期中考試押題卷（考試范圍：第6-7章）-高二數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)2023-2024學(xué)年下學(xué)期期中考試押題卷高二·數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測(cè)試范圍：選擇性必修第二冊(cè)第6章、第7章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．求的值為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【解析】.故選：B.2．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．1 B．10 C．40 D．80【答案】D【解析】通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以項(xiàng)的系數(shù)為80.故選：D3．已知空間向量，空間向量滿足且，則＝（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，且空間向量滿足，∴可設(shè)，又，∴，得．∴，故A正確.故選：A.4．現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢(mèng)》、《水滸傳》、《三國(guó)演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（

）A．180 B．150 C．120 D．210【答案】A【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，若分為4、1、1的三組，有種分組方法，若分為3，2，1的三組，有種分組方法，若分為2，2，2的三組，有種分組方法，共有種分組方法，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，則有種分發(fā)方式．故選：A．5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.6．已知，則被10除所得的余數(shù)為（

）A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是【答案】C【解析】，由，故被10除所得的余數(shù)為.故選：C.7．用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【解析】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當(dāng),顏色相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，②當(dāng),顏色不相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則（

）

A．不存在點(diǎn)E，使得B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條C．過點(diǎn)E與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條D．過點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條【答案】D【解析】在長(zhǎng)方體中，，對(duì)于A，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，連接，則，即有，而平面，平面，則，又平面，因此平面，而平面，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，，平面與直線交于，點(diǎn)在線段上，不含端點(diǎn)，則直線與直線相交，同理直線與直線相交,因此直線、分別與三條直線，，都相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面，而平面，則，又，于是是二面角的平面角，且，顯然的平分線與平面和平面所成角都等于，過點(diǎn)與此直線平行的直線符合要求，這樣的直線只有1條；半平面與半平面的反向延長(zhǎng)面所成二面角的角平分面與平面和平面所成角都等于，在此角平分面內(nèi)過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有2條，因此過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有3條，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，直線的方向向量分別為，設(shè)過點(diǎn)的直線方向向量為，由直線分別與直線所成角都相等，得，于是，不妨令，有或或或，顯然使得成立的向量有8個(gè)，其余4個(gè)分別與上述4個(gè)向量共線，所以過點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條，D正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)B．C．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：第行，第行，第行的第個(gè)數(shù)字分別為：，，，其和為；而第行第個(gè)數(shù)字就是，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，故B正確；對(duì)于C：由圖可知：第行有個(gè)數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，所以第行的第個(gè)數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：依題意：第行從左到右第個(gè)數(shù)為，第行從左到右第個(gè)數(shù)為，所以第行中從左到右第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)之比為，故D正確；故答案為：ABD.10．2023年國(guó)外某智庫(kù)發(fā)布《尖端技術(shù)研究國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力排名》的報(bào)告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術(shù)、人工智能、無人機(jī)等二十多個(gè)領(lǐng)域.報(bào)告顯示，中國(guó)在其中19個(gè)領(lǐng)域處于領(lǐng)先.某學(xué)生是科技愛好者，打算從這19個(gè)領(lǐng)域中選取這5個(gè)領(lǐng)域給班級(jí)同學(xué)進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．都在后3天介紹的方法種數(shù)為36B．相隔一天介紹的方法種數(shù)為36C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為72D．A在，之前介紹的方法種數(shù)為40【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，在后3天中選擇2天，有種選擇，再將和剩余的3天進(jìn)行全排列，有種選擇，故有種方法數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，先把進(jìn)行全排列，再?gòu)倪x擇1個(gè)放在之間，有種方法，再將這三個(gè)領(lǐng)域捆綁，和剩余的兩個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，共有種選擇，綜上，共有種方法數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，若A在最后一天進(jìn)行介紹，則將剩余4個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，有種方法，若A不在最后一天進(jìn)行介紹，從3天中選擇1天安排A，再?gòu)某俗詈笠惶斓氖Ｓ?天中選擇1天安排，有種選擇，最后將剩余的3個(gè)領(lǐng)域和3天進(jìn)行全排列，有種選擇，則此時(shí)有種選擇，綜上，A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，進(jìn)行全排列，共有種方法，將進(jìn)行全排列，共有種方法，其中A在，之前的有2種，故120種排列中，A在，之前的有種，故D正確.故選：ABD11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)M在體對(duì)角線（含端點(diǎn)）上，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，為鈍角B．當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積為C．存在點(diǎn)M，使得平面D．直線BM與平面所成角的最大正切值為【答案】BC【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)M為中點(diǎn)時(shí)，，，，，，，為銳角，A錯(cuò)誤；設(shè)四棱錐的外接球半徑為R，則，則，四棱錐的外接球的表面積為，B正確；設(shè)，，，，則，，，，得，存在點(diǎn)M，使得平面，C正確；設(shè)平面的法向量為，直線BM與平面所成角的正切值最大，則直線BM與平面所成角的正弦值最大即可，，即，，故，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故最大正弦值，則最大正切值，D錯(cuò)誤，故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則的值為（用數(shù)字作答）.【答案】462【解析】由可得，即，化簡(jiǎn)得，整理得，解得或，因?yàn)?，所以，所?故答案為：462.13．在的展開式中，若的系數(shù)為，則；若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，則的取值范圍是．【答案】－1【解析】由題意知在的展開式中，的系數(shù)為，即，若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，不合題意，當(dāng)時(shí)，所以項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足，即得；當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，則此時(shí)需滿足，解得，綜合可得的取值范圍是，故答案為：-1；14．已知空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為用以上知識(shí)解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為.【答案】【解析】平面的方程為，所以平面的法向量為，平面與平面的法向量分別為，，設(shè)直線的方向向量為，則，即，取設(shè)直線與平面所成的角為，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求異面直線與所成的角的余弦值．【解析】（1），所以，即的長(zhǎng)為.（2），又由余弦定理得，所以設(shè)所求異面直線所成角為，.16．（15分）在的展開式中，(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合.(3)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)；【解析】（1），，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第項(xiàng)，所以；（2），，當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即，則的取值集合為；（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，則，所以，解得，故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第項(xiàng)和第項(xiàng).17．（15分）如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，則，因?yàn)?，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，所以平面平?（2）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，可得，則，整理可得，因此，線段上存在點(diǎn)，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為，且.18．（17分）如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點(diǎn)，滿足.(1)若，求證：直線平面；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線？如果有請(qǐng)求出的值，否則請(qǐng)說明理由；(3)若，求直線與直線所成最大角的余弦值.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以M是線段上的中點(diǎn)，因此有，因?yàn)槭蔷匦危琋是線段上的中點(diǎn)，所以，因此有，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而平面，平面，所以直線平面；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，即，而平面，所以平面，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而平面，所以平面，因此，顯然不可能，所以假設(shè)不成立，因此不存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線；（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知：，所以是直線與直線所成角，設(shè)，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，此時(shí)有最大值.則直線與直線所成最大角的余弦值為.19．（17分）已知集合，規(guī)定：若集合，則稱為集合的一個(gè)分拆，當(dāng)且僅當(dāng)：，，…，時(shí)，與為同一分拆，所有不同的分拆種數(shù)記為.例如：當(dāng)，時(shí)，集合的所有分拆為：，，，即.(1)求；(2)試用、表示；(3)設(shè)，規(guī)定，證明：當(dāng)時(shí)，與同為奇數(shù)或者同為偶數(shù).【解析】（1）集合，對(duì)于每一個(gè)，都有進(jìn)入或不進(jìn)入兩種可能，而且至少進(jìn)入其中一個(gè)