人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第八單元-數(shù)學(xué)廣角-找次品(附答案)

人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步奧數(shù)課內(nèi)延伸思維拓展?jié)撃荛_(kāi)發(fā)第第頁(yè)第八單元數(shù)學(xué)廣角——找次品在找次品時(shí)，把物體分成3份，每份數(shù)量盡量平均時(shí)，可以在找次品時(shí)，把物體分成3份，每份數(shù)量盡量平均時(shí)，可以保證找出次品時(shí)稱量的次數(shù)最少。【例題1】在9個(gè)零件里有1個(gè)是次品（次品重一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來(lái)？【練習(xí)1】有6個(gè)足球，其中有5個(gè)質(zhì)量相同，另有一個(gè)由于氣打得很足，比其他的足球略重一些。如果用天平稱一稱，至少稱（）次就能保證找出這個(gè)足球?！纠}2】有15袋餅干，其中14袋質(zhì)量相同，另有一袋輕些。至少稱幾次能保證找出輕些的那袋？【練習(xí)2】有9袋糖果，其中8袋的質(zhì)量相同，另外一袋的質(zhì)量稍輕一些。用天平至少稱（）次才能保證找出稍輕的那袋糖果?！纠}3】有10袋鹽，其中9袋質(zhì)量相同，另有1袋重些。至少稱幾次能保證找出這袋重些的鹽？【練習(xí)3】有13瓶水，其中12瓶質(zhì)量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些，至少稱（）次才能保證一定能找出這瓶糖水?！纠}4】質(zhì)檢部分對(duì)某企業(yè)的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢。在抽檢的19盒產(chǎn)品中有1盒不合格（質(zhì)量稍輕一些）。（1）至少稱幾次能保證將這盒不合格產(chǎn)品找出來(lái)？（2）如果在天平的左右兩端各放9盒的話，稱一次有可能稱出來(lái)嗎？為什么？【練習(xí)4】有14個(gè)球，其中的13個(gè)質(zhì)量相同，余下的一個(gè)質(zhì)量較輕，是不合格產(chǎn)品，用天平至少稱幾次能保證找出這個(gè)不合格產(chǎn)品？【例題5】有29瓶同樣的水，往其中1瓶中加了一些鹽。如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出加鹽的水？【練習(xí)5】警察叔叔抓獲了一個(gè)造假團(tuán)伙，他們?cè)阢y首飾外鍍一層黃金，再拿到市場(chǎng)上冒充黃金首飾賣。沒(méi)收的這批首飾全部是同樣的戒指，共45枚，但其中有1枚是真的，你能幫助警察叔叔找到真的戒指嗎？最少稱幾次就能找到真的金戒指？【例題6】有4個(gè)零件，其中3個(gè)質(zhì)量都是60克，另1個(gè)質(zhì)量不是60克，但不知道是比60克重還是輕。如果用天平稱，至少稱幾次可以找出這個(gè)不合格零件？【練習(xí)6】有五個(gè)乒乓球特征相同，其中只有一個(gè)重量異常（次品），現(xiàn)在要求用一部沒(méi)有砝碼的天平稱三次，將那個(gè)重量異常的球（次品）找出來(lái)。

【例題7】有8瓶礦泉水，編號(hào)是①至⑧，其中有6瓶一樣重，是合格產(chǎn)品，另外2瓶都輕5克，是不合格產(chǎn)品。用天平稱了3次，結(jié)果如下：第一次①+②比③+④重；第二次：⑤+⑥比⑦+⑧輕；第三次：①+③+⑤與②+④+⑧一樣重，那么這2瓶不合格產(chǎn)品分別是幾號(hào)？【練習(xí)7】有8個(gè)球編號(hào)是①至⑧，其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)球都輕1克。為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了3次。結(jié)果如下：第一次：①+②比③+④重；第二次：⑤+⑥比⑦+⑧輕；第三次：①+③+⑤與②+④+⑧一樣重。兩個(gè)輕球分別是（）。A.①、④B.③、⑧C.②、⑤D.④、⑤【例題8】甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生同時(shí)參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，賽后甲、乙、丙三人預(yù)測(cè)名次，甲說(shuō)：丙是第一名，我是第三名；乙說(shuō)：我是第一名，丁是第四名；丙說(shuō)：丁是第二名，我是第三名；最后公布結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)他們的預(yù)測(cè)都只對(duì)了一半。請(qǐng)你說(shuō)出這次競(jìng)賽甲、乙、丙、丁四人的名次?！揪毩?xí)8】有一天，某珠寶店被盜走了一塊貴重的鉆石，經(jīng)偵破，查明作案人肯定在甲、乙、丙、丁四人之中，于是，對(duì)這四個(gè)重大嫌疑犯進(jìn)行審訊，審訊所得到的口供如下：甲：我不是作案的，乙：丁是罪犯。丙：乙是盜竊這塊鉆石的罪犯。?。鹤靼傅牟皇俏摇＝?jīng)查實(shí)，這四個(gè)人的口供中只有一個(gè)是假的，那么作案人究竟是誰(shuí)？【例題9】一把鑰匙開(kāi)一把鎖，現(xiàn)在有10把鑰匙10把鎖，不知道哪把鑰匙配哪把鎖。那么至少試多少次可以確保鑰匙和鎖全部匹配？【練習(xí)9】一把鑰匙開(kāi)一把鎖，現(xiàn)在有6把鑰匙6把鎖，但不知怎么匹配。那么至少試多少次可以確保鑰匙和鎖全部匹配？思維突破1.用天平找次品時(shí)，所測(cè)物品數(shù)目與測(cè)試的次數(shù)有以下關(guān)系。（只含一個(gè)次品，已知次品比正品重或輕。）要辨別的物口數(shù)目保證能找出次品需要的次數(shù)2～314～9210～27328～81482～2435……（1）要保證6次能測(cè)出次品，待測(cè)物品可能是多少個(gè)？（2）從上表你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？為什么？2.有三個(gè)盒子，第一個(gè)盒子里裝了兩個(gè)5克的紅球；第二個(gè)盒子里裝了兩個(gè)6克的紅球；第三個(gè)盒子里裝了一個(gè)5克的紅球和一個(gè)6克的紅球。每個(gè)盒子外面貼的標(biāo)明球的質(zhì)量的標(biāo)簽都是錯(cuò)的。聰明的樂(lè)樂(lè)只從一個(gè)盒子里取出一個(gè)紅球，放在天平稱一下，就把所有的標(biāo)簽都改正過(guò)來(lái)了。你知道他是怎么做的嗎？3.從前有個(gè)財(cái)主雇了一個(gè)長(zhǎng)工，講定一年給長(zhǎng)工三筐稻谷。可是到了年底長(zhǎng)工去要稻谷的時(shí)候，財(cái)主卻提出一個(gè)條件，不準(zhǔn)他把三筐稻谷一筐一筐地稱，而且三次要稱出三筐稻谷各自的重量，如果稱不出，就一粒稻谷也不給。聰明的長(zhǎng)工想了想，終于按要求稱出了三筐稻谷各自的重量，拿走了屬于他的全部稻谷。你知道這位長(zhǎng)工是怎樣稱稻谷的嗎？考試真題1.（2018·西城期末）25個(gè)乒乓球中混有一個(gè)質(zhì)量較重的次品，小剛用天平稱，第一次稱量結(jié)果如下圖。他接著用天平稱，如果用最少的次數(shù)保證找到這個(gè)次品，第二次稱量分組方法正確的是（）。B.C.D.2.（2016·西城期末）28個(gè)乒乓球中混有一個(gè)質(zhì)量較輕的次品，小紅用天平稱，第一次稱量的結(jié)果如下圖，接下來(lái)，她至少還要再稱（）次才能找到這個(gè)次品。（2015·西城期末）26個(gè)零件中混有1個(gè)質(zhì)量較輕的次品，其余25個(gè)是合格的，用天平稱，要用最少的次數(shù)找到這個(gè)次品，第一次應(yīng)該將26個(gè)零件分成三組，這三組的個(gè)數(shù)分別是（）、（）和（）。4.（2012·西城期末）在20個(gè)零件中，有19個(gè)質(zhì)量完全相同，另有一個(gè)質(zhì)量較輕是次品，用天平稱3次保證能找到這個(gè)次品的分組方法是（）。A.20（10，10）B.20（6，6，8）C.20（4，4，12）D.20（5，5，5，5）5.(2016·北京161中學(xué)新初一分班考試）甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，賽后猜測(cè)他們之間的考試成績(jī)情況是：甲說(shuō)：“我可能考的最差。”乙說(shuō)：“我不會(huì)是最差的。”丙說(shuō)：“我肯定考的最好?！倍≌f(shuō)：“我沒(méi)有丙考的好，但也不是最差的。”成績(jī)公布后，只有一人猜錯(cuò)了，則此四人的實(shí)際成績(jī)從高到低的次序是__________。本講作業(yè)1.有18顆珍珠，其中混入一顆假的，另外17顆完全一樣，而憑感官無(wú)法找出次品，次品比正品稍重一點(diǎn)。如果用天平稱至少（）次就可以找出次品。A.2B.3C.6D.172.有9袋糖果，其中8袋每袋重300克，1袋少了2塊，不到300克。（1）如果用天平稱，至少稱幾次就能保證找出那一袋少了2塊的糖果？（請(qǐng)你試著用圖表示稱的過(guò)程。）（2）王明說(shuō)：“如果天平兩邊各放4袋，稱一次不可能稱出那袋少了2塊的糖果?！蓖趺髡f(shuō)的對(duì)嗎？為什么？3.有11盒糖果，其中有10盒質(zhì)量相同，另有1盒質(zhì)量重些。至少稱幾次能保證找出這盒重些的糖果？4.有13個(gè)零件，其中有12個(gè)質(zhì)量相同，另有1個(gè)輕一些，是不合格產(chǎn)品。你至少稱幾次能保證找出這個(gè)次品？5.有10盒巧克力，其中的9盒質(zhì)量相同，另有一盒少了1塊。如果用天平稱，至少稱（）次能保證找出這盒巧克力。A.3B.4C.5D.66.有3袋食鹽，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克輕還是比500克重。用天平至少稱（）次能保證稱出這袋食鹽比500克重或輕。7.有8個(gè)零件，編號(hào)是1～8，其中有6個(gè)一樣重，是合格產(chǎn)品，另外2個(gè)都輕5克，是不合格產(chǎn)品，用天平稱了三次，結(jié)果如下：第一次1+2比3+4重；第二次5+6比7+8輕；第三次1+3+5與2+4+8一樣重，那么這兩個(gè)不合格產(chǎn)品分別是幾號(hào)？8.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的運(yùn)動(dòng)衫上印了不同的號(hào)碼。趙說(shuō)：“甲是2號(hào)，乙是3號(hào)?！卞X說(shuō)：“丙是4號(hào)，乙是2號(hào)?！睂O說(shuō)：“丁是2號(hào)，丙是3號(hào)?！崩钫f(shuō)：“丁是1號(hào)，乙是3號(hào)?！庇种磊w、錢、孫、李每人都只說(shuō)對(duì)了一半，請(qǐng)問(wèn)：丙的號(hào)碼是幾號(hào)？9.有紅、黃、白三種顏色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋中，一次至少摸出個(gè)，才能保證有5個(gè)小球是同色的。參考答案：第八單元數(shù)學(xué)廣角——找次品【例題1】至少稱2次就一定能找出次品來(lái)。解析：把9個(gè)零件分成3份，每份的個(gè)數(shù)分別是3，3，3。把前兩份分別放在天平兩端，（1）如果天平平衡，再把第三份分成3份，每份的個(gè)數(shù)是1，1，1，再稱，能找出次品。（2）如果天平不平衡，就把下降的一邊再分成3份，每份的個(gè)數(shù)是1，1，1，再稱，能找出次品。所以至少稱2次就一定能找出次品來(lái)?！揪毩?xí)1】2【例題2】至少稱3次能保證找出輕些的那袋。解析：把15分成（5，5，5），把其中任意兩組放在天平上稱，可找出有次品的一組，再把5分成（2，2，1），然后再把兩個(gè)一組的放在天平上稱，如平衡，則1個(gè)1組的是次品，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上稱，可找出次品?！揪毩?xí)2】2【例題3】至少稱3次能保證找出這袋重些的鹽。解析：把10袋鹽分成（3，3，4），把兩個(gè)3袋的鹽放在天平兩端，如果不平衡，則把下降的一組，再分成（1，1，1），可找出重一些的一袋；如果平衡，則把4袋鹽分成（1，1，2),把兩個(gè)1袋的鹽放在天平兩端，如果天平平衡，把2分成（1，1）再稱，可找出重一些的一袋?！揪毩?xí)3】3解析：（1）把13瓶水分成4瓶，4瓶，5瓶三份，把4瓶，4瓶的兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則糖水在5瓶一份的里面；若天平不平衡，則糖水在天平較低端的4瓶里面。（2）把5瓶水分成2瓶，2瓶，1瓶三份，把2瓶，2瓶的兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則糖水就是1瓶的那一份，這樣就需要稱2次；若天平不平衡，則糖水在天平較低端的2瓶里面，然后把較低端的2瓶分放在天平兩端，即能找出糖水，這樣就需要稱3次。把4瓶水分成1瓶，1瓶，2瓶三份，把1瓶，1瓶的兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則再把2瓶一份的分放在天平兩端稱一次，這樣一共需要3次；若天平不平衡，則較低端的一瓶為糖水，這樣需要2次找出糖水。綜上：至少稱3次才能保證一定找出那瓶糖水?！纠}4】（1）3次（2）有可能。因?yàn)槿绻谔炱降淖笥覂啥烁鞣?盒，天平正好平衡，那么剩下的1盒就是次品。解析：（1）19（6，6，7）天平左右兩端各放6個(gè)平衡不平衡76（2，2，3）（2，2，2）天平左右兩端各放2個(gè)天平左右兩端各放2個(gè)平衡不平衡平衡不平衡3222（1，1，1）（1，1）（1，1）（1，1）天平左右兩端天平左右兩端天平左右兩端天平左右兩端各放1個(gè)各放1個(gè)各放1個(gè)各放1個(gè)所以至少稱3次能保證將這盒不合格產(chǎn)品找出來(lái)。（2）問(wèn)題問(wèn)的只是可能性，就需要考慮這種情況是否可能發(fā)生，如果在天平的左右兩端各放9盒，當(dāng)天平平衡時(shí)，則說(shuō)明未放入的那盒為不合格產(chǎn)品?！揪毩?xí)4】用天平至少稱3次能保證找出這個(gè)不合格產(chǎn)品。解析：把14個(gè)球盡可能平均分成3份，每份分別是5個(gè)、5個(gè)、4個(gè)，稱法如下：平衡：4（1，1，2）3次14（5，5，4）天平兩端各放5個(gè)。不平衡：5（2，2，1）3次【例題5】至少稱4次能保證找出加鹽的水。解析：首先明確加鹽的一瓶質(zhì)量較重。第一次先將29瓶水，分成3份，兩份每份10瓶，還有1份9瓶，兩份10瓶的用天平稱一稱，確定哪份有一瓶加了一些鹽；第二次如果加了鹽的一瓶在10瓶里，就把10瓶分成3份，分別是3瓶、3瓶、4瓶，用天平比較兩個(gè)3瓶，若相等，則4瓶就有一瓶加了鹽的，若不等，則重的一份里面有一瓶是加了鹽的，從而確定哪一份加了鹽；第三次用天平比較4瓶，把4瓶平均分成3份，分別是1瓶、1瓶、2瓶，用天平比較兩個(gè)1瓶，若相等，則2瓶就有一瓶加了鹽的，若不等，則重的一瓶是加了鹽的，從而確定哪一份加了鹽；第四次用天平比較2瓶，天平不平衡，則重的一瓶是加了鹽的?！揪毩?xí)5】能。首先明確真的要比假的重，所以是要找到偏重的那一枚。把45枚戒指平均分成3組，每組15枚，然后比較前兩組，哪個(gè)重真的就在哪一組，如果重量相等，則真的在第三組；然后將15再平均分成3份，每份5枚，按時(shí)上面的方法再稱一次；最后將5枚分成3份，即（2，2，1），再將2分成（1，1），繼續(xù)稱量，可找到金戒指。所以最少要稱4次④是不合格零件?！纠}6】①②①③④是不合格零件。③是不合格零件。①③③是不合格零件。②是不合格零件。②是不合格零件。①是不合格零件。①是不合格零件。答：至少稱2次可以找出這個(gè)不合格零件。【練習(xí)6】把五個(gè)球分別編號(hào)為A、B、C、D、E。

第一次稱：把A、B和C、D分別放在天平兩邊，有三種情況：

i、A+B=C+D，E是次品

ii、A+B>C+D，E是標(biāo)準(zhǔn)品，A或B有可能是重次品；或者C或D有可能是輕次品。

iii、A+B<C+DE是標(biāo)準(zhǔn)品，A或B有可能是輕次品；或者C或D有可能是重次品。第二次稱：假設(shè)是上面的第ii種情況，A+B>C+D。把A和B分別放在天平的兩邊，有三種情況：

i、A=B，次品在C或D中，A和B是標(biāo)準(zhǔn)品，且知道C或D是輕次品。第三次，把A和C稱，有兩種情況：（1）A>C，C是輕次品，（2）A=C，D是輕次品。

ii、A>B，A是重次品或者B是重次品，C和D標(biāo)準(zhǔn)品。第三次，把A和C稱，有兩種情況：（1）A>C，A是重次品，（2）A=C，B是重次品。

iii、A<B，和上面的第ii種相似，請(qǐng)自己分析。假設(shè)是上面的第iii種情況：分析類似上面。【例題7】列表：稱量次數(shù)合格產(chǎn)品不合格產(chǎn)品第一次①②③或④第二次⑦⑧⑤或⑥第三次稱量①+③+⑤=②+④+⑧，可推斷①③⑤和②④⑧中各有一瓶次品，因?yàn)棰诤廷嗍呛细癞a(chǎn)品，所以④是不合格產(chǎn)品；由此又可推斷③是合格產(chǎn)品，又①是合格產(chǎn)品，所以⑤是不合格產(chǎn)品。答：這2瓶不合格產(chǎn)品分別是④和⑤?！揪毩?xí)7】D【例題8】第一名是乙，第二名是丁，第三名是甲，第四名是丙。解析：根據(jù)題意，可用假設(shè)推理法。若推出矛盾再假設(shè)。把題目所述列成表格。甲乙丙丁甲說(shuō)③①乙說(shuō)①④丙說(shuō)③②假設(shè)‘甲說(shuō)：我是第三名正確’，根據(jù)題意則有：甲乙丙丁甲說(shuō)③√①×乙說(shuō)①√④×丙說(shuō)③×②√所以有甲是第三名，乙是第一名，丁是第二名，丙是第四名。假設(shè)‘甲說(shuō)：丙是第一名正確’，根據(jù)題意則有：甲乙丙丁甲說(shuō)③×①√乙說(shuō)①×④√丙說(shuō)③√②×這樣，就會(huì)推出矛盾，即丙是第一名或第三名。故假設(shè)錯(cuò)誤。【練習(xí)8】乙是作案人【例題9】9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）答：至少試45次可以確保鑰匙和鎖全部匹配。【練習(xí)9】5+4+3+2+1=15（次）思維突破1.（1）244～729（2）測(cè)n次可以從[(n-1)個(gè)3相乘的積+1]個(gè)物品到（n個(gè)3相乘的積）個(gè)物品之中找出次品；因?yàn)槊看畏Q量，都可以把待測(cè)物品平均分成三組，確定次品在其中一組當(dāng)中。2.從標(biāo)有“一個(gè)5克的紅球和一個(gè)6克的紅球”的盒子里拿出一個(gè)紅球，稱量一下。若稱出該球重6克，則此盒子里裝的是兩個(gè)6克的紅球；標(biāo)有“兩個(gè)6克的紅球”的盒子里裝的是兩個(gè)5克的紅球；標(biāo)有“兩個(gè)5克的紅球”的盒子里裝的是一個(gè)5克的紅球和一個(gè)6克的紅球。若稱出該球重5克，則此盒子里裝的是兩個(gè)5克的紅球；標(biāo)有“兩個(gè)5克的紅球”的盒子里裝的是兩個(gè)6克的紅球；標(biāo)有“兩個(gè)6克的紅球”的盒子里裝的是一個(gè)5克的紅球和一個(gè)6克的紅球。3.先將三筐稻谷編號(hào)為甲、乙、丙；然后按甲乙、乙丙、甲丙每?jī)煽鹨黄鸱Q；再把三次稱出的結(jié)果加起來(lái)，除以2，就得到甲、乙、丙三筐稻谷的總重量；最后，用總重量減去乙丙兩筐的重量和，就得到甲筐稻谷的重量，同樣，可得到乙、丙兩筐稻谷各自的重量?？荚囌骖}C3998B5.解：甲不會(huì)錯(cuò)，①假設(shè)乙錯(cuò)了，于是丙、丁正確，有“丙□□乙”;②假設(shè)丙錯(cuò)了