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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷
注意事項
1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.
2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.
3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.
4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他
答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.
5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.關于函數(shù)了(%)=4511113%+5]+4<:0513%+5],有下述三個結論:
7T
①函數(shù)/■(*)的一個周期為一;
2
②函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增;
24
③函數(shù)f(x)的值域為[4,4魚].
其中所有正確結論的編號是()
A.①②B.②C.②③D.③
2.數(shù)列{為}滿足:%=:,4-4+I=2%4+I,則數(shù)列{。,4+1}前10項的和為
1020918
A.—B.—C.—D.—
21211919
3.已知拋物線y2=4x的焦點為尸,P為拋物線上一點,A(L1),當周長最小時,PF所在直線的斜率為()
A.B.----C.一D.-
-3443
4.已知命題p:x<2m+1,4:%2—5%+6<0,且。是q的必要不充分條件,則實數(shù)的取值范圍為()
11
A.m>—B.m>—C.m>\D.m>l
22
x-2<0
5.設不等式組一x+y>Q,表示的平面區(qū)域為。,在區(qū)域。內(nèi)任取一點P(x,y),則P點的坐標滿足不等式
x-y>0
x2+y2<2的概率為
84
1
2+71+71
6.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要
求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意
是放牧人放牧時粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),
三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、
馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()
255010025255010020040050100200
A.B.C.D.
亍〒33,斤,斤
7.如圖所示的程序框圖,若輸入。=4,b=3,則輸出的結果是()
A.6B.7C.5D.8
8.若2皿>2">1,貝!)()
1、1
A.—>-B.
mn
logjAlogn
C.InGn->0D1
22
9.空氣質量指數(shù)AQ/是反映空氣狀況的指數(shù),AQ/指數(shù)值趨小,表明空氣質量越好,下圖是某市10月1日-20日AQ/
指數(shù)變化趨勢,下列敘述錯誤的是()
123J567s91011121314151617IS1920
A.這20天中AQ/指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B.這2°天中的中度污染及以上指數(shù)>15。)的天數(shù)占了
C.該市10月的前半個月的空氣質量越來越好
D.總體來說,該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好
^>0
10.若實數(shù)兒丁滿足的約束條件x+y-3K0,則z=2x+y的取值范圍是()
2x-y>Q
A.[4,+00)B.[0,6]C.[0,4]D.[6,+00)
11.如圖,AABC內(nèi)接于圓。,A5是圓。的直徑,DC=BE,DC//BE,DC工CB,DCLCA,AB=2EB=2,則
三棱錐E-ABC體積的最大值為()
+i
已知等比數(shù)列{4}的前〃項和為S“,且滿足2Sn=2"+2,則彳的值是(
A.4C.-2
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.設數(shù)列{4}的前"項和為%且23=3&+1),若%°=也,貝!U=.
14.函數(shù)/(x)=Gsin(0%+。)]?!?,^<。<萬)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的最小正周期為.
15.在三棱錐S—ABC中,SA,SB,SC兩兩垂直且&L=S5=SC=2,點〃為S—ABC的外接球上任意一點,
則MA-MB的最大值為.
16.若cos(----6Z)=—,貝!|sin2tz=.
45
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)如圖,四棱錐ABCD中,底面ABC。是菱形,對角線ACM交于點。,河為棱PD的中點,
MA=MC.求證:
(1)P5//平面AMC;
(2)平面平面AMC.
18.(12分)在AABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,^sin(A+B)=4sin2.
(1)求cosC;
(2)若b=7,。是BC邊上的點,且AAC。的面積為6若,求sin/AO反
(分)在平面直角坐標系——中,以-為極點,-軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線-:
19.12MBMM**
--,直線的參數(shù)方程為(?為參數(shù)).直線?與曲線交于■,兩點.
I/U=~1X
、j
(I)寫出曲線二的直角坐標方程和直線二的普通方程(不要求具體過程);
(設-,若,-一成等比數(shù)列,求-的值.
ID—\JULJJU
20.(12分)語音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司
的“小愛同學,,智能音箱和阿里巴巴的,,天貓精靈,,智能音箱,它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了
了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精
靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:
“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計
男4560105
女554095
合計100100200
(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”,有12000人購買了“天貓精靈”,試估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性
比購買“天貓精靈”的女性多多少人?
(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關?
n(ad-bc,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2
P(K>k)0.100.050.0250.010.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
2
21.(12分)已知函數(shù)/(%)=ln(2x+〃)曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線在y軸上的截距為ln3—耳.
(1)求
(2)討論函數(shù)g(x)=/(%)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-------(x>0)的單調(diào)性;
2%+1
25-2n+11
(3)設q=三,4+i=/(4),求證:———<----2<0(n>2).
22.(10分)在AABC中,a、b、c分別是角人、B、C的對邊,S.(.a+b+c)(a+b-c)=3ab.
(1)求角C的值;
(2)若c=2,且AABC為銳角三角形,求4+力的取值范圍.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.C
【解析】
TT37r\7iYin二1二71,再利用單調(diào)性
①用周期函數(shù)的定義驗證.②當“e時,—x+—€——,-----/(x)=40sinx+
231224212
171
判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)++的值域等價于函數(shù)
23
gx+4cos;x的值域,而g(x+1)=g(x),當xe[0,i]時,g(x)=40sin1n
g(x)=4sin-x-\——再求值域.
223
【詳解】
因為小+f冗=4sin卜+1+4cos卜1+葛7乃=4cos(gx+2j+4sin(1gx+\兀)H/(%),故①錯誤;
2212212
t萬37rl.1八n7717兀171171
當工£一,時,一X-\G=,所以f(x)=4sm[5X+§J—4cos[了丫+至=4后sin|—x+—
2423122423212
jTT萬TTI11AT萬TT7TC3萬乃
了9所以/⑴在萬彳上單調(diào)遞增‘故②正確;
32424
函數(shù)F(x)=4sin[gx+g]+4cos]1x+g兀的值域等價于函數(shù)g(x)=4singx+4cos;1
x的值域,易知
232
,g(x)=4后sin(;71
g(x+?)=g(x),故當X£[0,?]時—XH——G[4,40],故③正確.
3
故選:C.
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的性質,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.
2.A
【解析】
11c1
分析:通過對an-an+i=2anan+i變形可知--------=2,進而可知4=-----,利用裂項相消法求和即可.
aa
n+ln2〃一1
1>2,
詳解:T%—《2+1=2?!āS?
4+1
1
XV—=5
。3
1」+2(n-3)=2n-1,1
即4
a32n—1
11
——(冊~4+1)=—?
”"+i2、"*212/7-12H+1
二數(shù)列{44+1}前10項的和為+++白—==2'
乙、DJJJLy乙工)乙、乙工)乙JL
故選A.
點睛:裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據(jù)式子
的結構特點,常見的裂項技巧:(1)一=7(r|;(2)/—7==;(《n+k-品);(3)
n[n+k)k(nn+kJy/n+k+y/nkv'
]_U_j______]_y]=,3-(〃+1);附+2);此外’需注意裂項
(2n-l)(2n+l)~2{2n-l~2n+lJ;⑷“(〃+1)(〃+2廠2
之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導致計算結果錯誤.
3.A
【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上,計算點P的坐標,計算斜率,即可.
【詳解】
結合題意,繪制圖像
要計算三角形PAF周長最小值,即計算PA+PF最小值,結合拋物線性質可知,PF=PN,所以
(1A
PF+PA=PA+PN>AN>AG,故當點P運動到M點處,三角形周長最小,故此時M的坐標為一,1,所以斜
(4)
1-0_4
率為「=—3,故選A.
--1
4
【點睛】
本道題考查了拋物線的基本性質,難度中等.
4.D
【解析】
求出命題q不等式的解為2<%<3,2是q的必要不充分條件,得q是夕的子集,建立不等式求解.
【詳解】
解:命題〃:x<2根+1,“:x?-5x+6<0,即:2<x<3,
。是4的必要不充分條件,
.,.(2,3)=(T?,2/77+1,),
:.2m+l>3,解得帆21.實數(shù)心的取值范圍為"21.
故選:D.
【點睛】
本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:
⑴解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據(jù)集合之間關系列出關于參
數(shù)的不等式(組)求解.
⑵求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.
5.A
【解析】
畫出不等式組表示的區(qū)域。,求出其面積,再得到Y+y2<2在區(qū)域。內(nèi)的面積,根據(jù)幾何概型的公式,得到答案.
【詳解】
x-2<0
畫出x+y20所表示的區(qū)域Q,易知4(2,2),3(2,—2),
x-y>0
所以AO5的面積為4,
1JT
滿足不等式爐+y2V2的點,在區(qū)域。內(nèi)是一個以原點為圓心,、笈為半徑的z圓面,其面積為不,
71
由幾何概型的公式可得其概率為p=2=X,
:3
故選A項.
【點睛】
本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡單題.
6.D
【解析】
設羊戶賠糧小升,馬戶賠糧a2升,牛戶賠糧a3升,易知ax,a2,生成等比數(shù)歹1|,4=2,囚+g+%=50,結合等比數(shù)列的性質
可求出答案.
【詳解】
設羊戶賠糧為升,馬戶賠糧的升,牛戶賠糧。3升,則,。2,生成等比數(shù)列,且公比4=2,+。2+%=50,則
“2\ucd5050100c2200
q(1+q+q)=50,故@=1+2+2?=亍,a-=2al=,4=2q=-^―.
故選:D.
【點睛】
本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.
7.B
【解析】
列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結果.
【詳解】
z=4,S=3,S〉//不成立,S=3?=9,i=4+1=5;
S>a2b2不成立,S=92=81.Z=5+1=6;
不成立,S=8F=6561,Z=6+1=7;
5>標尸成立,輸出i的值為7.
故選:B.
【點睛】
本題考查利用程序框圖計算輸出結果,一般要將算法的每一步列舉出來,考查計算能力,屬于基礎題.
8.B
【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結合特殊值進行辨析.
【詳解】
若2,">2">1=2°,:.m>n>0,...""一">/=1,故3正確;
而當時,檢驗可得,A、C、。都不正確,
24
故選:B.
【點睛】
此題考查根據(jù)指數(shù)幕的大小關系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)幕或對數(shù)的大小關系,需要熟練掌握指數(shù)
函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質,結合特值法得出選項.
9.C
【解析】
結合題意,根據(jù)題目中的20天的AQ/指數(shù)值,判斷選項中的命題是否正確.
【詳解】
對于A,由圖可知20天的AQ/指數(shù)值中有10個低于100,10個高于100,其中第10個接近100,第11個高于100,
所以中位數(shù)略高于100,故A正確.
對于3,由圖可知20天的AQ/指數(shù)值中高于150的天數(shù)為5,即占總天數(shù)的,,故B正確.
4
對于C,由圖可知該市10月的前4天的空氣質量越來越好,從第5天到第15天空氣質量越來越差,故C錯誤.
對于。,由圖可知該市10月上旬大部分指數(shù)在100以下,中旬大部分指數(shù)在100以上,所以該市10月上旬的空氣質
量比中旬的空氣質量好,故D正確.
故選:C
【點睛】
本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關鍵,并能運用所學知識對命題進行判斷,本題較為基礎.
10.B
【解析】
根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.
【詳解】
y>0
實數(shù)羽y滿足的約束條件x+y-3<0,畫出可行域如下圖所示:
2x-y>Q
將線性目標函數(shù)z=2x+y化為y=-2x+z,
則將y=-2x平移,平移后結合圖像可知,當經(jīng)過原點0(0,0)時截距最小,z1nm=0;
當經(jīng)過3(3,0)時,截距最大值,zmax=2x3+0=6,
所以線性目標函數(shù)z=2x+y的取值范圍為[0,6],
故選:B.
【點睛】
本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用,線性目標函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎題.
11.B
【解析】
根據(jù)已知證明跖1平面ABC,只要設AC=x,則據(jù)C=,4—£(0<%<2>從而可得體積
2
VE_ABC=^x-A/4-X=1次(4*),利用基本不等式可得最大值.
【詳解】
因為。C=BE,DCIIBE,所以四邊形DCBE為平行四邊形.又因為DC±CB,DC±CA,CBr\CA=C,CB平面
ABC,C4u平面ABC,
所以。平面ABC,所以BE1平面ABC在直角三角形ABE中,AB=2EB=2,
設AC=x,則5c=,4-J(0<x<2),
所以—=口。叱=%,4—爐,所
以外一旬,=:弁,4_%2=:Jx2(4_x2j又因為彳2(4_/)《[犬+4—廠],當且僅當
66I2J
..<24-r2Y
X2(4-X2)<xX++"",即X=&時等號成立,
I2J
所以"…)修!
故選:B.
【點睛】
本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設出底面三角形一邊長為X,
用建立體積V與邊長x的函數(shù)關系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質得最值.
12.C
【解析】
利用S“先求出an,然后計算出結果.
【詳解】
4+2
根據(jù)題意,當〃=1時,2S]=2%=4+4,
故當〃22時,q=S〃—S,I=2"T,
數(shù)列{4}是等比數(shù)列,
4+2
則q=1,故亍=1,
解得2=—2,
故選C.
【點睛】
本題主要考查了等比數(shù)列前〃項和S”的表達形式,只要求出數(shù)列中的項即可得到結果,較為基礎.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.9
【解析】
用〃—1換25“=3(%,+1)中的”,得2s,一=34T+3(〃>2),作差可得an=3%(〃?2),從而數(shù)列{??}是等比數(shù)
列,再由左=9=d即可得到答案.
【詳解】
由2s0=34+3,得2s“_i=3a,i+3(〃22),兩式相減,得2?!?34-34_],
即4=3%("?2);又2s1=3《+3,解得q=—3,所以數(shù)列{4}為首項為-3、
公比為3的等比數(shù)列,所以左=%=/=9.
g
故答案為:9.
【點睛】
本題考查已知4與S“的關系求數(shù)列通項的問題,要注意”的范圍,考查學生運算求解能力,是一道中檔題.
14.8
【解析】
根據(jù)圖象利用/(0)=母,先求出9的值,結合/(1)=0求出口,然后利用周期公式進行求解即可.
【詳解】
解:由/(0)=岔sin0=",得sin0=^^,
713〃
—<0<兀,(P—-----9
24
貝!I/(%)=Gsin(s+當,
4
f(1)=A/3sin+=0,
=7i,即刃二工,
44
T=2萬=2萬
則函數(shù)的最小正周期二丁丁,
4
故答案為:8
【點睛】
本題主要考查三角函數(shù)周期的求解,結合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵.
15.2A/3+2
【解析】
先根據(jù)三棱錐的幾何性質,求出外接球的半徑,結合向量的運算,將問題轉化為求球體表面一點到?&LC外心距離最
大的問題,即可求得結果.
【詳解】
因為&4,S3,SC兩兩垂直且&L=陽=SC=2,
故三棱錐S-ABC的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.
且外接球的球心為正方體的體對角線的中點。,如下圖所示:
容易知外接球半徑為3.
設線段A5的中點為。1,
故可得MA-MB=(MOX+Q+。悟)
=(MO}+qA)?(M0]-O]A)
222
=|MO1|-|O1A|=|MO1|-2,
故當|取得最大值時,MA.MB取得最大值.
而當A,5在同一個大圓上,且MO]LAB,
點"與線段AB在球心的異側時,|“。11取得最大值,如圖所示:
此時,〃0=追,00]=(f+£—1=:
故答案為:26+2.
【點睛】
本題考查球體的幾何性質,幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算,屬綜合性困難題.
16.—
25
【解析】
兀.
714,_..—ixzct^,11+cost2。)1+sin2a16—人,
因為COS~~a7,由二倍角公式得到2尸、、2=---=—,故得到
5cos(--?)=--------煮------225
42
sin2tz=—.
25
7
故答案為sin2a=—.
25
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)連結根據(jù)中位線的性質證明PB//OM即可.
(2)證明4。_1_3£),4。_1尸/)再證明公。_1_平面「&)即可.
【詳解】
解:(1)證明:連結OM,
。是菱形ABC。對角線AC、5。的交點,
二。為的中點,
加是棱PD的中點,
:.OMI/PB,
OMu平面AMC,PB<z平面AMC,
.?.尸3//平面,。,
⑵解:在菱形ABC。中,AC,加,且。為AC的中點,
MA^MC,
:.AC±OM,
OMcBAO,
.?.4。,平面必。,
ACu平面AMC,
平面PBD,平面AMC.
【點睛】
本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎題.
18.(1)-;(2)
713
【解析】
CC
(1)根據(jù)誘導公式和二倍角公式,將已知等式化為角上關系式,求出tan上,再由二倍角余弦公式,即可求解;
22
(2)在一ACD中,根據(jù)面積公式求出CD長,根據(jù)余弦定理求出AD,由正弦定理求出
sinZADC,即可求出結論.
【詳解】
(1)石sin(A+B)=4sin2^,2^/3sin-ycos-y=4sin2與,
C7i,CCA/3
0<—<一,.二sin—>0,「.tan—=—,
22222
2c.2C[2c
廠廠cos----sin——1-tan——1,
「2C.C?22
cosC=cos----sin2—=-------W--------g=----------&=—;
22cos2——C,l-si.n2——C1+tan2——c7
222
(2)在AC。中,由(1)得sinC=謔,
7
14也「
S=—x7xCDx-----=6\3,CD—3,
.7A1Cr1n727'/
由余弦定理得
AD2=Z?2+CZ)2-2Z?-CD-COSC=49+9-2X7X3X-=52,
7
=2而,在一ACD中,
r4拒
ADAr7x2底,
-------—,sinZADC=—4
sinCsinZADC2而13
sinZADB=sinZADC=
13
【點睛】
本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查計算求解能力,屬于中檔題.
19.(I)二;=仁二(二>0),口一口+,=@;(IDf
【解析】
(D利用所給的極坐標方程和參數(shù)方程,直接整理化簡得到直角坐標方程和普通方程;(II)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C
的直角坐標方程,結合韋達定理以及等比數(shù)列的性質即可求得答案.
【詳解】
Cl)曲線:--='i9兩邊同時乘以
可得二;二=4二二sin二(Z>ay化簡得)二:=4-3(Z>療
直線-的參數(shù)方程為.(一為參數(shù)),可得
-(I=-24--Z,-
[IT+亨匚
x-y=-l,得x-y+l=0;
(ID將_(二為參數(shù))代入二?=「廠匚并整理得
[二=-2+Y二一一一)
[__/+2匚
Z,;-心。+。二I+8(二")=0
韋達定理:二-二;=..j二+二二=,二一二:>:
由題意得__|:=——即-__|;=一.|
可得二-二;):-4匚/?二?=;,口?
即;一
9.I-*ViwI4-J/-_Vo
解得
一="
4
【點睛】
本題考查了極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標和普通方程的互化,以及參數(shù)方程的綜合知識,結合等比數(shù)列,熟練運
用知識,屬于較易題.
20.(1)多2350人;(2)有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.
【解析】
(1)根據(jù)題意,知100人中購買“小愛同學”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計該地區(qū)購買“小
愛同學”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;
(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出K?,與臨界值比較,即可得出結論.
【詳解】
解:(1)由題可知,100人中購買“小愛同學”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,
由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”,有12000人購買了“天貓精靈”,
估計購買“小愛同學”的女性有/^x55=7150人.
12000
估計購買“天貓精靈”的女性有x40=4800A.
100
貝(17150-4800=2350,
...估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.
片_200x(45x40-60x55)2
(2)由題可知,=4.511>3.841,
__105x95x100x100
...有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.
【點睛】
本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應用,考查計算能力.
2無
21.(1)?=1(2)g(x)=/(x)-2x(x>0)為減函數(shù),A(x)=/(%)------(x>0)為增函數(shù).(3)證明見
1+2%
解析
【解析】
(1)求出導函數(shù)/'(X),求出切線方程,令x=0得切線的縱截距,可得。(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);
(2)求函數(shù)的導數(shù),由導數(shù)的正負確定單調(diào)性;
5―9n+11
(3)不等式—2變形為/(女,由g(x)遞減,得g(x)>g(0)=0(x〉0),即/(x)<2x,即
%=fQa“_[+1)<2限,依次放縮,an<24一<22a吁?<<2"一%1=y.
12x
不等式--2<0,h(x)=/(%)一——遞增得h(x)>〃(0)(尤>0),
42x+l
/(x)>:^7>0,工<4+1,;_2<!(工_2],先證工_2=7二_2<0,然后同樣放縮得出結論.
2x+l/(x)2x于(x))%f(q)
【詳解】
解:(1)對/(%)=ln(2%+”)求導,得——
2x+a
2
因此f(l)=——.又因為/⑴=ln(2+,),
2+。
所以曲線y=/(x)在點(1,/⑴處的切線方程為
y-ln(2+a)=——(x-1),
2+a
22
即y=-----%+ln(2+〃)--------.
2+a2+a
22
由題意,ln(2+a)--------=ln3——.
2+a3
顯然。=1,適合上式.
2
令夕(。)=ln(2+a)--------(a>0),
2+a
12
求導得“(〃)二-----1------7>0,
2+4(2+a)
因此磯a)為增函數(shù):故a=1是唯一解.
2x
(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)---------(x>0),
2x+l
24r
因為g'(x)=-~--2=--~-<0,
2x+l2x+l
所以g(x)=/(x)-2x(x>0)為減函數(shù).
,7“、224x
因為h(x)=--------------------=-----------
2x+l(2x+l)2(2x+l)2
2x
所以h(x)=(x>0)為增函數(shù).
l+2x
2
(3)證明:由qa“+]=/(a")=ln(2a.+l),易得a“〉0.
5-2"i1c2"
<-----2oa“-
Ta.5
由(2)可知,g(x)=/(x)-2x=ln(2x+l)-2x在(0,+oo)上為減函數(shù).
因此,當x>0時,g(x)<g(0)=0,即/(x)<
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