7.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征

7.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量的方差三、思考題第三節(jié)、隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1．離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望

定義７．9

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的概率其分布概率為

如果收斂，則稱為隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望．記作，即．?dāng)?shù)學(xué)期望也稱為均值．Xx1x2…

xn

…

pip1p2…

pn…

例3．2

設(shè)隨機(jī)變量X服從0-1分布，試求它的數(shù)學(xué)期望E(X)

解

因?yàn)楦怕史植紴?/p>

所以

例3．3

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，試求它的數(shù)學(xué)期望E(X)

解

因?yàn)閄～

所以

例３.４

已知１０件產(chǎn)品有８件一等品，２件二等品，每次從中任取一件，取后不放回，取到一等品為止．試求取到一等品的平均抽取次數(shù)．分布率為解以X表示取到一等品時(shí)的抽取次數(shù)，則其概率分布為：所以

２．連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義7．１0設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且密度函數(shù)為f(x)，如果收斂，則稱積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作即．例3．５

設(shè)X～，求．解

設(shè)x的密度函數(shù)為

則

例3．６

正態(tài)分布設(shè)求，解

令則所以

３．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）若c是常數(shù)，則E(c)=c；（2）若k為常數(shù)，則E(kX)=kE(X)；（3）（4）設(shè)X1,X2相互獨(dú)立，則例３.６

已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為

求：解

（１）（２）（３）（１），（２）,（３）

二、隨機(jī)變量的方差

定義7.11

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為X的方差．記作．即為計(jì)算方便，方差的計(jì)算公式還可以簡(jiǎn)化為例3．７

設(shè)隨機(jī)變量服從分布，試求它的方差

解

而所以例３.８

某商業(yè)部門在甲乙兩個(gè)居民區(qū)中選取地址建連鎖店，對(duì)這兩個(gè)居民區(qū)的人均收入狀況進(jìn)行抽樣調(diào)查，各抽查１０戶居民，結(jié)果如下表：

人均收入概率5606207008800．20．40．20．2人均收入概率43048070010200．20．30．20．3試求方差和標(biāo)準(zhǔn)差．解

（元）；

（元）；

，

思考題

1.離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是E(X)，則一定成立．

2.