第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷） -高二數(shù)學(xué)精講與精練高分突破（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

第第頁第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．已知，分別是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義求出，，，利用余弦定理得出結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，由雙曲線的定義得，而，解得，由余弦定理得所以.故選：A.2．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且M是的中點(diǎn)，則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出拋物線方程，再用點(diǎn)差法求出直線斜率，最后寫出直線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)為，所以，設(shè)，，則，，所以，易知，所以，又，所以，所以直線的方程為，即，故選：B3．直線與橢圓C：的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)在橢圓上和直線上列方程，整理后求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，根據(jù)題意：軸，A在橢圓上，由解得，則，A在直線上，則，所以，，，所以，解得.故選：A4．雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線的漸近線的斜率與雙曲線的離心率的關(guān)系，以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】由于雙曲線的漸近線為，且注意到雙曲線的離心率為，又在雙曲線中有平方關(guān)系：，所以離心率為，又由題意，所以有，解得，即雙曲線的漸近線的斜率為，由直線斜率和傾斜角的關(guān)系可知此雙曲線的漸近線的傾斜角可以是或.故選：B.5．已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長為6 B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)即可求解AB，根據(jù)等面積法即可求解C，根據(jù)面積公式以及正弦定理及可求解D.【詳解】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯(cuò)誤，故選:D.

6．已知拋物線：的準(zhǔn)線為直線，直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與直線交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式和得到，聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，然后根據(jù)三角形面積得到.可得答案.【詳解】由題可得拋物線方程為，所以，如圖所示，則，解得，

聯(lián)立方程，消去y得：．可知，解得，所以．故選：C．7．已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且直線的斜率，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示公式、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知，設(shè)該橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的斜率，所以設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則有，因?yàn)椋?，所以有，消去，得，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，得到，進(jìn)而利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.8．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且斜率存在的直線L與雙曲線C的漸近線相交于AB兩點(diǎn)，且點(diǎn)AB在x軸的上方，AB兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離之和為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得到為直角三角形，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)差法得中點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求.【詳解】設(shè),，設(shè)的中點(diǎn)為，由于，故,因此為直角三角形，故，由于，所以，進(jìn)而可得，故或，由在雙曲線漸近線上，所以，進(jìn)而，當(dāng)時(shí)，,，所以，當(dāng)時(shí)，,，所以不符合題意，舍去，綜上：故離心率為.故選：A

多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的方程可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)橢圓方程為，橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，則需，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解．【詳解】根據(jù)選項(xiàng)，設(shè)橢圓的方程為，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，

橢圓上存在點(diǎn)，使得，則需，所以，即，因?yàn)?，，則，檢驗(yàn)可得選項(xiàng)A，D滿足.故選：AD.10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是右支上一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．若的離心率為，則過點(diǎn)且與的漸近線相同的雙曲線的方程是B．若點(diǎn)，則的最小值為C．過作的角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為D．若直線與其中一條漸近線平行，與另一條漸近線交于點(diǎn)，且，則的離心率為【答案】BD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)出與共漸近線的雙曲線的方程代入求解即可，對(duì)于B項(xiàng)，運(yùn)用雙曲線的定義及兩點(diǎn)之間線段最短即可求解，對(duì)于C項(xiàng)，由三角形中位線性質(zhì)可得，即可得點(diǎn)Q的軌跡為圓，轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線的最大距離求解即可，對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)直線的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程即可求得離心率.【詳解】于A項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線的離心率為，即，則.因?yàn)殡p曲線與的漸近線相同，則設(shè)雙曲線的方程為（），將代入得，解得，所以雙曲線的方程為，故A項(xiàng)不正確；對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，

因?yàn)槭怯抑弦稽c(diǎn)，所以由雙曲線定義可知，又因?yàn)樵陔p曲線內(nèi)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖，延長并與相交于點(diǎn)B，連接.

由題可知，為的中點(diǎn)，則，所以，則是以為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn).又點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C項(xiàng)不正確.對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，則，，由，則，解得，即，將點(diǎn)代入雙曲線的方程得，即，所以雙曲線的離心率，故D項(xiàng)正確.故選：BD.11．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則（

）A．若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長為B．若，則的面積為C．若直線過點(diǎn)，則的最小值為D．若，則直線恒過定點(diǎn)【答案】BCD【分析】對(duì)于A，由條件可得垂直于軸，然后可得四邊形的周長，對(duì)于B，由條件可得點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，即可得的面積，對(duì)于C，設(shè)直線，然后聯(lián)立拋物線的方程消元，然后得到，然后結(jié)合基本不等式可得的最小值，對(duì)于D，設(shè)直線，然后聯(lián)立拋物線方程消元，然后由可求出的值.【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)，由題意知，且垂直于軸，根據(jù)拋物線的定義可知.設(shè)與軸的交點(diǎn)為，易知，故，所以四邊形的周長為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由題意得，解得，所以，從而，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若直線過點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得，易得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，即，，所以，由可得，即，解得，故直線的方程為，即直線恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12．已知，同時(shí)為橢圓：與雙曲線：的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．若，則D．若，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的關(guān)系，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理，可推得B、C項(xiàng)；根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，得出的關(guān)系式.進(jìn)而根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得出D.【詳解】

對(duì)于A項(xiàng)，由已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)可得，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，整理可得，.所以有，即，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，若，則為直角三角形，所以，，即，整理可得，，兩邊同時(shí)除以可得，，即，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可得.所以，.令，則.因?yàn)椋?又，所以有，所以有；，所以有，所以有.所以，.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，故D正確.故選：BCD.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，、為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，以及直角三角形的特征可判斷四邊形為矩形，然后求解即可；【詳解】因?yàn)?，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，

所以,所以四邊形為矩形，設(shè)，，則，，所以，解得：，即四邊形面積為4．故答案為：4.14．已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)題意可得，兩式相減，再結(jié)合雙曲線的定義即可得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓、圓外切，則，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，又，則，所以其軌跡方程為．故答案為：．15．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，從點(diǎn)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，線段的中點(diǎn)為，則弦的長為.【答案】5【分析】設(shè)可得，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立求出，求出，利用可得答案.【詳解】由已知得拋物線的準(zhǔn)線方程為，，設(shè)，所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，所以，可得，所以，所以.故答案為：5.

16．已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，圓與直線相交于兩點(diǎn)，與線段相交于點(diǎn)，且．若是線段上靠近的四等分點(diǎn)，則拋物線的方程為．【答案】【分析】設(shè)，表示出，利用拋物線定義、點(diǎn)在拋物線上以及圓的弦長的幾何性質(zhì)列出關(guān)于的方程，即可求得p，即得答案.【詳解】由可知，設(shè)，則，則，故，即①；又點(diǎn)在拋物線上，故②，且，即③，②聯(lián)立得，得或，由于，故，結(jié)合③，解得，故拋物線方程為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程：(2)動(dòng)直線：與橢圓相切，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程可得到，，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去，得到的二次方程，運(yùn)用直線與橢圓相切的條件求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合直角梯形的面積公式即可得到所求值.【詳解】（1）由題意可得，，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，，，橢圓方程為；（2）由可得，直線與橢圓相切，，解得，由對(duì)稱性可取直線，焦點(diǎn)，，，，四邊形的面積為.

18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡為的方程(2)設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，列出等式，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與軌跡的方程聯(lián)立，結(jié)合判別式和根的范圍，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)是軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到的距離多，可得，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解：在點(diǎn)軌跡中，記，因?yàn)樾甭实闹本€過定點(diǎn)，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，可得直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可得，不妨設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，令，解得，若直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足，解得或，綜上，當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).19．已知雙曲線：（，）的左頂點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）由題意知，取雙曲線的一條漸近線，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到與關(guān)系式，從而求得，進(jìn)而可求得的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則可得到，的坐標(biāo)，進(jìn)而可直接求解的值；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線的方程和的方程可得到關(guān)于的一元二次方程，從而可得到，，代入即可求解的值，綜上，即可得到的值．【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，所以到的一條漸近線的距離為，所以，又，解得，所以的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，易得，或，，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，解得，所以，，所以．綜上，．20．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是．(1)求橢圓的方程；(2)傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知，求直線的一般式方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，得到且，求得的值，即可求解；（2）設(shè)的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，根據(jù)題意，列出方程，求得，即可求解.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，即，可得，由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是，可得，解得，，，所以橢圓的方程．（2）解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，可設(shè)的方程，由方程組，整理得，可得，解得，設(shè)，，則，，又由，解得，滿足，所以直線的一般式方程為或．21．已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，動(dòng)圓與圓和圓均外切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若是上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)(2)24【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合雙曲線的定義即可求解；（2）設(shè)，則，由，建立關(guān)系式求出，，再利用三角形面積公式求出即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，因?yàn)閳A與圓和圓均外切，所以，，則，根據(jù)雙曲線的定義可知，的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.設(shè)方程為，由，又，所以，所以的方程為.（2）設(shè)，則.因?yàn)?所以，即，解得或（舍去）.故的面積為：.22．已知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)為的短軸的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，的斜率之積為.(1)求的方程；(2)過的兩焦點(diǎn)、作兩條相互平行的直線，交于，和，，求四邊形面積的取值范圍.【答案