2020-2021學(xué)年浙江省溫州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）（解析版）

2020-2021學(xué)年浙江省溫州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.於。21的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-z

2.為迎接2022年杭州亞運(yùn)會，亞委會采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法從某高校報名的200

名學(xué)生志愿者中抽取30人組成亞運(yùn)志愿小組，若30人中共有男生12人，則這200名學(xué)

生志愿者中女生可能有（）人

A.12B.18C.80D.120

3.已知力=（0，1），芯=（1，°），3=（2,4）,則下列各組向量中，不可以作為平面

內(nèi)所有向量的一個基底的是（）

A.a,b-cB.a,b+cC.a,2b-cD.a,2b+c

4.法國羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀（如圖所示），已知塔高211，底寬34優(yōu)，

則塔身的表面積（精確到0.01源）是（）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：272=729,342=

1156）

A.3674.52/B.2993.26m2C.1837.26m2D.1682.26/TI2

5.多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯

的得0分，部分選對的得2分.某題恰有3個選項符合題目要求，則隨機(jī)作答該題時（至

少選擇一個選項），得2分的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

55816

6.已知三個不同的平面a,P，y,三條不同的直線機(jī)，n,I,滿足aG0=機(jī)，0門丫=小a

Hy=Z,則下列命題不一定正確的為（

A.若zn〃h，則根〃/B.若點(diǎn)Aen,AEn,則AO

C.若aJ_y,0J-Y，貝U根，丫D.若m_1_幾，m_LZ,則幾_L/

7.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且a=l,a+c=2b（cosA+cosC）,

若滿足條件的△ABC有兩個，則匕的取值范圍是（）

A.（0,,）B.（0,與）C.（-1,1）D.（冬1）

8.已知平面向量；,三，q（；與f不共線）,滿足I；-Ei=Q=M，i向=1,

設(shè)1=。+武（入，WR）,則入+口的取值范圍為（）

A.（-8,-|-]U[2,+8）B,仔，2]

OO

C.[2,+8）D.（-8,2]

二、選擇題：本題共四小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.拋擲三枚硬幣，設(shè)事件4="第i枚硬幣正面朝上”，i=l,2,3.貝。（）

A.4與人2互斥B.A1UA2與4相互獨(dú)立

12

C.P（A2cA3）=—D.P（A1UA2）=—

44

10.某市教育局為了解疫情時期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從該市隨機(jī)抽取了1000名

高中學(xué)生，對他們每天的平均學(xué)習(xí)時間進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的

頻率分布直方圖，則（）

A.這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間為6~8小時的人數(shù)有100人

B.估計該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的眾數(shù)為9小時

C.估計該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的60%分位數(shù)為9.2小時

D.估計該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的平均值為8.6小時

H.平面向量Z，b13滿足-L13=-1，I^I=I＞則下列說法一定正確

的有（）

A.在Z上的投影向量為B.c在b上的投影向量為-b

C.min{\^,|^|}=1D.max[|^|,Q|}》1

12.已知正方體ABC。-ABC。的邊長為2,。為棱A4’的中點(diǎn)，M,N分別為線段C。，

CD上兩動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），記直線。加,QN與平面ABBA'所成角分別為a,0,且tan2a+tan2p

=4,則存在點(diǎn)M,N,使得（）

A.MN//AA'B.MN=2yj2C.MN=*D.MNLCQ

三、填空題：本題共四小題，每小題5分，共20分.

13.如圖，已知梯形A8C。，是水平放置的四邊形A8C。斜二測畫法的直觀圖，梯形A8CD'

的面積為遂，Z￡>'A'B'=45°,則原四邊形ABC。的面積為.

14.若復(fù)數(shù)z=a+?ai，其中i為虛數(shù)單位，〃eR,則|z-i|的最小值為.

15.截止至目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處

都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測旁邊山頂上的一座5G基

站A8,已知基站高40加，該同學(xué)在公路。、E兩點(diǎn)處測得基站頂部A處的仰角分別

為30。、45°,且NZ）CE=150。.該同學(xué)沿著公路的邊緣從D處走至E處一共走了

700Ml.則山高BC為m.（該同學(xué)的身高忽略不計）

16.已知同一平面上的△O4B和△OC。分別是邊長為1和2的正三角形（其中A,B,。和

C,D,。均按逆時針排列）,則菽.面的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

Zo

17.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi,Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為（1,-2）,（ci,1）,aER,且-為純虛

Z1

數(shù).

（1）求。的值；

（2）若zi的共扼復(fù)數(shù)可是關(guān)于x的方程N(yùn)+px+q=0的一個根，求實(shí)數(shù)p,q的值.

18.已知三棱柱ABC-DEP中，四邊形8CFE為矩形.

（1）記平面BCD與平面DEF的交線為I,求證：/〃平面BCFE；

（2）若CDLDE,求證：AC±BD.

19.在①cos/DBC*，②QC=3,③△ABC的面積為《這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在

53

下面問題中并求解.問題：在△ABC中，乙8=90°,BC=4,線段AC中存在一點(diǎn)。使

得AD=A3,求2。的長度.

20.本著健康、低碳的生活，租共享電動自行車出行的人越來越多，某共享電動自行車租車

點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價2元（20分鐘及以內(nèi)），超過20分鐘每10分鐘收費(fèi)1元（不足

10分鐘的部分按40分鐘計算）.現(xiàn)有甲、乙、丙三人來該租車點(diǎn)租車是相互獨(dú)立的（各

租一車一次），設(shè)甲、乙、丙不超過20分鐘還車的概率分別為《、44120分鐘以上

244

且不超過3。分鐘還車的概率分別%1白，三人租車時間都不會超過40分鐘.

(1)求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用不完全相同的概率：

(2)求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為10元的概率.

21.如圖，在梯形A3C。中，AB=2DC-E,尸是。C的兩個三等分點(diǎn)，G,X是A3的兩個

三等分點(diǎn)，線段BC上一動點(diǎn)P滿足而=入前(0W入Wl),AP分別交EG,FH于M,

N兩點(diǎn),記標(biāo)=Z,AD=b-

(1)當(dāng)入=/■時，用@，b表不AP；

(2)若誣=|/靠，試寫出人和口的關(guān)系，并求出u的取值范圍.

22.已知矩形A8CZ)中，AB=3,AD=\,E為線段。上一點(diǎn)(不在端點(diǎn))，沿線段AE

將△?1￡>￡1折成△人〃￡,使得平面AD'C，平面ABC.

(1)證明：平面48。與平面8。'不可能垂直;

(2)若二面角。-AE-B大小為60°,

(i)求直線與BC所成角的余弦值；

(ii)求三棱錐D'-ABC的外接球的體積.

參考答案

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.9。21的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

解：吵1=（j4）505.j=j,

的虛部為1.

故選:A.

2.為迎接2022年杭州亞運(yùn)會，亞委會采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法從某高校報名的200

名學(xué)生志愿者中抽取30人組成亞運(yùn)志愿小組，若30人中共有男生12人，則這200名學(xué)

生志愿者中女生可能有（）人

A.12B.18C.80D.120

解：因為30人中共有男生12人，則這200名學(xué)生志愿者中男生可能有200X圣=80（人），

30

所以女生可能有120人.

故選：D.

3.已知之=（0，1），三=（1，0），7=（2,4）,則下列各組向量中，不可以作為平面

內(nèi)所有向量的一個基底的是（）

A.a>b-cB.a,b+cC.a,2b-cD.a,2b+c

解：A：b-c=（T,-4）,'.'OX（-4）1X（-1）,a與b-c不共線，'A

錯誤，

B,E+《=（3,4）,VOX（4）#1X3,與E+W不共線，.?.B錯誤，

C：2^-c=（0，7）,VOX（-4）=0X1,與2^-3共線，，C正確，

D-.2t+c=（4,4）,；OX4#1X4,與2芯+1不共線，.?.￡）錯誤,

故選：C.

4.法國羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀（如圖所示），已知塔高21見底寬34m，

則塔身的表面積（精確到OOI/）是（）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：272=729,342=

1156)

A.3674.52m2B.2993.26m2C.1837.26;w2D.1682.26/772

解：如圖，正四棱錐P-ABC。，PO_L底面ABC。，P0=21m,AB34m,

則AO=烏A8=17?,所以4==,人02+口02=勇[0]9,

作PE1AB,貝ijPE=4AP2-(yAB)2=V730

所以該四棱錐的表面積5=4X^ABXP￡=68V730^1837.26

故選：C.

E

5.多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯

的得。分，部分選對的得2分.某題恰有3個選項符合題目要求，則隨機(jī)作答該題時（至

少選擇一個選項），得2分的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

55816

解：隨機(jī)作答該題時（至少選擇一個選項），

基本事件總數(shù)〃=c：+C卜C：+以=15,

得2分的包含的基本事件個數(shù):

m=C：+Cj=6,

得2分的概率為尸=要=金=3.

n155

故選：B.

6.已知三個不同的平面a,P，y,三條不同的直線相，n,I,滿足aG0=w，0e丫=〃，a

Dy=Z,則下列命題不一定正確的為（)

A.若m//n,則m//1B.若點(diǎn)ACm,AEn,則AO

C.若a±y,P±y,貝Um±yD.若根_L〃，m±Z,則〃_L/

aOy=Z,:.m"/,故A正確;

對于3,若點(diǎn)AEAH,AEn,又加ua,〃uy,

.'.AEa且Acy,而aPlY=/,.*.AeZ,故8正確;

若aJ_y,P±y,在丫內(nèi)任取一點(diǎn)A（A即，AgZ）,

在Y內(nèi)過A分另U作A3_U,AC±n,

由面面垂直的性質(zhì)可得A3_La,AC±p,

則A3_L根，AC.Lmf故C正確;

若根_L〃，m±Z,則九〃/或幾與/相交或"與/異面，故￡）錯誤.

故選：D.

7.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=l,a+c=2b（cosA+cosC）,

若滿足條件的aABC有兩個，則b的取值范圍是（）

A.（0,B.（0,孚）C.（-I,1）D.亭，1）

解：\*a+c=2b(cosA+cosC),

,2^222-22

：.a+c=2b(b+c-a+&+b-c),

2bc2ab

化為：b2=c2-ac+a2=c2-c+l=2+京

滿足條件的△ABC有兩個，

.-.'0<c<l,1>^2>—,解得1>6>返.

42

故選：D.

8.已知平面向量W，E，W(；與E不共線)，滿足弓_j=母=亞，lc-al=lc-bl=1,

設(shè)3=底+國(入，蚱R)，則入+V的取值范圍為()

A.(-8,與U[2,+8)B.焦，2]

OO

C.[2,+8)D.(一8,2]

解：設(shè)。(6，0),|c|二&，「?c=OC=(&,0)，設(shè)a=OA,b=OB?

—?—?—?—?........

?lc-al=lc-bl=bOC-OA=AOOC-OB=BOIACI=|BC1=1'

22=,

故A,B在以C為圓心，以1為半徑的圓上，BP(x-V2)+yl

由圓的對稱性可知AB中點(diǎn)尸在以C為圓心，以返為半徑的圓上,

2

■^C=OP+PC''-,OP^-(OA+OB)>|PC

當(dāng)尸運(yùn)動到圖3中位置時，贏=(考2,堂)，而=(茅，平)，

OC=^OA+M-OB>'">喙)+?~^)=(亞，0)，

AX+|1=-|,此時A+n取得最小值得,

OO

故選：B.

二、選擇題：本題共四小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.拋擲三枚硬幣，設(shè)事件4="第i枚硬幣正面朝上”，i=l,2,3.貝|()

A.4與4互斥B.AiU4與43相互獨(dú)立

1q

C.P(A2cA3)=—D.P(A1UA2)=—

44

解：事件4="第，枚硬幣正面朝上”，i=l,2,3,

因為4與A2可以同時發(fā)生，所以4與4不互斥，故選項A錯誤；

因為4,4與4相互獨(dú)立，所以4U&2與4相互獨(dú)立，故選項8正確;

因為尸(A2nA3)=P(A2)P(A3)=j-Xy=-1--故選項c正確；

因為尸(A1UA2)=P(Al)+P(A2)=1,故選項。錯誤.

故選：BC.

10.某市教育局為了解疫情時期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從該市隨機(jī)抽取了1000名

高中學(xué)生，對他們每天的平均學(xué)習(xí)時間進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的

頻率分布直方圖，則()

A.這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間為6~8小時的人數(shù)有100人

B.估計該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的眾數(shù)為9小時

C.估計該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的60%分位數(shù)為9.2小時

D.估計該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的平均值為8.6小時

解：由圖可得，每天的平均學(xué)習(xí)時間為6?8小時的頻率為0.1義2=0.2,

這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間為6?8小時的人數(shù)有1000X0.2=200,故A選

項錯誤，

每天的平均學(xué)習(xí)時間為8―10小時的頻率為0.25><2=0.05X2+0,1X2+0.1X2,即該時段

的頻率最大，

故估計該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的眾數(shù)為喈■=§小時，故選項B正確，

每天的平均學(xué)習(xí)時間為4~6小時的頻率為0.05X2=0.1,即0.1X1000=100人，

每天的平均學(xué)習(xí)時間為6~8小時的頻率為0.1X2=02,即0.2X1000=200人，

每天的平均學(xué)習(xí)時間為8~9.2小時的頻率為0.25X0.12=0.3,即0.3X1000=300人，

即該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時間的60%分位數(shù)為9.2小時，故選項C正確，

每天的平均學(xué)習(xí)時間為10?12小時的頻率為0.1X2=0.2,

100x5+200x7+500X9+200X118600o「

10001000

故選：BCD.

ii.平面向量彳，E，q滿足7，E=i,t，7三=■i，i口=i，則下列說法一定正確

的有（）

A.W在Z上的投影向量為-鼻B,在三上的投影向量為

C.min[\^,|^|}=1D.max{|"^|,|Q}21

—?—?—?—?

解：3在吊的投影為:=?母=二，故選項A正確，

lailai11

由于El未知，無法求得3在E上的投影向量，故選項2錯誤，

1."b，^=lbll-clcos<b,-c>=■例如q>=180。，1b1=2,用■或

忘=憶1=1可知C錯。對.

故選：AD.

12.已知正方體4BCD-ABC。的邊長為2,。為棱A4,的中點(diǎn)，M,N分別為線段C。，

CD上兩動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）,記直線QM,QN與平面ABBA所成角分別為a,0,且tan2a+tan2p

=4,則存在點(diǎn)M,N,使得（）

A.MN//AA'B.MN=2肥C.MN=^D.MNLCQ

解：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則Q(0,0,1),C'=(2,2,2),設(shè)M(a,2,2),N(b,2,0),則M'=

(a,0,2),N'Qb,0,0),

2

所以MM'=NN'=2,QM'=7a+i，QN'=心+1，其中。，岫°，2］，

過M點(diǎn)作Az8’的垂線，垂足為V,作N點(diǎn)作AB的垂線，垂足為M,則MM'

_L平面ABB'A',NN'_L平面ABB'A',

所以直線QM,QN與平面ABB'A'所成的角分別為/MQM',ZNQN,

即a=ZMQM',B=NNQN,

則'_2NN，2

/

所以tana=tanN兒QM'寸7?7tanP=tanZ^NQN

4411尸「r

因為tan2a+tan20=4,所以--+~~=4,即―~a=la,b￡LO,2J,

a+1b+1a+1b+1

對于A選項，若MN//AA',即a=b,解得a=b=l,滿足題意，故A正確；對于B

選項，

2a,bB

若MN=2&,即MN=V(a-b)+4=272,此時無解，故錯誤;

r,----------r卜：：^成b=2

對于C選項，若MNq，即MN=7(a-b)2+44，解得21，滿足題意，

22Ia=2Ia節(jié)

故C正確；

對于D選項，

MNLCQ,即kb-a,0,-2)-(2,2,1)=0,又即b-a=l,

1111

所以b=a+le[0,2],故?￡[0,1],于是-----+-------+

a，lb2+la+1(a+1)2+1

11

令f(x)-x2+lk(x+l)2+l1,x€[o,1]又

f(o)=i>o,f(i)4-4-i=—

251U

故/(0)/(1)<0,由零點(diǎn)存在定理可得/(x)在［0,1］上存在零點(diǎn),

即方程一3—=1有［0,1］內(nèi)的解，滿足題意,

故D正確.

a/l(a+lP+l

故選：ACD.

I)

M

13.如圖，已知梯形AB'CD是水平放置的四邊形斜二測畫法的直觀圖，梯形A3。。

的面積為遮，ZD'A'B'=45°,則原四邊形ABCD的面積為，立

解：因為水平放置的平面直觀圖形A‘8'C。'的面積為逐，

所以原四邊形ABCD的面積為S=2&S，=2近乂如=2娓.

故答案為：

14.若復(fù)數(shù)z=a+?ai,其中i為虛數(shù)單位，aER,貝U|z-i|的最小值為—y—.

解：因為z=a+J^ai，

所以|z-i|=|a+（V3a-1）iI=Va2+（V3a-l）2=44a2-2“a+l

^4（a-*）2T>|，

則|z-i|的最小值為，■.

故答案為：士■.

15.截止至目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處

都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測旁邊山頂上的一座5G基

站AB,已知基站高40〃z,該同學(xué)在公路。、E兩點(diǎn)處測得基站頂部A處的仰角分別

為30。、45°,且/￡）CE=150°.該同學(xué)沿著公路的邊緣從D處走至E處一共走了

700/M.則山高2c為100A/7-40m.（該同學(xué)的身高忽略不計）

解：如圖，設(shè)BC=尤，貝|AC=40+x,又由已知得△AC。，△ACE為直角三角形，且/

ADC=30°,ZAEC=45°,

所以由△AC，為直角三角形得，AC=40+^=,巫,

CDCD3

AC40+xo

CE^cF=tan45j

解得CD=V^（x+40）,CE=x+4Q,

在三角形COE中，又/DCE=150：DE=7Q0,由余弦定理得：DE^CO+CE2-2CD

?CEcos/DCE,

即（尤+40）2+3（x+40）2-2（x+40）-V3（x+40）cosl500=7002,

解得X=100V7-40.

故答案為：100底-40.

16.已知同一平面上的△O4B和△0C。分別是邊長為1和2的正三角形（其中A,B,O和

c,D,。均按逆時針排列），則菽.而的取值范圍是」

解：設(shè)/Boc=e,如圖：

D

AC*BD=(AO+OC)?(BO+OD)=AO*B0+AO*0D+OC*B0+OC*OD

=—+2cos(60°-0)-2cos0+2=—+2(—cos0+^-^-sin0)-2cos9=—+2sin(0-30°),

22222

V0G[O0,180°],：.e-30°G[-30°,150°],/.sin(0-30°)e[-y,1],

—+2sin(0_30°)G[—,—].

222

故答案為：,，ft.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

Zo

17.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi,Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,-2),(a,1),aeR,且---為純虛

Z1

數(shù).

(1)求。的值；

(2)若zi的共扼復(fù)數(shù)Z1是關(guān)于x的方程N(yùn)+px+q=0的一個根，求實(shí)數(shù)p,q的值.

繇z2_

m(1)a+i=(a+i)(l+2i)_a-2+(2a+l)i

解：I7-l-2i(l-2i)(l+2i)5'

??,上Zo為純虛數(shù)，

Z1

.'.a-2=0,

.\a=2.

（2）Vzi的共扼復(fù)數(shù)司■是關(guān)于x的方程N(yùn)+px+q=0的一個根,

又?.,復(fù)數(shù)zi對應(yīng)的點(diǎn)為（1,-2）,

復(fù)數(shù)Z［對應(yīng)的點(diǎn)為（1,2）,

Z[+z]=-p=2,z]?z1=5=q,

??p~~~2,.

18.已知三棱柱ABC-OEF中，四邊形BCFE為矩形.

(1)記平面BCD與平面DEF的交線為I,求證：/〃平面BCFE-,

(2)若CDJLDE,求證：ACLBD.

【解答】證明：(1)由棱柱性質(zhì)得BC〃EF,

平面￡)￡尸，EFu平面。所，：.BC//^\^DEF,

：￡7七平面DEF,平面BCD與平面DEF的交線為I,

J.BC//1,

平面BCFE,8Cu平面BCFE,

〃平面BCFE.

(2)作。在△ABC所在平面的投影于點(diǎn)O,

延長A。，BO,CO,交邊長BC,AC,AB于點(diǎn)G,R,H,

■:CDIDE,DE//AB,：.CD1AB,

'JABLOD,CDCWD=D,CD、0￡>u平面0C￡),

.*.AB_L平面OCD,

：OCu平面OCD,：.AB±OC,

再由條件可知：CF±BC,CF//AD,：.BC±AD,

.?.BC_L平面A。。，：.BC±AO,為△ABC的垂心，

：.AC±OB,

'：AC±DO,OBAOB、￡>0u平面

；.AC_L平面BDO,

：8￡>u平面8￡>0,：.AC±BD.

19.在①cos/DBC^，②DC=3,③AABC的面積為《■這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在

53

下面問題中并求解.問題：在AABC中，ZB=90°,BC=4,線段AC中存在一點(diǎn)。使

得AO=A8,求3。的長度.

解：選擇條件①：

'?"COSZDBC=4-ZABC=90°,

b

42

sinZABD=cosZ：DBCcosZABD=--,

55

設(shè)AO=AB=x,BD=y,

在RtZXABC中，sinZBAC=—=—^f

ACx+3

在△AM中，由正弦定理知,.心…=.也/,即=[■，化簡得尸-^⑴,

smZBACsinZABD———x+3

x+35

由余弦定理知，AD2=AB2+BD2-2AB?5Q?cosN45。，

.\x2=x2+y2-2x9y—,化簡得冗=上2(2),

56

,,7

由(1)(2)解得，,

5

：.BD的長度為

5

選擇條件②：

設(shè)AD—AB=x,

VZABC=90°,BC=4,

：.AB2+BC2=AC2,即N+42=（x+3）2,

解得尤=[,

6

7_

,/EM「ABx67

..cosZBAC=——=-------=-------

ACx+DC725

6+3

22

在△A3。中，由余弦定理知，BD1=AB2+AD--2AB?AD-cosZBAC=(1)+(1)-2

7

???BD=L.

5

選擇條件③:

117

VZABC=90°,BC=4,.*.5=—AB*BC=—ABX4=-,

223

：.AD=AB=\AC=+BC'，=)U+/)&=備

7_

在Rt/XABC中，cosXBAC--^---^——-^—,

AC25_25

V

22

在△A3。中，由余弦定理知，BD2^AB2+AD2-2AB'AD-cosZBAC(1)+(1)-2

/7,27_49

XCT)X25-25

7

：.BD=—.

5

20.本著健康、低碳的生活，租共享電動自行車出行的人越來越多，某共享電動自行車租車

點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價2元（20分鐘及以內(nèi)），超過20分鐘每10分鐘收費(fèi)1元（不足

10分鐘的部分按40分鐘計算）.現(xiàn)有甲、乙、丙三人來該租車點(diǎn)租車是相互獨(dú)立的（各

租一車一次），設(shè)甲、乙、丙不超過20分鐘還車的概率分別為!、］、20分鐘以上

且不超過30分鐘還車的概率分別為［、二、《，三人租車時間都不會超過40分鐘.

（1）求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用不完全相同的概率：

（2）求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為10元的概率.

解：（1）由題意可得，甲、乙、丙30分鐘以上且不超過40分鐘還車的概率分別為

111

I、萬、T

甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用完全相同的概率為尸=

甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用不完全相同的概率為1-之=".

3232

（2）由題意可得，甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為10元，

①當(dāng)三人的租車費(fèi)用組合為2,4,4時，Pi

1224444442

7

瓦，

②當(dāng)三人的租車費(fèi)用組合為3,3,4時，

2224444442

7

瓦，

即甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為10元的概率為尸=P1+P廣二

1z646432

21.如圖，在梯形4BC￡）中，屈=2灰，E,尸是。C的兩個三等分點(diǎn)，G,”是的兩個

三等分點(diǎn)，線段8c上一動點(diǎn)尸滿足而=入筋（0W入Wl）,AP分別交EG,FH于M,

N兩點(diǎn)，記標(biāo)=1,AD=b-

（1）當(dāng)入='■時，用a,b表示AP;

（2）若誣=日而，試寫出入和u的關(guān)系，并求出n的取值范圍.

解：(1)當(dāng)人■時,

則AP=AB+BP=AB+5BC

=標(biāo)+￡<BA+AD+DC)

=標(biāo)+±(-AB+AD+^AB)

_3-*1-?

;彳黜十彳仙

_3-*]-

=獷及

所以部="|[+"吳

(2)連結(jié)AE,AF,

所以而=屈-高，

AE=AD^DC=b

——?——*9—*—?91f1——

AF二ADaDC=bqX—a=-^-a+b?

因為區(qū)M,G三點(diǎn)共線，F(xiàn),N,"三點(diǎn)共線,

ii

所以AM=xAE+(l-x)AG=xb+(--^-x)a，

—*—*..—?—91、一

AN=yAF+(l-y)AH=yb+(?^gy)a，

oo

因為而=入設(shè),所以屈-屈=入(五-屈),

—入一

可得AP=入AC+(1-入)AB=b+(l--)a>

—?—?—*、f111-*

MN=AN-AM=(y_x)b+行萬y+^x)a,

因為同II葡，

21

——1V

所以工可得■^?=2x-y①，

X411

百節(jié)X

卜=2入W-6H+2②

即

1x=X|1-6|1+2

將②代