高考數(shù)學(xué)必修一第二單元《函數(shù)》測試卷(含答案解析)

一、選擇題

1.如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上是增函數(shù)，而函數(shù)y=J3在區(qū)間/上是減函數(shù)，那

么稱函數(shù)/(九)在區(qū)間/上為"緩增函數(shù)"，區(qū)間/為了(九)的"緩增區(qū)間".若函數(shù)

/(x)=f—2x+4是區(qū)間/上的"緩增函數(shù)"，則/⑺的“緩增區(qū)間"/為()

A.[l,+oo)B.[2,+00)C,[0,1]D.[1,2]

2.已知函數(shù)〃尤)的定義域是[—2,3],則〃2x—3)的定義域是()

A.[—7,3]B.[—3,7]c.—,3D.—

3.已知函數(shù)y(2x)的定義域為(03,)，則函數(shù)7(1-3x)的定義域是()

2

21117

A.B.C.(0,3)D.(--,1)

33632

4.己知定義域為(0,+8)的函數(shù)7'(X)滿足：/(移)=/(%)+/(y)+l,當X>1時，

/(%)<—1,且=則不等式/。)+/(3-％)>—3的解集為()

A.(0,3)B.(1,2)C.(1,3)D.(0,l)J(2,3)

a.a<b

5.定義=<,例如：min(-l,-2)=-2,min(2,2)=2,若

b.a>b

2

/(%)=/,g(x)=-x-4x+6,則尸(%)=min(/(x),g(x))的最大值為()

A.1B.8C.9D.10

l—2b7,

---------2b+5,0<x<1

6.若函數(shù)/(X)=,X對于任意的實數(shù)石彳馬，都有

x2+（2-b）x,x>l

(王一電)[/(藥)—成立，則實數(shù)人的取值范圍為()

1

A.4B.[4,+co）c.[1,4]D.—,+00

p2

7.高斯函數(shù)屬于初等函數(shù)，以大數(shù)學(xué)家約翰?卡爾?弗里德里希?高斯的名字命名，其圖形在

形狀上像一個倒懸著的鐘，高斯函數(shù)應(yīng)用范圍很廣，在自然科學(xué)、社會科學(xué)、數(shù)學(xué)以及工

程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影，設(shè)xeR,用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則>=[可稱

2X1

為高斯函數(shù)，例如：[―3.1]=—4,[4.8]=4.則函數(shù)/(；0=?統(tǒng)一]的值域為()

A.{0,1}B.{-1,1}c.{-1,0}D.{-1,0,1}

8.已知的/（x）=x（x+l）（x2+以+b）圖象關(guān)于直線x=l對稱，則/（X）的值域為（）

「、「

A.[-4,+co]B.——9IC.——9,4]D.[0,4]

10.已知/(%)=以5+法3+1且/(5)=7,貝5)的值是()

A.-5B.-7C.5D.7

11.設(shè)/(x)、g(x)、h(x)是定義域為R的三個函數(shù)，對于以下兩個結(jié)論：

①若f(x)+g(x)J(x)+h(x)、g(x)+/i(x)均為增函數(shù),則/(x)、g(x)、Mx)中至少有一個增函數(shù)；

②若/(x)+g(x)、/(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是奇函數(shù)，貝|/(劉、9(8、/7(刈均是奇函數(shù)，

下列判斷正確的是()

A.①正確②正確B.①錯誤②錯誤C.①正確②錯誤D.①錯誤②正確

12.已知函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)，/(元)在(0,+8)上是減函數(shù)，且在區(qū)間團,切3<6<。)上

的值域為[-3,4]，則在區(qū)間[-b,-a]±.()

A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-3

二、填空題

13.定義在R上的減函數(shù)/Xx)滿足/(O)=4,且對任意實數(shù)x都有

/(%)+/(2-%)=4,則不等式|/(%)—21<2的解集為.

(3-a)x-5,x<1

14.己知函數(shù)/'(為二,2a,是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是________.

-----,x>l

15.已知函數(shù)/(%)對于任意實數(shù)X滿足條件/(x+2)=-了a，若/⑴=一,則

7(2019)=.

x2-2ax+12,x<l

16.已知函數(shù)/(%)=4，若/⑺的最小值為了⑴，則實數(shù)，的取值范

XH---

圍是.

17.函數(shù)/(x)=^/1^27的定義域是.

18.設(shè)函數(shù)/(x)滿足：對任意的Xi,X2GR都有(X1—X2)[/(X1)—/(X2)]>O,則/(—3)與/(一兀)的

大小關(guān)系是.

19.設(shè)奇函數(shù)“X)的定義域為[—5,5],若當xe[0,5]時，/(%)的圖象如圖，則不等式

VW<0的解集是.

20.若函數(shù)/⑺滿足〃x)=/(l—x),/(l+x)=—/(3—x)當且僅當x?l,3]時,

/(x)=log^x,貝i]/(57)=.

三、解答題

21.已知函數(shù)/(力=2一1

(1)證明函數(shù)/(%)在(0,+。)上是減函數(shù).

(2)求函數(shù)/(x)在xe[2,”)時的值域.

22.已知函數(shù)〃力=三—2%.

(1)當〃2=1時，判斷了(%)在(0,+。)上的單調(diào)性，并用定義法加以證明.

(2)已知二次函數(shù)g(x)滿足g(2x)=4g(x)+4x+6,g⑴=—3.若不等式

g(x)>/(x)恒成立，求加的取值范圍.

23.已知二次函數(shù)/("nf+Zzx+c的圖象經(jīng)過點(1,13),且函數(shù)y=/［x—是偶函

(1)求/(九)的解析式；

(2)已知/<2,g(x)=［7(x)—￡—131國，求函數(shù)g(x)在區(qū)間［，,2］上的最大值和

最小值；

24.已知函數(shù)/(x)=X?+?叱+加-7,meR.

(1)若/(尤)在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；

(2)求/②在區(qū)間［-1,1］上的最小值g(m)；

25.已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當轉(zhuǎn)0時，/(X)=X2+2X.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)指出函數(shù)/(%)在R上的單調(diào)性(不需要證明)；

(3)若對任意實數(shù)加，/(機)+/(%2—?>0恒成立，求實數(shù)/的取值范圍.

26.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為。，如果存在區(qū)間［。力旭。，使得

{y\y=f(x),x&［a,b^=［a,b］,則稱區(qū)間［a,萬|為函數(shù)y=/(%)的一個和諧區(qū)間.

(1)直接寫出函數(shù)/(x)=_?的所有和諧區(qū)間；

3

(2)若區(qū)間［0,間是函數(shù)/(x)='X-2的一個和諧區(qū)間，求實數(shù)加的值；

(3)若函數(shù)/(x)=x2-2x+7〃(相eH)存在和諧區(qū)間，求實數(shù)〃z的取值范圍.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

求得以立=x+±-2,利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)/皿的單調(diào)遞減區(qū)間，并求

XXX

出函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間，取交集可得出/(X)的"緩增區(qū)間

【詳解】

由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，函數(shù)"X)=￡—2x+4的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8).

設(shè)g(x)=/fcl=x+3—2,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2］上為減函數(shù)，在區(qū)間［2,+00)上為

XX

增函數(shù)，下面來證明這一結(jié)論.

任取士、x2G［2,+CO)且石〉%,即X］〉922,

<4r4、(44、

xH

g(玉)一g(z)=i2-x2H----2=(七-12)+------

\X］JIx?)［九1無2J

=/Xi_x\+4(〃rj=(%—%2)(芯——4),

王/玉工2

-J>%2>2,則占一工2>0,再々>4,所以，g(x,)>g(x2),

所以，函數(shù)g(x)在區(qū)間［2,”)上為增函數(shù)，同理可證函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2］上為減函數(shù).

因此，/(%)的“緩增區(qū)間"為I=［1,+?)n(0,2］=［1,2］.

故選：D.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的新定義，求解本題的關(guān)鍵在于理解"緩增區(qū)間”的定義，結(jié)合

二次函數(shù)和雙勾函數(shù)的單調(diào)性求對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

2.C

解析：C

【分析】

由—2W2%—3W3解得結(jié)果即可得解.

【詳解】

因為函數(shù)/(九)的定義域是［—2,3］,所以—2WxW3,

要使/(2x—3)有意義，只需—2<2x—3W3,解得g〈x<3。

所以〃2x—3)的定義域是1,3.

故選：c

【點睛】

方法點睛：復(fù)合函數(shù)定義域的求法：

已知/(X)的定義域為［。,勿，求/(g(x))的定義域：解不等式a<g(x)<匕即可得解；

已知/(g(x))的定義域為［①句，求/(尤)的定義域：求出y=g(x)在［。,句上的值域即可

得解；

已知/(g(x))的定義域為［。,句，求/①(％))的定義域：先用型二求出了。)的定義域，再

用類型一求出/(A(x))的定義域.

3.A

解析：A

【分析】

先求出函數(shù)/(X)的定義域(0,3),再求出函數(shù)/(I-3x)的定義域.

【詳解】

33

函數(shù)y(2x)的定義域為(0,5),則0<x<2,所以0<2x<3

21

所以函數(shù)Ax)的定義域為(。,3),則0<l—3x<3解得一一<x<-

33

21

函數(shù)/(I—3x)的定義域為(―§,?

故選:A

【點睛】

對于抽象函數(shù)定義域的求解方法：

⑴若已知函數(shù)/(x)的定義域為[。，切，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由不等式

aWg(九)WZ?求出；

(2)若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,切，則/(%)的定義域為g(x)在切上的

值域.

4.D

解析：D

【分析】

任設(shè)0<%<》2,則±>1，/(—)<-1,根據(jù)定義可得f(x)在(0,+8)上為遞減函數(shù)，

一再石

令x=y=l得/⑴=—1,令x=8,y=：可得/(8)=-4,可得/(2)=—2,將不等式化

8

為/[x(3-%)]>/(2),利用單調(diào)性和定義域可解得結(jié)果.

【詳解】

任設(shè)0<%<%2，則，>1，/(:)<一1，

/、/、

x

所以/"(%2)=，r~=/(^1)+/—+1</(%1)-1+1=/(%1),

I%J\xlJ

所以/(X)在(0,+8)上為遞減函數(shù),

在/(取)=/(尤)+/(y)+l中，令X=y=l得/(1)=2/(1)+1,得/⑴=—1,

令x=8,y=：得/?(l)=/(8x：)=/(8)+/(：)+l,所以/(8)=—1-1一2=-4,

OOO

又又8)=”2)+又4)+1=/(2)+/(2)+/(2)+1+1=3/(2)+2=y,

所以f(2)=—2,

f(x)+f(3-x)>-3可化為/(x)+/(3-x)+l>-2=/(2),

%>0

所以/[x(3—x)]>/(2),所以,3—x〉0,解得0<%<1或2<x<3.

x(3-x)<2

故選：D

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求出/(2)是解題關(guān)鍵.

5.C

解析：C

【分析】

根據(jù)定義確定F(X)的解析式及單調(diào)性后可得最大值.

【詳解】

由<—x2-4%+6得無2+2%—3<0，—3<x<1>

’2

所以"%)\=《X',2-3<X</1T，

—X-4-x+6,xK-3或ix>1

所以F(x)在(-0),-3)和(0,1)上都是增函數(shù)，在(-3,0)和(1,小功上都是減函數(shù)，

/(-3)=9,F(l)=l,

所以F(X)max=9.

故選：C.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查求函數(shù)的最大值.解題關(guān)鍵是根據(jù)新函數(shù)定義確定新函數(shù)的解析

式，單調(diào)性.結(jié)合單調(diào)性易得最值.

6.C

解析：C

【分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)/(X)為(0,+8)上的增函數(shù)，進而可得出關(guān)于實數(shù)力的

不等式組，由此可解得實數(shù)h的取值范圍.

【詳解】

對任意的正實數(shù)再、龍2，當石片々時，(5-尤2)[/(石)-/(%)]>°，

不妨設(shè)花〉々，則/(石)-/(%2)〉0，即/(%)〉/(毛)，

所以，函數(shù)/(九)為(0,+8)上的增函數(shù)，

l-2b<0

b-2

則[,解得1WZ?W4.

2

因此，實數(shù)b的取值范圍是[1,4].

故選：c.

【點睛】

思路點睛：利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，應(yīng)該各支函數(shù)在各自的區(qū)間內(nèi)利用單調(diào)性

以及函數(shù)在間斷點處端點值的大小關(guān)系得出參數(shù)的不等式組，從而解得參數(shù)的取值范圍.

7.C

解析：C

【分析】

2*1

先求出函數(shù)=；的值域，再根據(jù)題干中要求即可得出〃x）=

的值域.

【詳解】

Y1_1+2X-11_1_1

1+2X~2--1+T--2~2~1+2X

Q1+2Ae(l,4w),

1+2XI'

■----------e(-1,0),

1+2XI'

21+2XI2,27

即函數(shù)的值域為g,；］,

由高斯函數(shù)定義可知：

2%1

函數(shù)/（x）=的值域為{T°}

故選：c.

【點睛】

方法點睛："新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，

然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對

新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說"新題"

不一定是"難題"，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

8.B

解析：B

【分析】

結(jié)合函數(shù)對稱性與解析式可知-1,0是零點，則2,3也是零點，由對應(yīng)關(guān)系求出解析式，利

用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)即可求解

【詳解】

因為函數(shù)/(%)=尤(％+1乂％2+辦+沖有兩個零點—1，0,又因為其圖象關(guān)于直線X=1

對稱，

所以2,3也是函數(shù)/(%)的兩個零點，即/(x)=Mx+l>(x—2)(x—3),所以

/(%)=(尤2_2%)(%2—2%—3),4?=x2-2x=(x-l)2-1>-1,貝U

y=1/_3)=/_3/=,_￡|-|(?>-1)，所以”—(，即〃尤)的值域為

T+"

故選：B

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用，函數(shù)值域的求解，解題關(guān)鍵在

于：

(1)若函數(shù)對稱軸為x=a,則有/(a+x)=/(a—%)；

(2)換元法求解函數(shù)值域必須注意新元取值范圍.

9.C

解析：C

【分析】

由X>1時，/(%)<0,排除B、D；由函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，排除A,即可

求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(耳=:3有意義，滿足1—%2/0,解得x#±l,

J.人

又由當X>1時，/(%)<0,排除B,D；

V

當Ovxvl時，f(%)=---5，

1-X

設(shè)—1,則小)

2

因為l-x；>0,1-%,>0,1+%1%2>0,x2-Xj>0,所以/(々)一/(石)〉0,

即/0)</(%),所以函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以A不符合，C符合.

故選：C.

【點睛】

知式選圖問題的解答方法：

從函數(shù)的定義域，判定函數(shù)圖象的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置；

從函數(shù)的單調(diào)性(有時借助導(dǎo)數(shù))，判斷函數(shù)的圖象的變換趨勢；

從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

從函數(shù)的周期性，判斷函數(shù)的循環(huán)往復(fù)；

從函數(shù)的特殊點(與坐標軸的交點，經(jīng)過的定點，極值點等)，排除不和要求的圖象.

10.A

解析：A

【解析】

/(x)=at5+bx,+l,.,./(-x)=-ar5-bx3+1,

/(x)+/(-x)=2,/(5)+/(-5)=2,/(-5)=2-7=-5,故選A.

11.D

解析：D

【分析】

可舉出反例判斷①錯誤；根據(jù)奇偶性的性質(zhì)可判斷②正確，結(jié)合選項可得答案.

【詳解】

2x%,1

①錯誤，可舉反例：/(%)=

-x+3x>l

2x+3x,,0

r-xx,,0

g(x)=1-x+30<%,l,/z(x)="c，均不是增函數(shù);

2xx>0

2xx>l

但f(x)+g(x)、f(x)+〃(x)、g(x)+丸(x)均為增函數(shù);

故①錯誤；

②F(尤)+g(M,/(%)+//(%),g(x)+/?(x)均是奇函數(shù);

■■■廣(X)+g(x)+/(x)+h(x)-[g(x)+/z(x)]=2/(x)為奇函數(shù);

二/(x)為奇函數(shù)；

同理，gCO，力(X)均是奇函數(shù)；

故②正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查增函數(shù)的定義，一次函數(shù)和分段函數(shù)的單調(diào)性，舉反例說明命題錯誤的方法，以

及奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，知道/■(*)和g(x)均是奇函數(shù)時，F(xiàn)(X)土g(x)也是奇函數(shù).

12.B

解析：B

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，分析"X)在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，即可找出最大值與最小值.

【詳解】

???/(幻是奇函數(shù)，在(0,+8)上是減函數(shù)，

/(x)在(―8,0)上也是減函數(shù)，即在區(qū)間<b<0)上遞減.

又f(x)在區(qū)間［a,句(a<b<0)上的值域為［—3,4］,

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知/(—a)=T"(—b)=3,且在區(qū)間[-瓦-可上單調(diào)遞減，

?f(x)在區(qū)間[-瓦-a]上有最大值3,有最小值-4.

故選：B.

【點睛】

本題考查了奇函數(shù)的單調(diào)性和值域特點，如果性質(zhì)記不熟,可以將大致圖像畫出.本題屬于中

等題.

二、填空題

13.【分析】由絕對值不等式可知利用中x的任意性得再利用函數(shù)的單調(diào)性解

不等式即可【詳解】因為任意實數(shù)都有且令則故不等式解得即又函數(shù)為上的減

函數(shù)解得故不等式的解集為故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查了解抽

解析:(0,2)

【分析】

由絕對值不等式可知0</(%)<4,利用了(九)+7(2—%)=4中x的任意性得

/(2)=0,再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】

因為任意實數(shù)x都有/(%)+/(2-%)=4,且/(0)=4,

令x=2,則/(2)+/(0)=4,故/(2)=0

不等式|/(x)-2|<2n-2</(x)-2<2,解得。</(%)<4,即/(2)<C(x)</(0)

又函數(shù)〃x)為火上的減函數(shù)，解得0<%<2,故不等式|/(x)—2]<2的解集為(0,2)

故答案為：(0,2)

【點睛】

方法點睛：本題考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/[g(x)]>f[h(x)]的模型；

(2)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號脫掉，得到

具體的不等式(組)來求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.

14.【分析】函數(shù)是增函數(shù)可得且即可求解【詳解】因為函數(shù)為上的增函數(shù)所

以當時遞增即當時遞增即且解得，綜上可知實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點

睛】易錯點睛：本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍需滿足分段函數(shù)

解析：(0,2]

【分析】

°

函數(shù)是增函數(shù)可得3—a>0,。>0且(3—a)xl—5<--，即可求解.

【詳解】

因為函數(shù)/(%)為R上的增函數(shù)，

所以當時，“X)遞增，即3—。>0,當龍>1時，/(%)遞增，即a>0,

2

且(3-Q)X1-5V——>解得〃<2,「.0V〃《2,

綜上可知實數(shù)。的取值范圍是(0,2].

故答案為：(0,2],

【點睛】

易錯點睛：本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，需滿足分段函數(shù)每部分分別單

調(diào)，還應(yīng)注意在分段處的函數(shù)值大小問題，這是容易漏掉的地方.

15.3【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)的周期性得出函數(shù)的周期然后利用函數(shù)的周期

和的值即可求解得到答案【詳解】由題意函數(shù)對任意實數(shù)滿足條件則即函數(shù)是

以4為周期的周期函數(shù)又由令則即所以【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)

解析：3

【分析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)的周期性，得出函數(shù)的周期，然后利用函數(shù)的周期和的值，即

可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(%)對任意實數(shù)X滿足條件/(X+2)=-總，

則/(x+4)=/[(%+2)+2]=-1=/(%),

/(x+2)

即函數(shù)/(九)是以4為周期的周期函數(shù)，

又由/。)=一=，令％=—1，則/(-1+2)=-^;，即/(-1)=1=3，

3八一1)/⑴

所以/(2019)=/(-I+4x505)=/(-1)=3.

【點睛】

本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性的判定和函數(shù)值的求解，其中解答中

根據(jù)題設(shè)條件求得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

16.【分析】分別討論和時結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值

解不等式可得所求范圍【詳解】函數(shù)可得時當且僅當時取得最小值由時若時在

遞減可得由于的最小值為所以解得；若時在處取得最小值與題意矛盾故舍去

解析：[3,+co)

【分析】

分別討論x>l和時，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性可得/(%)的最小值，解

不等式可得所求范圍.

【詳解】

X2-2ax+12,x<l

函數(shù)/'(x)=<4，可得x>l時，

XH---1~。,尤>1

、%

4I4/、

/(x)=XH---\-a>2Jx----F〃=4+〃，當且僅當x=2時，/(%)取得最小值4+〃，

xyx

由時，/(%)=(%-?)'+12-?2,

若心1時,/(%)在(―,1］遞減，可得⑴=13—2a,

由于/(%)的最小值為"1),所以13—2?W4+a,解得a23；

若。<1時，/(尤)在*=。處取得最小值與題意矛盾，故舍去；

綜上得實數(shù)a的取值范圍是［3,+<功，

故答案為：［3,+8).

【點睛】

本題主要考查分段函數(shù)的最值求法，考查二次函數(shù)的單調(diào)性和運用，以及不等式的解法，

屬于中檔題.

17.【解析】由得所以所以原函數(shù)定義域為故答案為

解析：(。,0］

【解析】

由1—2,20,得2,<1，所以X40,所以原函數(shù)定義域為(—8,0］，故答案為(—8,。］.

18.f(-3)>f(-n)【解析】由得是上的單調(diào)遞增函數(shù)又

廨衍：/(—3)>/(一兀)

【解析】

由(%—%2)［/(石)一得/(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又

—3>—7T,/(—3)>/(—7T).

19.【分析】由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱便可得出f(x)在-50上的圖象這樣

根據(jù)f(X)在上的圖象便可得出xf(x)<0的解集【詳解】奇函數(shù)圖象關(guān)于原

點對稱作出在的圖象如下：由得或由圖可知或的解集為【點睛

解析：［-5,-2)(2,5］

【分析】

由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱便可得出/(x)在［-5,0］上的圖象，這樣根據(jù)/(x)在

［-5,5］上的圖象便可得出xf(x)<0的解集.

【詳解】

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，作出/（%）在［-5,5］的圖象如下:

/、\x<0%>0

由#（力<。得［⑺>0或儲力<0,

由圖可知一5<x<—2或2<xW5,

.?①（1）<0的解集為［-5,-2）（2,5］,

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性、函數(shù)圖象的綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)奇偶性作出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結(jié)合思想求解，屬于中等題.

20.2【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的關(guān)系可得是以6最小正周期的周期函數(shù)根據(jù)代入

解析式即可【詳解】根據(jù)已知條件進而有于是顯然則是以6最小正周期的周期

函數(shù)當時則故答案為：2【點睛】本題以抽象函數(shù)為載體研究抽象函數(shù)

解析：2

【分析】

根據(jù)函數(shù)滿足的關(guān)系可得/（九）是以6最小正周期的周期函數(shù)，根據(jù)"57）=/⑶代入

解析式即可.

【詳解】

f（x）=/（1-x）

根據(jù)已知條件；,二、，

進而有==+（-%）］=-/［3-（-%）］=-/（3+%）,

于是〃3+力=一/（力,

顯然/（無+6）=/［3+（3+耳］=—/（3+x）=—［―/（無）］=〃x）,

則“X）是以6最小正周期的周期函數(shù)，

???當工?1,3］時”x）=log旨尤，則/（57）=/（6x9+3）=/（3）=log占3=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題以抽象函數(shù)為載體，研究抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，且挖掘暗含條件，巧妙地對復(fù)合函數(shù)

的連續(xù)變形，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)化歸等關(guān)鍵能力與學(xué)科素，屬于中檔題.

三、解答題

21.（1）證明見解析；（2）（-1,0］.

【分析】

（1）在（0,+。）上任意取兩個實數(shù)X1,X2,且無］＜%,然后作差

〃菁）—"％2）=2（%一為）判斷其符號即可.

XxX2

2

（2）根據(jù)（1）知/（%）在［2,+8）上是減函數(shù)，由尤=2取得最大值，再由一＞0確定值

X

域.

【詳解】

（1）在（0,+8）上任意取兩個實數(shù)X1,%，且再＜尤2，

則有八%）7（%）=2-1-2+1=^^，

玉x2xrx2

又因為0Vxi＜%2，所以％2一石＞0，%工2＞0，

所以/（石）一/（W）＞。,即/（石）＞/?）,

所以“X）在（0,+8）上是減函數(shù).

（2）由（1）知/（X）在［2,+X）上是減函數(shù)，

所以當x=2時/（尤）=0,

J\/max

22

又因為一＞0,所以—1＞—1,

xx

所以函數(shù)在（0,+。）上的值域為（—1,0］.

【點睛】

方法點睛：判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：（1）定義法和導(dǎo)數(shù)法，注意證明函數(shù)單調(diào)性只能用

定義法和導(dǎo)數(shù)法；（2）圖象法，由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須

是函數(shù)定義域的子集：二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用"和"或"，"連接，不能用

"U"連接.

22.（1）減函數(shù)，證明見解析；（2）m＜-l.

【分析】

（1）/（x）=5-2x在區(qū)間（0,+8）上為減函數(shù)，運用單調(diào)性的定義證明，注意取值、

作差和變形、定符號、下結(jié)論等步驟；

（2）設(shè)g（尤）=af+bx+c（a*0）,由題意可得關(guān)于a,b,c的方程，解得a,dc的值，可得

x2-2＞—,由參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，可得所求范圍.

x

【詳解】

(1)當根=1時，f(x)=~-2x,函數(shù)/(九)是區(qū)間(0,+8)上的減函數(shù),

證明如下：

設(shè)無1，%是區(qū)間(°，+00)上的任意兩個實數(shù)，且不<々，

則/(石)一/(々)=二一2%一-y+2x2

2_2/、

="F+2(/一石)=(%2~X\)%+石?2

xx

、ily

/0<xi<x2,x2-x1>0,x2+%1>0,xfx1>0,

/(xj-/(%2)>。,/(%)>/(%),

函數(shù)/(九)是區(qū)間(0,+8)上的減函數(shù).

(2)設(shè)g(x)=加+"+。(。。。)，

則g(2x)=4ax2+2bx+c,

4g(力+41+6=4依2+(4/?+4)x+4c+6.

又「g(2x)=4g(x)+4x+6,

4Z?+4=2/7,

\Z?=—2,c=—2,

4c+6=c,

又g(1)=a+b+c=—3,a=lfg(x)=12—2x—2.

/g(%)>/(%),/.X2-2>-^-,/.m<x4-2x2(x^0),

XvX4-2X2=(X2-1)2-1,：.m<-l.

【點睛】

方法點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，解題方法如下：

(1)先判斷函數(shù)/(%)在(0,+。)上的單調(diào)性，再用定義證明，在證明的過程中，注意其

步驟要求；

(2)先用待定系數(shù)法求得函數(shù)g(X)的解析式，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值來處理，求得結(jié)

果.

23.(1)/(X)=X2+X+11；(2)見詳解.

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)過點(1,13),得到6+c=12,根據(jù)函數(shù)奇偶性，得到丁=/(%)關(guān)于

直線彳=一!對稱，求出萬，得出c,即可得出函數(shù)解析式；

2

,,,,/xx-2x,x>0,一人

(2)先由⑴得到g(x)=(,,分別討論l〈f<2,0<r<l,

—x+2x,尤<0

1-A/2<Z<0</<1-0"四種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最值.

【詳解】

(1)因為二次函數(shù)/(%)=*+桁+c的圖象經(jīng)過點(1,13),

所以13=l+b+c,即b+c=12①；

又函數(shù)y=g]是偶函數(shù)，所以y=/1x—關(guān)于y軸對稱，

因此y=/(%)關(guān)于直線x=-g對稱；

b1

所以一5=一5，即匕=1'代入①式可得c=u，

所以/(x)=f+x+n；

(2)由⑴/(x)=X2+X+11,

x2-2x,x>0

所以g(x)=12+%+11-%2-13)-|x|=(x-2)-|x|=<

-x1+2%,x<0

因為g(l)=-L當％<。時，由一%2+2%=-1解得％=1-J5；

因為為?/,2],所以當1孕<2時，g(x)=f—2%在上,2]上單調(diào)遞增；

所以g(Hmax=g(2)=°，g(力遍=g⑺=/一2九

當04/<1時，g(x)=%2-2元在&1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增;

所以g(x)a=g(2)=0,glAjg⑴=一1；

當1一0'〈/<0時，因為x<0時，g(x)=—f+2%在上,0)上單調(diào)遞增，

則T=g(l—0)<g(/)<g(x)<g(O)=O；%?0,2]時,g(x)=一一2%在(0,1)上

單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞增，所以ga)e[g(l),g(2)]=[-l,0],

所以g(x)max=g(2)=°，g(x)1nin=g⑴=T；

當/<1一行時，因為％<0時，g(x)=—f+2》在0,0)上單調(diào)遞增，所以

g(/)<—l=g(l—V^)Kg(x)<g(O)<O；尤e[0,2]時，g(x)=x2-2xe[-l,0],

所以g(X)max=g(2)=。，g(%)1nhi=gI)=-2+2t;

綜上，函數(shù)g(x)在區(qū)間上,2]上的最大值g(x)a=g(2)=0,最小值為

，產(chǎn)+2//<1-后

g(x)=]-1,1-A/2<r<1

°\/min

【點睛】

方法點睛：

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題主要有三種類型：(1)軸定區(qū)間定；(2)軸動區(qū)間定;

(3)軸定區(qū)間動；不論哪種類型，解題時，都是討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當含有參數(shù)

時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論.

2m—6,m<-2

租2+租—7

24.(1)［-4,+co)；(2)g(加)=<-----------,-2<m<2.

-6,m>2

【分析】

(1)計算二次函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)單調(diào)性可得-工加42,計算即可.

2

(2)分類討論—工機<—1,-l<--m<l,分別計算即可.

222

【詳解】

(1)由題可知，函數(shù)/(犬)=犬2+如+加一7(加￡尺)開口向上，

對稱軸的方程為%=——,若使得函數(shù)/(X)在［2,4］上單調(diào)遞增，

2

則滿足-工加<2,解得加NT,即實數(shù)m的取值范圍［T,+8).

2

(2)①當一；機<-1即加22時，

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-1,1］單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=f(x)的最小值為gO)=/(-I)=-6；

②當一1<一3根<1,即一2<7〃<2時，

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間-L-；加單調(diào)遞減，在區(qū)間-3相,1上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)y=/(x)的最小值為g(m)=/1—1■機］=—十+機—7；

③當-g〃z21即加《一2時，

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-1,1］單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=/(X)的最小值為g(m)=g⑴=2m-6,

2m-6,m<-2

rrr+m-7

綜上可得，函數(shù)的最小值為g(7n)=-2<m<2,

4

—6,m>2

【點睛】

結(jié)論點睛：二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題：(1)動軸定區(qū)間；(2)定軸動區(qū)間；(3)動

軸動區(qū)間；對本題屬于動軸動區(qū)間問題需要討論對稱軸與所給區(qū)間位置關(guān)系.

25.(1)f(x)=<.；(2)增函數(shù)；(3)t<一一.

',%2+2%,^>04

【分析】

(1)當x<0時，—x>0,求出/(f),根據(jù)奇函數(shù)得到了(%)；

(2)由解析式可直接寫出；

(3)先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)化不等式為了(m)>了"一加2),利用單調(diào)性脫去了,轉(zhuǎn)化為

/<???+m恒成立，求出加②+a的最小值即可.

【詳解】

(1)當x<0時，—x>0,又/(%)是奇函數(shù)，

/(f)=(r)2-2%=-/(%)

/./(x)=-x2+2x(x<0),

-x2+2x,x<0

f(x)=,

x2+2x,x>0

(2)由/(九)的解析式以及二次函數(shù)、分段函數(shù)的性質(zhì)可知/(X)為R上的增函數(shù)：

(3)由f(m)+-1)>0和/(X)是奇函數(shù)得-?)=

因為/(x)為R上的增函數(shù),

2

?*-m>t-m，

2/1丫1

t<m+m=\Im+—2j—4

1

t<---.

4

【點睛】

方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不

等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一

端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，

如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.

9

26.(1)[-1.0],[0,1],[-1,1]；(2)7〃=4或2；(3)Q<m<~.

【分析】

（1）本題可令％3=%，解得x=0或±1，然后根據(jù)函數(shù)/（尤）=丁的單調(diào)性以及"和諧區(qū)

間"定義即可得出結(jié)果；

3。、4

-x-2,x2一

233

（2）本題首先可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/（%）=<,然后令a%—2=%,解得

3c4

—x+2,x<-

23

4

x=二或4,最后繪出函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像即可得出結(jié)果；

（3）討論。<匕<1或或a<l<Z>,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

再由單調(diào)性求出函數(shù)的值域，根據(jù)題干，函數(shù)的新定義即可求解.

【詳解】

解：（1）函數(shù)/（九）=三是增函數(shù)，定義域為R,

令％3=x，解得X=0或±1,

故函數(shù)”%）=尤3的所有"和諧區(qū)間”為［-1,0］、［0,1］、