蘇教版高數(shù)必修五第5講:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(教師版)_第1頁
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文檔簡介

等差數(shù)列的前項(xiàng)和____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學(xué)重點(diǎn):掌握等差數(shù)列前項(xiàng)和通項(xiàng)公式及性質(zhì),數(shù)列最值的求解,與函數(shù)的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn):數(shù)列最值的求解及與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列的前項(xiàng)和一般地,我們稱為數(shù)列的前項(xiàng)和,用表示;記法:顯然,當(dāng)時(shí),有所以與的關(guān)系為=1\*GB3① =2\*GB3②等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式等差數(shù)列前項(xiàng)和公式性質(zhì)等差數(shù)列中,依次項(xiàng)之和仍然是等差數(shù)列,即成等差數(shù)列,且公差為是等差數(shù)列等差數(shù)列中,若,則;若則若和均為等差數(shù)列,前項(xiàng)和分別是和,則有項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列,有有偶-奇=,奇/偶=等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可以寫成若令類型一:數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式例1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和求解析:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),上式成立所以答案:練習(xí)1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和求答案:練習(xí)2:已知數(shù)列的前項(xiàng)和求答案:例2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,求及解析:,整理得解得或(舍去)答案:練習(xí)3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,求答案:練習(xí)4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,求答案:例3.在等差數(shù)列中,前項(xiàng)和為若求和公差若求滿足的所有的值解析:(1)由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有(2)由所以即解得或答案:(1)(2)或練習(xí)5.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則___________答案:練習(xí)6.在等差數(shù)列中,則的前5項(xiàng)和______________答案:15類型二:等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4.在等差數(shù)列中,若,求若共有項(xiàng),且前四項(xiàng)之和為21,后四項(xiàng)之和為67,前項(xiàng)和,求若求解析:(1)由等差數(shù)列的性質(zhì),知(2)由題意得,知由等差數(shù)列的性質(zhì)知又,即因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列,所以成等差數(shù)列,首項(xiàng)為,設(shè)其公差為,則為該數(shù)列的前10項(xiàng)和,解得,又為該數(shù)列的前11項(xiàng)和,故答案:(1)(2)(3)練習(xí)7.(2014山東淄博一中期中)設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則等于()A.B.C.D.答案:C練習(xí)8.(2014山東青島期中)已知等差數(shù)列的公差,則()A.2014B.2013C.1007D.1006答案:C例5.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且則=()A.B.C.D.解析:當(dāng)為奇數(shù)時(shí),等差數(shù)列的前項(xiàng)和同理令得答案:C練習(xí)9.已知是等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,若則的值為______答案:110練習(xí)10.已知等差數(shù)列的公差為2,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為35,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為______________答案:20類型三:等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的最值及與函數(shù)的關(guān)系例6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?求出它的通項(xiàng)公式求使得最小的值解析:(1)因?yàn)楫?dāng)時(shí)也適合上式,所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為又因?yàn)樗允堑炔顢?shù)列(2)因?yàn)槭钦麛?shù),所以當(dāng)或時(shí)最小,最小值為-112答案:(1)是;(2)當(dāng)或時(shí)最小,最小值為-112練習(xí)11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,為數(shù)列的前項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式答案:練習(xí)12.等差數(shù)列中,若,求=_____________答案:例7.已知等差數(shù)列中,求使該數(shù)列前項(xiàng)和取得最小值的的值解析:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由題意得即有最小值;又或時(shí),取最小值答案:或時(shí),取最小值練習(xí)13.已知等差數(shù)列中,則使前項(xiàng)和取得最小值的值為()A.7B.8C.7或8D.6或7答案:C練習(xí)14.數(shù)列滿足,則使得其前項(xiàng)和取得最大值的等于()A.4B.5C.6D.7答案:B1.四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,S4=32,a2a3=13,則公差d等于()A.8B.16C.4D.0答案:A2.設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.d<0B.a(chǎn)7=0C.S9>S5D.S6與S7均為Sn的最大值.答案:C3.已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18答案:B4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列{eq\f(1,anan+1)}的前100項(xiàng)和為()A.eq\f(100,101)B.eq\f(99,101)C.eq\f(99,100)D.eq\f(101,100)答案:A5.在等差數(shù)列{an}中,若S12=8S4,且d≠0,則eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(9,10)B.eq\f(10,9)C.2D.eq\f(2,3)答案:A6.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=()A.8B.7C.6D.5答案:D7.(2014·福建理,3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于()A.8B.10C.12D.14答案:C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知am-1+am+1-aeq\o\al(2,m)=0,S2m-1=38,則m=()A.38B.20C.10D.9答案:C2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列的前20項(xiàng)和等于()A.160B.180C.200D.220答案:B3.等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí),a2+a8+a11是一個(gè)定值,則下列各數(shù)中也為定值的是()A.S7B.S8C.S13D.S15答案:C4.已知等差數(shù)列共有10項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差是()A.5B.4C.3D.2答案:C5.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d=eq\f(1,2),an=3,Sn=eq\f(15,2),則a1=________,n=________.答案:2,36.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和,且a1=1,a4=7,則S5=________.答案:257.設(shè){an}是公差為-2的等差數(shù)列,若a1+a4+a7+…+a97=50,則a3+a6+a9+…+a99的值為________.答案:-828.若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=________時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大.答案:89.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{eq\f(1,a2n-1a2n+1)}的前n項(xiàng)和.答案:(1)設(shè){an}的公差為d,則Sn=na1+eq\f(nn-1,2)d.由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1+3d=0,5a1+10d=-5)),解得a1=1,d=-1.由{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n.(2)由(1)知eq\f(1,a2n-1a2n+1)=eq\f(1,3-2n1-2n)=eq\f(1,2)(eq\f(1,2n-3)-eq\f(1,2n-1)),從而數(shù)列{eq\f(1,a2n-1a2n+1)}的前n項(xiàng)和為eq\f(1,2)(eq\f(1,-1)-eq\f(1,1)+eq\f(1,1)-eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-3)-eq\f(1,2n-1))=eq\f(n,1-2n).10.設(shè){an}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和記為Sn,已知a10=30,a20=50.(1)求通項(xiàng)an;(2)若Sn=242,求n的值.答案:(1)設(shè)公差為d,則a20-a10=10d=20,∴d=2.∴a10=a1+9d=a1+18=30,∴a1=12.∴an=a1+(n-1)d=12+2(n-1)=2n+10.(2)Sn=eq\f(na1+an,2)=eq\f(n2n+22,2)=n2+11n=242,∴n2+11n-242=0,∴n=11.能力提升11.在等差數(shù)列{an}和{bn}中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,則數(shù)列{an+bn}的前100項(xiàng)的和為()A.0B.4475C.8950D.10000答案:C12.等差數(shù)列{an}中,a1=-5,它的前11項(xiàng)的平均值是5,若從中抽取1項(xiàng),余下的10項(xiàng)的平均值為4,則抽取的項(xiàng)是()A.a(chǎn)8B.a(chǎn)9C.a(chǎn)10D.a(chǎn)11答案:D13.一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120°,公差為5°,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于()A.12B.16C.9D.16或9答案:C14.已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)之和為21,末四項(xiàng)之和為67,前n項(xiàng)和為286,則項(xiàng)數(shù)n為()A.24B.26C.27D.28答案:B15.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3=4a3,a7=-2,則a9=(A.-6B.-4C.-2D.2答案:A16.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若eq\f(S3,S6)=eq\f(1,3),則eq\f(S6,S12)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,9)答案:A17.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若eq\o(OB,\s\up6(→))=a1eq\o(OA,\s\up6(→))+a200eq\o(OC,\s\up6(→)),且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)O),則S200=()A.100B.101C.200D.201答案:A18.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為18,若S3=1,an+an-1+an-2=3,則n=________.答案:2719.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-8,則通項(xiàng)公式an=________.答案:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-7n=1,2n-1n≥2))20.設(shè){an}是遞減的等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和是15,前三項(xiàng)的積是105,當(dāng)該數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí),n等于()A.4B.5C.6D.7答案:A21.等差數(shù)列{an}中,d<0,若|a3|=|a9|,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取最大值時(shí),n的值為______________.答案:5或622.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,S12中哪一個(gè)值最大,并說明理由.答案:(1)依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S12=12a1+\f(12×11,2)d>0,S13=13a1+\f(13×12,2)d<0)),即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1+11d>0,①,a1+6d<0.②))由a3=12,得a1+2d=12.③將③分別代入②①,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(24+7d>0,3+d<0)),解得-eq\f(24,7)<d<-3.(2)由d<0可知{an}是遞減數(shù)列,因此若在1≤n≤12中,使an>0且an+1<0,則Sn最大.由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.23.已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35,求k的值.答案:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2.從而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n.所以Sn=eq\f(n[1+3-2n],2)=2n-n2.進(jìn)而由Sk=-35,可得2k-k2=-35.又k∈N*,故k=7為所求.24.在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.答案:(1)解法一:由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5+a10=2a1+13d=58,a4+a9=2a1+11d=50)),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=3,d=4)).∴S10=10a1+eq\f(10×10-1,2)×d=10×3+eq\f(10×9,2)×4=210.解法二:由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5+a10=a1+a10+4d=58,a4+a9=a1+a10+2d=50)

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