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文檔簡介
2024屆河北省安平縣安平中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直四棱柱的所有棱長相等,,則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.2.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,3.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.4.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}6.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.8.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.9.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點(diǎn),且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元12.過雙曲線的右焦點(diǎn)F作雙曲線C的一條弦AB,且,若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點(diǎn),則雙曲線C的離心率為()A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.14.二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_____.15.銳角中,角,,所對的邊分別為,,,若,則的取值范圍是______.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)18.(12分)已知矩陣的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣.19.(12分)如圖,在三棱柱中,、、分別是、、的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影為,求到平面的距離.20.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的最小值21.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)為何值時(shí),軸為曲線的切線;(2)用表示、中的最大值,設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).22.(10分)如圖在棱錐中,為矩形,面,(1)在上是否存在一點(diǎn),使面,若存在確定點(diǎn)位置,若不存在,請說明理由;(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱,,取中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,.設(shè)平面的法向量為,則取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則,,∴直線與平面所成角的正切值等于故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求解線面角,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】
分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)?,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域?yàn)?,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念,可得結(jié)果.【詳解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合并集,補(bǔ)集的概念,屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當(dāng)時(shí),,無意義,故排除A;又,則,故排除D;對于C,當(dāng)時(shí),,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)在關(guān)于對稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.9、B【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.10、B【解析】
由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.12、C【解析】
由得F是弦AB的中點(diǎn).進(jìn)而得AB垂直于x軸,得,再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)?,所以F是弦AB的中點(diǎn).且AB垂直于x軸.因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點(diǎn),所以,即,則,故.故選:C【點(diǎn)睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查,是考查基本知識,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn),此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn)此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.14、15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:15【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了利用通項(xiàng)公式去求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)問題.15、【解析】
由余弦定理,正弦定理得出,從而得出,推出的范圍,由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍,再利用二倍角公式化簡,即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形,則,,.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】
對題目所給等式進(jìn)行賦值,由此求得的表達(dá)式,判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,由此求得的值.【詳解】解:,可得時(shí),,時(shí),,又,兩式相減可得,即,上式對也成立,可得數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,可得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo),得,已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,又在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,令,求得,討論得,而,故,進(jìn)而得解;(Ⅱ)可通過必要性探路,當(dāng)時(shí),由知,又由于,則,當(dāng),,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得,得,,化簡得,再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)?易知單調(diào)遞增,由題意有.令,則.令得.所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增,而,,因此必存在使得,即.且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;則.綜上,的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值,屬于中檔題18、.【解析】
根據(jù)特征多項(xiàng)式可得,可得,進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式,所以,所以.因?yàn)?,且,所?【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解,是基礎(chǔ)題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)連接,連接、交于點(diǎn),并連接,則點(diǎn)為的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì)得出,,利用空間平行線的傳遞性可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)推導(dǎo)出平面,并計(jì)算出,由此可得出到平面的距離為,即可得解.【詳解】(1)連接,連接、交于點(diǎn),并連接,則點(diǎn)為的中點(diǎn),、分別為、的中點(diǎn),則,同理可得,.平面,平面,因此,平面;(2)由于在底面的投影為,平面,平面,,為正三角形,且為的中點(diǎn),,,平面,且,因此,到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1);(2)【解析】
(1)由得,兩式相減可得是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當(dāng)時(shí),,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因?yàn)?,,兩式相減得:,即,是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列,∵∴,則,;(2),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),設(shè)遞增,,所以實(shí)數(shù)的最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,然后根據(jù)可解得實(shí)數(shù)的值;(2)令,,然后對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論,結(jié)合和的符號來確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1),,設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn),則,即,解得.所以,當(dāng)時(shí),軸為曲線的切線;(2)令,,則,,由,得.當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù).,.①當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn);④當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);⑤當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,當(dāng)或時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用,屬難題.22、(1)見解析;(2)【解析】
(1)要證明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需滿足即可,從而得到點(diǎn)E為中點(diǎn);(2)求出面ADE的法向
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