安徽省銅陵市聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽省銅陵市聯(lián)考(銅陵一中、池州一中、浮山中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)

學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角”條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若雙曲線上-1=1的離心率e=YZ，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為()

4b22

A.26B.2C.V3D.1

2.使得尸］(〃eN+)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()

A.4B.5C.6D.7

3.設(shè)函數(shù)/(%),g(x)的定義域都為R,且/(九)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(%)超⑴是偶函數(shù)B.⑺是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

4.已知函數(shù)/(X)=X2—3X+5,g(x)=ax-Xnx,若對(duì)Vxe(0,e),Hx,,4e(0,e)且玉w%，使得

/(x)=g(x，)(，=l,2),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

22

5.已知雙曲線。:鼻-當(dāng)=1(4>()力>0)的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M

ab

點(diǎn)，M尸的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為()

A.V5-1B.V2C.y/3D.V?

6.已知拋物線產(chǎn)=2口(0〉0)上一點(diǎn)(5/)到焦點(diǎn)的距離為6,P、。分別為拋物線與圓(x-6了+產(chǎn)=1上的動(dòng)點(diǎn),

則|PQ|的最小值為()

A.A/21-1B.2--c.245D.2A/5-1

5

拋物線尤的準(zhǔn)線方程是

7.2=y=lf則實(shí)數(shù)。=(）

3344

A.B.-C.——D.

4433

3+3,則不等式f(lgx)>3的解集為()

8.已知函數(shù)/(X)=k)g2j--+T

-8，H（10,+℃）A/小。)

A.B.C.（1,10）D.

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在AABC中，角A,瓦。所

2

；（時(shí)）2-

對(duì)的邊分別為“,仇c,則AABC的面積S=.根據(jù)此公式，若

、2)

acosB+（Z?+3c）cosA=0,Ma2-b1-c2=2>則AABC的面積為（）

A.V2B.2&C.76D.26

10.定義在［-2,2］上的函數(shù)/(%)與其導(dǎo)函數(shù)1(％)的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、。、。四點(diǎn)的橫

坐標(biāo)依次為-,、-,、1、1,則函數(shù)y=M0的單調(diào)遞減區(qū)間是()

263/

11.一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為2,高為0,有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表

面積為（）

A.46兀B.41C.47271D.3萬(wàn)

12.小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居

住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）

1433

A.—B.—C.—D.一

2584

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.給出以下式子：

@tan250+tan35°+/tan25°tan350；

（2）2（sin35ocos25o+cos35ocos65°）；

c1+3115°

③---------

l—tanl50

其中，結(jié)果為G的式子的序號(hào)是.

14.已知時(shí)=2,M=a,人的夾角為30。，（a+2b）//（2a+2A）,貝!+—>）=.

15.已知公差大于零的等差數(shù)列｛4｝中，的、七、4依次成等比數(shù)列，則中的值是.

16.已知點(diǎn)A（0,-1）是拋物線好=2刀的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的點(diǎn)，且|尸耳=7皿科，若

雙曲線C中心在原點(diǎn)，尸是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過(guò)產(chǎn)點(diǎn)，當(dāng)機(jī)取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知（a+2c）cos6+3cosA=O.

（1）求成

（2）若6=4,求ABC的面積的最大值.

22

18.（12分）已知橢圓C：二+與=1（?>6>0）過(guò)點(diǎn)（0,五）,且滿足。+方=3夜.

ab

（1）求橢圓。的方程；

（2）若斜率為g的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1）,設(shè)直線M4與M3的斜率分別為質(zhì)，

k2,試問(wèn)胡+向是否為定值？并說(shuō)明理由.

19.（12分）在正三棱柱45cA出G中，已知48=1,4Ai=2,E,F,G分別是棱A4,AC和4G的中點(diǎn)，以｛用,FB,FG^

為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

z

(l)求異面直線AC與BE所成角的余弦值；

(2)求二面角F-BCi.C的余弦值.

20.(12分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，底面是棱長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面上4。為正三角形,且面PAD±

面ABCD,及尸分別為棱鉆,尸C的中點(diǎn).

(1)求證：￡川|平面R4D；

(2)求二面角P—EC—。的正切值.

21.(12分)已知函數(shù)/(X)=2?+1|-上一7磯加＞0)

(1)當(dāng)7%=2時(shí)，求不等式/(x)Wl的解集；

(2)g(x)=/(x)-2,g(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為若三角形ABC的面積大于12,求參數(shù)機(jī)的

取值范圍.

22.(10分)已知定點(diǎn)4(—3,0),5(3,0),直線40、8M相交于點(diǎn)且它們的斜率之積為一1,記動(dòng)點(diǎn)"的軌

跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)T(l,0)的直線與曲線C交于P、。兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)S(x0,0),使得直線SP與SQ斜率之積為定值，

若存在，求出S坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.

【詳解】

雙曲線三—1=1的離心率e=YZ,

4b22

則a=2,e=3=[,解得c=J7,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土J7,0）,

所以42—/=47—4=6，

則雙曲線漸近線方程為＞=土乎x，即瓜±2y=0,

73x77「

不妨取右焦點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得d==73，

V3+4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

135

二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C：（3x）-（法）「，若展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，則”-廠-5r=0,解得當(dāng)r取2時(shí)，n

的最小值為5,故選B

【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

3、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：/(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),

=-/(%),g(-x)=g(x),

f(-x).g(-x)=-f(x).g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故4錯(cuò)誤，

"(-x)|.g(-x)=|f(x)l.g(x)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，

/(-x).|g(-x)1=-/(x).|g(x)I是奇函數(shù)，故C正確.

"(-x).g(T)H/(x)?g(x)|為偶函數(shù)，故。錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

先求出/(H的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(o,e)上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因?yàn)榍?力=依一加，故g[x)=ax1,

當(dāng)aWO時(shí)，g'(X)<0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增；

1

當(dāng)時(shí)，令/(%)=0,解得x=一,

a

故g(x)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又=l+/a,g(e)=/_l,且當(dāng)x趨近于零時(shí)，g(x)趨近于正無(wú)窮；

對(duì)函數(shù)/(尤)，當(dāng)％e(O,e)時(shí)，

根據(jù)題意，對(duì)Vxe(0,e),m%,/%e(0,e)且石H%，使得于0)=g(xj(i=1,2)成立,

只需

即可得1+山a<U,W—125,

4e

「6八

解得。e-,e4.

Le）

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問(wèn)題，屬綜

合困難題.

5、A

【解析】

/7+fh

設(shè)則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（￡、-，5）,代入雙曲線的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,

求出上的值，即可得答案.

a

【詳解】

22

雙曲線。:3-與=1（。>0力>0）的右頂點(diǎn)為4々,0）,右焦點(diǎn)為"c,o）,

ab

拉所在直線為X=a,不妨設(shè)

.??M尸的中點(diǎn)坐標(biāo)為（彳,0）.代入方程可得[專][3]_,

22----5------~TT=1

ab

...（a+：）=J,/,g2+2e_4=0>'>e—^5-1（負(fù)值舍去）.

4a24

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意

構(gòu)造a,c的齊次方程.

6、D

【解析】

利用拋物線的定義，求得P的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得|加|,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得「明疝/由|P9取

得最小值為|加京-1,求得結(jié)果.

【詳解】

由拋物線C:V=2Px(p>0)焦點(diǎn)在X軸上，準(zhǔn)線方程X=—T，

則點(diǎn)(5/)到焦點(diǎn)的距離為d=5+3=6,則。=2,

2

所以拋物線方程：>2=4%,

設(shè)尸(x,y),圓M:(x—6)2+y2=1,圓心為(6,1),半徑為1,

貝！J|=J(x-6)2+y=正―6y+4x=J(x-釬+20,

當(dāng)％=4時(shí)，|PQ|取得最小值，最小值為同一1=2追一1,

故選D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)距離的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的

距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.

7、C

【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再對(duì)照系數(shù)求解即可.

【詳解】

4

因?yàn)闇?zhǔn)線方程為y=1，所以拋物線方程為x2=-4y，所以3。=-4,即。=

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到-l<lgx<l,且IgxwO,解不等式得解.

【詳解】

由題得函數(shù)的定義域?yàn)?一8,0)(。,+8).

因?yàn)?(-%)=/(X)，

所以/'(X)為(—8,0)-(0,+8)上的偶函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)丁=十+1,y=#二都是在(0,+8)上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)/(元)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(l)=3,/(lgx)>3=/(l),

所以一l<lgx<l,且IgxwO,

解得ju(l，10).

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平.

9、A

【解析】

根據(jù)acosB+(b+3c)cosA=0,利用正弦定理邊化為角得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,整理為

sinC(l+3cosA)=0,根據(jù)sinCwO,得cosA=—耳，再由余弦定理得=3,又加一。2=2,代入公式

VL12H

【詳解】

由acosB+(b+3c)cosA=0得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因?yàn)閟inCwO,所以cosA=-工，

3

2

由余弦定理。之一〃一°2=-2/?ccosA=—be=2,所以Z?c=3,

3

222

由AABC的面積公式得S=(be)-，+彳_，2=^|(3-1)=AZ2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

10、B

【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù),的導(dǎo)數(shù)為

ex

yJx)T(x),由y，<0,得出r只需在圖中找出滿足不等式/'(x)</(x)對(duì)應(yīng)的X的取值范圍

ex

即可.

【詳解】

若虛線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎

題意；

若實(shí)線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與x軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn)，

合乎題意.

對(duì)函數(shù)y=/區(qū)求導(dǎo)得y=‘("一,由y'<0得/'(x)</(x),

exex

由圖象可知，滿足不等式/'(X)</⑺的X的取值范圍是，),1；

因此，函數(shù)、=/邛的單調(diào)遞減區(qū)間為1-

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等

題.

11、B

【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為2,高為0,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.

【詳解】

如圖所示：

s

因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為2,高為0,

所以如=也,SB=2,

0到S3的距離為，=SOxOB=1,

SB

同理。到SC,劈，口的距離為1,

所以。為球的球心，

所以球的半徑為：1,

所以球的表面積為4萬(wàn).

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.

12、C

【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

%<V

設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為樂(lè)兒以12：00點(diǎn)為開(kāi)始算起，則有,在平面直角

坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,

扮

所以小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為：

10?10!創(chuàng)010-工倉(cāng)65Q

p=22=3.

10708

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①②③

【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】

/、tan250+tan35°仄

①.tan600=tan(25°+35°)=------------------------=,

l—tan250tan350

tan250+tan350+6tan25°tan35°；

=A/3(1-tan250tan35°^+A/3tan25°tan35°,

=A/3，

②2(sin35ocos25o+cos35ocos65°)=2(sin35ocos25o+cos35osm25°),

=2sin60°=^3;

^.l+tanl5otan450+tanl5°、r-

(3)---------=----------------=tan(z45°+15°)=tan60°=J3；

1—tanl5°1—tan450tan45°

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.

14、1

【解析】

由,+2))//(2°+例)求出彳，代入,+助—))，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即得.

【詳解】

(a+2Z?)//(2a+/Lb),二存在實(shí)數(shù)左，使得2a+2)=左(a+2)).

2=k

a*不共線，/X2=4.

A=2k

同=2,忖=百，a,b的夾角為30。，

(a+Xb)?(&-/?)=(a+4Z?)?(&-/?)=Q+3Qg一4Z?

=4+3x2x6xcos30°-4x3=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15、2

4

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)求出公差與電的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解氣的值.

一%

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則d＞。，

由于〃2、。6、％2依次成等比數(shù)列，則即(%+4dJ=%(〃2+1。1)，

,如2+10d18d9

d>0,解得%=8d,因此，——=TT=T.

a2a2Sa4

故答案為：j9

4

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、72+1

【解析】

由點(diǎn)A坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到口坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過(guò)尸作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,根據(jù)拋物線定義可得

PN\

—4=^,可知當(dāng)直線Q4與拋物線相切時(shí)，加取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙

PA|

曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

4(0,1)是拋物線必=2外準(zhǔn)線上的一點(diǎn),'./?=2

二拋物線方程為.-.F(0,l),準(zhǔn)線方程為y=-l

過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,貝！|歸兇=歸同

PF\\PN

\PF\=m\PA\-------=--------=TH

PA\\PA

設(shè)直線R4的傾斜角為a,貝!Jsina=加

當(dāng)機(jī)取得最小值時(shí)，sina最小，此時(shí)直線R4與拋物線相切

設(shè)直線R4的方程為丁=近一1,代入必=4y得：46+4=0

.?.△=16/—16=0,解得：左=±1或(―2,1)

二雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為|PA|-|PF|=2(^-1),焦距為q=2

???雙曲線的離心率e=2(夜_])=42+1

故答案為：V2+1

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問(wèn)題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)M

取得最小值時(shí)，直線Q4與拋物線相切，進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得P點(diǎn)坐標(biāo).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)B=-TT(2)

33

【解析】

⑴由正弦定理邊化角化簡(jiǎn)已知條件可求得cosB=-《,即可求得B;

2

⑵由余弦定理借助基本不等式可求得。。＜當(dāng),即可求出ABC的面積的最大值.

【詳解】

(1)(a+2c)cosB+bcosA=0,(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,

所以(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,

所以sin(A+B)+2cosBsinC=0,

sin(A+B)=sinC,cosB=--,

2

2

0<B<7i/.3=—兀?

93

(2)由余弦定理得〃=a2+c2-2<2cx^--,^2+/+QC=1623QC,

:.ac<—,當(dāng)且僅當(dāng)q=c=迪時(shí)取等，

33

1664百

—X------=----------

一0ABC=—acsinB<—x

22323

所以.ABC的面積的最大值為逑.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角形面積的最值問(wèn)題，難度較易.

22

18、(1)—+^=1(2)出+危為定值0,見(jiàn)解析

82

【解析】

(1)利用已知條件直接求解。力，得到橢圓的方程；

(2)設(shè)直線在y軸上的截距為加，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)A(玉,%),6(%,%)，利用韋達(dá)定理

求出匕+左2,然后化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】

(1)由橢圓過(guò)點(diǎn)(0,收)，則匕=夜，又a+b=3近,所以。=2&，

22

故橢圓的方程為土+匕=1;

82

(2)4+左2=0,證明如下:

設(shè)直線在V軸上的截距為機(jī)，所以直線的方程為：y=^x+m9

1

y--x+m

2

由,22得：X?+2MX+2根2—4=0,

土+匕=1

[82

由=4m2-8m2+16>0^t-2<m<2,

設(shè)人不乂），B（x2,y2）,則石+%2=-2冽，xxx2=2m-4,

所以…2="+y=（0（"2?；（「）（％-2）

王一2X2-2（$_2）（%2-2）

D11

又弘=一玉+加，y2=—x2+m,

所以（％T）（W—2）+（%T）（石—2）FW+（相—2）（石+x2）-4（m-l）

=2m2—4+（m—2）（—2m）—4（m—1）=0,

故4+左2=0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想,

考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

19、(1)變.(2)

417

【解析】

(1)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求得向量AC和向量BE的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.

(2)分別求得平面5FG的一個(gè)法向量和平面5CG的一個(gè)法向量，再利用面面角的向量方法求解.

【詳解】

0),4^—,0,0^,C^--,0,0^,B0,-^-,Q,,0,1^>

規(guī)范解答(1)因?yàn)锳5=l,AAi=2,則F(0,0,

(1若、

所以AC=(-L0，0),BE=5，---4

記異面直線AC和BE所成角為a,

2

則cosa=|cos<AC,BE)|=iLA2(/-\+i9

4

所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為先.

4

(2)設(shè)平面3尸G的法向量為加=(xi,ji,zi).

因?yàn)镕B=。弓，。，EG=,g，0,21,

m-FB=%=0

則2

m-FCiXj+24=0

取xi=4,得平面3尸G的一個(gè)法向量為加=(4,0,1).

設(shè)平面3CG的法向量為"=(*2,y2,Z2).

因?yàn)镃B=

I227

n-CB=^x2+^-y2=0

則

n-CCi=2Z2=0

取4=也得平面BCC1的一個(gè)法向量為〃=(G，-1,0),

所以cos〈m,n)=1岑

根據(jù)圖形可知二面角?5G?C為銳二面角,

所以二面角F-BCi-C的余弦值為拽1.

17

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，面面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中

檔題.

20、(1)見(jiàn)證明；(2)上二

3

【解析】

(1)取中點(diǎn)G,可證E尸GA是平行四邊形，從而防AG,得證線面平行；

(2)取中點(diǎn)。，連結(jié)尸。，可得尸。，面ABC。，連OB交CE于M,可證NPMO是二面角P—EC—。的平

面角，再在APMO中求解即得.

【詳解】

(1)證明：取尸。中點(diǎn)G,連結(jié)GP、AG

；6/為^P。。的中位線，二6〃//8且6/=,。。,

2

又AE//CD且AE=』CD,.?.GE/ME且GF=AE,

2

.?.E尸GA是平行四邊形，則所AG,

又EFu面PAD,AGu面PAD,

.,.EF〃面PAD；

(2)解：取A。中點(diǎn)0,連結(jié)PO,

???面dD_L面ABC。，為正三角形，

.?.P"面ABC。，且PO=5

連08交CE于"，可得Rf_EBCgRjOAB,

:.ZMEB^ZAOB,則NMEB+ZMBE=90°,即OMLEC.

連PM,又POLEC,

可得EC，平面P。腸，則WLEC,

即Z.PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在W￡BC中，BMBEBCOM=OB—BM=

CE55

AtanZPMO=絲=巫，即二面角P-EC-D的正切值為叵.

0M33

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行證明，考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算.即先作出二面角的平面角，然后證明此

角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中計(jì)算.

21、⑴|x|-5<x<||(2)(3,+oo)

【解析】

⑴當(dāng)加=2時(shí)，不等式/(x)Wl可化為：2|x+l]—卜―2歸1,再利用絕對(duì)值的意義，分x<—1,-l<x<,x>2

討論求解.

-x-4-m,x<-1

(2)根據(jù)g(x)=/(x)—2可得g(x)=3x-m1VxW加，得到函數(shù)g(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

x-\-m,x>m

A(—加一4,0),5(0,—m)，c]m，O；再利用三角形面積公式由S=g詢加+3)>12求解.

【詳解】

(1)當(dāng)租=2時(shí)，

不等式可化為:2|x+l|-|x-2|<l

①當(dāng)x<—1時(shí)，不等式化x+520為，

解得：-5<%<-1;

②當(dāng)—1WXW2時(shí)，不等式化為3x<l,

解得：一1?xV—,

3

③當(dāng)x>2時(shí)，不等式化為X+3V0,解集為中，

綜上，不等式的解集為

-x—4—m,x<—1

(2)由題得g(x)=?3x-機(jī)，一1機(jī)，

x+m,x>m

所以函數(shù)g(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-m-4,0),3(0,-m),c1g,0

7TZ2

...AABC的面積為S=；--(-m-4)x|-m|=—m(m+3),