四川省遂寧市2024屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題（含答案與解析）

遂寧市高2024屆第二次診斷性考試

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

_l+3i.

1.復(fù)數(shù)2Ji1,則忖=（）

A.V13B.V5C.2D.6

2.某公司收集了某商品銷售收入了（萬元）與相應(yīng)的廣告支出x（萬元）共10組數(shù)據(jù)（七,匕）

（z=l,2,3,---,10）,繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.

他肖售收入W萬元

60

50-

40-.?*

30-??A

2Q

-5^1.01.5202530354.04.55.055廣售支出

x/方元

若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉A點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）

A.決定系數(shù)火2變小B.殘差平方和變小

C,相關(guān)系數(shù)廠的值變小D.解釋變量X與預(yù)報(bào)變量y相關(guān)性變?nèi)?/p>

3.[x2--|的展開式中的系數(shù)為（）

x

A.80B.40C.10D.-40

—1

4.已知數(shù)列｛氏｝滿足q=2,an+i=—一~-(“wN*)，則2024=()

%+1

11

A.B.——C.1D.2

23

5.已知。，￡分別為A48C的邊4S,NC的中點(diǎn)，若￡>￡=（3,4）,5（-2,-3）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

()

A.（4,5）B.(1』)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

x+y—4?0,

6.已知平面區(qū)域Q=<x—jv—20,圓C：X—Q『+（y—6）2=1,若圓心CeQ,且圓。與〉軸相切,

x>0,

則Q+6的最大值為（）

A.10B.4C.2D.0

7.某校甲、乙、丙、丁4個(gè)小組到45,。這3個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地參加實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一個(gè)基

地，則每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的概率為（）

2148

ABCD

9-3-9-9-

8.已知函數(shù)/（%）=0052%+5由2%,則下列說法中，正確的是（）

A./（x）的最小值為-1

B./（x）在區(qū)間一；,：上單調(diào)遞增

（）的圖象關(guān)于點(diǎn)。。對(duì)稱

C./X

D./（X）的圖象可由g（x）=V2cos2x的圖象向右平移三個(gè)單位得到

8

9.如圖，菱形48cZ）的對(duì)角線4C與5。交于點(diǎn)O,環(huán)是的中位線，4。與所交于點(diǎn)G,已知

!尸￡尸是△0以"繞川旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，且尸七平面48C7）.給出下列結(jié)論:

①BD//平面PEF；

②平面尸NC，平面ABCD；

③二面角P-EF-C的平面角是直線0P與平面ABCD所成角的2倍.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.①②③B.①②C.①③D.②③

10.已知函數(shù)/(x)=(ax+l)e"給出下列4個(gè)圖象:

其中，可以作為函數(shù)/(x)的大致圖象的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

22

11.已知片(一。,0),凡(c,0)分別是雙曲線C：1-今=1(。>0)>0)的左、右焦點(diǎn)，過片的直線與圓

ab

(x—gc)2+/=02相切，與C在第一象限交于點(diǎn)P,且尸軸，則C的離心率為()

A.3B.275C.2D.加

1

12.已知a,b,c均為正數(shù)，且一=2a—log2（tz+1）~,b={b~-）4",c=,H---,則a,b,c的

a2e-2c

大小關(guān)系為（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},4={2,4,6,8},B={3,4,5,6},則立（幺。8）=

14.已知/(x)=ex-x,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為.

15.已知等差數(shù)列｛%｝的公差為符，集合^二任比二^^^^^^^^有且僅有兩個(gè)元素，則這兩個(gè)元素

的積為.

16.一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)這兩類活動(dòng)的參與情

況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：

文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)

男100300400

女50100150

合計(jì)150400550

(1)通過計(jì)算判斷，有沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？

(2)“投壺”是中國古代宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，也是一種禮儀.該校文化藝術(shù)類課外活動(dòng)中，設(shè)置了一

項(xiàng)“投壺”活動(dòng).已知甲、乙兩人參加投壺活動(dòng)，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投

中的概率為《，乙每只投中的概率為:，若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分?jǐn)?shù)之和為求J的分布

3/

列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

P(K、k。)0.150100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2n(ad-bcf

n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

18.如圖，在三棱錐尸―NBC中，M為/C邊上的一點(diǎn)，ZAPC=ZPMA=90°,cosZCAB=~

3

AB=2PC=V6>PA=43-

p

(1)證明：平面尸8A/_L平面NBC；

向

(2)若直線PN與平面NBC所成角的正弦值為且二面角尸-ZC-8為銳二面角，求二面角

5

8—4P—C的正弦值.

19.已知A48C的內(nèi)角HB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且tan8+tanC='.

ccosB

(1)求角C；

(2)若CD是/ZC8的角平分線，CD=4C，A48C的面積為18』，求c的值.

20.在直角坐標(biāo)系X。中，設(shè)b為拋物線C：必=2川(°>0)的焦點(diǎn)，M為C上位于第一象限內(nèi)一

點(diǎn).當(dāng)赤?赤=0時(shí)，△OEM的面積為1.

(1)求。的方程；

(2)當(dāng)聲.歷^=-3時(shí)，如果直線/與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，直線M4,的斜率滿足

kMA-kMB=-2,試探究點(diǎn)M到直線/的距離的最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=e'-辦-2.

(1)若/(x)在區(qū)間(0」)存在極值，求。的取值范圍;

(2)若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求a的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

x=]+2cosa

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線。的參數(shù)方程為彳一個(gè).(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

y=2sma

X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為Psin[9—孚

(1)求C的普通方程和/的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)直線/與x軸相交于點(diǎn)A,動(dòng)點(diǎn)3在。上，點(diǎn)〃滿足而=標(biāo)，點(diǎn)M的軌跡為E,試判斷曲線

C與曲線￡是否有公共點(diǎn).若有公共點(diǎn)，求出其直角坐標(biāo)；若沒有公共點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知b,c均為正數(shù)，且a+b+c=3.

1o

（1）是否存在。，b,c,使得一+——e（O,5）,說明理由；

ab+c

（2）證明：,3+a+j3+b+A/3+CW6.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

_l+3i.

1.復(fù)數(shù)之1-i1,則忖=（）

A.V13B.45C.2D.V2

【答案】D

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合模長公式計(jì)算即可.

,l+3i__（l+3i）（l+i）.

［詳解］因?yàn)?=-1~~^7.~~^―1=_1+1，

所以目=J5,

故選：D.

2.某公司收集了某商品銷售收入了（萬元）與相應(yīng)的廣告支出x（萬元）共io組數(shù)據(jù)（七,%）

（i=1,2,3,…,10）,繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.

他肖售收入y/萬元

60

50

40-.??

30-*Z4

2d

1.01.52025303：54.04.55.055廣售支出

力方元

若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉A點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）

A.決定系數(shù)火2變小B.殘差平方和變小

C,相關(guān)系數(shù)廠的值變小D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量了相關(guān)性變?nèi)?/p>

【答案】B

【解析】

【分析】從圖中分析得到去掉A點(diǎn)后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，殘差平方和，相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性的

概念和性質(zhì)作出判斷.

【詳解】從圖中可以看出A點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉A點(diǎn)后，回歸效果更好，

故決定系數(shù)滅2會(huì)變大，更接近于1,殘差平方和變小，

相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值，即卜會(huì)更接近于1,由圖可得x與夕正相關(guān)，故,會(huì)更接近于1,

即相關(guān)系數(shù)廠的值變大，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量V相關(guān)性變強(qiáng)，

故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.

故選：B.

3.1必_2］的展開式中一的系數(shù)為（）

A.80B.40C.10D.-40

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)確定廠的值，代入即可求解.

【詳解】由二項(xiàng)式、2二］展開式的通項(xiàng)公式為心=q（x2尸（二y=（_2）'?/°曰，

X）X

令10—3「=4,可得外=2,

所以展開式中%4的系數(shù)為（—2）2?C：=40.

故選：B.

i1CL—1

4.已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,4+1=------------（〃eN*），則。2024=（）

%+1

C11

A.-3B.——C.-D.2

23

【答案】A

【解析】

【分析】列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可找到規(guī)律，從而得解.

an-1

【詳解】因?yàn)椋?2,

an+1

/一11%—11

所以"2二二3%--------------

%+12

_。3—1_Q

%.7——3,a5

。3+1

又2024=4x506,所以。2024=%=-3

故選：A

5.已知。，￡分別為的邊4S,NC的中點(diǎn)，若無=（3,4）,5（-2,-3）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

()

A.（4,5）B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量坐標(biāo)與終點(diǎn)、始點(diǎn)的關(guān)系可解.

【詳解】因?yàn)镈,E分別為4S,ZC的中點(diǎn),

所以瑟=2反=（6,8）,

設(shè)C(x,y),又8(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8)

x+2=6x=4

即《_°,解得<

[y+3=8b=5

故選：A

x+)/-4<0,

6.已知平面區(qū)域x—y—2<0,圓C：x-af=1,若圓心CEQ,且圓。與〉軸相切,

x>0,

則Q+Z）的最大值為（）

A.10B.4C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用圓C與〉軸相切，得到C（a,A）在直線x=l上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)利

用數(shù)形結(jié)合確定6的取值即可得到結(jié)論

【詳解】作出如圖所示的可行域（陰影部分），

由于圓C與夕軸相切，CeQ,所以。=1,故。（。力）在直線x=l上運(yùn)動(dòng)，

X=]x—1

聯(lián)立《“八得＜.，即幺（1，3），

x+y-4=0[y=3

a+b-1+b,故當(dāng)6最大時(shí)，a+b最大,

故當(dāng)圓心在幺（1,3）時(shí)，此時(shí)b最大時(shí)為3,故a+6的最大值為4,

故選：B

7.某校甲、乙、丙、丁4個(gè)小組到/,B,C這3個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地參加實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一個(gè)基

地，則每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的概率為（）

2148

A.—B.—C.-D.一

9399

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分組分配以及分步乘法技術(shù)原理即可求解個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式求解即可.

【詳解】每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，所有的選擇情況有34=81種,

每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的情況有C：C；A；=36,

364

故概率為二=X，

819

故選：C

8.已知函數(shù)/(x)=cos2x+sin2x,則下列說法中，正確的是()

A./(x)的最小值為-1

JTJT

B./(x)在區(qū)間—上單調(diào)遞增

/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)m,0

C.對(duì)稱

D./(X)的圖象可由g(x)=0cos2x的圖象向右平移g個(gè)單位得到

8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式得/(x)=V^sin(2x+：),即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解ABC,根據(jù)函數(shù)平移，以

及誘導(dǎo)公式可判斷D.

［詳解］/(x)=cos2x+sin2x=V2sin(2x+,

/(x)的最小值為—應(yīng)，故A錯(cuò)誤，

口一了％時(shí)，2x+二廠了彳卜卜T所以函數(shù)在不單調(diào)，故B錯(cuò)誤;

/W=V2sin(2x^+^)=V2,故/⑴的圖象關(guān)于》=巴對(duì)稱，c錯(cuò)誤，

I"x48

兀

將函數(shù)g(x)=\/^cos2%的圖象向右平移7個(gè)單位得

8

=V2sinf2x+^U/(x),故D正確.

故選：D.

9.如圖，菱形4BCD的對(duì)角線/C與AD交于點(diǎn)。，斯是△BC。的中位線，NC與E尸交于點(diǎn)G,已知

!尸￡尸是△(7_￡：尸繞斯旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，且尸?平面45CZ).給出下列結(jié)論:

①BD//平面PEF；

②平面尸/C，平面ABCD；

③二面角P-EF-C的平面角是直線OP與平面ABCD所成角的2倍.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】借助線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理與二面角及線面角的定義逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】對(duì)①，由斯是△BCD的中位線，椒EFIIDB,又E/u平面尸ER,

D8O平面尸斯，故80//平面PEP,故①正確；

對(duì)②，連接尸/、PC、PG,菱形/BCD中，AC1BD,即CGJ_,

由折疊的性質(zhì)可知，PGLEF,即尸G_L8￡）,

又AC、PGu平面尸4C,ACcPG=G,故8￡）工平面04C,

又BQu平面/8C。，故平面尸平面/6C。，故②正確；

對(duì)③，連接尸0,由E尸是△BCD的中位線，故G為0C中點(diǎn)，

故尸G=GC=G。，即ZP0G=ZGP0,ZPGC=ZGP0+ZG0P=2ZG0P,

由CGLEE,PGLEF,故NPGC為二面角尸—C的平面角，

由平面尸/C，平面ABCD,故點(diǎn)P在平面ABCD的投影必在線段0C上，

故NGOP為直線0P與平面/BCD所成角，故③正確.

B

故選：A.

10已知函數(shù)/(x)=(ax+l)e",給出下列4個(gè)圖象:

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)。的情況進(jìn)行分類討論，借助于導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析即可判斷函數(shù)的大致圖象.

【詳解】由題意知，/(x)定義域?yàn)镽,

當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=e\由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，可對(duì)應(yīng)①;

工=一"1<0,所以當(dāng)工￡(-8,一"1］時(shí),

當(dāng)Q>0時(shí),=(ax+Q+l)e",令/'(x)=0可得:

a\a)

當(dāng)xe]-"L+e]時(shí)，/(x)>0,所以，函數(shù)/(x)先減后增，且當(dāng)x〈一工時(shí),

\a)a

/(x)<0,此時(shí)可對(duì)應(yīng)②;

當(dāng)〃<0時(shí),當(dāng)(x)=(ox+a+l)e",當(dāng)/<x)=0時(shí)尤=一七口，當(dāng)xe一空時(shí)，/,(x)>0,當(dāng)

“e時(shí)'/'(x)<0,所以‘函數(shù)/1(X)先增后減’

當(dāng)。<一1時(shí)，x=-"-<0,且此時(shí)0<-工<1,所以可對(duì)應(yīng)③，

aa

當(dāng)一1<。<0時(shí)，x=—3二已〉0,此時(shí)一一〉1,所以可對(duì)應(yīng)④.

aa

故選：D.

22

11.已知片(一c,0),g(c,0)分別是雙曲線C：餐-七=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，過片的直線與圓

ab

(x—gc)2+/=02相切，與C在第一象限交于點(diǎn)P,且尸軸，則c的離心率為()

A.3B.2A/5C.2D.V5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)得到垂直關(guān)系求得閃N|,結(jié)合直角三角形中正切的定義得到關(guān)于。，“c的齊次式即

可得解.

【詳解】設(shè)圓心為直線與圓相切于點(diǎn)N,

貝U=C,\F,M\=c+；c=gc,故閨N|=J閨=^c，

由于0所以Xp=c,故二一4=ing=C,

aba

匕

\PF,\y

因此在Rtk耳工,由tanNP￡G==—=—jc=-

閨聞2c叵°

故s/sb2-Aac=0，即Me1-4ac-#>￡=0=>V5e2-4e-J^=0ne=J^.

故選：D

12.已知a,b,c均為正數(shù)，且工=2a—log,(a+1)2,b=(b2--)4b-l,c=-^+—,則a,b,c的

a2e2c

大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】可將所給式子變形成2=log,(a+l)、b--=41-b1c

c---=-r=c-e1-c,則可構(gòu)造相

2a2b2ce

應(yīng)函數(shù)研究其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.

11

【詳解】由——2tz—log(tz+1)9,可得。----=log(^+1),

a22a2

由6=(〃—‘必修，可得b—，=4i,

22b

,c1號(hào)/日1c-

由。=不丁+丁可用c一丁=F=c-e,

e2c2ce

令=x/(x)=l+^7>0,故/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

令g(X)=10g2(X+l),g'(x)=(x+l)ln2>0,故g(x)在上單調(diào)遞增，

令〃(%)=4「“，A,(x)=-41-xln4<0,故〃(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減,

令//(x)=xe1~x,貝I]“(x)=el~x-xe1-x=(l-x)e1-x,

則xe(0,l)時(shí)，〃'(x)>0,xe(l,+<?),〃'(x)<0,

故〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+")上單調(diào)遞減，

11I1

/(l)=l-1=pg(l)=log2(l+l)=l,A(l)=4-=l,z/(l)=lxe-=l,

i7i7

12

/(2)=2--=-,g(2)=log2(2+l)=log23e(l,2),A(2)=4-=-,〃⑵=2**=)

。為函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，6為函數(shù)/(X)與函數(shù)〃(x)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

C為函數(shù)/(X)與函數(shù)〃(X)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得b<c<a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用所給式子，將其變形成a-L=log,(a+1)、b--=^\

2alb

1c

c--=從而可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)研究其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.

2ce

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},4={2,4集,8},5={3,4,5,6},則一(4。3)=

【答案】{1,7,9}

【解析】

【分析】借助集合交并補(bǔ)的概念計(jì)算即可得.

【詳解】由幺={2,4,6,8},5={3,4,5,6},故={2,3,4,5,6,8},

故d(ZU8Hl，7,9}.

故答案為：{1,7,9}.

14.已知〃x)=eX-x,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為.

【答案】J=(e-l)x

【解析】

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.

【詳解】/'(x)=e-l,則/'⑴=9—l=e—1,又/(l)=eJl=e—1,

故切線方程為y_(e—l)=(e—：Q(x_l),即y=(e—l)x.

故答案為：j=(e-l)x.

15.已知等差數(shù)列{4}的公差為與，集合S={x|x=cosa",〃eN*}有且僅有兩個(gè)元素，則這兩個(gè)元素

的積為.

【答案】一工##—0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理

作答.

【詳解】氏=q+(幾一］)d=ax,

(2兀2兀

則cosa=cos

nI313

-2--71--3.

其周期為四,而〃eN*，即cos%最多3個(gè)不同取值，

T

集合S=｛x|x=cosa",〃eN*｝有且僅有兩個(gè)元素，設(shè)5=｛凡為，

則在cos%,cosan+l,cos%+2中,cos%=cosa,,+i#cos。什？或cos%#cosan+l=cosa?+2,

或cosan=cos4+2豐cosan+l,又cosan=cosan+i,即cosan+i=cosan+2豐cosan+x,

所以一定會(huì)有相鄰的兩項(xiàng)相等，設(shè)這兩項(xiàng)分別為cos3,cos[。+g),

于是有cos。=cos(8+g),即有9++=2E,左eZ,解得，=E-g■，左eZ,

不相等的兩項(xiàng)為cose,cos[e+t^,

..,/7兀、「/77T、47rlJ兀、727兀17?

故ab—COS(ATI——)COS[(ATI——)H——]——COSz(ATI——)coskit——coskitcos————,左wZ.

故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題關(guān)鍵是通過周期性分析得到相等的項(xiàng)為相鄰的兩項(xiàng)，不相等的兩項(xiàng)之間隔一

項(xiàng)，從而求得答案.

16.一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為.

[答案]現(xiàn)況

9

【解析】

【分析】設(shè)圓錐高為〃，底面半徑為廠，推出r=4/「小，求出體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解函

數(shù)的最值，即可根據(jù)側(cè)面積公式得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐高為力(0(力＜4),底面半徑為一，則22=(//-2『+/,”2=4〃—〃2,

:.V=-Tir2h=-/7(4/7-/z2)=-7t/!2--/73,

3333

QQ

：.V'=-7lh-Tlh2,令『=0得/Z=—或力=0(舍去)，

33

QQ

當(dāng)時(shí)，r＞0,函數(shù)憶是增函數(shù)；當(dāng)一＜力＜4時(shí)，r＜o(jì).函數(shù)廠是減函數(shù)，

33

因此當(dāng)〃=§，r=逑時(shí)函數(shù)取得極大值也最大值，此時(shí)圓錐體積最大.

33

故側(cè)面積為Tiry/r2+A2

故答案為：必叵

9

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)這兩類活動(dòng)的參與情

況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：

文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)

男100300400

女50100150

合計(jì)150400550

(1)通過計(jì)算判斷，有沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？

(2)“投壺”是中國古代宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，也是一種禮儀.該校文化藝術(shù)類課外活動(dòng)中，設(shè)置了一

項(xiàng)“投壺”活動(dòng).已知甲、乙兩人參加投壺活動(dòng)，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投

中的概率為g,乙每只投中的概率為若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分?jǐn)?shù)之和為求J的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.010

院2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2<ad-bcf

n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

【答案】(1)有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)，

(2)分布列見解析，期望為之

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算卡方，即可求解，

(2)根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解概率，進(jìn)而可求解分布列以及期望.

【小問1詳解】

零假設(shè)：沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān),

_550x(100xl00-50x300)2_275臺(tái)819>2706

150x400x150x40072

故有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān),

【小問2詳解】

4的可能取值為0,1,2,3,4,

故J的分布列為:

01234

j_13j_1

P

9336636

i13115

數(shù)學(xué)期望E（J）=O+—+—+—+-

318293

回

18.如圖，在三棱錐尸—NBC中，M為/C邊上的一點(diǎn)，AAPC=ZPMA=90°,cosZCAB=—

3

AB=2PC=V6-PA=B

（1）證明：平面PAW_L平面Z8C；

（2）若直線PN與平面NBC所成角的正弦值為且二面角尸-ZC-8為銳二面角，求二面角

5

8—4P—C的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）結(jié)合題意，借助線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理即可得.

（2）借助題目所給線面角，可計(jì)算出各邊長度，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.

【小問1詳解】

"3尸C等

因?yàn)樵凇鱌4C中，ZAPC=90°,

所以zc=￡2,又因?yàn)?尸腿4=90。，所以4尸?尸C=/C-9,

2

則0W=l,AM=42>

在4BM中，由余弦定理可得收=y/AB2+AM2-2AB-AM-cosZCAB=2，

所以2四2+8加2=人爐，于是8河，BM1AC,

又尸M,PMcBM=M,PM、BMu平面PBM,

所以平面P又因?yàn)閆Cu平面48C,所以平面尸團(tuán)〃，平面48c.

【小問2詳解】

因?yàn)槎娼鞘?。一8為銳二面角，

平面PBM1平面ABC,平面PBMn平面ABC=BM,

過點(diǎn)尸作PNA平面ABC于N點(diǎn)，則N點(diǎn)必在線段BM上,

連接4N,可知NP4N為PN與平面48C所成的角，

h3

在Rt^R4N中，sinZZW=—>PA=6，得PN=二,

55

34

在RtZ\PMN中，PM=\,PN=父得MN=三,

則N（0,O,O）,5（0,2,0）,P（0，g，|］，/（0,0,0），

則有益=卜血,2,0）,=瘋=卜拒,0,0）,

設(shè)平面氏4尸、平面M4P的法向量分別為行=（Xi，M，zJ,M=（x2,j2,z2）

_yp2,x^+2%=0-=0

令X［=也,%=3,可得應(yīng)=（也,1,2）,n=（0,3,-4）,

設(shè)二面角B-AP-C的平面角為3,

所以"。5。|=普［=,,即sin，=匹，

11\m\\n\77

故二面角8—/尸-C的正弦值為這.

7

19.已知△45。的內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別為b,c,HtanB+tanC=

ccosB

(I)求角c；

(2)若。是N4C8的角平分線，CD=4拒，A48C的面積為18』，求c的值.

TT

【答案】(1)c=-

3

(2)c=6A/3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得tanC=g，即可求解，

(2)由5=工。65由。，可得ab=72,根據(jù)等面積法可求。+6=6,由余弦定理即可求c的值.

2

【小問1詳解】

由tanB+tanC=""可得

ccosB

sin5sinC_GsinZsinBcosC+cos5sinC_GsinZsin(5+C)_百sinZ

cos5cosCsinCcosBcosBcosCsinCcosBcosScosCsinCcosB

sin/y/3sinA...nA1A/3

n----------=----------;;sin/w0,cos5w0,/.------=-----，

cos5cosCsinCcosBcosCsinC

故sinC=百cosC，進(jìn)而tanC=△，

由于Ce(O,兀)，所以C=g

【小問2詳解】

由面積公式得S,=—aftsinC==\8c,解得ab=72,

"csr222

S"BC=S-BCD+S“CD，18鳳口Ssin30。+$?CDsin30。，

gp|cZ)-sin30°(a+^)=18V3,;.a+6=18,

又；=72,c2=a2+b2-2。6cosc=a1+b~-ab=(a+Z>)2-3ab=182-3x72=108,

c=6A/3?

20.在直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)歹為拋物線C：V=2.(p>0)的焦點(diǎn)，〃為C上位于第一象限內(nèi)一

點(diǎn).當(dāng)赤.歷時(shí)，△OEM的面積為1.

（1）求。的方程;

(2)當(dāng)聲.礪=-3時(shí)，如果直線/與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，直線M4,MB的斜率滿足

kMA-kMB=-2,試探究點(diǎn)M到直線/的距離的最大值?

【答案】⑴y2=4x

(2)2^17

【解析】

【分析】(1)結(jié)合題意計(jì)算即可得；

(2)設(shè)出點(diǎn)M-,t,由題意計(jì)算可得兒f(4,4),設(shè)出直線聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理計(jì)算可得直線/恒過

14J

定點(diǎn)N(6,-4),則當(dāng)兒時(shí)，點(diǎn)M到直線/的距離有最大值.

【小問1詳解】

由題意得尸已。],由赤.礪=0，MF1OF,即/gp],

從而△。斷的面積則P=2,

所以，拋物線。的方程為/=4x；

【小問2詳解】

設(shè)〃—,t(/>0),則狼=1一五,V,OF=(1,0),

___./

由"F?。尸=—3，得1一一=一3，即f=4，

4

所以，此時(shí)川(4,4),

由題意可知，/斜率必不等于0,于是可設(shè)/：x=my+n,

[x=my+n

由〈2,,可得y-4my-4n=0,

b=4x

上述方程的判別式滿足△=(-4〃?)2-4.(-4/7)>0,即加2〉_〃，

根據(jù)韋達(dá)定理有：必+%=4M，=一4〃,

必-4%-4=二

44

因?yàn)閗MT勺勿=—2,所以E_4W_4"

M+4歹2+4

Z-Z-

于是必為+4（%+%）+24=0,

所以，一4〃+16加+24=0,即〃=4加+6,

故直線/的方程為、=段+4加+6,即％-6=冽（歹+4）,

所以直線/恒過定點(diǎn)N（6,-4）,

則當(dāng)MN，/時(shí)，點(diǎn)M到直線/的距離有最大值，

且最大值為\MN\=^（4-6）2+[4-（-4）]2=2^/17.