實(shí)變函數(shù)與泛函分析課程教學(xué)大綱

PAGEPAGE6《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程教學(xué)大綱一、課程基本信息課程代碼：110047課程名稱：實(shí)變函數(shù)與泛函分析英文名稱：RealvariableanalysisAndFunctionalanalysis課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)課學(xué)時：50學(xué)分：3適用對象：信息與計算科學(xué)專業(yè)本科考核方式：考試，平時成績30％，期末成績70％先修課程：數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)二、課程簡介中文簡介：實(shí)變函數(shù)起源于對連續(xù)而不可微函數(shù)以及Riemann可積函數(shù)等的透徹研究，在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上討論分析數(shù)學(xué)中一些最基本的概念和性質(zhì)，其主要內(nèi)容是引入Lebesgue積分并克服了Riemann積分的不足。它是數(shù)學(xué)分析的繼續(xù)、深化和推廣，是一門培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要課程，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。泛函分析起源于經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理邊值問題和變分問題，同時概括了經(jīng)典分析的許多重要概念，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個重要的分支，它綜合運(yùn)用了分析、代數(shù)與幾何的觀點(diǎn)和方法研究、分析數(shù)學(xué)和工程問題，其理論與方法具有高度概括性和廣泛應(yīng)用性的特點(diǎn)。英文簡介：RealvariableanalysisAndFunctionalanalysisisatheoreticalcourseofmathematicswhichcanbeusedinvariablefieldssuchasengineeringandtechnology,physics,chemical,biology,economicandotherfields.TheeducationalaiminthiscourseistodeveloptheabilitiesofstudentsinanalyzingandsolvingpracticalproblembythespecialwaysofRealvariableanalysisAndFunctionalanalysis’thinkingandreasoning.三、課程性質(zhì)與教學(xué)目的本課程是在實(shí)變函數(shù)與泛函分析基本理論的基礎(chǔ)上，著重泛函分析的應(yīng)用，教學(xué)的目的是豐富學(xué)生的知識和培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。本課程就其實(shí)質(zhì)來說是方法性的，但對于應(yīng)用學(xué)科的學(xué)生來說，作為授課的目的，則是知識性的，故在教學(xué)方法和內(nèi)容的選擇上來說，只能讓學(xué)生了解那些體現(xiàn)實(shí)變函數(shù)與泛函分析基本特征的思想內(nèi)容，冗難的證明過程應(yīng)盡量避免。本課程要求如下：1.理解和掌握集合間的關(guān)系和集與映射間的關(guān)系，了解度量空間的相關(guān)概念和Lebesgue可測集的有關(guān)內(nèi)容和性質(zhì)。2.了解可測函數(shù)的概念，構(gòu)造，以及函數(shù)列的收斂性質(zhì)。3.了解Lebesgue積分的概念，掌握收斂定理。4.理解賦范線性空間和內(nèi)積空間的相關(guān)知識點(diǎn)。5.理解線性算子理論和有界線性泛函理論，了解三個基本定理。四、教學(xué)內(nèi)容及要求第一章集合與測度目的與要求使學(xué)生認(rèn)識集族的交并關(guān)系，映射及其性質(zhì)，集的對等，可數(shù)集合，度量空間的概念和度量空間中的點(diǎn)集，直線上的測度和可測集，Lebesgue測度及相關(guān)理論；本章要求學(xué)生了解集族的交并關(guān)系，了解度量空間的概念和測度及可測集的概念。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)集合與映射主要內(nèi)容集族的交并關(guān)系，映射及其性質(zhì)，集的對等?；靖拍詈椭R點(diǎn)集族的交并關(guān)系，映射，集的對等，可數(shù)集合。問題與應(yīng)用（能力要求）了解集族的交并關(guān)系，理解映射，集的對等，可數(shù)集合。第二節(jié)度量空間主要內(nèi)容度量空間的概念，度量空間中的點(diǎn)集?；靖拍詈椭R點(diǎn)度量空間，收斂性，度量空間的拓?fù)洹栴}與應(yīng)用（能力要求）理解度量空間的概念，理解度量空間的拓?fù)洌ò擞嘘P(guān)概念）。第三節(jié)Lebesgue可測集主要內(nèi)容直線上點(diǎn)集的構(gòu)造，Cantor三分集，Lebesgue可測集及測度的相關(guān)性質(zhì)?；靖拍詈椭R點(diǎn)構(gòu)造區(qū)間，Cantor三分集，Lebesgue可測集，型集和型集。問題與應(yīng)用（能力要求）了解直線上點(diǎn)集的構(gòu)造區(qū)間，熟悉Cantor三分集，了解Lebesgue可測集，型集和型集。2．基本概念和知識點(diǎn)范數(shù)，距離，例，H?lder不等式和Minkowski不等式。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解線性空間的范數(shù)，距離，掌握H?lder不等式和Minkowski不等式。第三節(jié)線性賦范空間中的收斂1．主要內(nèi)容講解收斂點(diǎn)列，等價范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。2．基本概念和知識點(diǎn)收斂點(diǎn)列，等價范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解收斂點(diǎn)列，等價范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。第四節(jié)空間的完備性1．主要內(nèi)容講解Cauchy列，Banach空間，子空間的完備性和賦范線性空間的完備化。2．基本概念和知識點(diǎn)Cauchy列，Banach空間，子空間的完備性，賦范線性空間的完備化。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解Cauchy列，Banach空間，子空間的完備性，掌握賦范線性空間的完備化和嵌入過程。第五節(jié)列緊性與有限維空間1．主要內(nèi)容講解列緊的概念和性質(zhì)，有限維空間的特征和Riesz引理。2．基本概念和知識點(diǎn)列緊性，Riesz引理。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解集的列緊性，掌握Riesz引理。第六節(jié)不動點(diǎn)定理1．主要內(nèi)容講解Banach壓縮映像原理，Brouwer不動點(diǎn)定理，Schauder不動點(diǎn)定理。2．基本概念和知識點(diǎn)Banach壓縮映像原理，Brouwer不動點(diǎn)定理，Schauder不動點(diǎn)定理。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解Banach壓縮映像原理，了解Brouwer不動點(diǎn)定理和Schauder不動點(diǎn)定理及其應(yīng)用。第七節(jié)拓?fù)淇臻g簡介1．主要內(nèi)容講解開集，閉集，鄰域，拓?fù)洹?．基本概念和知識點(diǎn)開集，閉集，鄰域，拓?fù)洌瑯O限點(diǎn)。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解開集，閉集，鄰域，拓?fù)?，極限點(diǎn)。（三）課后練習(xí)作業(yè)和思考題：第一節(jié)課后練習(xí)P95之1；抄題第二節(jié)課后練習(xí)P95之2；抄題第三節(jié)課后練習(xí)P95之4；抄題第四節(jié)課后練習(xí)P95之3；抄題第五節(jié)課后練習(xí)P95之8；抄題第六節(jié)課后練習(xí)P95之10；抄題第七節(jié)課后練習(xí)（四）教學(xué)方法與手段本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。第五章內(nèi)積空間（一）目的與要求1．本章講解內(nèi)積空間與Hilbert空間，正交與正交補(bǔ)，正交分解定理，內(nèi)積空間中的Fourier級數(shù)；2．要求學(xué)生理解內(nèi)積和內(nèi)積空間的定義，理解Hilbert空間，了解正交與正交補(bǔ)，了解正交分解定理，了解內(nèi)積空間中的Fourier級數(shù)。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)內(nèi)積空間與Hilbert空間1．主要內(nèi)容講解內(nèi)積和內(nèi)積空間，常見Hilbert空間。2．基本概念和知識點(diǎn)內(nèi)積，內(nèi)積空間，Hilbert空間。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解內(nèi)積和內(nèi)積空間的定義，理解Hilber空間，了解幾個常見Hilbert空間。第二節(jié)正交與正交補(bǔ)1．主要內(nèi)容講解正交的概念，講解子空間的正交補(bǔ)概念。2．基本概念和知識點(diǎn)正交，正交補(bǔ)。3．問題與應(yīng)用（能力要求）了解正交性和子空間的正交補(bǔ)。第三節(jié)正交分解定理1．主要內(nèi)容講解變分引理和正交分解定理。2．基本概念和知識點(diǎn)變分引理，正交分解定理。3．問題與應(yīng)用（能力要求）了解變分引理和正交分解定理。第四節(jié)內(nèi)積空間中的Fourier級數(shù)1．主要內(nèi)容講解正交化方法和過程，講解Fourier級數(shù)。2．基本概念和知識點(diǎn)正交化方法，F(xiàn)ourier級數(shù)。3．問題與應(yīng)用（能力要求）了解正交化方法和Fourier級數(shù)。（三）課后練習(xí)作業(yè)和思考題：第一節(jié)課后練習(xí)P107之4，5；抄題第二節(jié)課后練習(xí)P106之1，2，3；抄題第三節(jié)課后練習(xí)P107之5，6，7；抄題第四節(jié)課后練習(xí)P107之9，10；抄題（四）教學(xué)方法與手段本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。第六章有界線性算子與有界線性泛函（一）目的與要求1．本章介紹空間的有界線性算子，泛函三大定理，共軛空間與共軛算子以及幾種收斂性；2．要求學(xué)生理解有界線性算子的概念，共軛空間與共軛算子的概念，以及幾種收斂性，理解泛函三大定理。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)有界線性算子1．主要內(nèi)容講解線性算子和線性泛函，連續(xù)性與有界性，算子范數(shù)和算子空間。2．基本概念和知識點(diǎn)線性算子和線性泛函，連續(xù)性與有界性，算子范數(shù)和算子空間。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解線性算子和線性泛函的概念，理解連續(xù)性與有界性的等價，理解算子范數(shù)和算子空間。第二節(jié)三大定理1．主要內(nèi)容講解開映射定理和逆算子定理，共鳴定理和Hahn-Banach定理。2．基本概念和知識點(diǎn)映射定理和逆算子定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解三大定理的內(nèi)容。第三節(jié)共軛空間與共軛算子1．主要內(nèi)容講解共軛空間的概念及幾個共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間上的共軛算子。2．基本概念和知識點(diǎn)共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間上的共軛算子。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間的共軛算子。第四節(jié)幾種收斂性1．主要內(nèi)容講解強(qiáng)收斂性，弱收斂性。2．基本概念和知識點(diǎn)強(qiáng)收斂，弱收斂，泛函序列的收斂性。3．問題與應(yīng)用（能力要求）理解強(qiáng)收斂性，弱收斂性，泛函序列的收斂性。（三）課后練習(xí)作業(yè)和思考題：第一節(jié)課后練習(xí)P137之1，2，3，4；抄題第二節(jié)課后練習(xí)P137之5，6，7，9；抄題第三節(jié)課后練習(xí)P137之10；抄題第四節(jié)課后練習(xí)P137之12，13；抄題（四）教學(xué)方法與手段本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)時數(shù)課程內(nèi)容講課習(xí)題課討論課實(shí)驗(yàn)其他教學(xué)環(huán)節(jié)小計第一章5１06第二章6107第三章81110第四章111113第五章5106第六章6118合計416350六、推薦教材和教學(xué)參考資源1.教材：宋叔尼，張國偉，王曉敏編著，實(shí)變函數(shù)與泛函分析，科學(xué)出版社，2007。2.教學(xué)參考資源：（1）程其襄等，實(shí)變函數(shù)論與泛函分析基礎(chǔ)，高等教育出版社，1983。（2）郭大鈞等，實(shí)變函數(shù)與泛函分析，山東大學(xué)出版社，1986。（3）胡適耕，實(shí)變函數(shù)，高等教育出版社，1999。（4）胡適耕，泛函分析，高等教育出版社，2001。（5）江澤堅，吳智泉，實(shí)變函數(shù)