北京市2024屆高考數(shù)學模擬試題（二）（含答案）

北京市2024屆高考數(shù)學模擬試題(二)

一、單選題

1.已知集合4={尤=,244},3={小>-1},則()

A.{1,2}B.{0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2}D.{x|-l<x<2}

2.已知復數(shù)z=i(2+i),則|z卜()

A.V3B.5C.3D.75

3.在(?-2『的展開式中，Y的系數(shù)為()

A.-10B.10C.-80D.80

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+A)上單調(diào)遞減的是()

A.〃x)=-logi尤B.f{x)=-\x-\\

2

C./(x)=2~xD.f(x)=-x2+x

TT

5.在小ABC中，"sinA=cosB"是"C=—”的()

一2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知拋物線C：V=8x的焦點為F,。是坐標原點，點M在C上.若性陽=4,則|。必=()

A.2A/5B.733C.4四D.4

7.已知等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列也｝,q=4=-4,4=2,%=砌，則滿足4“心”>1的數(shù)值機()

A.有且僅有1個值B.有且僅有2個值C.有且僅有3個值D.有無數(shù)多個值

8.一個邊長為10cm的正方形鐵片，把圖中所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工

成一個正四棱錐形容器，則這個容器側(cè)面與底面的夾角正切值為()

1

A.3B.3C.逑D.也

4338

9.已知A(LO),B(O,-1),P是曲線y=上一個動點，則BPBA的最大值是()

A.2B.20C.亞+2D.V2+1

10.設(shè)點A(l,0),動直線/：x+ay+2a-i=Q,作AAf_L/于點則點M到坐標原點。距離的最小值為()

A.1B.垃+1C.72-1D.y/3

二、填空題

11.已知向量。=(f,4),6=(lj),若a〃b，則實數(shù)7=.

12.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和5"=4"7-1,則%=；使得命題都有°川-4,>1。0”為

真命題的一個N。的值為.

13.已知圓C:/+(y-l)2=2,若點尸在圓C上，并且點P到直線y=x的距離為正，則滿足條件的點P的個

2

數(shù)為.

14.已知函數(shù)/⑺=^叫酬+⑴,加加生:滿足：VxeR,/^x+^=-/(x),f^x

且在「ll'Cl上單調(diào)遞減，貝1；中=.

15.已知集合「=｛5，)1(*-35。)2+(3；-血。)2=4,()4,4兀｝.由集合「中所有的點組成的圖形如圖中陰影部分

所示，中間白色部分形如美麗的"水滴".給出下列結(jié)論:

2

c

x

D

①白色"水滴"區(qū)域（含邊界）任意兩點間距離的最大值為1+

②在陰影部分任取一點V,則“到坐標軸的距離小于等于3；

③陰影部分的面積為包；

④陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為8兀.

其中正確的有.

三、解答題

16.在AA8C中，已知A/§c=6bcosA+asinB

⑴求B的大??；

（2）在下面3個條件中選一個，使得△ABC唯一存在，并求其面積.

①6=A/13,G=4②A=?,6=2W（3）c=4,Z?=A/21

17.某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日的微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職

工乙微信記步數(shù)情況：

3

步數(shù)15524步數(shù)12396

85661989116820520713022118601552411845105779780487217022965512396

職工甲職工乙

(1)從3月2日至3月7日中任選一天,求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率;

(2)從3月1日至3月7日中任選兩天,記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為X,求X的分

布列及數(shù)學期望;

⑶下圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方

圖.已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名(按照從大到小排序)分別為第68和第142,

請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖(不用說明理由).

18.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，CD,平面ARI。為等邊三角形，AD//BC,AD=CD=2BC=2,

平面尸交平面出。直線/,E、/分別為棱PC,P8的中點.

4

⑴求證：BCII/；

⑵求平面AEP與平面PAD所成銳二面角的余弦值；

⑶在棱PC上是否存在點G,使得。GII平面AEF?若存在，求等的值，若不存在，說明理由.

3

19.已如〃x）=e，-

⑴求曲線y=在點（0,〃0））處的切線方程;

⑵判斷“X）極值點個數(shù)，并說明理由；

1Q

⑶解不等式

5

20.已知橢圓C：靛+方=1（。>6>0）的離心率為萬，過橢圓右焦點廠的直線/與橢圓交于A,B兩點,當直

線/與尤軸垂直時，|AB|=3.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵當直線/的斜率為H%w0）時，在X軸上是否存在一點尸（異于點尸），使X軸上任意一點到直線必與到直

線尸2的距離相等？若存在，求尸點坐標；若不存在，請說明理由.

21.設(shè)A是由機X”個實數(shù)組成的相行"列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或

該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作

⑴數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過兩次"操作"，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負實數(shù)，

請寫出每次"操作"后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）：

（2）數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作"，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非

負整數(shù)，求擎婺a的所有可能值：

a/—I-a-a1

2—CL1-a2a—2a2

表2

⑶對由機X”個實數(shù)組成的m行?列的任意一個數(shù)表A,能否經(jīng)過有限次"操作"以后，使得到的數(shù)表每行的各

6

數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負實數(shù)？請說明理由.

參考答案：

1.B

【分析】先解一元二次不等式確定集合A的元素，再由交集運算即可求解；

【詳解】由解得一24X<2,又xeZ,所以&=0,1,2}.

于是Ac3={-2,-1,0,1,2}c卜卜>一1}={0,1,2}.

故選：B.

2.D

【分析】由復數(shù)乘法以及模的運算公式即可求解.

【詳解】由題意z=i（2+i）=—l+2i,則目==石.

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理求出d的系數(shù).

【詳解】在（?-2/的展開式中，f項為C；（石y?（-2）i=-10*,

所以/的系數(shù)為-10.

故選：A

4.C

【分析】根據(jù)各選項中函數(shù)式，直接判斷單調(diào)性即得.

【詳解】函數(shù)在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞增，A不是；

2

??I-X+1,X21

函數(shù)/。）=-卜-1=,,在（0,1］上單調(diào)遞增，B不是；

函數(shù)/（x）=2-，在R上單調(diào)遞減，C是；

函數(shù)/（嗎=-/+彳在（0』上單調(diào)遞增，D不是.

故選：C

5.B

【解析】由sinA=cos8,貝!|A+B="或A-B='和C='，貝!|A+B=四，則sinA=sin（3-8）=cosB,可得

22222

7

出答案.

【詳解】若sinA=cos3,則4+8=5或=即0=、或A-B=：,

-71

所以在△A5c中，〃sinA=cos3〃是“。=5〃的不充分條件

若C=四，則A+5=巴，則sinA=sin(——B)=cosB,

222

TT

所以在△ABC中，"sinA=cos3〃是“C=5〃的必要條件.

故選：B.

【點睛】本題考查充分、必要條件的判斷，考查三角函數(shù)的誘導公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【分析】先由拋物線的焦半徑公式求出點”的坐標，再利用兩點間的距離公式求出|。河|.

【詳解】設(shè)/(1,%),則4=8%,

由C：V=8x得2P=8,即舁2,貝1]|岫=無。+_|=%+2=4,解得々=2,

于是就=8x2=16,即％=±4,則M(2,±4).

所以=M+y；=V4+16=2A/5.

7.A

【分析】根據(jù)題意求公差和公比,,分情況討論，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列也,｝的公比為4,

因為,=,=_4,%=2,a5=8b4,

f-4-1-3/7=?d=2

則L華父―解得1，

[-4+4(7=8x(—4%q=——

、2

8

令q=am-b,n=[-4+2(m-l)]

可得q=16q=-4,q=0,此時滿足或>1只有機=1成立;

若加24,貝!］加一3>0,

(1)若加為奇數(shù)，則q=16(加一3)<0,不滿足%>1;

(2)若加為偶數(shù)，貝|%，%+2

4(/M-3)4vm—3)4

即J+2<。，可得1=。4>。6>。8>…，即c,“>l不成立；

綜上所述：滿足4“心”>1的數(shù)值機有且僅有1個值，該值為1.

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求出正四棱錐的斜高及底面邊心距即可計算得解.

【詳解】依題意，正四棱錐的底面正方形邊長為6,斜高為〃=5,則底面正方形邊心距為r=3,

于是正四棱錐的高為九二行二二小

,h4

所以這個容器側(cè)面與底面的夾角正切值為-=:.

r3

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得BP8A=x+y+l,再利用直線與圓利用數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】因為y=廬，20,即d+V=l(y20),

則曲線y=71=7表示以坐標原點。為圓心，半徑為1的上半圓，

設(shè)點尸(x,y),則3P=(x,y+l),3A=(1,1),

9

所以5P.5A=x+y+l,令/=%+y+l,則y=_%+.—l,

故直線y=-x+-i（斜率為-L縱截距為-1）與曲線。有公共點，如圖所示:

直線4：y=-x+根過點。（―1,0）,貝Uo=i+祖，即加=—1,

n

直線4：y=-尤+"與曲線c相切，則\\1,解得〃=&或〃=一&（舍去）,

所以-lWf-140，貝1Jow拒+1，所以3P54的最大值為0+1.

故選：D.

10.C

【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系可得點M的軌跡是以C（l,-1）為圓心，半徑/-I的圓，即可得|河。|神=夜-1.

【詳解】由AM，/以及％+歿+2。一1=0可得直線AM的方程為y=1）,

x+ay+2a-i=0oo

聯(lián)立y=a(l)，消去a整理可得(f+e+l)』；

所以可知點M的軌跡是以C（L-1）為圓心，半徑r=1的圓;

因止匕1Molmin=\CO\-r=^(1-0)2+(-1-0)2-1=72-1.

故選：C

11.±2

【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標表示列式即可求出結(jié)果.

【詳解】因為向量〃=&4）,6=（1,。且〃〃人,

所以4x1=0,解得,=±2，

故答案為：±2

0,n=1

12.3X4,-2'>2'"eN3(答案不唯一，N。Z3)

【分析】根據(jù)給定的前〃項和求出通項〃〃即可，由。用-4>1。。求出〃的取值范圍作答.

10

【詳解】數(shù)列｛%｝的前"項和S"=4"T-1,當〃=1時，《=S[=4°-1=。,

]22

當時，an=Sn-=(4?--1)-(4"--1)=3x4?-,顯然4=。不滿足上式,

O,n=l*

所以4,=,neN；

3x4n-2,n>2

當〃=1時，〃2-4=3<100,不等式4+1-4>100不成立，

當〃22時，4+1—%=3x4~—3x4〃一2=9x下一？，

不等式?！?1>100=4〃一?,而〃eN*,解得〃N4,

因此對V〃>3,〃eN*,不等式?！?1>10。恒成立,

所以〃都有%—%>100〃為真命題的N023,取N°的一個值為3.

0,n=l

故答案為:，幾￡N*3

3x4〃—2,心2

13.3

【分析】設(shè)夕(外，幾)，根據(jù)點尸到直線y=x的距離為弓，求得君+尤-2%%=1,再由(毛,%)在圓C上,

得到%(毛-1)=。，取得%=。或%=1,進而求得滿足條件的點的個數(shù)，得到答案.

【詳解】設(shè)p(x0,幾)，由點P到直線y=x的距離為自，得區(qū)短=#

兩邊平方整理得到第+呼-2尤。%=1①

因為(?，%)在圓C上，所以其+(%-1丫=2,即石+此一2%=1②

聯(lián)立①②得%(%—1)=0,

解得%=?；?=1，

當先=0時，由①②可得x；=l,解得*=1或無。=-1,即尸(1,0)或尸(-1,0)

當為=1時，由①②可得必-2%=0,解得%=?；?=2,即尸(1,0)或尸(1,2)

綜上，滿足條件的點尸的個數(shù)為3.

故答案為：3.

71.1

14.2——/——兀

33

11

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)”X）的周期及對稱中心，結(jié)合單調(diào)遞減區(qū)間求解作答.

【詳解】由VxeR,小+gj=-"x）,得+兀）=-/（尤+全=/（尤），因此兀是函數(shù)/（元）的一個周期,

又函數(shù)"X）在-上單調(diào)遞減，則函數(shù)〃盼的周期722右-（-=）］=等,

1，3/3126

因此函數(shù)/（X）的最小正周期為兀，則。='=2,

兀

由/卜+野=-7［一d知，函數(shù)/（X）圖象的一個對稱中心為（*（））,

即有2x'+0=E,左EZ,而|夕|<?，于是2=0,"=—4

623

.■./小兀、、[,,7171.,_71,7171.

止匕時/(%)=—sin(2x-3),當尤￡(一石,金)時，2X-—G(——,—)F

I.?_/乙?_z

正弦函數(shù)〉=持在（一封）上單調(diào)遞增，于是函數(shù)/（X）在（一上單調(diào)遞減,

所以。=2,。=-；.

故答案為：2;-y

15.①②④

【分析】對于①，令x=0,求出［百,3］,求出點A,B坐標即得解；對于②，利用圓的參數(shù)方程設(shè)

點，再利用絕對值三角不等式得解；對于③，利用割補法求解；對于④，求出陰影部分的內(nèi)外邊界曲線的各

個部分即得解.

3

【詳解】對于①，由于（x-cos6）2+（y-sine）2=4,令x=0時，整理得ZsinOMy-7e［。？，

解得ye［-如［6,3］,“水滴”圖形與>軸相交，最高點記為4

則點A的坐標為(0,V3)，點5(0,-D,

白色"水滴"區(qū)域(含邊界)任意兩點間距離的最大值為|AB|=1+B,故①正確；

cc,=2cosa+cos6

對于②，由于(x-cosO)2+(y—sind)2=4,整理得：...八,

[y=2sina+sin〃

所以Af(2cosa+cosa2sina+sin。)，所以M到坐標軸的距離為12cosa+cos9|或|2sina+sin6|,

因為cos0G[-1,1],sin0G[0,1],

所以12coscr+cos01<|2cosa|+1cos8區(qū)2+1=3,12sma+sin^|<|2sincr|+|sin^|<2+l=3,

所以V到坐標軸的距離小于等于3,故②正確；

3

對于③，由于(％-85。)2+0-5由夕)2=4,令y=0時，整理得2cos。2,2],

12

解得xe[-3,-1]3],

因為。-<：05。）2+（卜-5111。）2=4表示以。（0?。應(yīng)110）為圓心，半徑為廠=2的圓，

則1=一|00W|0P閆00+廠=3,

且0<6（兀，則。（《?。應(yīng)110）在工軸上以及無軸上方，

故白色"水滴”的下半部分的邊界為以。為圓心，半徑為1的半圓，陰影的上半部分的外邊界是以。為圓心，半

徑為3的半圓，

根據(jù)對稱可知：白色"水滴"在第一象限的邊界是以以M（T,O）為圓心，半徑為2的圓弧，

設(shè)N（1,O）,貝U|A7V|=|AM|=|W|=2,即AN所對的圓心角為:，

JT

同理府所在圓的半徑為2,所對的圓心角為三，

陰影部分在第四象限的外邊界為以N（1,O）為圓心，半徑為2的圓弧，

設(shè)G（3,0）,H（—3,0）,可得|ON|=l,|O￡>|=^,NON￡>=g,DG所對的圓心角為g，

27r

同理08所在圓的半徑為2,所對的圓心角為

故白色“水滴”圖形由一個等腰三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成，

所以它的面積是S=S半圓+2S弓形+SV=：XTIX12+2X[4-6]+:X2X#=^-8

213J20

1Q

X軸上方的半圓（包含陰影和水滴的上半部分）的面積為:兀X32=￡%

第四象限的陰影和水滴部分面積可以看作是一個直角三角形和一個扇形的面積的和，

且等于兀x22+—x^3xl=—71+^-,

3232

所以陰影部分的面積為京+2++#）-*+百='+25故③錯誤；

對于④，x軸上方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為:x27ix3+1x2x2=37i+g兀=￡兀,

13

X軸下方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為gx27rxl+(gx2兀x2-g7ix2)x2=m7i,

所以陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為手+手=8兀，故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題有三個關(guān)鍵，其一是寫出圓的參數(shù)方程，設(shè)出點的坐標，其二是利用割補法求不

規(guī)則圖形的面積，其三是利用三角函數(shù)的值域求出圖形與坐標軸的交點的坐標.

,、兀

16.⑴H

⑵答案不唯一，具體見解析

【分析】(1)利用正弦定理將邊變角，然后整理化簡可得8的大??；

(2)利用正弦余弦定理求出三角形其他邊角，再利用面積公式求出面積.

【詳解】(1),=V3Z?cosA+asinB

由正弦定理得石sinC=^3sinBcosA+sinAsinB

6sinBcosA+sinAsinB=\/3sin(A+B)=^3sinAcosB+V3sinBcosA

sinAsinB=^3sinAcosBf.sinAwO

/.sinB=^3cosB,即tan5=

TT

又b<B<7T,B=—?

(2)選①：b1=(^+C1—laccosB

13=16+c2-2x4xcxcos—

3

.?.c=l或。=3,所以△A3C不唯一存在

所以①不能選;

a_2^3

ab

選②:即.TT.71

sinAsinBsin—sin—

43

a-2\/2

<A=7-4

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=x—+x+

v722224

:.S=-absinC=-x2s/2x2^x^^=3+y/3

224

14

選③"=/+。2—2〃ccosB

冗

即21=4+16-2x4x4xcos]

，。=5或。=一1(舍)

/.S=-ticsinB=—x5x4xsin—=.

223

17.(1)1

Q

⑵分布列見解析，E(X)=,

(3)3月3日

【分析】（1）根據(jù)古典概型公式求解即可.

C214C22

（2）根據(jù)題意得到X=0,1,2,P（X=0）=清=干尸（X=l）=章=,P（X=2）=蕾=],再寫出分布

列數(shù)學期望即可.

（3）根據(jù)折線圖和頻率分布直方圖求解即可.

【詳解】（1）令時間A為"職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000",

從3月2日至3月7日這6天中，3月2日、5日、7日這3天中，

甲乙微信記步數(shù)都不低于10000,

31

故P（A）=q=]?

（2）由（1）知：X=0,1,2,

尸"=。）=制，/（X=l）=警=3尸（X=2）噌4

X的分布列為:

X012

￡42

P

777

147R

E（X）=0x"+lx：+2x：=,3）根據(jù)頻率分步直方圖知：微信記步數(shù)落在[20,25],[15,20）,[10,15）,[5,10）,

[0,5）（單位：千步）區(qū)間內(nèi)的人數(shù)依次為200*0.15=30人，200x0.25=50人，

200x0.3=60人，200x0.2=40人，200x0.1=20人,

由甲微信記步數(shù)排名第68,可知當天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬之間,

15

根據(jù)折線圖知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信記步數(shù)排名第142,可知當天乙微信記步數(shù)在5000到10000萬之間,

根據(jù)折線圖知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

18.⑴證明見詳解

（2）姮

17

⑶存在，藍=1

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分析證明；

（2）根據(jù)題意可在。尸，平面ABCZ）,建系，利用空間向量求面面夾角；

（3）設(shè)PG=2PC，求點G的坐標，根據(jù)線面平行的向量關(guān)系分析運算.

【詳解】（1）因為A￡>〃3C,A￡>u平面MD,平面上4D,

所以〃平面PAD,

又因為BCu平面PBC,平面「平面加D=直線/,

所以8cliI.

（2）取AD的中點O,連接。尸,。8,

由題意可得：BC//OD,且3c=6?,

則OBCD為平行四邊形，可得OB〃CD,

且CD_L平面E4D,則O3_L平面

由OPu平面B4。，則QP_LOB,

又因為為等邊三角形，則。為的中點，可得OPLAD,

OBAD=O,。3,/1。<=平面?15。。，則OPJ.平面A3CO,

如圖，以。為坐標原點，OA,OB,OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則4（1,0,0）,2（0,2,0）（（-1,2,0）,。（-1,0,0）,尸（0,0,右）,￡，尸

可得AE=l,o1

3,乖）八

n?AE=——XH----Z=0

設(shè)平面AEF的法向量〃二（%,y,z）,則＜22

n-EF==0

16

令x=2,則y=—1,z=2V§\即〃=,

由題意可知：平面以。的法向量根二（04,0）,

n-m-1

可得cos〃，機=

|n|-|m|717xl17

所以平面用與平面外。所成銳二面角的余弦值*

設(shè)尸G=4尸C，G(a,b,c),則PG=(a,b,c—6),

a——/Ia=—A

可得<0=24,解得<b=2/l,

c—A/3=—^3Ac=y(3(1—

即G(-2,22,6(1-2)),可得DG=(1-2,22,6(1-2)),

若。GII平面AER則“LOG，

4

nT^7t-DG=2(l-/l)-22+6(l-A)=0,解得％=1，

PG4

所以存在點G,使得。GII平面AER此時正=1.

19.(l).x-y+l=0；

⑵函數(shù)極值點個數(shù)為2,理由見解析；

1a

⑶不等式的解集為(-1,+8).

【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程；

（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)尸（力的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理求零點，并判斷其兩側(cè)的導數(shù)值的正負，由此

確定函數(shù)/'（X）的極值點的個數(shù)；

17

(3)根據(jù)函數(shù)〃尤)的單調(diào)性，極值及-鼻i確3定不等式的1解3集.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=e-：x2的定義域為R,導函數(shù)r(x)=e-3x,

所以〃0)=1,r(0)=1-

所以曲線y=/(x)在點(0,〃0))處的切線斜率為1,

所以曲線y=〃x)在點(0,〃0))處的切線方程為x-y+l=0.

(2)設(shè)g(x)=e“—3x,則g(x)=e*-3,

令g'(x)=0,可得x=ln3,又g'(x)=眇-3為R上的增函數(shù),

當x<ln3時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)=e*-3x在(-oo,ln3)上單調(diào)遞減，

當x>ln3時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=e*-3x在(ln3,4<o)上單調(diào)遞增，

Xg(ln3)=eln3-31n3=3-31n3<0,g(0)=e°-0=1>0,g(2)=e2-6>0,

所以存在石?(。，地),々e(ln3,2)使得8(%)=8(七)=0,

當尤<玉時，g(x)>0,即用x)>0,函數(shù)/(無)在(T?,菁)上單調(diào)遞增，

當不<x<%時，g(x)<0,gp/(x)<0,函數(shù)f(x)在(再,％)上單調(diào)遞減,

當x>三時，g(x)>0,即/心)>0,函數(shù)f(x)在(孫+⑹上單調(diào)遞增，

所以x=玉為函數(shù)的極大值點，元=尤2為函數(shù)/(元)的極小值點，

所以函數(shù)/(無)有兩個極值點；

1Q

⑶因為函數(shù)“X)在(F,引上單調(diào)遞增，不?0/113),/(-1)=--|,

1Q

所以當XV匹時，不等式的解為-1<尤V%,

因為函數(shù)/'(X)在(王，龍2)上單調(diào)遞減，在［x2，+°°)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(尤)在(占,內(nèi))上的最小值為〃*2),

因為ae(ln3,2),g(苞)=e%—3叫=0,

18

iQ

所以當X＞不時，不等式的解為x＞為，

1Q

所以不等式“力＞E-1的解集為（-1,a）.

20.（1）—+^-=1

43

⑵存在，P（4,0）

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解“涉，。，即可得結(jié)果;

（2）根據(jù)題意分析可得x軸為直線R1與直線網(wǎng)的對稱軸，根據(jù)斜率關(guān)系結(jié)合韋達定理運算求解.

【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c＞0,

a2=b2+c2cc

a-2

由題意可得一=3,解得b=&,

a_

c1

e=—

、a2

22

所以橢圓c的標準方程為—+^=1.

43

（2）由（1）可得：F（l,0）,

根據(jù)題意可設(shè)直線/：y=Mx-1）,4（%,必）,3（程力）,尸（加,0）（加工1）,

y=左(％-1)

聯(lián)立方程<冗2y2,消去〉得(4左2+3)X2—8左2%+4左2—12=。,

----1------1

[43

則A=646-4（4左2+3）（4左z一12）=144（公+1）＞0,

把,8左24左212不

1-4^+3124/+3J

由題意可知無軸為直線朋與直線尸8的對稱軸，則kPA+kPB=+一^=0,

xx—mx2—m

可得以上5+必31=。，

x1—mx2—m

因為左W0,可得(5-l)(x2-m)+(jq-m)(x2-1)=0,

2-(

整理得2石％m+1)(玉+x2)+2m=0,②

7"郎*2…,解得…

將①代入②得：-

19

所以存在點P,使無軸上任意一點到直線用與到直線P8的距離相等，此時打4,0）.

【點睛】方法點睛：存在性問題求解的思路及策略

（1）思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在.

（2）策略：①當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；

②當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；

③當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況.

21.⑴答案見解析;

(2)〃=0或a=—1

⑶證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)題中一次"操作〃的含義，將原數(shù)表改變第4歹U,再改變第2行即可；或者改變第2