2025新高考數(shù)學模擬試卷2（學生版+解析版）（九省聯(lián)考新題型）

2025新高考模擬試卷02

、、九

數(shù)學

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己

的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若（1—2i）（z—3—2i）=2+i,則z=（）

A3—3，B.3+3iC.-3+3iD.—3—3i

2.已知向量”=（2,0）,6=（—1,石），則a與（d-石）夾角的余弦值為（

D.2

2

I兀

3.“直線xsin6+—y—1=0與x+ycos6+l=0平行”是”的（）

2-4

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若—=4+%元+的兀2+/兀3+%兀5+。6兀6,則Q2+。4+。6=（）

A.64B.33C.32D.31

5.公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖晅的“開立圓術(shù)”.祖眠在求球的體積時，使用一個

原理：“嘉勢既同，則積不容異”.“幕”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如

在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平

行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被

稱為''祖眶原理3D打印技術(shù)發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用3D打印技

術(shù)打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為/?的水平截面的面積S可以近似用函數(shù)

S（/z）=兀（9-獷，底［0,9］擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）

A.27兀B.8171C.108TID.24371

6.在一ABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為“久c,若(。+。)(53一5垣。)=/?(5］同一51118),且

b

c=6，則〃—5的取值范圍為()

A.(-1,2)B，ElQ卜''臼D.口6)

7.7知正實數(shù)a,仇/滿足2二+1=2a―a,3>+l=3"一人,4。+1=4。-c,則a,仇。的大小關(guān)系

abc

為()

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

IT

8.已知耳，耳是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且/耳尸舄=§,若橢圓的離心

率為G，雙曲線的離心率為e2,則三+三的最小值是()

A2+6口1+6「20n4四

3333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位數(shù)是8.5

B.若隨機變量X~N(2,02),p(x>l)=0.68,則P(2<X<3)=0.18

C.設(shè)A8為兩個隨機事件，P(A)>0,若「(3|A)=P(3),則事件力與事件B相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到/=4.712,依據(jù)。=0.05的卡方獨立性檢驗

(%0.05=3.841),可判斷X與丫有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05

22

10./(x)=2sinx-log2sinx+2cosx-log2cosx,則()

A.7(x)的最小正周期為萬

B.7(x)的圖象關(guān)于直線x=377對稱

4

C.7(x)的最小值為一1

D./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為12左萬,?+2左萬)，keZ

11.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,/(X)為奇函數(shù)，/(1+幻=/(1一幻，/(3)=1,則()

A=1B./(x)=/(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.￡f(k)=-l

k=\

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

1O.A={x|-2<x<4}B=1x]2j共

12.已知集合11>,14,則A七一____________.

71?1

13.已知2為圓。：x2+(^-1)=-_b動點，8為圓氏(％—3)+V=公上的動點，戶為直線

y=gx上的動點，則\PB\-\PA\的最大值為.

14.已知數(shù)列{4“}的通項公式為q=^^,5〃=。口2+。2a3--^anan+\,若對任意"CN*，不等式

4/t("+3)S“<〃+2恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分(單位：

分)情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；

(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分

的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)；

(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概

率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設(shè)Y為甲獲勝的場數(shù)，b為乙獲勝的場數(shù)，X為丙

獲勝的場數(shù)，寫出方差。(玲，。代)，。(功的大小關(guān)系.

16.如圖，在多面體A3CDE/中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2,AD=242,ZABD=90,

矩形所在平面與底面ABCD垂直，M為CE的中點.

(1)求證：平面瓦亞平面AEE；

(2)若平面與平面5b夾角的余弦值為巫，求CE與平面的/所成角的正弦值.

17.已知函數(shù)/(x)=x-alnx-l(aeR).

(1)若曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線為x軸，求。的值;

(2)討論/(%)在區(qū)間(1,4W)內(nèi)極值點的個數(shù)；

18.已知拋物線：y2=2x,直線/:y=x-4,且點氏。在拋物線上.

(1)若點AC在直線/上，且A&C。四點構(gòu)成菱形A8CD,求直線的方程；

(2)若點A為拋物線和直線/的交點(位于x軸下方)，點C在直線/上，且四點構(gòu)成矩形

ABCD,求直線的斜率.

19.若無窮數(shù)列｛%｝的各項均為整數(shù).且對于都存在左〉九使得

ak=叫一生一%,則稱數(shù)列｛an｝滿足性質(zhì)P.

(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)只并說明理由.

①n=l,2,3,…；

②bn=n+2,〃=1,2,3,….

(2)若數(shù)列｛4｝滿足性質(zhì)R且％=1,求證：集合｛〃eN*|a.=3｝為無限集；

(3)若周期數(shù)列｛見｝滿足性質(zhì)R請寫出數(shù)列｛%｝的通項公式(不需要證明).

2025新高考模擬試卷02

數(shù)學

(新高考九省聯(lián)考題型)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己

的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.若(1—2i)(z—3—2i)=2+i,則2=()

A3-3zB.3+3iC.-3+3iD.-3-3i

【答案】B

2+i(2+i)(l+2i)5i

【解析】由題意得z_3_2i=1K=)，=所以z=3+3i.

1-21(1-21)(1+21)5

故選：B.

2.已知向量a=(2,0),6=(-1,百)，則a與(a-B)夾角的余弦值為()

A.一也B.--C.1D.也

2222

【答案】D

【解析】因為八6=(3,-括)，則|a=2百，

(a-b\a6/T

所以cos.a—A[?=-J-----r—=—/=—=—.

\a-b\\d\2V3x22

故選：D.

1兀

3.“直線xsin6+—y—1=0與x+ycos8+l=0平行"是“。=一"的()

2-4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若直線xsine+；y—l=0與x+ycos6+l=0平行，

工

易得：sindwO,cosOwO,故：sin。7一1，

----=-----W—

1cos01

1|I7T7T

則sin0cos6=—,—sin2。=—,sin29=1,29=—+2kli（kwZ）,夕=—+kjt（keZ）

22224

TT

得不到e=—,故不是充分條件；

4

兀11

反之，當6=一時sin。2一1成立，故直線xsinO+—y—1=0與x+ycos，+l=0平行，是

4-----=-----豐—2-

1COS01

必要條件；

1兀

故“直線xsinO+^y—1=0與x+ycos6+l=0平行”是“。=]”的必要不充分條件，

故選：B.

623456

4.（x-1）=a0+a1x+a2x+c^x+a4x+a5x+a6x,則％+%+，=（）

A.64B.33C.32D.31

【答案】D

2456

【解析】因為=a0+a^x+a2x++a4x+a5x+a6x,

所以令x=0可得4=1①，

令x=1可得a。+q+%+q+04+“5+4=0②，

令X——1可得%—%+%—/+4—%+4=2‘③，

②+③可得/+。6=2,①，

將①代入④可得%+%+46=2,—1=31.

故選：D

5.公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖瞄的“開立圓術(shù)”.祖曬在求球的體積時，使用一個

原理：“嘉勢既同，則積不容異”.“幕”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如

在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平

行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被

稱為''祖眶原理3D打印技術(shù)發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用3D打印技

術(shù)打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為〃的水平截面的面積S可以近似用函數(shù)

S（/Z）=7T（9-A）2,[0,9]擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）

A.27兀B.81兀C.10871D.243兀

【答案】D

【解析】如下圖所示：

圓錐P0的高和底面半徑為9,平行于圓錐尸。底面的截面角圓錐P0的母線PB于點C,

設(shè)截面圓圓心為點O',且OO'=/z,則尸O'=PO—OO'=9—〃，

PO'O'C9-hO'C

易知則—=一,即——=-可得o，c=9—九，

POOB99

所以，截面圓圓O'的半徑為9—〃，圓。的面積為兀（9一獷，

又因為S（/i）=M9—丸）2，

根據(jù)祖地原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為9,

高為9的圓錐的體積近似相等，

1

所以該“睡美人城堡”的體積約為—X7rx992x9=2437r,

3

故選：D.

6.在..ABC中，內(nèi)角4,民C的對邊分別為人久c,若（。+。）卜1114一5垣。）=〃611]4一51115）,且

b

c=6則。―萬的取值范圍為（）

【答案】C

【解析】因為（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB）,

所以(a+c)(a—c)=/?(a—b),整理得/+加一02=如，

/+/_c2

所以cosC=

lab2

又Ce(O,7i),所以。=1,4+8=$,

又c=6,所以上=2R,解得R=l,

sinC

所以a_g=2R卜inA-等)=2sinA-sinf

-A=-sinA--cosA

22

__.27c7C.717C

又。<A<——,則——<A——<—,

3662

所以—立<a—2〈班，

22

b(J3>-}

即a—2的取值范圍為一一,否.

2I2J

故選：C.

7.已知正實數(shù)a,仇久滿足24+1=2。一a,3一+1=3^―方,4。+1=4：—c,則a/,c的大小關(guān)系

abc

為()

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】由題意2。+1=2a-a=>2a_「=〃+：,3"1=3"-Z?n3"—3=/?+!,^^=4，-0=4。-4=C+，,

aabbcc

;

所以令/(%)=%+工,(%〉0)公］(%)=2*-2⑤(%)=3*-3,g3(x)=4,-4,

X

所以問題等價于比較〃x)的圖象分別與&(力拓2(尤)g3(x)的圖象三個交點橫坐標的大小關(guān)系，

而&(尤)遙2(%)留(%)均過點(1,。),

則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，"X)的圖象分別與&(%),g2(x),g3(x)的圖象三個交點橫坐標如圖所示:

故選：A.

TT

8.已知耳，工是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且/耳桃=§,若橢圓的離心

率為G，雙曲線的離心率為02,則孚二+李:；的最小值是()

e-+le；+3

2+V3口l+6「2石4月

L.----------1J.---------U.------D.

333亍

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為可,雙曲線的實半軸長為出，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|M|+|P司=2q,|P周一|尸閭=2電，

.■.|尸司=卬+。2，|尸月|=。1—%，設(shè)忸耳|=2。,/耳P&=三，

則在△尸耳耳中，由余弦定理得，4c2=（4+%）2+（q-。2）2-2（q+%）（6-。2）cosg,

13,

化簡得a；+3al=4c2,即士二4,

f、

f

13131311

則于1亍々—+1+—+1x-

6]+14+316

4+i4+7

qe2e\227

（\

（1、341

4+13F+1

X+13『1

1,1x（4+2&）2+73

=-x4+「+74+2X7

631卡363

+14+i1

7-2J

e2e2

23用4

自=-------<1

當且僅當八與）11

r時等號成立,

133_24+9金]

=48-373-37

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位數(shù)是8.5

B.若隨機變量X~N（2,/）,p（x＞l）=0.68,則P（2＜尤＜3）=0.18

C.設(shè)A8為兩個隨機事件，P（A）＞0,若「（3|A）=P（3）,則事件力與事件B相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到%2=4.712,依據(jù)。=0.05的卡方獨立性檢驗

（%0.05=3.841）,可判斷X與Y有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05

【答案】BCD

【解析】對于A,因為10x70%=7,

又將數(shù)據(jù)從小到大排列，第7個數(shù)為7,第8個數(shù)為8,

所以第70百分位數(shù)為7.5,故A錯誤；

對于B,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知為「（九22）=0.5,

P（2<%<3）=P（1<%<2）=>1）_>2）=0.18,故B正確；

對于C,根據(jù)條件概率可知尸（川A）=q^=P（3）nP（AB）=P（A）P（3）,

P\A）

由相互獨立事件的判定可知c正確；

對于D,根據(jù)獨立性檢驗的意義可知Z2=4.712>%05，

故可判斷X與y有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05,故D正確.

故選：BCD.

10.若函數(shù)%）=2sin2尤?logzSinx+2cos2%」og2cos尤，貝!J（）

A.7（%）的最小正周期為萬

TT

B./（x）的圖象關(guān)于直線x=二對稱

4

C./W的最小值為一1

D./（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為12左匹?+2左萬），keZ

【答案】BCD

JT

【解析】由sinx>0,cos%>0得f（x）的定義域為（2左環(huán)耳+24;r）,keZ,

jr3

當xe（03）時，工+萬@（萬二萬）不在定義域內(nèi)，故/'（x+"）=y（x）不成立，

22

故選項/錯誤；

22

又/(---x)=2cosx-log2cosx+2sinx-log2sinx=f(x),

TT

所以/Xx)的圖象關(guān)于直線尤=3對稱，所以選項6正確；

4

22222

因為f(x)=sinx-log2sinx+cosx-log2cosx,設(shè)/=sinx<

所以函數(shù)轉(zhuǎn)化為g(r)=/-log2/+(l-0-log2(l-r),re(0,1),

,

g(r)=log2r-log2(l-r),由g'(/)>。得由g")<。得0</<g,

所以g⑺在(o-)上單調(diào)遞減，在d,i)上單調(diào)遞增，

22

故1n=g(；)=—l,即/(X)1mli=T，故選項班確；

因為g⑺在(02)上單調(diào)遞減，在(1,1)上單調(diào)遞增，

22

由％=sin2x，令0vsin2尤V,得0<sinx<,

22

JTTT

又/(x)的定義域為(2左肛一十2左;r),keZ,解得2左萬vxv—+2左萬，keZ,

24

TT

因為r=sin2X在Qk兀,-+2k兀)上單調(diào)遞增，

4

TT

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2版■，—+2k4,keZ,

4

同理函數(shù)的遞增區(qū)間為(至+2%萬，至+2左萬)，keZ,所以選項。正確，

42

故選:BCD

11.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,13為奇函數(shù)，/(1+犬)=/(1一萬)，/(3)=1,則()

A/(-1)=1B.f(x)=f(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.=T

k=l

【答案】ABD

【解析】由/(九)為奇函數(shù)，即函數(shù)/a)的圖象關(guān)于(0,0)對稱，

又/(l+x)=/(l—力，則“X)的圖象關(guān)于x=l對稱，

所以7?(x+2)=/(—x)=—/(x),

則〃4+x)f(x+2)=f(x),

.."(x)為周期函數(shù)且周期為T=4,B對.

所以/(3)=/(—1)=1，A對.

lfof(4-x)=f(-x)=-f(x),C錯.

由上可知〃2)=—"0)=0,/(4)=/(0)=0,

所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=—/(—1)+0+1+0=0,

18

則￡/(左)=/⑴+/(2)=—LD對.

左=1

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A=3-2<X<4},八卜2，>』，貝gAB=.

【答案】(-1,4)

【解析】由2*>〈，可得x>—1，即3="?>-1},

故A5=(—1,4).

故答案為：(-1,4)

9?91

13.已知/為圓C：%2+(y—1)=]上動點，夕為圓氏(k—3)+V=工上的動點，刀為直線

y=gx上的動點，則|尸耳—歸山的最大值為

【答案】邊至+1

5

【解析】設(shè)E(3,0)關(guān)于直線y=gx的對稱點為七'(m,〃),

9

—m=—

,故嗚？

則《"L：2解得<5

n1m+312

n=一

)F25

則圓E關(guān)于y=；x對稱的圓笈的方程為[x—g]+(7一9]=:，

要使|尸耳一|尸聞的值最大,

則尸,A3,(其中3'為8關(guān)于直線y=gx的對稱圓E上的點)三點共線,

且該直線過CE'兩點，如圖，

其最大值為=|CE[+1=+1='號+1,

已知數(shù)列｛〃｝的通項公式為a=」一,Saa+???+aa,若對任意n

14.ann=qw+o3nn+leN*不等式

425+3)S“<〃+2恒成立，則實數(shù)2的取值范圍是.

【答案】2<1

11_11

【解析】由?〃=----，則％4+1-7-K7―~-77T7，

〃〃+3(〃+3)(〃+4)〃+3〃+4

11111111n

加3c，-------1-------FH-----------------------——；------

〃4556〃+3〃+44〃+44(n+4)

/、n(n+3)2

由42(n+3)S“<〃+2,可得("+4)<n+2,

即2<(〃+j)(〃：4)3〃+8

=+

n[n+3)77^)

—3%2—16%—24

設(shè)詈)則/(%)=

(x>0,2<°恒成立,

x2+3x)

故在（0,+8）單調(diào)遞減，當xf+8時，了（力.0,

即當+8時，1+++8—故無《］.

n+3n

故答案為：2<1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位:

分）情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；

（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分

的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望石（X）；

（3）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概

率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設(shè)工為甲獲勝的場數(shù)，為為乙獲勝的場數(shù)，丫3為丙

獲勝的場數(shù)，寫出方差。（乂），D（Y2）,。（毛）的大小關(guān)系.

34

【答案】（1）歷（2）分布列見解析，§（3）D（Y2）>D（Yi）>D（Y3）

【解析】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第

10場.

3

設(shè)A表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，貝iJP（A）=記.

（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，

分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，

分別是第2場、第5場、第8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0,1,2.

P（X=0）=浮\P（X=1）=號？=［，尸（X=2）="；

所以X的分布列為

X012

182

P

1515?

所以E（X）=Ox3+lx-=4

1553

（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，p乙獲勝的概率為丙獲勝的概率為g,還需要進行6場

比賽，

而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，所以

。（幻=6x0.3（1-03）=1.26,。㈤=6x0.50-0.5）=1.5,?；?6x0.2（l-0.2）=0.96

故。（馬）>。（琦>D&）.

16.如圖，在多面體A3CDE尸中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2,AD=272,ZABD=90,

矩形3。石尸所在平面與底面ABCD垂直，M為CE的中點.

（2）若平面5nM與平面夾角的余弦值為典，求CE與平面所成角的正弦值.

5

4

【答案】（1）證明見解析（2）彳

【解析】（1）如圖，連接AC交8。于點G,連接MG.

因為底面ABCD為平行四邊形，

所以G為AC的中點.

因為M為CE的中點，所以MGEA.

又因為MG<2平面E4u平面,

所以MG”平面AEF.

因為3。石尸為矩形，所以。3跖,3￡></平面4￡『,石尸匚平面4即，

所以3。;平面AEP.

因為MGcBD=G,MGu平面BDM,BDu平面BDM,

所以平面3/?/平面AEP.

（2）因為A8=2,AO=2夜,NABD=90,所以=2,AB，.

因為平面BDEF，平面ABCD，平面BDEFc平面ABCD=BD,DELBD,

所以平面ABCD.

分別以DB,DC,DE為羽y,z軸建立空間直角坐標系,

設(shè)OE=2?>0),則3(2,0,0),C(0,2,0),￡>(0,0,0),E(0,0,2r),

所以DM=(0,1,。=(2,0,0),3C=(―2,2,0),=(0,0,2。，

rin,-0

設(shè)平面BDM的法向量為根=(玉,％,4),則v°

m?DB=0,

X+G=0

即《,令馬=一則〃

>>=01,2=(0,/,—1),

r/、n-BC=0,

設(shè)平面廠的法向量為〃=(%2，%/2),貝乂

n-BF=0,

—2x>+2%=0/、

即《[2-0'令電j則為am

m-n回

所以|cos(根,砌==[-,解得。=2,

所以“2=(0,2,—1),S=(0,-2,4),

設(shè)CE與平面5nM所成的角為e,

則sin0=|cos(CE,〃)k|2x(-2)+(-l)x4|4

5,

4

所以CE與平面BDM所成的角的正弦值為y.

17.已知函數(shù)/(%)=x-alnx-l(aeR).

(1)若曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線為無軸，求。的值;

(2)討論在區(qū)間(1,長。)內(nèi)極值點的個數(shù)；

【答案】(1)?=1(2)答案見解析

【解析】⑴由/(尤)=》一。111尤一1(。€即得：/()=l--,

XX

依題意，/(l)=l-tz=O,得a=l.

經(jīng)驗證，/(x)=x—Inx—1在點(1,0)處的切線為y=0,所以a=l.

(2)由題得f(x)=l--=—

XX

⑴若aWl,當xe（l,+8）時,_f'（x）〉O恒成立，

所以f（x）在區(qū)間（1,+CO）上單調(diào)遞增,所以/（X）無極值點.

（ii）若a>1,

當xe（l,a）時，f'（x）<0,故/（x）在區(qū)間（1,a）上單調(diào)遞減，

當xe（a,+oo）時，f\x）>0,故/⑺在區(qū)間（。，轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞增.

所以％=a為f（x）的極小值點，且“X）無極大值點.

綜上，當aVI時，/（x）在區(qū)間（1,長。）內(nèi)的極值點個數(shù)為0；

當a>1時，"X）在區(qū)間（1,+co）內(nèi)的極值點個數(shù)為1.

18.已知拋物線：丁=2"直線/:y=x-4,且點氏。在拋物線上.

（1）若點AC在直線/上，且ABC。四點構(gòu)成菱形ABCD,求直線3。的方程；

（2）若點A為拋物線和直線/的交點（位于x軸下方），點C在直線/上，且ABC。四點構(gòu)成矩形

ABCD,求直線3。的斜率.

【答案】（1）x+y-2=0（2）1

【解析】（1）由題意知ACJ.2D,設(shè)直線BZ）:x=—y+根.

x=-y+m.

聯(lián)立《2-得K+2y—2m=0,

y-2x

則yB+yD^-2,yByD=-2m,xB+xD=-(yB+yD)+2m=2m+2,

則的中點在直線丁=彳一4上，

代入可解得機=2,y2+2y-4=0,A=20>0,滿足直線與拋物線有兩個交點,

（2）當直線AB,的斜率為0或不存在時，均不滿足題意.

y=x-4x=2Ix=8/、

由<2c得<c或<，（舍去），故A（2,—2）.

,2=2X[y=_2[y=4\7

當直線AB,AD的斜率存在且不為。時，設(shè)直線—2=《y+2）.

\x-2=t(y+2\,-

聯(lián)立《2得y--2ty-4/—4=0,所以為+%=.

y=2x

所以B(2〃+4f+2,2f+2).同理得O(—；+2,—j+2.

由3。的中點在直線N=x-4上,

得;（2J+47+2+，—；+21—4=；（2/+2—[+2],

即/+：+上一力一4=0.

令/_；=〃，則p2+〃_2=0,解得p=_2或p=L

2r+2-|--+2|

當夕=1時，直線8。的斜率原D=---------------/、=—1—=；；

2/+4/+2一1;+2―,+2J

當“=-2時，直線即的斜率不存在.

所以直線5。的斜率為

3

19.若無窮數(shù)列｛%｝的各項均為整數(shù).且對于都存在左〉人使得

ak=aiaj-at-%,則稱數(shù)列｛a“｝滿足性質(zhì)P.

（1）判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)R并說明理由.

①?！?〃，〃=1,2,3,…；

②