2024屆四川省百師聯盟高三沖刺卷數學試題（理）（全國卷）（解析版）（三）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2四川省百師聯盟2024屆高三沖刺卷（三）數學試題（理）（全國卷）一、選擇題1.若為實數（為虛數單位），則實數（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因為為實數，故，得．故選：D．2.設全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數構成的集合，故為全體非負偶數構成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團共有4家超市，2023年4家超市的年利潤最小值和最大值分別為200萬元和240萬元，若4家超市2023年年利潤的平均數與中位數相等，則2023年該超市集團的總利潤為（）A.980萬元 B.920萬元 C.880萬元 D.840萬元〖答案〗C〖解析〗設4家超市2023年的年利潤從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團的總利潤為880萬元．故選:C．5.已知直線與圓交于兩點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．6.如圖，網格紙上繪制了一個幾何體的三視圖，若網格中小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺，且圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積．故選：B．7.已知，則（）A.48 B.192 C.128 D.72〖答案〗B〖解析〗令，則，令，得．故選：B．8.在杭州亞運會射擊項目多向飛碟比賽中，已知某選手第一發(fā)命中的概率為，第一發(fā)和第二發(fā)均命中的概率為．則在他第一發(fā)命中的前提下，第二發(fā)未命中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設該選手“第一發(fā)命中”為事件，“第二發(fā)命中”為事件，則，所以．故選：C．9.“權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的．其具體內容為：設，則，當且僅當時，等號成立．根據權方和不等式，若，當取得最小值時，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當且僅當，即時等號成立，所以．故選：C．10.已知為定義在上的單調函數，且對，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，所以，即，設，易知上單調遞增，所以，即，故，所以．故選：B．11.已知函數在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因為，所以，若在上有且僅有4個零點，則，解得，令，得，因為，所以．當，當，當，只有D符合.故選：D．12.已知函數，若對，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，當時，，所以在上單調遞增．易知為奇函數，且，故在上單調遞增．又，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．設，只需，解得．故選：D．二、填空題13.若實數滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設，則為可行域內的點與點連線的斜率，可知當直線過點位于時，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫出與函數在處有公共切線的一個函數______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為，所以，則，，依題意只需滿足，即可，不妨令，則，則，又，符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數列中，，且滿足，若的前3項構成等差數列，則______．〖答案〗3〖解析〗由，得，兩式相加得，故，兩式相減得，所以數列是以6為周期的周期數列，所以，則．故〖答案〗為：3.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過原點的直線與交于兩點．若，且的面積為2，則的焦距為______．〖答案〗〖解析〗雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線的半焦距為，則由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為矩形，，不妨設點在的右支上，，則，所以，得，所以，得，又，所以的焦距為．故〖答案〗為：．三、解答題（一）必考題17.已知的內角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由，得，由正弦定理得，整理得，即，因為，所以，所以，又，所以．（2）設中點為，因為，所以，在中，，即，當且僅當時等號成立，故的最大值為4．所以，因為，所以，所以面積的最大值為．18.如圖，四棱錐中，底面四邊形為菱形，，側面是邊長為4的正三角形，．（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．（1）證明：取中點，連接，為菱形,，所以是等邊三角形，則．又是等邊三角形，所以因為，所以，故，又，所以，故，因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．（2）解：存在，理由如下：假設存在，設，由（1）知三條直線兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，．設平面的一個法向量為，則令，得，所以，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以．由，解得（舍）或，所以存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，此時．19.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡稱病毒）是一種個體微小，結構簡單，只含一種核酸（DNA或RNA）非細胞型生物．一部分病毒可以感染人類，導致人類出現病毒性疾?。芯咳藛T為了研究某種病毒在常溫下的存活時間與空氣相對濕度（以下簡稱濕度）的關系，對100株該種病毒的存活時間（單位：小時）進行統(tǒng)計，如果存活時間超過8小時，即認為該株病毒“長期存活”，經統(tǒng)計得到如下的列聯表，空氣相對濕度是否存活合計長期存活非長期存活濕度以上153550濕度及以下54550合計2080100（1）在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，判斷該病毒“長期存活”是否與濕度有關；（2）以樣本中的頻率估計概率，設在常溫下，空氣相對濕度在及以下的1000株病毒中恰有株病毒為“長期存活”的概率為，求當取得最大值時，的值．附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據列聯表中數據，計算得：．因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認為該病毒“長期存活”與濕度有關．（2）根據列聯表中數據可知，在濕度及以下的50株病毒中有5株“長期存活”，若以樣本頻率估計概率，則一株病毒“長期存活”的概率為．所以，設，當時，，當時，，所以，故當取得最大值時，．20.已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于兩點，為的中點，且點到拋物線的準線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設拋物線在兩點的切線相交于點，求點的橫坐標．解：（1）由題知直線的斜率不為0，設直線，與拋物線方程聯立，得，，,由拋物線的定義，知點到拋物線準線的距離，所以當時，，所以拋物線的方程為．（2）由題易知拋物線在兩點處的切線與坐標軸不垂直，設在點處的切線方程為，即，與拋物線方程聯立得，，即，解得，所以，即，同理可得拋物線在點處的切線方程為．設，由，得，由（1）知，所以，所以點的橫坐標為．21.已知函數．（1）若只有一個極值點，求實數的取值范圍；（2）若在處取得極值，且，證明：．（1）解：函數的定義域為，當時，在上單調遞增，不存在極值；當時，令，即，得．令，則，所以在上單調遞增，又，所以存在唯一的，使得，當時，，即單調遞減；當時，，即單調遞增；所以僅在處取得極小值，符合題意．故當只有一個極值點時，實數的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，，且，所以故，令，則，所以單調遞減，所以，由，得．設，則，當時，，故在上單調遞減，所以當時，，即，所以①；設，則，當時，單調遞增，又，故當時，，所以②，①②兩式相乘得，故，因為，所以，得證．（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程和直線的普通方程；（2）若射線：與曲線和直線分別交于兩點，求．解：（1）由得，平方相加得，將代入得，即；由，得，將代入得，所以曲線的極坐標方程為，直線的普通方程為．（2）將代入曲線，得，將代入直線，得，所以．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）當時，由得，即或或解得，所以不等式的解集為．（2）設，易得在上單調遞增，故．又，當且僅當時，等號成立．所以只需，解得或，所以實數t的取值范圍為．四川省百師聯盟2024屆高三沖刺卷（三）數學試題（理）（全國卷）一、選擇題1.若為實數（為虛數單位），則實數（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因為為實數，故，得．故選：D．2.設全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數構成的集合，故為全體非負偶數構成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團共有4家超市，2023年4家超市的年利潤最小值和最大值分別為200萬元和240萬元，若4家超市2023年年利潤的平均數與中位數相等，則2023年該超市集團的總利潤為（）A.980萬元 B.920萬元 C.880萬元 D.840萬元〖答案〗C〖解析〗設4家超市2023年的年利潤從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團的總利潤為880萬元．故選:C．5.已知直線與圓交于兩點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．6.如圖，網格紙上繪制了一個幾何體的三視圖，若網格中小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺，且圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積．故選：B．7.已知，則（）A.48 B.192 C.128 D.72〖答案〗B〖解析〗令，則，令，得．故選：B．8.在杭州亞運會射擊項目多向飛碟比賽中，已知某選手第一發(fā)命中的概率為，第一發(fā)和第二發(fā)均命中的概率為．則在他第一發(fā)命中的前提下，第二發(fā)未命中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設該選手“第一發(fā)命中”為事件，“第二發(fā)命中”為事件，則，所以．故選：C．9.“權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的．其具體內容為：設，則，當且僅當時，等號成立．根據權方和不等式，若，當取得最小值時，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當且僅當，即時等號成立，所以．故選：C．10.已知為定義在上的單調函數，且對，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，所以，即，設，易知上單調遞增，所以，即，故，所以．故選：B．11.已知函數在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因為，所以，若在上有且僅有4個零點，則，解得，令，得，因為，所以．當，當，當，只有D符合.故選：D．12.已知函數，若對，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，當時，，所以在上單調遞增．易知為奇函數，且，故在上單調遞增．又，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．設，只需，解得．故選：D．二、填空題13.若實數滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設，則為可行域內的點與點連線的斜率，可知當直線過點位于時，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫出與函數在處有公共切線的一個函數______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為，所以，則，，依題意只需滿足，即可，不妨令，則，則，又，符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數列中，，且滿足，若的前3項構成等差數列，則______．〖答案〗3〖解析〗由，得，兩式相加得，故，兩式相減得，所以數列是以6為周期的周期數列，所以，則．故〖答案〗為：3.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過原點的直線與交于兩點．若，且的面積為2，則的焦距為______．〖答案〗〖解析〗雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線的半焦距為，則由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為矩形，，不妨設點在的右支上，，則，所以，得，所以，得，又，所以的焦距為．故〖答案〗為：．三、解答題（一）必考題17.已知的內角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由，得，由正弦定理得，整理得，即，因為，所以，所以，又，所以．（2）設中點為，因為，所以，在中，，即，當且僅當時等號成立，故的最大值為4．所以，因為，所以，所以面積的最大值為．18.如圖，四棱錐中，底面四邊形為菱形，，側面是邊長為4的正三角形，．（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．（1）證明：取中點，連接，為菱形,，所以是等邊三角形，則．又是等邊三角形，所以因為，所以，故，又，所以，故，因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．（2）解：存在，理由如下：假設存在，設，由（1）知三條直線兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，．設平面的一個法向量為，則令，得，所以，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以．由，解得（舍）或，所以存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，此時．19.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡稱病毒）是一種個體微小，結構簡單，只含一種核酸（DNA或RNA）非細胞型生物．一部分病毒可以感染人類，導致人類出現病毒性疾?。芯咳藛T為了研究某種病毒在常溫下的存活時間與空氣相對濕度（以下簡稱濕度）的關系，對100株該種病毒的存活時間（單位：小時）進行統(tǒng)計，如果存活時間超過8小時，即認為該株病毒“長期存活”，經統(tǒng)計得到如下的列聯表，空氣相對濕度是否存活合計長期存活非長期存活濕度以上153550濕度及以下54550合計2080100（1）在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，判斷該病毒“長期存活”是否與濕度有關；（2）以樣本中的頻率估計概率，設在常溫下，空氣相對濕度在及以下的1000株病毒中恰有株病毒為“長期存活”的概率為，求當取得最大值時，的值．附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據列聯表中數據，計算得：．因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認為該病毒“長期存活”與濕度有關．（2）根據列聯表中數據可知，在濕度及以下的50株病毒中有5株“長期存活”，若以樣本頻率估計概率，則一株病毒“長期存活”的概率為．所以，設，當時，，當時，，所以，故當取得最大值時，．20.已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于兩點，為的中點，且點到拋物線的準線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設拋物線在兩點的切線相交于點，求點的橫坐標．解：（1）由題知直線的斜率不為0，設直線，與拋物線方程聯立，得，，,由拋物線的定義，知點到拋