廣東省梅州市2024年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

廣東省梅州市2024年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2.已知點(diǎn)（a8）在募函數(shù)/■（無）=O-l）x"的圖象上，設(shè)a=力=/（ln乃）,c=/（〃），則（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

2222HZ

3.已知a>b>0,橢圓G的方程二+1=1,雙曲線G的方程為==C和C,的離心率之積為組，則

a~b-a-b-'2

C2的漸近線方程為（）

A.x±V2y=0B.sf2x+y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

4.已知i是虛數(shù)單位，則-「=（）

u，?口

A.-j+1CB.卜:匚C.j+jCD.j-jE

的圖象大致是（）

6.已知COS(2019?+O)=9則sin(5-2a)=()

77

A.-D.

99

2

7.已知尸1，歹2是雙曲線C：0—y2=i（〃>0）的兩個焦點(diǎn)，過點(diǎn)耳且垂直于X軸的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),

a

若|則4”用的內(nèi)切圓的半徑為（）

A.-B.且C.

333D?子

8.若/（九）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/（x+2）=—/（耳,則

A./（X）的值域?yàn)镽B.為周期函數(shù)，且6為其一個周期

C./（尤）的圖像關(guān)于％=2對稱D.函數(shù)/（九）的零點(diǎn)有無窮多個

9.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，四面體。鉆C各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

0(0,0,0),4(0,0,2),唱"0,0；《0,：百,0

假設(shè)螞蟻窩在。點(diǎn)，一只螞蟻從。點(diǎn)出發(fā)，需要在AB,AC±

分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回。點(diǎn).那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）

A.2A/2B.^11-721C.75+721D.273

22

10.已知雙曲線C:0-當(dāng)=1（。>0,6>0）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，片、居為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)G在C的漸近線上，F(xiàn).GLOG,

ab

且后lOGRG^I，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.丫=土叵xB.y=土?x

C.y=+xD.y=+42x

-22

11.在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向

外的最大突出（圖中CD）有15CM,跨接了6個坐位的寬度（A5）,每個座位寬度為43cm,估計彎管的長度，下面的

結(jié)果中最接近真實(shí)值的是（）

A.250cmB.260cmC.295cmD.305cm

\,1,

2+logix,—<x<l

12.已知函數(shù)/(x)=28，若/(a)=/3)(a<b),則質(zhì)的最小值為()

2x,l<x<2

參考數(shù)據(jù)：In2土0.69,1/2合0.48

A.-B.變C.log,百D.—

242

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線——丁=1（?！?）的一條漸近線方程為x+y=o,則。=.

14.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，S“=2（a“+1）,則滿足S“二-126的正整數(shù)”的值為.

15.已知半徑為R的圓周上有一定點(diǎn)4,在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)A連接，則所得弦長介于R與6氏之間

的概率為.

16.已知集合A=｛%+1,（機(jī)一1）2,%2一3%+3｝,若IwA,貝!|/”2020=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1*

17.（12分）已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足a“=aS,,+15eN）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若d=log2%,%且數(shù)列｛g｝前幾項(xiàng)和為I,求T”的取值范圍.

Dn"n+1

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-4131G中，AiA_L平面ABC,NAC5=90。，AC=C5=GC=1,M,N分別是AB,

AC的中點(diǎn).

(1)求證：直線MN,平面AC&；

(2)求點(diǎn)G到平面BiMC的距離.

19.(12分)已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S,,,胡=86+1,公差d>0,5、S-九成等比數(shù)列，數(shù)列也｝

滿足log2b“=(a“-l)10g2Vx.

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知%求數(shù)列｛%+2｝的前〃項(xiàng)和7；.

anan+l

20.(12分)某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行

一次NCP普查，為此需要抽驗(yàn)1000人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案①：將每個人的血分別化驗(yàn)，這時需要驗(yàn)1000次.方案②：按上個人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組上個人抽來的

血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這左個人的血只需檢驗(yàn)一次(這時認(rèn)為每

個人的血化驗(yàn)1次)；否則，若呈陽性，則需對這左個人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這樣，該組上個人的血總共需要

.........k,

化驗(yàn)上+1次.假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗(yàn)呈陽性的概率為P,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.

(1)設(shè)方案②中，某組上個人的每個人的血化驗(yàn)次數(shù)為X,求X的分布列；

(2)設(shè)。=0］，試比較方案②中，分別取2,3,4時，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比

方案①，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))

21.(12分)如圖在四邊形ABC。中，BA=5BC=2,石為AC中點(diǎn)，BE二叵.

2

cD

7

(1)求AC；

jr

(2)若。=§,求AACD面積的最大值.

221

22.(10分)已知橢圓。：1+a=1(。〉6〉0)的離心率為5，尸是橢圓C的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)用(0,2),直線4尸的斜

率為1.

(1)求橢圓C的方程；

(1)若過點(diǎn)"的直線/與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N,是否存在直線/使得|/皿|=2|〃'|?若存

在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得/'(九)及/〃(x),由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷/(%)在R上單調(diào)遞增，即可排除AC選項(xiàng).

【詳解】

無3

函數(shù)/(%)=—+sinx

易知為奇函數(shù)，故排除D.

丫2JT

又廣⑺=t+cosx,易知當(dāng)xe0,-時，/(%)>0；

又當(dāng)時，/"(%)=--sin%>1-sin%>0,

故/'(%)在(夕+8上單調(diào)遞增,所以產(chǎn)(力>廣

綜上，xe[0,T8)時，/'(x)>0,即/(x)單調(diào)遞增.

又/(九)為奇函數(shù)，所以/(%)在R上單調(diào)遞增，故排除A,C.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.

2、B

【解析】

先利用暴函數(shù)的定義求出機(jī)的值，得到幕函數(shù)解析式為/(x)=x3,在R上單調(diào)遞增，再利用幕函數(shù)/(%)的單調(diào)性,

即可得到用兒c的大小關(guān)系.

【詳解】

由塞函數(shù)的定義可知，m-l=l9.\m=2,

?,?點(diǎn)(2,8)在塞函數(shù)/(x)=B上，

.?.2〃=8,.??〃=3,

工幕函數(shù)解析式為/(a)=x3,在R上單調(diào)遞增，

m2

■:一=一,l<lnn<3f〃=3,

n3

m

:.一<ln7i<n,

n

:?aVb〈c,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了幕函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.

3、A

【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合C]和C,的離心率之積為走，即可得a*的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線的離心率

2

方程.

【詳解】

2222

橢圓G的方程++斗=1，雙曲線G的方程為?！?=1，

abab

則橢圓離心率G='"2一"，雙曲線的離心率e,=

aa

由G和。2的離心率之積為—，

一2

gn7?2-b2yja2+b26

叩/電二---------x--------------二—，

aa2

解得2=±也,

a2

所以漸近線方程為y=±?2x，

2

化簡可得％±岳=0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡得出結(jié)果

【詳解】

2*1：：_-：(/*Z)ZU-Zi)__

-+(/+.=("二)=__一

一r二；

—1I'?r?、，、；I

故選二

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

5、A

【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)尤＞1時，/(x)=ln(x-—),

X-

由y=-',丁=%在(L+8)遞增，

x

所以/=X—L在(1,+8)遞增

X

又y=ln%是增函數(shù)，

所以/(x)=ln(x-工)在。，+8)遞增，故排除B、C

X

當(dāng)尤<1時/(x)=ew,若無40,1),則G?0,?)

所以/=COSK在(0,1)遞減，而>=1是增函數(shù)

所以在(0,1)遞減，所以A正確，D錯誤

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，

減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.

6^C

【解析】

7T

利用誘導(dǎo)公式得cos(2019?+a)=-cosa,sin(-—2cr)=cos2?,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【詳解】

由cos(2019乃+a)=~~~可得cos(%+a)=cosa=~~，

sin(--2a)=cos2a=2cos2tz-l=2x—-1=——.

299

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時

注意三角函數(shù)的符號.

7、B

【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)瓦的坐標(biāo)，由A3的弦長可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形A3尸2

的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.

【詳解】

2b2f—

由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)與(-c,0)，由題意可得AB=—=42,

a

由b=1,可得a=V2，

所以雙曲線的方程為：—-y2=l

2-

所以耳(―6,0),耳(右,0),

所以S.苞山鳥

三角形A3尸2的周長為C=AB+9=AB+(2a+肺)+(2a+)=4a+2AB=4行+2夜=6夜

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積S=--CT=--6V2T=3A/2F,

22

所以3^2r=\/6，

解得廠=1,

3

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角

形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.

8、D

【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.

【詳解】

/(九)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(T)=一/(幻，/(。)=0,

又/(x+2)=—/(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

即是以4為周期的函數(shù)，于(4k)=/(0)=0(左eZ),

所以函數(shù)/(%)的零點(diǎn)有無窮多個；

因?yàn)镴(x+2)=—/(%),/[(%+1)+1]=/(-%),令/=l+x,則/?+1)=/(1—0，

即于(x+l)=/(l-x),所以/(尤)的圖象關(guān)于x=1對稱，

由題意無法求出/(%)的值域，

所以本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.

9、C

【解析】

將四面體Q鉆C沿著。4劈開，展開后最短路徑就是△AOO'的邊OO',在中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體Q43C沿著。4劈開，展開后如下圖所示：

A

最短路徑就是“0。的邊OO'.

易求得Z.OAB=ZO'AC=30°,

由AO=2,08=26知=

33

AC=-V3,BC=y/OB2+OC2=-76

33

AB?+AC?-BC?

=>cosABAC=

2AB-AC

16168

X1ZI3_2

=044=4

2x—產(chǎn)x-

V3V3

由余弦定理知00'2=AO2+AO'2-2AO-AO'-cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosZOAO'=cos(60°+ABAC)=3~^

；?OO'1=5+同nOO'=75+721

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

10、D

【解析】

根據(jù)gGJ_OG,先確定出Gg,G。的長度，然后利用雙曲線定義將Jd|OG|=|GKI轉(zhuǎn)化為“,瓦c的關(guān)系式，化簡

b一

后可得到一的值，即可求漸近線方程.

a

【詳解】

如圖所示：

又因?yàn)椴紎OG|=|G4|,所以#|OG|=|G冗所以#|OG卜,八+8耳，

所以6,G『=,尸2+8司2,所以6a2=加+402+也*2。*85（180°—/6鳥片），

所以6a②=62+4c2+26x2cx1—2],所以尸=2/,2=應(yīng)，

所以漸近線方程為＞=±缶.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)雙曲線中的長度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.

11、B

【解析】

A8為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧A5所在圓的半徑為小從而可得弧所對的圓心角，再利

用弧長公式即可求解.

【詳解】

如圖所示，A3為彎管，A3為6個座位的寬度,

D

0

貝(IAB=6x43=258cm

CD—15cm

設(shè)弧AB所在圓的半徑為廣，則

r2=(r-CD)2+AC2

=(r-15)2+1292

解得r?562cm

129

sinNA。。=——土0.23

562

可以近似地認(rèn)為sinxQX,即NAODaO.23

于是ZAOBx0.46，A8長~562x0.46?258.5

所以260cm是最接近的，其中選項(xiàng)A的長度比A3還小，不可能，

7T

因此只能選B,260或者由cosxx0.97,sin2x?0.45=>2x<—

6

兀

所以弧長<562x—土294.

6

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

首先“X)的單調(diào)性，由此判斷出々<“<1,由/3=/3)求得。,。的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得1。82"的最小值，由

l<b<2

此求得。匕的最小值.

【詳解】

2+log,x,—<x<1「］、

由于函數(shù)/(x)=28，所以/(%)在上遞減，在［1,2］上遞增.由于/(a)=/(b)(a<b),

oJ

2r,l<x<2

/，］=2+現(xiàn)，=5,八2)=22=4,令2+1陶x=4,解得工」，所以片”\且2+log〃=2\化簡

⑻〃242

得log2〃=2-2",log2ab=log2a+log2b=2-^+log2b,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2-2,，

g'(x)=—2工ln2+^—=匕匚”送.構(gòu)造函數(shù)Mx)=1—x.2*」n22(1<xW2),

h(x)=-(1+%ln2)-2X-In22<0,所以/z(九)在區(qū)間(1,2］上遞減，m/?(l)=l-21n22?1-2x0.48=0.04>0,

/i(2)=l-81n22?1-8x0.48=-2.84<0,所以存在飛e(l,2),使我［)=0.所以g(x)在(1,%)上大于零,在

(九o,2)上小于零.所以g(x)在區(qū)間(1,%)上遞增，在區(qū)間(%,2)上遞減.而g(l)=0,g⑵=2—22+log22=—1,所

以g(x)在區(qū)間(1,2］上的最小值為—1,也即log?"的最小值為-1,所以"的最小值為2T=

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意可求得正實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】

雙曲線1一/=1(。〉0)的漸近線方程為2±3；=0,

由于該雙曲線的一條漸近線方程為x+y=o,.?.,=1,解得4=1.

a

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、6

【解析】

已知S“=2(4+1),利用a.=S,—S,i=2a“—2a“T，求出｛4｝通項(xiàng)，然后即可求解

【詳解】

?/Sn=2(%+1),?,.當(dāng)〃=1時，H=2(%+1),二％=-2；當(dāng)〃22時，4=S“—S,i=2an-2an_t,：.an=2a?_1,

故數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，.?.4=-2".又S“=2(%+1)=-126,.?.%=-64,2"=—64,

?*.n=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查通項(xiàng)求解問題，屬于基礎(chǔ)題

1

15、-

3

【解析】

在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,設(shè)圓半徑為R,

其中滿足條件AB弦長介于R與島之間的弧長為1?2血，

則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P=；2%;；

2TIR3

故答案為：—.

16、1

【解析】

leA分別代入集合中的元素，求出值，再結(jié)合集合中元素的互異性進(jìn)行取舍可解.

【詳解】

依題意，分別令〃z+l=l,(m—1)"=1,nr—3m+3=l>

由集合的互異性，解得機(jī)=1,則加2。2。=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.確定集合中元素，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)4=2"⑵Tne川

【解析】

(1)由q=：Si+l,可求見,然后由”..2時，-可得?！?2a“_i，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求

1111

(2)由d=log,a“=log22"=〃，而q,=力—=二~-=-------利用裂項(xiàng)相消法可求

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時，q=g，+1,解得q=2,

當(dāng)九.2時'*=2+1…①

an=；S,,+1…②

②—①得an-,即=2?！癬1,

二數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹!],

an=2"；

⑵bn=log2an=log2T=n

1_1_1_1

bnbn+ln{n+1)nn+1

11

.+-------

"22334nn+1

.,分5).

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推公式4=%-與-1(九.2)在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)

與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.

18、(1)證明見解析.(2)走

3

【解析】

(1)連接AG,5G,結(jié)合中位線定理可證MN〃BG,再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證

BCi±BiC,即可求證直線MN_L平面ACBu

(2)作交于點(diǎn)尸，通過等體積法，設(shè)G到平面51cM的距離為人則有工=結(jié)合

幾何關(guān)系即可求解

【詳解】

(1)證明：連接AG,BCi,則NGACi且N為AG的中點(diǎn)；

是A5的中點(diǎn).

所以：MN/ZBCu

；AiA_L平面ABC,ACu平面ABC,

：.AiA±AC,

在三棱柱ABC-A151cl中，AA1//CC,

.\AC±CCi,

VZACB=90°,BCQCCi=C,3Cu平面BBCCCCiC^pffiBB1C1C,

.\AC_L平面BBiCiC,BCu平面BBiCiC,

：.AC±BCu又MN〃BC\

：.AC±MN,

,：CB=CiC=l,

二四邊形BBiGC正方形，

：.BCi±BiC,：.MN±BiC,

而ACn3iC=C,且ACu平面AC31,C31U平面AC31,

，MN_L平面AC3i,

(2)作MPLBC交于點(diǎn)P,設(shè)G到平面&CM的距離為Zz,

因?yàn)镸P=—2,S4Bcj=—2,

所以RCCS9MP-

rz'1V1-Dj℃[3D|B℃C]C129

因?yàn)镃M=91,BiC=O；

2

BiM=場所以

2

MC-h=^SBiCiC-MP,解得心日

所以點(diǎn)a，到平面與“c的距離為B

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查面面垂直的證明以及點(diǎn)到平面的距離，一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，而點(diǎn)到面的距

離常用體積轉(zhuǎn)化來求，屬于中檔題

1/1A]—xn

19、(1)%=2n-l，b“=xM(x>0)；(2)7；,=-1---.

212n+lJ1-x

【解析】

⑴根據(jù)｛4｝是等差數(shù)列，第=8q+1,5、梟、小成等比數(shù)列，列兩個方程即可求出q,d,從而求得a“，代

入化簡即可求得/；(2)化簡c“后求和為裂項(xiàng)相消求和，｛6+2｝分組求和即可，注意討論公比是否為1.

【詳解】

（1）由題意知H=%,S4=4^+6d,He=16q+120d,

由S；=S「S|6得

（4%+6J）2=%（16%+120（i）,

解得d=2q>0.

又a；=(4+力=8%+1,得9a；=8q+l,

解得q=1或q=—〈(舍).

:.d=2,an=2zz-l.

n

又log2bn=(2n-2)log24x=log2x^(x>0),

二么=—(x>0).

°=1=1J,1______

°，"a“a”+i(2?-l)(2n+l)212〃一12H+1J

①當(dāng)x=l時，

7；=(q+c2++c?)+(Z?j++2)

/1

-1-+n.

22n+\

②當(dāng)xwl時,

］、l-xn

+------

2〃+1,1-X

【點(diǎn)睛】

此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，裂項(xiàng)相消求和等知識點(diǎn)，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于一般性題目.

20、(1)分布列見解析；(2)406.

【解析】

(1)計算左個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為呈陽性反應(yīng)的概率為1-/,得到分布列.

(2)計算E(X)=!-■+：!,代入數(shù)據(jù)計算比較大小得到答案.

k

【詳解】

(1)設(shè)每個人的血呈陰性反應(yīng)的概率為4,則q=l-P.

所以k個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為qk,呈陽性反應(yīng)的概率為l-qk.

依題意可知X=,，1+-,所以X的分布列為：

kk

1

Xi+-

kk

pqkI"

(2)方案②中.

結(jié)合(1)知每個人的平均化驗(yàn)次數(shù)為：E(X)=；-d+[l+!\(l—/+1

k\kJ'7k

1

左=2時，E(X)=——0.992+1=0.69,此時1000人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為690次，

11

左=3時，E(X)=--0.93+1^0.6043,此時1000人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為604次，

3

左=4時，E(X)=--0.94+1=0.5939,此時1000人需要化驗(yàn)的次數(shù)總為594次，

4

即左=2時化驗(yàn)次數(shù)最多，左=3時次數(shù)居中，左=4時化驗(yàn)次數(shù)最少，而采用方案①則需化驗(yàn)1000次,

故在這三種分組情況下，相比方案①，

當(dāng)k=4時化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少1000-594=406次.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

21、(1)1；(2)&

4

【解析】

(1)AE=x,在ASCE和AABE中分別運(yùn)用余弦定理可表示出COS/5C4,運(yùn)用算兩次的思想即可求得x,進(jìn)而求

出AC；

(2)在AADC中，根據(jù)余弦定理和基本不等式，可求得CD-AOW1,再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性,

求出AABC的面積的最大值.

【詳解】

(1)由題設(shè)=則AC=2x