蘇教版高數(shù)必修五第5講：等差數(shù)列前n項和公式(教師版)

等差數(shù)列的前項和____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學重點：掌握等差數(shù)列前項和通項公式及性質，數(shù)列最值的求解，與函數(shù)的關系教學難點：數(shù)列最值的求解及與函數(shù)的關系數(shù)列的前項和一般地，我們稱為數(shù)列的前項和，用表示；記法：顯然，當時，有所以與的關系為=1\*GB3① =2\*GB3②等差數(shù)列的前項和公式等差數(shù)列前項和公式性質等差數(shù)列中，依次項之和仍然是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，且公差為是等差數(shù)列等差數(shù)列中，若，則；若則若和均為等差數(shù)列，前項和分別是和，則有項數(shù)為的等差數(shù)列，有有偶-奇=，奇/偶=等差數(shù)列前項和公式與函數(shù)的關系等差數(shù)列前項和公式可以寫成若令類型一：數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式例1.已知數(shù)列的前項和求解析：當時，；當時，當時，上式成立所以答案：練習1.已知數(shù)列的前項和求答案：練習2：已知數(shù)列的前項和求答案：例2.已知等差數(shù)列的前項和為，求及解析：，整理得解得或（舍去）答案：練習3.已知等差數(shù)列的前項和為，，求答案：練習4.已知等差數(shù)列的前項和為，求答案：例3.在等差數(shù)列中，前項和為若求和公差若求滿足的所有的值解析：（1）由等差數(shù)列前項和公式有（2）由所以即解得或答案：（1）（2）或練習5.設是等差數(shù)列的前項和，則___________答案：練習6.在等差數(shù)列中，則的前5項和______________答案：15類型二：等差數(shù)列前項和公式的性質例4.在等差數(shù)列中，若，求若共有項，且前四項之和為21，后四項之和為67，前項和，求若求解析：（1）由等差數(shù)列的性質，知（2）由題意得，知由等差數(shù)列的性質知又，即因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，首項為，設其公差為，則為該數(shù)列的前10項和，解得，又為該數(shù)列的前11項和，故答案：（1）（2）（3）練習7.（2014山東淄博一中期中）設是等差數(shù)列的前項和，若，則等于（）A.B.C.D.答案：C練習8.（2014山東青島期中）已知等差數(shù)列的公差，則（）A.2014B.2013C.1007D.1006答案：C例5.已知等差數(shù)列和的前項和分別為和，且則=（）A.B.C.D.解析：當為奇數(shù)時，等差數(shù)列的前項和同理令得答案：C練習9.已知是等差數(shù)列，為其前項和，若則的值為______答案：110練習10.已知等差數(shù)列的公差為2，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15，所有偶數(shù)項之和為35，則這個數(shù)列的項數(shù)為______________答案：20類型三：等差數(shù)列前項和公式的最值及與函數(shù)的關系例6.已知數(shù)列的前項和為這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項公式求使得最小的值解析：（1）因為當時也適合上式，所以這個數(shù)列的通項公式為又因為所以是等差數(shù)列（2）因為是正整數(shù)，所以當或時最小，最小值為-112答案：（1）是；（2）當或時最小，最小值為-112練習11.已知等差數(shù)列的前項和為，為數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式答案：練習12.等差數(shù)列中，若，求=_____________答案：例7.已知等差數(shù)列中，求使該數(shù)列前項和取得最小值的的值解析：設等差數(shù)列的公差為，則由題意得即有最小值；又或時，取最小值答案：或時，取最小值練習13.已知等差數(shù)列中，則使前項和取得最小值的值為（）A.7B.8C.7或8D.6或7答案：C練習14.數(shù)列滿足，則使得其前項和取得最大值的等于（）A.4B.5C.6D.7答案：B1.四個數(shù)成等差數(shù)列，S4＝32，a2a3＝13，則公差d等于()A．8B．16C．4D．0答案：A2.設{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結論錯誤的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6與S7均為Sn的最大值．答案：C3.已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18答案：B4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列{eq\f(1,anan＋1)}的前100項和為()A.eq\f(100,101)B.eq\f(99,101)C.eq\f(99,100)D.eq\f(101,100)答案：A5.在等差數(shù)列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，則eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(9,10)B.eq\f(10,9)C．2D.eq\f(2,3)答案：A6.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝()A．8B．7C．6D．5答案：D7.(2014·福建理，3)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于()A．8B．10C．12D．14答案：C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固1.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，則m＝()A．38B．20C．10D．9答案：C2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列的前20項和等于()A．160B．180C．200D．220答案：B3.等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當首項a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各數(shù)中也為定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15答案：C4.已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是()A．5B．4C．3D．2答案：C5.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＝eq\f(1,2)，an＝3，Sn＝eq\f(15,2)，則a1＝________，n＝________.答案：2，36.設Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝________.答案：257.設{an}是公差為－2的等差數(shù)列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋a6＋a9＋…＋a99的值為________．答案：－828.若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大．答案：89.已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{eq\f(1,a2n－1a2n＋1)}的前n項和．答案：(1)設{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝0,5a1＋10d＝－5))，解得a1＝1，d＝－1.由{an}的通項公式為an＝2－n.(2)由(1)知eq\f(1,a2n－1a2n＋1)＝eq\f(1,3－2n1－2n)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1))，從而數(shù)列{eq\f(1,a2n－1a2n＋1)}的前n項和為eq\f(1,2)(eq\f(1,－1)－eq\f(1,1)＋eq\f(1,1)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1))＝eq\f(n,1－2n).10.設{an}是等差數(shù)列，前n項和記為Sn，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通項an；(2)若Sn＝242，求n的值．答案：(1)設公差為d，則a20－a10＝10d＝20，∴d＝2.∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，∴a1＝12.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.(2)Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n2n＋22,2)＝n2＋11n＝242，∴n2＋11n－242＝0，∴n＝11.能力提升11.在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，則數(shù)列{an＋bn}的前100項的和為()A．0B．4475C．8950D．10000答案：C12.等差數(shù)列{an}中，a1＝－5，它的前11項的平均值是5，若從中抽取1項，余下的10項的平均值為4，則抽取的項是()A．a8B．a9C．a10D．a11答案：D13.一個凸多邊形的內角成等差數(shù)列，其中最小的內角為120°，公差為5°，那么這個多邊形的邊數(shù)n等于()A．12B．16C．9D．16或9答案：C14.已知一個等差數(shù)列的前四項之和為21，末四項之和為67，前n項和為286，則項數(shù)n為()A．24B．26C．27D．28答案：B15.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S3＝4a3，a7＝－2，則a9＝(A．－6B．－4C．－2D．2答案：A16.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S6,S12)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,9)答案：A17.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200eq\o(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三點共線(該直線不過點O)，則S200＝()A．100B．101C．200D．201答案：A18.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，則n＝________.答案：2719.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－8，則通項公式an＝________.答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7n＝1,2n－1n≥2))20.設{an}是遞減的等差數(shù)列，前三項的和是15，前三項的積是105，當該數(shù)列的前n項和最大時，n等于()A．4B．5C．6D．7答案：A21.等差數(shù)列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，則數(shù)列{an}的前n項和取最大值時，n的值為______________．答案：5或622.設等差數(shù)列的前n項和為Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由．答案：(1)依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S12＝12a1＋\f(12×11,2)d>0,S13＝13a1＋\f(13×12,2)d<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋11d>0，①,a1＋6d<0.②))由a3＝12，得a1＋2d＝12.③將③分別代入②①，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(24＋7d>0,3＋d<0))，解得－eq\f(24,7)<d<－3.(2)由d<0可知{an}是遞減數(shù)列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，則Sn最大．由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．23.已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值．答案：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.從而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝eq\f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.進而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N*，故k＝7為所求．24.在等差數(shù)列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.答案：(1)解法一：由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝2a1＋13d＝58,a4＋a9＝2a1＋11d＝50))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝4)).∴S10＝10a1＋eq\f(10×10－1,2)×d＝10×3＋eq\f(10×9,2)×4＝210.解法二：由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58,a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50)