李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義

李雅普諾夫穩(wěn)定性

分析本章簡介(1/2)本章簡介本章討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。主要介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義以及分析系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法;著重討論李雅普諾夫第二法及其在線性系統(tǒng)和3類非線性系統(tǒng)的應(yīng)用、李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造、李亞普諾夫代數(shù)(或微分)方程的求解等。最后介紹李亞普諾夫穩(wěn)定性問題的Matlab計算與程序設(shè)計。目錄(1/1)目錄概述5.1李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.4Matlab問題

本章小結(jié)概述(1/5)概述一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如,電壓自動調(diào)解系統(tǒng)中保持電機(jī)電壓為恒定的能力;電機(jī)自動調(diào)速系統(tǒng)中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。概述(2/5)也可以說,系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后,系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值)過渡過程的收斂性,用數(shù)學(xué)方法表示就是式中，

x(t)為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的變化量;

為任意小的規(guī)定量。如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來越大,顯然它不可能是一個穩(wěn)定系統(tǒng)。概述(3/5)分析一個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關(guān)注的最重要問題。對于簡單系統(tǒng)，常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。在經(jīng)典控制理論中,借助于常微分方程穩(wěn)定性理論,產(chǎn)生了許多穩(wěn)定性判據(jù),如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)關(guān)系,討論的是線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性,未研究系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也不能推廣到時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)。概述(4/5)再則，對于非線性或時變系統(tǒng),雖然通過一些系統(tǒng)轉(zhuǎn)化方法,上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內(nèi)應(yīng)用,但是難以勝任一般系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,大都存在非線性或時變因素,即使是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身,往往也需要根據(jù)性能指標(biāo)的要求而加以改變,才能適應(yīng)新的情況,保證系統(tǒng)的正?；蜃罴堰\(yùn)行狀態(tài)。在解決這類復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時,最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論,即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理。概述(5/5)實際上,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài),即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。經(jīng)典控制理論討論的有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性

。內(nèi)部穩(wěn)定性：是關(guān)于動力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性,即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性。本節(jié)討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性即為內(nèi)部穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng),內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)。對于同一個線性系統(tǒng),只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性。概述(6/5)早在1892年,俄國學(xué)者李雅普諾夫（AleksandrMikhailovichLyapunov，1857–1918)

發(fā)表題為“運(yùn)動穩(wěn)定性一般問題”的著名文獻(xiàn),建立了關(guān)于運(yùn)動穩(wěn)定性研究的一般理論。百余年來,李雅普諾夫理論得到極大發(fā)展,在數(shù)學(xué)、力學(xué)、控制理論、機(jī)械工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。李雅普諾夫把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。概述(7/5)第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化,然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點)分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。這是一種較簡捷的方法,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法,亦稱為李雅普諾夫第一法。第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性,而是通過定義一個叫做李雅普諾夫函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種方法稱為直接法,亦稱為李雅普諾夫第二法。概述(8/5)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來分析線性定常系統(tǒng),而且也能用來研究時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng),甚至離散時間系統(tǒng)、離散事件動態(tài)系統(tǒng)、邏輯動力學(xué)系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這正是其優(yōu)勢所在。概述(9/5)可是在相當(dāng)長的一段時間里,李雅普諾夫第二法并沒有引起研究動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視,這是因為當(dāng)時討論系統(tǒng)輸入輸出間關(guān)系的經(jīng)典控制理論占有絕對地位。隨著狀態(tài)空間分析法引入動態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕生,李雅普諾夫第二法又重新引起控制領(lǐng)域人們的注意,成為近40年來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法,并得到了進(jìn)一步研究和發(fā)展。本章將詳細(xì)介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,李雅普諾夫第一法和第二法的理論及應(yīng)用。概述(10/5)本章需解決的問題:動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性理論--李雅普諾夫穩(wěn)定性基本概念:平衡態(tài)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性基本方法:李雅普諾夫第一法、李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法在線性定常系統(tǒng)的應(yīng)用--李雅普諾夫方程的求解李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義(1/4)5.1李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定性是動態(tài)系統(tǒng)一個重要的,可以用定量方法研究和表示的定性指標(biāo)。它反映的是系統(tǒng)的一種本質(zhì)特征。這種特征不隨系統(tǒng)變換而改變,但可通過系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。這也是控制理論和控制工程的精髓。在經(jīng)典控制理論中,討論的是在有界輸入下,是否產(chǎn)生有界輸出的輸入輸出穩(wěn)定性問題。從經(jīng)典控制理論知道,線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程的根,與初始條件和擾動都無關(guān),而非線性系統(tǒng)則不然。李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義(2/4)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對系統(tǒng)的平衡態(tài)而言的,我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。對于非線性系統(tǒng),其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性,故只能分別討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng),由于只存在唯一的孤立平衡態(tài),所以只有對線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論討論的是動態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性問題。它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論,不僅適用于線性定常系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)。李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義(4/4)下面將分別介紹如下李雅普諾夫穩(wěn)定性有關(guān)定義。平衡態(tài)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性大范圍漸近穩(wěn)定性不穩(wěn)定性平衡態(tài)穩(wěn)定性與輸入輸出穩(wěn)定性的關(guān)系平衡態(tài)(1/4)5.1.1平衡態(tài)設(shè)我們所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t)其中x為n維狀態(tài)變量;f(x,t)為n維的關(guān)于狀態(tài)變量向量x和時間t的非線性向量函數(shù)。對該非線性系統(tǒng),其平衡態(tài)的定義如下。平衡態(tài)(2/4)—定義1定義5-1

動態(tài)系統(tǒng)x’=f(x,t)的平衡態(tài)是使f(x,t)

0

的狀態(tài),并用xe來表示。從定義5-1可知,平衡態(tài)即指狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)向量為零向量的點(狀態(tài))。由于導(dǎo)數(shù)表示的狀態(tài)的運(yùn)動變化方向,因此平衡態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運(yùn)動的狀態(tài),如上圖所示。平衡態(tài)(3/4)李雅普諾夫穩(wěn)定性研究的平衡態(tài)附近(鄰域)的運(yùn)動變化問題。若平衡態(tài)附近某充分小鄰域內(nèi)所有狀態(tài)的運(yùn)動最后都趨于該平衡態(tài),則稱該平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的;若發(fā)散掉則稱為不穩(wěn)定的,若能維持在平衡態(tài)附近某個鄰域內(nèi)運(yùn)動變化則稱為穩(wěn)定的,如上圖所示。平衡態(tài)(4/4)顯然,對于線性定常系統(tǒng)x’=Ax的平衡態(tài)xe是滿足下述方程的解。Axe=0當(dāng)矩陣A為非奇異時,線性系統(tǒng)只有一個孤立的平衡態(tài)xe=0;而當(dāng)A為奇異時,則存在無限多個平衡態(tài),且這些平衡態(tài)不為孤立平衡態(tài),而構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個子空間。對于非線性系統(tǒng),通常可有一個或幾個孤立平衡態(tài),它們分別為對應(yīng)于式f(x,t)

0的常值解。平衡態(tài)(5/4)例如,對于非線性系統(tǒng)其平衡態(tài)為下列代數(shù)方程組的解,即下述狀態(tài)空間中的三個狀態(tài)為其孤立平衡態(tài)。平衡態(tài)(6/4)對于孤立平衡態(tài),總是可以通過坐標(biāo)變換將其移到狀態(tài)空間的原點。因此,不失一般性,為了便于分析,我們常把平衡態(tài)取為狀態(tài)空間的原點。值得指出的是，由于非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性具有局部性特點,因此在討論穩(wěn)定性時,通常還要確定平衡態(tài)的穩(wěn)定鄰域(區(qū)域)。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性(1/1)5.1.2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性在敘述李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義之前,我們先引入如下幾個數(shù)學(xué)名詞和符號：范數(shù)球域然后介紹李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性的定義。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性—范數(shù)(1/2)1)

范數(shù)范數(shù)在數(shù)學(xué)上定義為度量n維空間中的點之間的距離。對n維空間中任意兩點x1和x2,它們之間距離的范數(shù)記為||x1-x2||。由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應(yīng)有各種具體范數(shù)的定義。在工程中常用的是2-范數(shù),即歐幾里德范數(shù),其定義式為其中x1,i和x2,i分別為向量x1和x2的各分量。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性—范數(shù)(2/2)常用的n為維空間中的其他范數(shù)有:1-范數(shù)

-范數(shù)

李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性--球域(1/1)2)

球域以n維空間中的點xe為中心,在所定義的范數(shù)度量意義下的長度

為半徑內(nèi)的各點所組成空間體稱為球域,記為S(xe,

),即S(xe,

)包含滿足||x-xe||

的n維空間中的各點x。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性定義(2/4)定義5-2(李雅普諾夫穩(wěn)定性)若狀態(tài)方程x’=f(x,t)所描述的系統(tǒng),對于任意的

>0和任意初始時刻t0,都對應(yīng)存在一個實數(shù)

(

,t0)>0,使得對于任意位于平衡態(tài)xe的球域S(xe,

)的初始狀態(tài)x0,當(dāng)從此初始狀態(tài)x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x都位于球域S(xe,

)內(nèi),則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的,3)

李雅普諾夫穩(wěn)定性定義李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性定義(5/4)對于李雅普諾夫穩(wěn)定性，還有如下說明：李雅普諾夫穩(wěn)定性針對平衡狀態(tài)而言，反映的是平衡狀態(tài)鄰域的局部穩(wěn)定性，即小范圍穩(wěn)定性。系統(tǒng)做等幅振蕩時，在平面上描出一條封閉曲線，只要不超過S(xe,

)，就是李雅普諾夫穩(wěn)定的，而經(jīng)典控制理論則認(rèn)為不穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定性(1/3)—漸近穩(wěn)定性定義5.1.3漸近穩(wěn)定性上述穩(wěn)定性定義只強(qiáng)調(diào)了系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡態(tài)附近的解總是在該平衡態(tài)附近的某個有限的球域內(nèi),并未強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的最終狀態(tài)穩(wěn)定于何處。下面我們給出強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)最終狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定性定義。漸近穩(wěn)定性(2/3)—漸近穩(wěn)定性定義定義5-3(李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性)若狀態(tài)方程x’=f(x,t)所描述的系統(tǒng)在初始時刻t0的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的,且系統(tǒng)狀態(tài)最終趨近于系統(tǒng)的平衡態(tài)xe,即Limt

x(t)=xe則稱平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。若

(

,t0)與初始時刻t0無關(guān),則稱平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下一致漸近穩(wěn)定的。圖5-2漸近穩(wěn)定性(4/3)對于李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性，還有如下說明：經(jīng)典控制理論的BIBO穩(wěn)定性，就是李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定。穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定，兩者有很大的不同。對于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠(yuǎn)不會跑出球域S(xe,

)，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何規(guī)定。而對漸近穩(wěn)定，不僅要求狀態(tài)的運(yùn)動軌跡不能跑出球域，而且還要求最終收效或無限趨近平衡狀態(tài)xe。從工