1)是曲線y=/O)的對稱中心，。正確.

故選：BD.

12.已知正方體4BCD-&B1C1A的棱長為1,。為底面2BCD的中心，4cl交平面&BC于點E,點尸為棱CD

的中點，則()

AM1，E,。三點共線

B.三棱錐4-BCD的外接球的表面積為3兀

C.直線&C與平面&BD所成的角為45°

D.過點B,F的平面截該正方體所得截面的面積為］

【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查空間中直線與平面的位置關系，訓練了多面體外接球表面積的求法，考查運算求解能力，是較難

第7頁，共19頁

題.

由題意可證得E,。三點都在平面4BD與平面4CC14的交線上，可判斷4；三棱錐A1—BCD的外接球

和正方體是同一個外接球，可判斷B；由題意可證得BD1?平面4CC14,則直線&C與平面&BD所成的角

為NC&O,根據(jù)余弦定理，求解可判斷C；取名。的中點G,因為FG〃C￡)i〃4B,所以等腰梯形&BFG就

是過點B,F的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷0.

【解答】

解：???。為底面ABCD的中心，；.。為BD和4C的中點，則。eBD,0EAC,

???BDu平面4B。，ACu平面"64，

oe平面&BD,oe平面ACC12,

則點。是平面4/D與平面2CC14的公共點，

義是平面&BD與平面4CC14的公共點；

4G交平面4/D于點E,AC】u平面4CC14,

E也是平面4BD與平面4CC14的公共點，

E,。三點都在平面4/。與平面4CC14的交線上，

即41，E,。三點共線，故A正確；

三棱錐&-BC。的外接球和正方體是同一個外接球，棱長為1,

2R=VI2+I2+I2=

得/?=苧，則外接球的表面積S=4兀7?2=3兀，故3正確；

???前。1平面48C。，8。u平面4BCD,???BD1QC,

又BD1AC,4CAQC=C,AC,CrCu平面ACC14,

BD_L平面ACCiA，而8。u平面&BD,可得平面4/。_L平面人或出，

又平面21BDC平面2CC141=41。，A1C在平面21BD的射影為41。，

即直線&C與平面&BD所成的角為NC&O,

22

ArC=y[3,OC=爭Ar0=ArB-BO=J2—；=苧，

???3皿】。=啕售等=竽不苧故0錯誤；

取的中點G,連FG,GAX,BF,ArB,

???FG〃CDi〃&B,.??等腰梯形4/FG就是過點B,F的平面截該正方體所得截面,

ArB=<2,FG=苧，&G=BF=字,

第8頁，共19頁

二等腰梯形&BFG的高為h=I&G2—（若空/=苧,

二等腰梯形&BFG的面積為X&B+FG）

即過點B,F的平面截該正方體所得截面的面積為需故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.寫出同時滿足下列條件的函數(shù)〃嗎的一個解析式.（答案不唯一）①/0）=/（-%）；②/Q+今=

-/W.

【答案】f（尤）=cos2x（答案不唯一）

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎題.

根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性，即可得到答案.

【解答】

解：因為/'（X）=/■（-尤），故函數(shù)/'（%）是R上的偶函數(shù)，

又因為fO+方=-/㈤,故有：/'（%+兀）=-/1（%+）

即：/（x+n-）=/（x）,因此函數(shù)f（x）是周期為兀的函數(shù)，

故滿足以上條件的一個函數(shù)為：/（x）=cos2x.

故答案為/（%）=cos2x（答案不唯一）

14.現(xiàn)有甲乙兩個形狀完全相同的正四棱臺容器如圖所示，已知4B=BC=6,AiBi=BiG=2,現(xiàn)按一

定的速度勻速往甲容器里注水，當水的高度是正四棱臺高度的一半時用時7分鐘，如果按照相同的速度勻

速往乙容器里注水，當水的高度是正四棱臺高度的一半時用時分鐘.

【答案】19

【解析】【分析】

第9頁，共19頁

本題考查棱臺的體積，屬于中檔題.

設正四棱臺的高為2%,由題意求得水流速度，再求出乙容器中水的容積，可得結論.

【解答】

解：設正四棱臺的高為2h,由48=6,&Bi=2,正四棱臺的中截面是邊長為4的正方形，

當水的高度是四棱臺高度的一半時，甲容器內(nèi)水的容積為gh(4+8+16)=yh

設水流速度為。，則7〃=爭，v=^h

當乙容器中水的高度是四棱臺高度的一半時，水的容積為gh(36+24+16)

76,

當水的高度是四棱臺高度的一半時用時為乎=19分鐘.

3h

故答案為19.

15.仇章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉如圖，在鱉JlPABC中，PA1平面4BC,

AB1BC,PA=ABBC=2,D,E分別為棱PC,PB上一點，則4E+DE的最小值為.

【解析】【分析】

本題考查線段長的和的最小值的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意，求得“PB=l^BPC=I,作出將APBC沿著PB轉動到P,A,B,C四點共面的平面圖形，利

用兩角和的正弦公式得sin/APC=與2,進而求解即可.

4

【解答】

解：因為P4_1_平面48。,3。u平面4BC,所以P4_LBC,

又28_LBC.ABOPA=A,AB,PAu平面PAB,所以BC1平面PAB,

又PBu平面PAB,則BC1PB.

第10頁，共19頁

因為PA1平面ABC,ABu平面ABC,所以PA1AB,

則PB=2，^,PC=4,所以N4PB=a，NBPC=?

如圖，將-P8C沿著PB轉動到P,48,C四點共面,

此時sin乙4PC=sin+勻=si,n-71cos771+,cos丁71si.n二71=—：—

46464

過4作a”_LPC于”，則AE+DE的最小值為

l5<6+/23+回

AH=PAsmZ-APC=v6x-----：----=--------.

42

故答案為：字.

16.已知方=(sin3%,cosa)%),b=(Ccosco%,—coss:)，>0,且支「物是函數(shù)/(%)=方?另一g的兩個零

-1__

點，|%1-％21min=兀，若函數(shù)9。)=/(X)+］在區(qū)間［犯用(爪<打)上至少有10。個零點，則實數(shù)九一瓶的

最小值為

【答案】等

【解析】【分析】

本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、三角恒等變換的綜合應用和正弦(型)函數(shù)的零點，是中檔題.

先得出;'(%)=sin(23x―勺―1,故f(x)=o即Sin(23x-9=1,即可得到3的值，進而得到g(x),結合

正弦函數(shù)的圖象和性質即可求解。

【解答】

解：因為函數(shù)/(%)=a-b--=V-3sina)xcosa)x—cos2d)x—1

=亨sin2o)x—Icos2o)x—1=sin(2o)x一言)一1，

故/(%)=0即sin(2s%—^)=1,

故當%1，%2是f(%)的兩個零點時，

％2lmin為一^個周期，即卓=7T,解得3=1.

第11頁，共19頁

故有9(%)=sin(2x-^)

令g(%)=。,則有sin(2%Y)=g,令2%Y=3

??,若f(%)在區(qū)間［m,九|(m,nER,mVQ上至少有100個零點,

???sint=；在區(qū)間［J「2］上至少有I。。個不等根，

??.y=sint與y=T在區(qū)間［1口⑨上至少有10。個交點，其中匕=2m-2七=2九一會

由圖可知J—匕>偌+49x2")一看=誓,

即2(幾-m)>^

、148〃

n—m>-y-,

??.九—m的最小值為手.

四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

已知正項等差數(shù)列｛a九｝的前幾項和為%,S3=15,Si，S2,S4+8成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)令匕=a九?2%求｛匕｝的前ri項和

【答案】解：(1)設等差數(shù)列的公差為d,因為%=荏的+磅/，

所以S3=3al+3d=15,Si=%,S2=2at+d,S4=4al+6d,

因為Si，S2,S4+8成等比數(shù)列,

所以(2%+d)2=QI(4QI+6d+8),

第12頁，共19頁

_25

{:二

因為此數(shù)列各項均為正，

所以a】=1,d=4得a”=4n—3.

(2泡=(4n-3)2巳

所以乙=1X21+5X22+9X23+???+(4n-7)2n-1+(4n-3)2",

所以=1x22+5x23+9x24+???+(4n-7)2n+(4n-3)2n+1,

兩個等式相減得，-7^=1x21+4X22+4X23+???+4-2n-(4n-3)2n+1,

所以-B=2+4-掌^——(4n-3)2九+i，

所以〃=14+(4n-7)x2n+1.

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和，是中檔題.

(1)根據(jù)題意可得(2%+d)2=QI(4GI+6d+8),解得由和d的值，即可得通項為見i；

(2)由于生=(4n-3)2九，利用錯位相減法求和即可.

18.(本小題12分)

已知△ABC內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,y[3(a2—b2—c2)=2acsinB.

(1)求角/的大小;(2)若a=6，444c的角平分線交BC于點D,求線段長度的最大值.

【答案】解：(1)vV~3(a2—b2—c2)=2acsinBf

???由余弦定理可得-2，^bccos4=2acsinB,

即一=asinB,

???由正弦定理可得-V~^sinBcosZ=sinAsinBf

BG(0,7r),???sinBW0,

???—V_3COST4=sinA,

即tanA=—V-3?

又4W(0,TT),???4=學

(2)因為a=V-3?A=:，

所以由余弦定理得小=h2+c2—2bccosA,

即3=b2+c2+be,

22

所以3=b+c+be>2bc+be=3bcf

即be<1(當且僅當b=c=1時，等號成立)，

第13頁，共19頁

111

所以Aob4

--XcXXn7r-+-XXXn7T-

22si32si3

解得&D=整，

b+c

因為b+c>2，瓦(當且僅當6=C=1時，等號成立)，

所以4D=箓<-^==1V3c<*當且僅當b=c=1時，等號成立)，

所以an長度的最大值為今

【解析】本題考查利用正弦定理及余弦定理理解三角形，通過基本不等式求最值或取值范圍，屬于中等

題.

(1)將7~3(<12—b2—c2)=2acsinB化成-2V^bccos4=2acsinB，然后結合正弦定理求解；

(2)運用等面積法先表示出AD=急，然后結合余弦定理以及基本不等式求解線段4。長度的最大值.

19.(本小題12分)

已知等差數(shù)列｛即｝的前幾項和為耳，且滿足S7=49,2a4=。3+9,數(shù)列｛,｝滿足瓦=4,bn+1=3bn-

(1)證明：數(shù)列出”-n｝是等比數(shù)列，并求｛加｝,｛,｝的通項公式;

(2)已知數(shù)列｛%｝滿足”=1篇—E"數(shù),求數(shù)列｛%｝的前為項和72.

kan,"為偶數(shù)

【答案】解：Q)依題意,設數(shù)列｛而｝的公差為d,

因為S7=49,所以7(。1；。7)=7%=49,則=7,

因為2a4=%+9,即14=%+9,所以的=5,

月^d=CL4=2，=。32d=1,

所以。九=1+(ri—1)X2,即a九=2zi—1.

所以b九+1=3bn—an=3bn—(2n—1),所以小+1—(n+1)=3(&n—九),

又瓦=4,所以瓦—1=3^0,

故數(shù)列｛"-m是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，

所以小一九=(瓦一1)?371T=3n,所以匕=3n+n.

9”為奇數(shù),

(2)由(1)得&=

2n-1,n為偶數(shù),

所以72九=Q.+。2+。3------*-c2n-l+c2n

第14頁，共19頁

=(31+33+35+…+32rlT)+[(2x2—1)+(2x4—1)+…+(2x2幾-1)]

no2n+lo

3(l-9)(3+4n-l)n2

1-9+2—^―+2n+n---

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式以及分組(并項)法求和，屬于中檔題.

(1)先由條件得出等差數(shù)列的基本量可得｛即｝的通項公式;可得%+i-(n+1)=3(b?-ri),由等比數(shù)列可得

｛加｝的通項公式；

(2)通過(1)得"=「1nm為奇數(shù)進而由分組(并項)法求和可得七”

W-八為偶數(shù),

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=a(\nx+a)—x(aGR).

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)證明：當a>0時，/(x)<2a2—2a.

【答案】解：(1)顯然定義域為(0,+8),/(%)=?-1.

當時，f(x)<0,所以/(%)的單調(diào)減區(qū)間是(0,+8).

當a>0時,f'(x)=巴』，

X

當廣(x)>0<x<a,當『(x)<0ff^,x>a,

所以/(%)的單調(diào)減區(qū)間是8+8),單調(diào)增區(qū)間是(0,a).

綜上，當時，/(%)的單調(diào)減區(qū)間是(0,+8).

當a>0時，/(%)的單調(diào)減區(qū)間是(a,+8),單調(diào)增區(qū)間是(0,a).

(2)由(1)可得，當久=a時，/(X)取得極大值，也是最大值，

所以/(%)</(a)=a(Ina+a)-a.

設g(a)=Ina-a+1,貝=公一1,

所以g(a)的單調(diào)減區(qū)間是(l,+8),單調(diào)增區(qū)間是(0,1),

所以g(a)Wg(l)=0,即lna<a-l.

因為InaWa—1,所以Ina+aW2a-1,所以a(lna+a)W2a2—a,

所以a(lna+a)—a<2a2—2a,

所以命題得證.

【解析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及導數(shù)中的函數(shù)不等式，是中檔題.

(1)求導，對a進行討論，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性即可；

第15頁，共19頁

(2)由(1)可得，當光=a時，/'(久)取得極大值，也是最大值，所以/'(%)Wf(a)=a(lna+a)-a.

設g(a)=Ina-a+1,求出g(a)的單調(diào)性和最值即可證明.

21.(本小題12分)

已知半徑為2的圓C的圓心在工軸的正半軸上，且直線1:3x-4y+4=0與圓C相切.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若Q的坐標為(-2,4),過點Q作圓C的兩條切線，切點分別為M,N,求直線MN的方程；

(3)過點4(1,0)任作一條不與y軸垂直的直線與圓C相交于E,尸兩點，在x非正半軸上是否存在點B,使得

/ABE=N4BF?若存在，求點B的坐標;若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)設圓心C的坐標為(a,0)(a>0),

則圓C的方程為(久-a)2+y2=4,

因為直線3x-4y+4=0與圓C相切，

._|3a+4|_

所以點C(a,0)到直線Z：3x-4y+4=0的距離?！狫32+(_4)2—4

因為a>0,所以a=2,

所以圓C的標準方程為(x-2)2+V=生

(2)法1：由條件可知Q,M,C,N四點共圓，且以QC為直徑，記為圓D,

則D(0,2),半徑<22+22=22，

所以圓。的方程為i+y2__句7-4=0,

因為圓C的方程為/+必一4%=0,

兩圓方程相減可得x—y—l=0,所以直線MN的方程為x—y-l=0；

法2：設加。3，%)，N(%4，y4)，設直線QM上任意不同于點Q，M的點為H(x,y),

根據(jù)祝1HQ,可得切線QM的方程為(巧一2)(%-2)+y3y=4,

因為Q在直線QM上，所以一4(%3-2)+4%=4,

同理一4(%4-2)+4y4=4,

從而直線MN的方程為—4(x—2)+4y=4