江蘇省專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學模擬測試題答案詳解

江蘇省專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學模擬測試題一．選擇題(每題4分,共24分)1.當時,與是等價無窮小，那么常數(shù)的值為()A. 1B. 2C.3D.4解：此題考查無窮小階的比擬，就是求兩個函數(shù)比值的極限，條件說是等價無窮小，那么比值的極限是1，即有那么，選B。2.曲線的垂直漸近線是()A. B. C.D.沒有垂直漸近線解：所謂垂直漸近線就是假設(shè)〔也可以是單側(cè)極限，即左極限或右極限為無窮大〕，那么稱為垂直漸近線。一般拿來討論極限的為函數(shù)中無定義的點，此題有三個無定義的點，即，，，但是在求極限時函數(shù)經(jīng)過化簡后變成，因此只有，所以選C。3.設(shè)，那么()A.B.C.D.解：此題考查變上限積分函數(shù)求導(dǎo)公式，選A。4.以下級數(shù)中條件收斂的是()A.B.C.D.解：此題考查絕對收斂與條件收斂的概念，首先要知道無論是絕對收斂還是條件收斂都是滿足收斂，只是收斂的“強度”不同罷了。選項A與D都是滿足絕對收斂的，選項C一般項的極限不是零，顯然發(fā)散，只有選項B滿足條件收斂。5.將二重積分，化成極坐標下的二次積分，那么得()A.B.C.D.解：此題考查二重積分的極坐標變換，首先關(guān)鍵是畫出積分區(qū)域來，作圖如下：此題積分區(qū)域形如右圖陰影局部，顯然答案選D。6.函數(shù)單調(diào)遞減且其圖形為凸的區(qū)間是()A．B.C.D.解：單調(diào)減就是一階導(dǎo)數(shù)小于零，凸就是二階導(dǎo)數(shù)小于零，于是，選D。二．填空題〔每題4分,共24分〕7.解：此題考查“”型的冪指函數(shù)求極限，利用“重要極限的推廣公式”8.，那么_______________解：此題考查導(dǎo)數(shù)的定義，極限中的只是一個字母，一個無窮小而已，如同原始定義中的一樣，從極限分子中可以看出自變量改變了，于是9.定積分___________.解：此題考查定積分化簡計算，即利用函數(shù)奇偶性10.設(shè)那么_________.解：此題考查向量坐標的加法、減法以及叉乘運算由可得，那么11.設(shè)函數(shù)由方程所確定，那么_______.解：此題考查多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)，可以選擇的方法有很多，比方“公式法”、“全微分法”、“兩邊求法”，這里我們采用兩邊求的方法，即對原方程兩邊同時關(guān)于求偏導(dǎo)得，解得。當然此題用公式法做也很簡單。12.冪級數(shù)的收斂域為__________.解：此題考查利用系數(shù)模比值法求冪級數(shù)的收斂域因為，所以于是，所以；當時，〔發(fā)散-P-級數(shù)〕；當時，〔收斂-萊布尼茨判別法〕；綜上，收斂域為三．計算題〔每題8分，共64分〕13.求極限解：原式=注：在此題的求解過程中使用了直接代入，即；并且利用，那么14.設(shè)函數(shù)由方程所確定，求解：此題考查隱函數(shù)求導(dǎo)，而且是求具體點的導(dǎo)數(shù)值當時，代入原方程得方程兩邊同時關(guān)于求導(dǎo)得〔〕代入，得再對〔〕式兩邊同時關(guān)于求導(dǎo)得整理得代入，及得15.求不定積分解：令，那么，代入得16.求定積分解：令，那么；當時，當時；代入得17.設(shè)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：18.設(shè)直線通過點(-1,2,0)，垂直于直線又與平面平行，求其方程解：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，那么，設(shè)所求直線的方向向量為，那么于是所求直線方程為19.計算二重積分解：由條件可知積分區(qū)域D是由曲線所圍成，在第一象限中的交點坐標為〔1,1〕，形如右圖陰影局部，所以注：此題有些同學可能會錯誤的認為陰影局部應(yīng)該是，這是不正確的這是因為假設(shè)，那么就是第二個圖中的陰影局部了。20.求微分方程的通解解：原方程對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為，解得所以對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為；又為其中的一個特征根，所以原方程的一個特解為，那么，，代入原方程得，化簡得所以，所以通解為四．證明題〔每題9分，共18分〕21.證明：當時，證明：令，那么，，所以單調(diào)遞減，又，所以，所以單調(diào)遞減，又，所以，所以單調(diào)遞減，又，所以，即當時，注：此題是利用三階導(dǎo)數(shù)相關(guān)信息一次次反推到原來的函數(shù)，即連續(xù)使用了三次利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，具體的關(guān)系圖如下：22.設(shè)函數(shù)，證明在處連續(xù)但不可導(dǎo)證明：顯然在的函數(shù)值為因為，所以所以，即在處連續(xù)因為所以，即左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，所以在處不可導(dǎo)綜上所述在處連續(xù)但不可導(dǎo)五．綜合題〔每題10分，共20分〕23.設(shè)函數(shù)在處取得極大值，且點是其圖形的拐點，求常數(shù)的值解：因為函數(shù)顯然滿足一階和二階可導(dǎo)，所以它的極值點是駐點〔一階導(dǎo)數(shù)等于零的點〕，它的拐點是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點因為，且在曲線上，所以綜上可得，解得24.求微分方程的一個解，使曲線于直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小解：將上述微分方程變形為即，這是一個一階非齊次線性微分方程，其中通解為即，顯然此時的體積是一個關(guān)于參數(shù)的一元二次函數(shù)，是一條拋物線，由中學數(shù)學可知拋物線的頂點是最小值點，頂點坐標公式為，即當時取得最小值因此所求函數(shù)為注：此題涉及到畫圖的問題，對于拋物線，我們知道它一定過原點〔0,0〕，但是常數(shù)C的正負性不知道，也就是不知道拋物線開口向上還是向下。由于此題只是求旋轉(zhuǎn)體體積，所以只要畫出大致圖形即可。不過，光知道經(jīng)過原點是不夠的，會有很多種情況，從而