長春市2023-2024學年高考數(shù)學全真模擬卷含解析

長春市重點中學2023-2024學年高考數(shù)學全真模擬密押卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=120,則判斷框內為（）

A.k>7?B.k>6?C.k>57D.k>4?

2.曲線f=4y在點（2j）處的切線方程為（）

A.y=%-1B.y=2x-3C.y=-x+3D.y=-2x+5

3.用1,2,3,4,5組成不含重復數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)

字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是（）

A.48B.60C.72D.120

4.已知集合A={%￡N|y=={冗|%=￡Z},則AB-（）

A.[0,4]B.{0,2,4}C.{2,4}D.[2,4]

47r

5.如圖，用一邊長為0的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為色-的雞蛋（視

為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）

6.己知四棱錐S-43。中，四邊形ABC。為等腰梯形，AD//BC,ZBAD=12（f,A5A。是等邊三角形，且

SA=AB=2g;若點P在四棱錐S-ABC。的外接球面上運動，記點P到平面ABC。的距離為d,若平面

平面ABCD,則d的最大值為（）

A.J13+1B.\/13+2

C.V15+1D.V15+2

7.復數(shù)萬（1+i）的模為（）.

A.；B.1C.2D.2亞

8.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計），底面直徑為20cm,高度為100cm,現(xiàn)往里面裝直徑為10cm的球,

在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）

（附：應“414,百“732,石土2.236）

A.22個B.24個C.26個D.28個

9.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，

設計兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為Pl,P2,則（）

115

A.Pi?P=-B.Pi=P=-C.Pi+P=-D.Pi<P

2432622

（\iY°

io.土爐—去的展開式中有理項有（）

〔2?。?/p>

A.3項B.4項C.5項D.7項

11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）

俯視圖

A.2>j5B.4C.2D.2忘

x+2y-2>0

12.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x—2y+220,則％?+y?的取值范圍是（）

x<2

2、”1「4"I「2

A.---,2A/2B.1，8C.y,8D.[1,8]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.復數(shù)2=1（2+，）（其中i為虛數(shù)單位）的共甄復數(shù)為.

22

14.已知雙曲線5-==1（?！?力〉0）的左右焦點分別為耳,心，過耳的直線與雙曲線左支交于A,3兩點，

ab

ZAF,B=90,AAEB的內切圓的圓心的縱坐標為且“，則雙曲線的離心率為.

一2

15.設平面向量。與b的夾角為氏且卜+4=1,卜-b|=G,則。的取值范圍為.

16.在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐P-ABCD為

陽馬，側棱底面ABC。，且24=3,BC=AB=4,設該陽馬的外接球半徑為E,內切球半徑為小則

R

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在等腰梯形ABC。中，AD^AB=CD=2,BC=4,M,N,。分別為BC,CD,

AC的中點，以AC為折痕將一ACO折起，使點。到達點P位置（Pe平面ABC）.

（1）若〃為直線QN上任意一點，證明：〃平面A5P；

71

（2）若直線與直線所成角為一，求二面角A-PC-5的余弦值.

4

V2y2

18.（12分）已知尸（0,—2）點A,3分別為橢圓E：二+=l（a〉6〉0）的左、右頂點，直線BP交E于另一點、

ab2

Q,AA3P為等腰直角三角形，且|P@:|QB|=3:2.

（I）求橢圓E的方程；

（II）設過點P的直線/與橢圓E交于兩點，總使得NMQV為銳角，求直線/斜率的取值范圍.

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=|x-l|+|x+3].

（I）解不等式〃x））6；

（II）設g（九）=-X2+2你其中。為常數(shù).若方程/⑴=g（可在（0,+8）上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取

值范圍.

20.（12分）已知拋物線。：/=295〉0）的焦點為P，直線/交C于A8兩點（異于坐標原點O）.

（1）若直線/過點R,OA.O3=-12，求。的方程；

（2）當0403=0時，判斷直線/是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.

21.（12分）記S“為數(shù)列｛a“｝的前〃項和，已知S“=〃2,等比數(shù)列｛2｝滿足e=q,偽=%.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）求也｝的前〃項和7“.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=|x+2|+|x—3|.

（1）解不等式/。）<3%-2；

13

（2）若函數(shù)7（x）最小值為〃，且2a+3b=M（a>03>0）,求——的最小值.

2a+1b+1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

程序在運行過程中各變量值變化如下表：

KS是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循環(huán)的條件應為k>5?

本題選擇C選項.

點睛：使用循環(huán)結構尋數(shù)時，要明確數(shù)字的結構特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結構特征的關系及循

環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計數(shù)時，注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.

2、A

【解析】

將點代入解析式確定參數(shù)值，結合導數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點斜式求的切線方程.

【詳解】

曲線爐=4>，即y=

當x=2時，代入可得r=；x22=l,所以切點坐標為（2』），

求得導函數(shù)可得y=

由導數(shù)幾何意義可知左=y'=gx2=l,

由點斜式可得切線方程為y—l=x—2,即y=x-1,

故選：A.

【點睛】

本題考查了導數(shù)的幾何意義，在曲線上一點的切線方程求法，屬于基礎題.

3、A

【解析】

對數(shù)字2分類討論，結合數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，利用分類計數(shù)原理，即可得到結論

【詳解】

數(shù)字2出現(xiàn)在第2位時，數(shù)字1,3,5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第3,4位或者4,5位，

共有窗用其=12個

數(shù)字2出現(xiàn)在第4位時，同理也有12個

數(shù)字2出現(xiàn)在第3位時，數(shù)字1,3,5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第1,2位或者4,5位，

共有&&=24個

故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是48個

故選A

【點睛】

本題主要考查了排列，組合及簡單計數(shù)問題，解題的關鍵是對數(shù)字2分類討論，屬于基礎題。

4、B

【解析】

計算A={0,l,2,3,4},再計算交集得到答案

【詳解】

A={xeN|y=V^}={0,l,2,3,4},5={x|x=2%”eZ}表示偶數(shù),

故A3={0,2,4}.

故選：B.

【點睛】

本題考查了集合的交集，意在考查學生的計算能力.

5、D

【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側面三角形的高，即可求解.

【詳解】

設四個支點所在球的小圓的圓心為0',球心為。，

47r4c47r

由題意，球的體積為一，即一"A?：——可得球。的半徑為1,

333

又由邊長為魚的正方形硬紙，可得圓o'的半徑為:，

利用球的性質可得=r勺2=與,

又由。'到底面的距離即為側面三角形的高，其中高為工，

2

所以球心到底面的距離為無+L=走±1.

222

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及球的性質的綜合應用，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與計算能力,

屬于基礎題.

6、A

【解析】

根據(jù)平面平面ABC。，四邊形ABC。為等腰梯形，則球心在過的中點E的面的垂線上，又AS4D是等

邊三角形，所以球心也在過人的外心F面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.

【詳解】

依題意如圖所示：

取的中點E,則E是等腰梯形ABC。外接圓的圓心，

取斤是A54D的外心，作平面A3CD,。/，平面

則。是四棱錐S-ABCD的外接球球心，且O尸=3,S/=2,

設四棱錐S-ABCD的外接球半徑為R,則R2=592+0p2=]3,而。石=1,

所以"1mx=R+0E=A+I，

故選：A.

【點睛】

本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結合的思想，屬于難題.

7、D

【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解.

【詳解】

解：2/(1+z)=-2+2z,

???復數(shù)2z(l+0的模為7(-2)2+22=2血.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，屬于基礎題.

8、C

【解析】

計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為50cm,得到最上層球面上的點距離桶底最遠為(10+5應(“-I)卜m,

得到不等式10+5夜(〃—1)W100,計算得到答案.

【詳解】

由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側面相切，且相鄰四個球兩兩相切，

這樣，相鄰的四個球的球心連線構成棱長為10cm的正面體，

易求正四面體相對棱的距離為5^cm,每裝兩個球稱為“一層“，這樣裝“層球，

則最上層球面上的點距離桶底最遠為(10+5夜5-1))cm,

若想要蓋上蓋子，則需要滿足10+5夜(〃—1)4100,解得〃W1+9攻。13.726，

所以最多可以裝13層球，即最多可以裝26個球.

故選：C

【點睛】

本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

9、C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為：123>132、213、231、312、321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=：;

6

2

方案二坐車可能：312、321,所以，Pi=-；

6

所以Pi+P=7

26

故選C.

【點睛】

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.

10、B

【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出x的指數(shù)為整數(shù)時廠的個數(shù)，即可求解.

【詳解】

&]=(—1)'21°小/一至，OWrWlO,

當r=0,3,6,9時，為有理項，共4項.

故選:B.

【點睛】

本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵，屬于基礎題.

11,D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計算各棱的長度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：

B

ED

由三視圖知：|AD|=2,\CE\=73,\SD\=2,

所以,q=\DC\=2,

所以慟=，阿+幽2=2亞，閡=‘阿+阿=2萬，

所以該幾何體的最長棱的長為272

故選：D

【點睛】

本題主要考查三視圖的應用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

12、B

【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得f+y2的取值范圍.

【詳解】

由約束條件作出可行域是由A(2,0),8(0,1),C(2,2)三點所圍成的三角形及其內部，如圖中陰影部分，而f+y?可

理解為可行域內的點到原點距離的平方，顯然原點到A6所在的直線％+2y-2=0的距離是可行域內的點到原點距離

的最小值，此時小+y2=o￡>2/0408]=3,點。到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值，此時

(ABJ5

「4-

/+丁=22+22=8.所以產+丫2的取值范圍是_,8.

y

故選：B

【點睛】

本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數(shù)形結合思想，應用意識.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—1—2z

【解析】

利用復數(shù)的乘法運算求出Z,再利用共物復數(shù)的概念即可求解.

【詳解】

由z=z(2+i)=—1=—1+,

則［=—1—23

故答案為：—1—2z

【點睛】

本題考查了復數(shù)的四則運算以及共朝復數(shù)的概念，屬于基礎題.

14、2

【解析】

由題意畫出圖形，設內切圓的圓心為M(x,y),圓M分別切A片,3月,48于S,T,Q,可得四邊形S8力0為正方形,

再由圓的切線的性質結臺雙曲線的定義，求得AA85的內切圓的圓心的縱坐標，結合已知列式，即可求得雙曲線的離

心率.

【詳解】

設內切圓的圓心為M(x,y),圓以分別切巴,A3于S,T,Q,連接MS,MT,MQ,

則I取1=|乙S|,故四邊形理力0為正方形，邊長為圓M的半徑，

SIA5HAGI,\BT\4BQ\,n\AF2\-\AQ\=\SF2\^\TF2\=\BF2\-\BQ\,

二。與耳重合,

:.\SF2\^\AF2\-\AFl\=2a,:.\MF\=2a,即(x—c-+/=4/——①

222

\MF2\=242a,(x+c)+y=8a------@

4A4

聯(lián)立①②解得：x=—幺,>2=4/一與，

cc

又因圓心的縱坐標為五a，

2

e-=2.

4c2a

故答案為：2

【點睛】

本題考查雙曲線的幾何性質，考查數(shù)形結合思想與運算求解能力，屬于中檔題.

【解析】

根據(jù)已知條件計算出同2+網(wǎng)之=2,結合,+4=1得出a?=-g,利用基本不等式可得出同的取值范圍，利用

平面向量的數(shù)量積公式可求得cos6的取值范圍，進而可得出0的取值范圍.

【詳解】

|^+/?|=1,卜_.二G,+|/?|2=—^+/?|2+|tz-/?|2j=2,

由|。+〃|=1得J+ZQ.8+Z/=1，—5，

由基本不等式可得2=同2+好＞2同.網(wǎng)，.?.0＜同?網(wǎng)＜1,

_1

a-b?

-l＜cos^＜L...cosne=?=：w

\a\-\b\\a\]b\

QQ<0<7T,因此，。的取值范圍為—

故答案為：.

【點睛】

本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.

16、叵

2

【解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，由此能求出氏=叵，內切球。?在側面R4D內的正視圖是

2

AR4D的內切圓，從而內切球半徑為「由此能求出

r

【詳解】

四棱錐P-A5CD為陽馬，側棱尸底面ABC。，

且24=3,BC=AB=4,設該陽馬的外接球半徑為E,

,該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，

（27?）2=AB2+AD-+AP2=16+16+9=41,

:.R=叵,

2

側棱？A，底面ABC。，且底面為正方形，

二內切球&在側面QAD內的正視圖是的內切圓，

,內切球半徑為r=產=1,

故一R=-7-4--1

r2

故答案為手

【點睛】

本題考查了幾何體外接球和內切球的相關問題，補形法的運用，以及數(shù)學文化，考查了空間想象能力，是中檔題.解

決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有

很多，主要有兩種：（1）補形法（構造法），通過補形為長方體（正方體），球心位置即為體對角線的中點；（2）外心

垂線法，先找出幾何體中不共線三點構成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線，則

球心一定在垂線上.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）見解析（2）叵

7

【解析】

⑴根據(jù)中位線證明平面MNQ平面即可證明MH〃平面A3P；（2）以QM,QC,QP為x,y,z軸建立

空間直角坐標系，找到點的坐標代入公式即可計算二面角的余弦值.

【詳解】

（1）證明：連接,

-：M,N,。分別為BC,CD,AC的中點，

:.QMAB,

又平面上短，ABi平面

/.QM,平面

同理，QN〃平面？A3,

?.?QMu平面政VQ,QNu平面MAQ,QMQN=Q,

二平面MNQ平面P4B,

平面MNQ,

?*.MH〃平面ABP.

(2)連接PQ,在ABC和一ACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC'

由NABC與互補，AD=AB^CD=2,BC=4,可解得AC=2jL

于是3c2=AB2+AC2,

：.AB±AC,QMLAC,

TT

vQMAB直線AB與直線MN所成角為7，

f4

7T

：.ZQMN=-,又QM=QN=1,

4

rr

：.ZMQN=-,即QMLQN,

.?.QM,平面APC,

平面ABC_L平面APC,

?.?。為AC中點，PQ±AC,

PQ,平面ABC,

如圖所示，分別以QM,QC,QP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則8(2,-百,0),C(0,3,0),P(0,0,l),

PB=(2,-"—1),PC=(0,A-l).

設平面尸5C的法向量為"=(%,y,z),

n-PB=02x-y/3y-z=0

,即

n-PC=06y-z=0

令y=l,則％=有，z=5可得平面尸5c的一個法向量為“=(百,1,石).

又平面APC的一個法向量為根=(L。,。)，

.m-nV21

??cos<m,n>=--------=-----,

\m\-\n\7

二面角A-PC-B的余弦值為叵.

7

【點睛】

此題考查線面平行，建系通過坐標求二面角等知識點，屬于一般性題目.

18-.(I)----Fy=1；(II)—2,------。----,2.

422

【解析】

3

(I)由題意可知：由PQ=QQ3,求得。點坐標，即可求得橢圓E的方程；

(II)設直線y=Ax—2,代入橢圓方程，由韋達定理，由/>0,由NMQV為銳角，則OM.ON>0，由向量數(shù)量

積的坐標公式，即可求得直線/斜率的取值范圍.

【詳解】

解：(I)根據(jù)題意A的是等腰直角三角形

一.a=29

.-.5(2,0),

設Q(q,y°)由|PQ|:|Q@=3:2

3

得加=戶

16

%=不

則4

卜。1

代入橢圓方程得

X2

二橢圓E的方程為上+y=l

4-

(II)根據(jù)題意，直線/的斜率存在，可設方程為丁=履-2

設河(菁，％)N?,%)

y=kx-2

由<x2,得(1+4左2)光2—16代+12=0

彳+了=

由直線/與橢圓E有兩個不同的交點則A>Q

即(一16%)2—4x12x0+4左2)>0

得,土3

16k

又

12

X|X二------------7

121+4產

ZMON為銳角則cosZMON>0

OM-ON>0%>0

/龍2+X%=%龍2+（村一2）（層一2）=（1+左?）/龍2_2左（/+々）+4〉0

即（-）信一"與+4>0

k2<4②

由①②得正〈左<2或一2（左<—W

2

故直線/斜率可取值范圍是

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，韋達定理，考

查計算能力，屬于中檔題.

19、(I)(^>o,-4]I,[2,+<?)；(II)(A/2+l,+oo).

【解析】

（D零點分段法，分-3<x<l,xW—3討論即可;

2x+2,x>l

,分工2〉芭21,0<Xj<x,<1,0<%<1<々三種情況討論.

4,0<%<1

【詳解】

⑴原不等式即卜―l|+|x+3|?6.

①當時，化簡得2x+2N6.解得了之2；

②當—3＜%＜1時，化簡得426.此時無解；

③當3時，化簡得一2x—226.解得xW-4.

綜上，原不等式的解集為(-8,7][2,+8)

(II)由題意小)=「0-＜1，

設方程/(x)=g(x)兩根為小龍2(%＜玉)?

2

①當乙〉罰時，方程一%2+2ax=2x+2等價于方程2a=x+—+2.

X

易知當+,方程2a=x+j+2在(1,+8)上有兩個不相等的實數(shù)根.

此時方程-無2+2依=4在(0,1)上無解.

ae]&+1,'滿足條件.

4

②當0＜再。2Vl時，方程—必+2依=4等價于方程2a=x+-f

x

此時方程2a=x+±在(0,1)上顯然沒有兩個不相等的實數(shù)根.

X

③當0＜西＜1＜工2時，易知當ae1|＞+oo],

方程2a=x+d在(0,1)上有且只有一個實數(shù)根.

X

此時方程-爐+2依=2x+2在[1,”)上也有一個實數(shù)根.

，ae《,+oo]滿足條件.

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(、反+1,+oo).

【點睛】

本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍，考查學生的運算能力，是一道中檔題.

20、(1)/=8%(2)直線/過定點(2p,0)

【解析】

設4(%,%),3(々,y2).

(1)由題意知嗚,0),A。,%),噂,%).設直線/的方程為―+?teR)，

y1=2px

由＜〃得則夕『+〉

1=*y2_2p)_p2=0,A=424p20,

由根與系數(shù)的關系可得%+%=2pr,%%=-P2＞

22a

所以OA.OB=44-+X%=)p2.

4Pz4

3

由。4-O5=—12，得—7/=—12，解得。=4.

所以拋物線C的方程為＞2=8x.

(2)設直線/的方程為尤=町+m(〃€11,機片0),

y2=2nx.

由「得y2-2p〃y-2/wi=。，由根與系數(shù)的關系可得％%=-2pm,

x=ny+m

2

所以。4?08=%電+X%=+%%=(1P?-2pm=0,解得m=2P.

4p~4p

所以直線/的方程為x=ny+2PseR),

所以。4。8=0時，直線/過定點(2p,0).

/*、