2024年高考數(shù)學(xué) 圓中的重要模型之圓冪定理模型（含答案）

高考復(fù)習(xí)材料

圓中的重要模型之圓塞定理模型

圓幕定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀由德國數(shù)學(xué)家施泰納(Steiner)或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷

(Poncelet)提出的。圓塞定理的用法：可以利用圓基定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

A

條件：在圓。中，弦48與弦CD交于點E,點E在圓。內(nèi)。

結(jié)論：VCAE:VBDEt>—=—t>ECAl^E^Ao

EBED

例L(2024,江蘇無錫?校聯(lián)考三模)如圖，點A,C,D,3在e。上，AC=BC,N4CB=90°.若

CD=4,tanZCBD=1,則40的長是.

【答案】80

【分析】如圖，連接設(shè)交于點￡,根據(jù)題意可得是e。的直徑，NADB=90。,設(shè)

/C=加，證明△CEDS4/M,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出4瓦，根據(jù),

勾股定理求得加=4石，根據(jù)40=/￡+瓦>即可求解.

【詳解】解：如圖，連接設(shè)8c交于點￡,

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DE1

VZACB=90°4B是eO的直徑，ZADB=90°,tanZCBD=-??—―，

3DB3

在RtAZ）￡5中，BE=yjDE2+DB2=屈DE，

..裕=檜,ZCBD=NACD,：.tanACAD=1CE1

AC3

122-V10

設(shè)/C=機則C￡=一〃？，AC=BC,:.EB=—m:.DE=—BEm，

33

RtV/CE中,AE=y/AC2+CE2=卜+［加［=］.

:.AD=AE+ED=@3n+叵m=,?；￡）B=?B，:.NECD=NEAB，

3035

2

m

CDCE31「

又/CED=ZAEB,:NCEDsVAEB,—=—=r—=—f=,'：CD=4,/.AB=4V10,

ABAET'Om<10

3

AC-BC-m,：,AB=41m?41m=4>/10,解得加=46,

AD=|VlOm=|Vi0x475=872,故答案為：8亞.

【點睛】本題考查了90。圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)

與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

例2.（2024?山東濟寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形/3C內(nèi)接于OO,點。為/C上的動點（點4

C除外），8。的延長線交。。于點E,連接CE.⑴求證△CEOSAB/。；（2）當(dāng)。C=2/D時，求CE的

長.

【答案】（1）見解析（2）CE=/S

【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得=再由對頂角相等得N2以=NC￡）E,故可證明緒論;

（2）根據(jù)。C=2/D可得/。=2,。=4,由可得出瓦??！?8,連接/E,可證明

△ABDs^EBA,得出AB?=BDgBE=BD?+BDgBE,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出AD=2g,從而可求出緒論.

【詳解】（1）???2C所對的圓周角是N4NE,；.乙4=/￡,又NBDA=NCDE,ACEDsABAD；

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（2）???△/8。是等邊三角形，，/。=/3=5。=6

DC=2AD,AC=3AD,AD=2,DC=4,

AD_BD_AB

vNCED?\BAD,—=—,.-.BDDE=S-

^E~~CD~~CEDE4

連接/瓦如圖，?.?^B=3C.??油=2C；/BAC=NBEA,

4BBD

又44BD=AEBA,ABD?AEBA,——

BEAB

/.AB?=BD?BE=BD(BD+DE)=BD2+BDDE,

.?.62=8》+8,助=2將（負值舍去）.』=也,解得，C￡=?療

CE47

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

例3.（2024?江西宜春?統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考：九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等）,

下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等.

已知：如圖1,eO的兩弦CD相交于點P.求證：AP-BP=CPDP.

證明：如圖1,連接/C,BD.

ZC=ZJ3,/A=/D..?.△APCs^DPB,（根據(jù)）

Ap

???一二@,，APBP=CPDP,

DP

?;?.兩條弦相交，被交點，分成的兩條線段的積相等.

C

圖1

任務(wù)：⑴請將上述證明過程補充完整.根據(jù)：____________;____________

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(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,AB是eO的弦，P是48上一點，^5=10cm,P/=4cm,

OP=5cm,求eO的半徑.

圖2

CP

【答案】(1)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；—:(2)7cm

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；(2)延長。尸交圓。于點。，延長尸。交圓。于點

F,設(shè)圓。的半徑為rem,則尸9=(5+"cm,FD=(r-5)cm,根據(jù)(1)中結(jié)論代入求解即可.

【詳解】(1)連接NC,BD.?：NC=NB,//=/￡).

??.△APCs^DPB,(有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似)

ApCP

.?.而=而，；./尸?鰭=8?。尸，二兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.

CP

故答案為：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；—;

(2)延長O尸交圓。于點。，延長尸O交圓。于點R

D

設(shè)圓。的半徑為rem,則P尸=(5+r)cm,尸D=(r-5)cm,

根據(jù)(1)中結(jié)論得4PBp即為4x(10-4)=(r+5)(-5),

解得：r=7或r=-7(不符合題意，舍去)，eO的半徑為7cm.

【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運用圓的相交

弦定理是解題關(guān)鍵.

模型2.雙割線模型

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條件：如圖，割線CH與弦CF交圓。于點E和點G。

結(jié)論：VCEG：VC〃/D—=—1?

CHCF一

例1.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知：如圖，PAB、尸CD是。。的割線，PA=4cm,AB=6cm,

CD=3cm.則PD=cm.

例2.（2024?四川成都,九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為e。的割線，且尸/=N3=3,PO交eO于點

C,若尸C=2,貝UeO的半徑的長為.

【答案】；7

【分析】延長尸。交圓于點。，連接/C、BD,由圓內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補性質(zhì)可得/8+//CD=180。,

結(jié)合鄰補角互補可得//CP=/8,繼而證明VP/CSVPDB,由相似三角形對應(yīng)邊成比例解得皋=黑，

PDPB

由此計算產(chǎn)。=9,最后根據(jù)線段的和差解題即可.

【詳解】如圖，延長尸。交圓于點。，連接/C、BD,

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四邊形45。。為圓內(nèi)接四邊形，.??/B+/ZCD=180。.

vZACD+ZACP=180°fZACP=AB,尸二/尸，：.\/PAC^\IPDB,

PAPC

—=—,,?.PZ)x2=3x6,PD=9,

PDPB

77

???CD+PC=P。，.?.CD=9-2=7,.?.半徑為一，故答案為：-

22

【點睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)

知識是解題關(guān)鍵.

例3.（2024?河南洛陽?統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.當(dāng)直線與圓有

兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關(guān)的定理.比如，割線定

理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.下面給出了不完整的定理'證

明一"，請補充完整.

已知：如圖①，過e。外一點尸作e。的兩條割線，一條交e。于A、B點，另一條交eO于C、。點.

求證：PA-PB=PC-PD.

證明一：連接/￡＞、BC,

???//和/C為陽所對的圓周角，.

又?；NP=NP,■■■,???.

即PA-PB=PC-PD.

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接NC、BD,即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形/皿C.那么或許割線定理也

可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明.請根據(jù)提示，獨立完成證明二.

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證明二：連接/c、BD,

Apr）p

【答案】證明一：ZA=ZC,AADP-VCBP,—=—；證明二見解析

CPBP

【分析】（1）證明△/OPsVCB尸即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得/PAD=N4CD,進一步證明△/CPsVOB尸

【詳解】解：證明一：連接BC,

4和NC為9所對的圓周角，.?.N4=NC.

4PDp

X-ZP=ZP,:AADPsYCBP,：.—=—.§.\}PA-PB=PCPD.

CPBP

Apr）p

故答案為：N4=NC,4ADP7CBP,—,

證明二：連接/C、BD,

???四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，ZABD+//CD=180。,

又?;NABD+NPBD=180°,：.APBD=ZACD,

4PQp

又,：NP=NP,.,.△ACPSBP,—=—,^PAPB=PC-PD.

DPBP

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

模型3.切割線模型

條件：如圖，C2是圓。的切線，C4是圓。的割線。

結(jié)論：7CBD:VCABt>—s—t>CB^CI^A

CACB

例1.（2024,江蘇南通?中考模擬）如圖，已知P4是e。的切線，A為切點，尸C與e。相交于B.C兩點,

PB-2cm,BC=8cm,則尸4的長等于（）

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A.4cmB.16cmC.20cmD.2V5cm

【答案】D

【分析】根據(jù)已知得到尸。的長，再根據(jù)切割線定理即可求得力的長

【詳解】解：,??P3=2cm,BC=8cm,PC-10cm,

■■PA2=PB'PC=20,PA=275,故選D.

【點睛】本題是對圓知識的綜合考查，熟練掌握圓及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

例2.（2024?河南鄭州?一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把

這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.

切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面

幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓嘉定

理（切割線定理）內(nèi)容如下：

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補充完整,

并寫出證明過程.

己知：如圖，N是OO外一點，.

求證：.

【答案】是的切線，直線為。。的割線，AB2=AC?AD,見解析

【分析】按照題設(shè)要求，寫出"已知"和"求證"，然后證明即可求解.

【詳解】解：（已知：如圖，/是O。外一點，）是O。的切線，直線NCD為。。的割線.

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求證：AB2=AC?AD.

故答案為：45是O。的切線，直線4CD為O。的割線，AB2=AC*AD,

證明：連接8D,連接30并延長交。。于點￡,連接C￡,

???BE是圓的直徑，.?.MCE=9(T=Z￡'+NC8E,

；BC=LE,而AE=KCDB,：.UBC=KBDC,

ABAC,

,:乙BAC=ADAB,；4BCSAADB,—=—,：.AB2^AC?AD.

ADAB

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)

鍵.

例3.（2024?河南駐馬店，校考二模）在數(shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學(xué)突發(fā)奇想,

特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》,

這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，

被廣泛地認為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓幕定理（切割線定理）

內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例

中項.（比例中項的定義：如果。、b、c三個量成連比例即“：/,=b:c,則6叫做。和c的比例中項）

⑴為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的‘已知"和'求證"，請補充完整，

并寫出證明過程.已知：如圖，A是圓。外一點，N8是圓。的切線，直線/CD為圓。的割線.

求證：

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證明：

（2）已知/C=2,CD=4,則的長度是.

【答案】（1）/笈證明見解析⑵

【分析】（1）根據(jù)比例中項的定義寫出“求證"，連接8。并延長交eO于點E,連接BC,BD,CE,先根據(jù)

圓的切線的性質(zhì)可得再根據(jù)圓周角定理可得/8以=90。,/石=乙4。8,從而可得

QABC=QADB,然后根據(jù)相似三角形的判定證出VN8C:V/D8,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）先根據(jù)線段和差求出=6,再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得.

【詳解】（1）求證：AB2=AC-AD.

證明：如圖，連接8。并延長交eO于點E,連接BC,BD,CE,

???43是e。的切線，BELAB,ZABC+ZEBC=90°,

由圓周角定理得：NBCE=90°,NE=NADB,

ZADB+ZEBC=ZE+ZEBC=90°,/ABC=ZADB,

NABC=ZADB

在YABC^WJADB中,

ABAC=ADAB

,'MABC\1ADB,=,AB1=AC-AD.

ADAB

(2)解：vAC=2,CD=4,AD=AC+CD=6,

由(1)已證：AB~=ACAD,AB1=2x6=12,

解得45=26或/2=-26<0（不符題意，舍去），故答案為：2省.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)

和圓周角定理是解題關(guān)鍵.

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模型4.弦切角模型

條件：如圖，C5是圓。的切線，48是圓。的直徑。

結(jié)論：1）X/CBD:MCABt?—a—bCB0C04；

CACB

2）MCBD-MBADQ處=￡2DBD0A0D；3）VBAD:MCABt?—t?BA-AI^C

ADBDCABA

例L（2024?河南三門峽?統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個課

本上沒有的與圓相關(guān)的角一弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫

做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì).

（1）如圖，直線A3與。。相切于C點，D,E為。。上不同于C的兩點，連接CE,DE,CD.請你寫

出圖中的兩個弦切角；（不添加新的字母和線段）

（2）小銳目測/DC3和/DEC可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方

法證明結(jié)論的正確性嗎？

已知：如圖，直線與O。相切于C點，D,E為圓上不同于。的兩點，連接CE,DE,CD.

求證：/DC3=NDEC.（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理

【答案】（1）ZDCB,NECB,NDCA,ZECA（任意寫出兩個即可）；（2）見解析；（3）弦切角等于它所

夾的弧所對的圓周角

【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義加以識別即可；（2）過點C作直徑CF,連接DR借助于同弧所對的圓周

角相等，將應(yīng)C轉(zhuǎn)化為在，所以只需證即可.（3）由題意可歸納：弦切角等于它所夾的弧所對

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的圓周角.

【詳解】解：（1）弦co、CE分別與切線C2構(gòu)成的弦切角為：3CB,乙ECB；

弦CD、CE分別與切線C4構(gòu)成的弦切角為：Z.DCA,Z.ECA.

故答案為：ZDCB,ZECB,NDCA,ZECA（任意寫2個即可）

（2）證明：過C作直徑CF,連接。尸.

?.?。廠是00直徑，；./尸。。=90°.:/尸+/尸。=90°.

又???48與eO相切于點C,.?.尸C_L/8.二/尸。+/DC8=90。..?.NDCB=/F.

?:也）=CD,ZF=ZCED..-.ZDCB=ZCED.

（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理及推論、直角三角形的兩銳角互余等知識點，熟知上述

圖形的相關(guān)性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，對新定義的理解及問題的概括能力是關(guān)鍵.

例2.（2024?河南洛陽,統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出

圓的概念："圓，一中同長也."意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數(shù)學(xué)

家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我們把頂點

在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對

的圓周角度數(shù).

（1）如圖1,42是eO的切線.點C,。在eO上.求證：//DC=/C48；（2）如圖2,CE是eO的切線.連

接/E交eO于點D,48為e。的直徑.若CEL4D,BC=2,e。的半徑為5,求DE的長.

2

【答案】⑴詳見解析⑵DE=：

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【分析】（1）連接/。，并延長交e。于點連接CW,先證明=再根據(jù)同弧或等弧所對

的圓周角相等得出=，即可證明乙=（2）連接/C,CD,證明/B/C=/C/E,

1

nZTIT。

得出8C=CD=2,證明△￡＞（?￡S△B/C,得出二二=—右，即＜=/，求出結(jié)果即可.

BCAB210

【詳解】（1）證明：如圖，連接/。，并延長交eO于點連接CN,如圖所示：

?.?/”是00的直徑，，//?！?90。，；./。跖4+乙憶4。=90。，

???/2是0。的切線，；./92=90。，ZMAC+ZCAB=90°,ZCMA=ZCAB,

?.?您=專，ZADC=ZCMA,ZADC=ZCAB.

（2）解：連接/C,CD,如圖所示：

??,/B是eO的直徑，.?.//C8=90。，,?./JB+/BNC=90。，???CE是eO的切線，.?.ZOCE=90。，

???CELAD,：.ZAEC=ZACB=90°,ZACE+ZCAE=9Q°,

與（1）同理可得，ZACE=ZB,NDCE=ACAE,.-.ABAC=ZCAE，:.BC=CD=2,

DECD

???ZDCE=ABAC,NACB=NCED=90°,；.LDCESABAC,；.—=——，

BCAB

■,■AB=10,BC=CD=2,：.DE=~.

2105

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，直徑所對的圓周角為

直角，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

例3.（2024?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切

⑴古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5

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個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明.第三卷中命題32一弦切角定

理的內(nèi)容是："弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度

數(shù)."

如下給出了弦切角定理不完整的"已知"和"求證"，請補充完整，并寫出“證明”過程.

已知：如圖2,/C為e。的切線，點A為切點，N8為eO內(nèi)一條弦，點。在e。上，連接CM,OB,

BD,AD.求證：ABAC=ABDA.證明：

（2）如圖3,NB為e。的切線，A為切點，點C是eO上一動點，過點C作CD，于點。，交eO于

E,連接OC,AE.若4D=10,AE=2標(biāo),求弦CE的長.

【答案】⑴見解析（2）21

【分析】（1）如圖2,延長/。交eO于￡,連接8E,根據(jù)圓周角定理得到N/8E=90。，求得

/E+/8/E=90。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到/C4E=90。，求得NC/B+NR4E=90。，于是得到結(jié)論；（2）如圖

3,連接NC,根據(jù)勾股定理得到DE=NAE-D?=4,據(jù)切線的性質(zhì)得到=根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：求證：ZCAB=-ZAOB=ZADB,

2

證明：如圖2,延長/。交e。于￡,連接BE,

?.?/E是e。的直徑，ZABE=90°,ZE+ZBAE=90°,

?.?/C為eO的切線，ZCAE=90°,ZCAB+ZBAE=90°,

：.ZCAB=ZE,:.ND=NE=gzAOB,:.NCAB=g/AOB=NADB；gpABAC=ABDA；

(2)如圖3,連接4C,CDLAB,ZADE=90°,DE=^AE2-AD2=4，

???/5為eO的切線，/.ZDAE=ZDCA,yZADE=ZCDA,/./\ADE^/\CDA,

,ADDE.104…

..----=-----,..---------=—,CE=21.

CDDA4+CE10

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線

高考復(fù)習(xí)材料

是解題的關(guān)鍵.

模型5.托勒密定理模型

條件：如圖，/反CD是圓。的兩條弦；結(jié)論：幺-4-幺。。

例1.(2024?山西晉中?九年級統(tǒng)考期末)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：托勒密(Ptolemy)(公元90

年?公元168年)，希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有

時把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密(Ptolemy)定理.

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

圖1圖2

下面是該結(jié)論的證明過程：

證明：如圖2,作=交BD于點、E.

???ND=2Z）二乙鉆E=ZACD（依據(jù)1）

4BBE

???△ABESAACD（依據(jù)2）——=——ABCD=ACBE

ACCD

兌B=況B=/ADE

VZBAE=ACAD/BAE+ZEAC=/CAD+ZEAC

即ABAC=ZEAD.??Z\ABC^/\AED

;.ADBC=ACED:.AB?CD+AD?BC=AC（BE+ED）

???AB?CD+ADBC=ACBD

高考復(fù)習(xí)材料

任務(wù)：（1）上述證明過程中的"依據(jù)1""依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1:.依據(jù)2：.

3

（2）如圖3,四邊形/BCD內(nèi)接于e。，/C為eO的直徑，35,tanZACB=-,點。為無C的中點,

求的長.

圖3

【答案】（1）同弧所對的圓周角相等，兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）BD=7

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，相似三角形的判定即可解決問題.

（2）首先證明/C=5板，由托勒密定理，構(gòu)建方程求出8。即可.

【詳解】解：（1）上述證明過程中的"依據(jù)是同弧所對的圓周角相等.

"依據(jù)2"是兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

故答案為：同弧所對的圓周角相等；兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

（2）???/C為eO的直徑，ZABC=ZADC=90°,

,?,點D為KC的中點，?,?40=紅），二。。=40=5,?■.在此V/CD中，AC=^AD2+CD1=572

3

VtanZACB=?,.在RtV4BC中，AB=3后,BC=472

AB-CD+ADBC=AC-BD.--342x5+5x4y/2=542-BD^■-BD=7

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù),

托勒密定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

例2.（2024?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角一.

如圖①，四邊形/BCD是e。的內(nèi)接四邊形，若4B=BD,NABD=4。。，則/8。=_。.

高考復(fù)習(xí)材料

【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？

如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB-CD+BC-DA=AC-BD

證明：如圖③，作NBAE=/CAD,交AD于點￡.

NBAE=ACAD,NABD=NACD,NABE^NACD,

??.若=簧^AB-CD^AC-BE（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）

【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊A48c外接圓e。，點p為2c上一點，且尸B=百，PC=\,求尸/的長.

【答案】【舊知再現(xiàn)】互補，114；【問題創(chuàng)新】見解析；【應(yīng)用遷移】尸/=6+1

【分析】【重溫舊知】根據(jù)圓周角定理，得出==；優(yōu)角40C,化簡得出

ZABC+ZADC=180°,利用等腰三角形的兩個底角相等和圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可得NBCZMIO。；

【提出問題】所得等式兩邊加上AD?BC,右邊變形后即可得證；

【應(yīng)用遷移】由上題的結(jié)論，根據(jù)A4BC為等邊三角形，可得AB=AC=BC,代入化簡即可求出PA的長.

【詳解】（1）如圖示：

連接OA,0C,根據(jù)圓周角定理，則有：ZABC=^ZAOC,N4DC=g優(yōu)角//OC

ZABC+ZADC=j/40C+工優(yōu)角//0C=工x360°=180°.,.圓內(nèi)接四邊形的對角互補；

222

■:AB=BD,ZABD=40°,在等腰三角形ABD中，ABAD==皿一==70°

22

???ZBCD=180°-ZBAD=180°-70°=110°

(2)證明：如圖，ZBAE=ZCAD：.ZBAE+ZCAE=ZCAD+ZCAE,BPABAC=ADAE,

X---QACB=QADB,KABC^\AED,即=

DEAD

：.AB-CD+AD-BC=AC-BE+AC-DE,：.AB-CD+BC-DA=AC?BD,

(3)由(2)可知尸8?/。+尸048=尸4?8。???A48c是等邊三角形，AB=AC=BC,

：\PB+PC)BC=PABC,.-.PB+PC=P/即P/=6+l.

高考復(fù)習(xí)材料

【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的

判定與性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2024山東九年級課時練習(xí)）如圖N5與圓。相切于，，。是圓。內(nèi)一點，。8與圓相交于C.己知8C=

DC=3,OD=2,4B=6,則圓的半徑為.

【答案】V22

【分析】連接并延長，交圓于尸，過。作?！?8凡連接“。,。4“尸，證明V48Csv曲，則可得/爐

3

=BC?BF,進而求得。E=w，OD=2,勾股定理求解即可.

【詳解】解:連接5c并延長，交圓于尸，過。作OE13R連接/C,CM,“尸

???R4是圓。的切線，切點為工,

NOAB=90。ZOAC+NCAB=90°：無C=%C,=1ZAFC

在V/OC中，OA=OCZAOC+2ZOAC=180°

則2NAFC+2ZOAC=180°:./AFC+NOAC=90°NAFC=NCAB

jDBe

又/B=/B:MABC^MFBA—=——/.AB2^BC^BF,

FBAB

3

?：BC=DC=3,45=6,：.BF=12,CF=9,:,DE=—,OD=2,

2

■■OE=^OD2-DE2=,CE=|,

■-OC=yl0E2+CE2=/：++=V22.故答案為：V22.

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，證明是解題關(guān)

鍵.

2.（2024秋?浙江寧波?九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，過大圓上一點A作小圓的割線，交小圓于B、

高考復(fù)習(xí)材料

C兩點，且圖中圓環(huán)的面積為4萬，則482C=

【答案】4

【分析】設(shè)圓心為。，作4。與小圓相切，切點為/W,與大圓交于點D,連接（W,根據(jù)勾股定理及題意得

出/“2=%過點。作ONL/C,連接02,繼續(xù)利用勾股定理進行等量代換得出。4?-。笈=/。.N8,

即可求解.

【詳解】解：設(shè)圓心為。，作/￡＞與小圓相切，切點為M,與大圓交于點D,連接0”,如圖所示：

D

.-.OMLAD,：.AM2=OA2-OM2,

TTOA2-TTOM2=AM2=4,過點。作ON_L/C,連接。2,

ON1=OA2-AN2,ON2=OB2-BN2,

■■-OA2-AN2=OB2-BN2,郎OA?-OB?=AN?-BN?=(AN+BN)(AN-BN)=AC.AB,

OA2-OB2=OA2-OM2=AM2=4,..AB-AC=4,故答案為：4.

【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，切線的性質(zhì)，垂徑定理等，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)

鍵.

4.（2024?重慶九年級期末）如圖，從圓外一點尸引圓的切線P4,點A為切點，割線PD5交e。于點。、

B.已知產(chǎn)/=12,PD=8,貝!）九小凡。"=.

【答案】9:4

高考復(fù)習(xí)材料

【分析】根據(jù)切割線定理，可求PB=18,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方

可求SAABP：S/\DAP=PB2：PA2=9：4.

【詳解】由切割線定理可得PA2=PDXPB,

???PA=12,PD=8；.PB=18.由弦切角和公共角易知△ABP-ZWAP.

22

???SAABP：SADAP=PB：PA=9：4.故答案為9：4

【點睛】本題應(yīng)用了切割線定理和相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方.

4.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，過點尸引圓的兩條割線尸N3和尸CD,分別交圓于點42和，連

結(jié)AC,出），則在下列各比例式中，?—pA=—PC；@P—A=P-C^③P等A=P點D，成立的有

；（把

rDrDrUrDACDD

你認為成立的比例式的序號都填上）.

【答案］②③

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到，△PAD-4PCB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等從而可

得到答案.

【詳解】解：???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,

.?ZPAD=NPCB,NPDA=NPBC,.-.△PAD-APCB,

PAPDAD公丁丁”

'.①P麗A=而PC冕“灰n；②P而A二P而C正確;

PC~PB~BC

③連接AC,BD,?■?zP=zP,z.PBD=NPCA,.-.APAC-ARDB,

PAACPA_PD

正確;故答案為:

而一茄~AC~rBD②③.

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意到題目中的相似三角形是

解決本題的關(guān)鍵.

5.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）四邊形/3OC內(nèi)接于圓，對角線交點為E,AB=AC=4,AE=2,若BE、CE

高考復(fù)習(xí)材料

都是整數(shù)，則BE的值為,

【答案】3或4

【分析】證明△ABDsaAEB,求出AD,從而得到DE,再證明△AEOZkBED,得到BECE=12,根據(jù)BE,CE都

是整數(shù)可得所有可能的取值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE,CE都是整數(shù)，從而得到DE的取值.

【詳解】解：?；AB=AC=4,AE=2,.-.ZADB=ZADC,

???ZABC=ZADC,.-.ZADB=ZABC,又NBAD=NBAE,.-.AABD-AAEB,

ABAD4AD

---=---,即an一=---,；.AD=8,?"?DE=6,

AEAB24

???ZCAE=ZDBE,ZACE=ZBDE,.'.△AEC-ABED,

AF2CE

=即三=號，???BE-CE=12,VBE,CE都是整數(shù)，

BEDEBE6

則BE和CE可取的值為3,4或2,6或1,12；

?；AB=AC=4,.?.BC<AB+AC=8,；.BC=3+4=7,

??.BE的值為3或4,故答案為：3或4.

【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出適

當(dāng)?shù)南嗨迫切蔚玫骄€段關(guān)系.

6.Q024?廣東珠海?統(tǒng)考一模）如圖，0。為正以3。的外接圓，尸為劣弧8c上任一點，。的延長線和

的延長線交于點。.（1）求/APC;（2）求證：AC2=CP-CD.

【答案】⑴120。（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補和V/5C為正三角形即可求出；（2）證明VPC3~V/8CD即可求

高考復(fù)習(xí)材料

出.

【詳解】（1）解：；V/3C為正三角形，，//=60。.

V四邊形48PC為圓內(nèi)接四邊形，.??/8尸。=180。-/4=120。；

（2）證明：由（1）知，ABPC=120°,ZDBC=180°-ZABC=120°,

CPCB

又；ZPCB=/BCD,：.MPCB~V4BCD.：.——=——貝ijCB2=CPCD

CBCD

又?:CB=AC,AC?=CP-CD.

【點睛】本題考查圓與三角形的綜合問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運

用這些知識是關(guān)鍵.

7.Q024?廣東汕頭??？家荒＃┤鐖D，NB是eO的直徑，點C,。在eO上，4D平分/C43,過點。作NC

的垂線交/C的延長線于點E,交的延長線于點尸，連接80.

（1）求證：E尸是e。的切線；（2）求證：4B,（4B-AE）=4C,BF⑶若4B=10,AC=6,求/D的長.

【答案】⑴見解析（2）見解析⑶4后

【分析】（］）連接OD,由題可知，D已經(jīng)是圓上一點，欲證E尸為切線，只需證明NOD尸=90。即可；

BDBF

（2）連接CO.由（1）知NFZ"+NOQ5=90。，45為eO的直徑，由Vq。：WXL4得——=——,又

/CCD

4EAD

MAED-MADB,所以=f，所以/方二/m/臺，AB-=AD1+BD-，所以

ADAB

AB2=AE-AB+AC-BF,即可證明尸；

（3）連接8C,根據(jù)勾股定理求出3C,進而根據(jù)三角形的中位線定理可得的的長，從而得。打的長.

【詳解】（1）如圖，連接OD.

高考復(fù)習(xí)材料

?；AD平分/CAB,；.NOAD=NEAD,0D=0A,ZODA=ZOAD,

ZODA=ZEAD,OD//AE,：.ZODF=NE,

?.?4E」直尸,二/斤=90°,；㈤0。產(chǎn)=90°,；.半徑。。，所，；/尸是6。的切線；

(2)如圖，連接CD.?.田。。尸=90°,；./陽8+/0/)8=90。，

4B為eO的直徑，:"ADB=90°,；.NDAB+ZDBA=90°,

OD=OB,：.NOBD=ZODB,NFDB=ZDAB,ABAD=ACAD：.ZFDB=ACAD,

4B、C、。四點共圓，；.ZEB。=ZDCA,MFBD:MDCA,,

J4.CCD

vZCAD=ADAB,/.BD=CD,BD?=AC-BF,

ApAr)

?；/EAD=/DAB,/E=/ADB=90。，；.VAED:VADB,—=—，；.心=AE?AB，

ADAB

在RtVADB中，AB2=AD2+BD2>■-AB2=AE-AB+AC-BF,：.AB\AB-AE)^AC-BF.

(