2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．（5分）已知集合，則A?B＝（）A．{0，2} B．{﹣2，0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2，4}2．（5分）若（i為虛數(shù)單位），則|z﹣1|＝（）A． B． C． D．3．（5分）設(shè){an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n＞N0時，an＞0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）已知，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）5．（5分）我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動．如圖（2），傘完全收攏時，傘圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三點(diǎn)共線，AD'＝40cm，B為AD'的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當(dāng)傘完全張開時，∠BAC的余弦值是（）A． B． C． D．6．（5分）函數(shù)的大致圖象可能是（）A． B． C． D．7．（5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線E上一點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分線與x軸交于點(diǎn)Q，，則雙曲線E的離心率為（）A． B．2 C． D．8．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱C1D1上的一動點(diǎn)，記直線BC1與平面A1BE所成的角為θ，則cosθ得最小值為（）A． B． C． D．1二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）（多選）9．（5分）某校組織了300名學(xué)生參與測試，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A．圖中a的值為0.015 B．估計(jì)這40名學(xué)生考試成績的眾數(shù)為75 C．估計(jì)這40名學(xué)生考試成績的中位數(shù)為82 D．估計(jì)這40名學(xué)生考試成績的上四分位數(shù)約為85（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在上是單調(diào)函數(shù)，且f（0）＝f（π）＝．則ω的可能取值為（）A． B．2 C． D．1（多選）11．（5分）過拋物線C：y2＝2px上一點(diǎn)A（1，﹣4）作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個交點(diǎn)分別為M，N，則（）A．C的準(zhǔn)線方程是x＝﹣4 B．過C的焦點(diǎn)的最短弦長為8 C．直線MN過定點(diǎn)（0，4） D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時，直線MN的方程為2x+y﹣38＝0（多選）12．（5分）已知a＞b＞0．a(chǎn)+b＝1．則下列結(jié)論正確的有（）A．a(chǎn)+的最大值為 B．22a+22b+1的最小值為4 C．a(chǎn)+sinb＜1 D．b+lna＞0三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．（5分）甲、乙、丙3人從1樓上了同一部電梯，已知3人都在2至6層的某一層出電梯，且在每一層最多只有兩人同時出電梯，從同一層出電梯的兩人不區(qū)分出電梯的順序，則甲、乙、丙3人出電梯的不同方法總數(shù)是．14．（5分）臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時間為小時．15．（5分）已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝．16．（5分）若關(guān)于x的不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2個正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．（1）求B；（2）已知BC＝2，D為邊AB上的一點(diǎn)，若BD＝1，∠ACD＝，求AC的長．18．（12分）數(shù)列{an}滿足a1＝1，．（1）設(shè)，求{bn}的最大項(xiàng)；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．19．（12分）如圖．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝BC＝2，平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求點(diǎn)A到平面A1BC的距離；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，求平面ABD與平面CBD夾角的正弦值．20．（12分）科學(xué)家為研究對某病毒有效的疫苗，通過小鼠進(jìn)行毒性和藥效預(yù)實(shí)驗(yàn)．已知5只小鼠中有1只患有這種病毒引起的疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的小鼠．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病小鼠，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方案：方案甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定患病小鼠為止．方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗(yàn)，直到能確定患病小鼠為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．（1）求方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的分布列；（2）判斷哪一個方案的效率更高，并說明理由．21．（12分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，點(diǎn)A（﹣1，）在橢圓C上，點(diǎn)P是y軸正半軸上的一點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)F和點(diǎn)P的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ex+xsinx+cosx﹣ax﹣2（a∈R）．（1）若a＝2，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

參考答案與試題解析一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．【分析】利用列舉法表示集合A，B，再利用交集的定義求解即可．【解答】解：，B＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，所以A?B＝{﹣2，0}．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：，則z﹣1＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i，故|z﹣1|＝|3+i|＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義，判斷即可．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，當(dāng){an}為遞增數(shù)列時，公差d＞0，令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函數(shù)，所以存在正整數(shù)N0＝1+[1﹣]，當(dāng)n＞N0時，an＞0，充分性成立；當(dāng)n＞N0時，an＞0，an﹣1＜0，則d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；是充分必要條件．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列與充分必要條件的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解．【解答】解：，則在上的投影向量為．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)傘完全張開的特征可得AD＝40﹣24＝16cm，根據(jù)傘完全收攏可得BD＝20cm，在△ABD中，利用余弦定理得cos∠BAD，即可得出答案．【解答】解：由題意得當(dāng)傘完全張開時，AD＝40﹣24＝16cm，∵B為AD的中點(diǎn)，∴AB＝AC＝AD'＝20cm，當(dāng)傘完全收攏時，AB+BD＝AD'＝40cm，則BD＝20cm，在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，∴cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD﹣1＝2×﹣1＝﹣，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用x＝時的函數(shù)值的符號進(jìn)行排除即可．【解答】解：f（﹣x）＝x2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣xsinx＝f（x），則f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除A，B，f（）＝×（）2﹣×sin＝×（﹣1）＜0，排除D，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，以及特殊值的符號是否對應(yīng)是解決本題的關(guān)鍵．7．【分析】由題意得，利用正弦定理結(jié)合角平分線得，再根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合題意，即可得出答案．【解答】解：作出圖形，如圖所示：∵PF2⊥F1F2，∴，即，在△PQF1，△PQF2中，由正弦定理得：∵PQ平分∠F1PF2，∴∠QPF1＝∠QPF2，即sin∠QPF1＝sin∠QPF2，且sin∠PQF1＝sin（π﹣∠PQF2）＝sin∠PQF2，故，則，∴，又∵，則，∴，整理得b2＝3a2，故c2﹣a2＝3a2，即c2＝4a2，∴c＝2a，即．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．【分析】由題意，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)|AD|＝1，|D1E|＝a（0≤a≤1），求出平面A1BE的一個法向量，則，求出最大值即可求出cosθ得最小值．【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)|AD|＝1，|D1E|＝a（0≤a≤1），則A1（1，0，1），B（1，1，0），E（0，a，1），C1（0，1，1），所以，，，設(shè)平面A1BE的一個法向量為，由，令y＝1，解得，所以，所以，當(dāng)a＝1時，sinθ＝0，當(dāng)0≤a＜1時，令t＝1﹣a（0＜t≤1），則sin，函數(shù)y＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2，在（0，1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝1時，y＝t2﹣2t+3取最小值2，故此時，綜上可知，，由于，故．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了求直線與平面所成的角，屬于中檔題．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．【分析】對于A，根據(jù)頻率之和為1計(jì)算即可；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)的方法判斷即可；對于C，根據(jù)中位數(shù)可能所在的區(qū)間進(jìn)行判斷；對于D，根據(jù)百位分?jǐn)?shù)的估算方法求解即可．【解答】解：根據(jù)頻率和等于1得：10a＝1﹣10×（0.010+0.035+0.03+0.01）＝0.15，∴a＝0.015，故A正確；由頻率分布直方圖可知，最高矩形對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)為75，則估計(jì)眾數(shù)也為75，故B正確；0.010×10+0.015×10＝0.25，0.010×10+0.015×10+0.035×10＝0.6，可知中位數(shù)落在[70，80）內(nèi)，即中位數(shù)的估計(jì)值不是82，故C錯誤；上圖各組對應(yīng)的頻率分別為：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，上四分位數(shù)在[80，90）內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)約為x，則：0.1+0.15+0.35+（x﹣80）×0.03＝0.75，得x＝85，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了眾數(shù)、平均數(shù)的估計(jì)，百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】由已知單調(diào)區(qū)間可判斷周期的范圍，進(jìn)而可以得出ω的范圍，然后再對周期討論求出對應(yīng)的ω的可能值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在[，π]上是單調(diào)函數(shù)，∴＝?≥π﹣，∴T≥π，且ω≤2，∵f（0）＝f（π），∴x＝是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，∴ω×+φ＝kπ+，k∈Z，∵f（0）＝﹣f（﹣），∴所以f（x）圖象的一個對稱中心是（﹣，0），若＝＝+，求得ω＝；若＝＝+，求得ω＝2．故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查了正弦函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．11．【分析】將A（1，﹣4）代入C中，即可求解拋物線方程，即可判斷A，B，設(shè)，，直線MN為x＝my+n，并聯(lián)立拋物線方程可得，y2﹣16my﹣16n＝0，再結(jié)合韋達(dá)定理，以及向量的數(shù)量積公式，即可求解C，由C分析所得的定點(diǎn)P，要使A到直線MN的距離最大有MN⊥AP，即可寫出直線MN的方程，即可判斷D．【解答】解：將A（1，﹣4）代入C中得p＝8，則C為y2＝16x，故C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣4，故A正確，當(dāng)過C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時弦長最短，此時弦長為16，故B錯誤，設(shè)，，直線MN為x＝my+n，聯(lián)立拋物線可得，y2﹣16my﹣16n＝0，∴y1+y2＝16m，y1y2＝﹣16n，∵AM⊥AN，∴＝?＝（y1+4）（y2+4）＝0，∵y1≠0，y2≠0，∴（y1+4）（y2+4）≠0，，化簡整理可得，y1y2﹣4（y1+y2）+272＝0，∴﹣16n﹣64m+272＝0，得n＝﹣4m+17，∴直線MN為x＝m（y﹣4）+17，∴直線MN過定點(diǎn)P（17，4），故C錯誤，當(dāng)MN⊥AP時，A到直線MN的距離最大，此時直線MN為2x+y﹣38＝0，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與拋物線的綜合，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．12．【分析】由a＞b＞0，a+b＝1可得0＜b＜，＜a＜1，所以a+＝﹣b++1＝﹣（﹣）2+，從而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)A；直接利用基本不等式即可判斷選項(xiàng)B；由于a+sinb＝sinb﹣b+1，令h（b）＝sinb﹣b+1（0＜b＜），結(jié)合h（b）的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)C；由于b+lna＝laa﹣a+1，令g（a）＝lna﹣a+1（＜a＜1），結(jié)合g（a）的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：由a＞b＞0，a+b＝1，得0＜b＜，＜a＜1，所以a+＝﹣b++1＝﹣（﹣）2+，當(dāng)＝，即b＝時，a+＝，而0＜b＜，故選項(xiàng)A錯誤；22a+22b+1≥2?＝2×＝4，當(dāng)且僅當(dāng)22a＝22b+1，2a＝2b+1，即a＝，b＝時等號成立，故22a+22b+1的最小值為4，選項(xiàng)B正確；由a+b＝1，得a+sinb＝sinb﹣b+1，令h（b）＝sinb﹣b+1（0＜b＜），則h′（b）＝cosb﹣1＜0，所以h（b）是單調(diào)遞減函數(shù)，則h（b）＜h（0）＝1，故a+sinb＜1，選項(xiàng)C正確；b+lna＝lna﹣a+1，令g（a）＝lna﹣a+1（＜a＜1），則g′（a）＝﹣1＝＞0，所以g（a）是單調(diào)遞增函數(shù)，而g（a）＞ln﹣+1＝﹣ln2，且﹣ln2＜0，故選項(xiàng)D錯誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用，涉及構(gòu)造函數(shù)模型求最值的問題，考查學(xué)生的歸納推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．【分析】分①3人都在2至6層的某一層1人獨(dú)自出電梯；②3人中有2人在同一層出電梯，另1人在另外一層出電梯，兩種情況討論即可求解．【解答】解：由題意，①3人都在2至6層的某一層1人獨(dú)自出電梯，共有種；②3人中有2人在同一層出電梯，另1人在另外一層出電梯，共有種；故甲、乙、丙3人出電梯的不同方法總數(shù)是60+60＝120種．故答案為：120．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．14．【分析】設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，結(jié)合余弦定理得到，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理即可求出CD，從而求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2+AB2﹣2AP?AB?cosA，302＝x2+402﹣2x?40?cos45°故302＝x2+402﹣2x?40?cos45°，化簡得，設(shè)方程的兩根為x1，x2，則，所以，即圖中CD＝20千米，所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時間為小時，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球及球的性質(zhì)能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，則2r＝＝＝2，解得r＝，設(shè)三棱錐S﹣ABC的外接球球心為O，連接OA，OO1，則OA＝2，OO1＝SA，∵，∴4＝3+，解得SA＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理、三角形外接圓半徑，直棱柱的外接球及球的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．【分析】由題意，不等式變形為a（x+1）＜，用導(dǎo)數(shù)法研究f（x）＝的單調(diào)性，則不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2個正整數(shù)解等價(jià)于直線l：y＝a（x+1）與f（x）有兩個交點(diǎn)分別在（0，1）和（2，3），即可求出a的取值范圍．【解答】解：a（x+1）ex﹣x＜0?a（x+1）＜，又因?yàn)橹本€l：y＝a（x+1）過定點(diǎn)A（﹣1，0），令，故f（x）在（﹣∞，1）遞增，（1，+∞）遞減，，則，，∴不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2個正整數(shù)解等價(jià)于直線l與f（x）有兩個交點(diǎn)分別在（0，1）和（2，3），故．故答案為：[，）．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，也考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合，作出圖象是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得tanB的值，結(jié)合B的范圍即可求解B的值．（2）由題意利用余弦定理可求CD的值，由∠BDC＝+∠A，利用誘導(dǎo)公式，正弦定理可求cosA，進(jìn)而可求tanA＝＝，即可得解AC的值．【解答】解：（1）因?yàn)閍＝b（sinC+cosC），所以sinA＝sinB（sinC+cosC），即sinBcosC+cosBsinC＝sinBsinC+sinBcosC，所以cosBsinC＝sinBsinC，因?yàn)閟inC＞0，所以cosB＝sinB，所以tanB＝，因?yàn)锽∈（0，π），所以B＝．（2）因?yàn)锽C＝2，BD＝1，∠B＝，根據(jù)余弦定理得CD2＝BC2+BD2﹣2BC?BD?cosB＝1+12﹣2×1×2×＝7，所以CD＝，因?yàn)椤螧DC＝+∠A，所以sin∠BDC＝sin（+∠A）＝cosA，在△BDC中，由正弦定理知，＝，所以＝，所以cosA＝，tanA＝＝，所以AC＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，誘導(dǎo)公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，從而求出an的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到bn的通項(xiàng)公式，即可求出最大項(xiàng)；（2）由已知利用錯位相減法即可．【解答】解：（1）由得．又，∴是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴，則，．當(dāng)n≤7時，bn不會最大；當(dāng)n＞7時，設(shè)bn是最大項(xiàng)，則bn+1≤bn，且bn﹣1≤bn，即，且，即n﹣6≤3（n﹣7）且3（n﹣8）≤n﹣7，解得．又n∈N*，∴n＝8，∴{bn}的最大項(xiàng)是．（2），①①×3得，②①﹣②得，∴．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，還考查了數(shù)列的最大項(xiàng)的求解，還考查了錯位相減求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題．19．【分析】（1）取A1B的中點(diǎn)E，證明AE⊥平面A1BC，再利用等體積法求解作答．（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝BC＝2，平面A1BC⊥平面ABB1A1，設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，取A1B的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥A1B，因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，則有AE⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，即有AE⊥BC，因?yàn)锳A1⊥平面ABC，BC?平面ABC，則AA1⊥BC，因?yàn)锳A1?AE＝A，AA1，AE?平面ABB1A1，于是BC⊥平面ABB1A1，又AB?平面ABB1A1，因此BC⊥AB，，，又，解得，所以點(diǎn)A到平面A1BC的距離為．（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，如圖，則A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），E（0，1，1），，設(shè)平面ABD的一個法向量，則，令x＝1，得，由（1）知，平面BDC的一個法向量為，因此，所以平面ABD與平面CBD夾角的正弦值為．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到平面的距離、二面角等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．【分析】（1）方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝0.2，P（X＝4）＝0.4，由此能求出X的分布列．（2）方案乙化驗(yàn)次數(shù)Y的可能取值為2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Y分布列，求出E（Y）＝2.6，E（X）＝2.8．從而方案乙的效率更高．【解答】解：（1）方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝0.2，P（X＝4）＝0.4，∴X的分布列為：X1234P0.20.20.20.4（2）方案乙化驗(yàn)次數(shù)Y的可能取值為2，3，P（Y＝2）＝+?＝0.6，P（Y＝3）＝＝0.4，上述均表示另2只中先抽有病或沒病時，兩種可能性，∴Y分布列為：次數(shù)23概率0.60.4E（Y）＝2×0.6+3×0.4＝2.4，E（X）＝1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.4＝2.8．E（X）＞E（Y），∴方案乙的效率更高．【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21．【分析】（1）由題意知，，解之即可；（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），將其與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，借助相似三角形可推出＝|x1|+|x2|，再分點(diǎn)P在橢圓上、內(nèi)、外等情況討論，并結(jié)合換元法，函數(shù)的單調(diào)性等，即可得解．【解答】解：（1）由題意知，，解得a＝2，b＝，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1．（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），其中k＜0，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，Δ＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1），∴＝+＝+＝|x1|+|x2|，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓及外部，即k≤﹣時，x1≥0，x2＞0，∴＝|x1|+|x2|＝x1+x2＝＝∈[，2）；當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，即﹣＜k＜0時，x1＜0，x2＞0，∴＝|x1|+|x2|＝﹣x1+x2＝＝＝，令＝m，則1＜m＜2，∴x2﹣x1＝＝＝∈（，4），綜上所述，的取值范圍為[，4）．【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，換元法等是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．22．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率f