實(shí)數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(教案)

第十一講實(shí)數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高一適用區(qū)域全國(guó)本講時(shí)長(zhǎng)120分鐘知識(shí)點(diǎn)1.指數(shù)的運(yùn)算2.指數(shù)函數(shù)的概念3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)掌握有理指數(shù)冪的定義及性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)；綜合運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問(wèn)題．教學(xué)重點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)綜合運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程一、知識(shí)講解考點(diǎn)1根式的概念（1）定義：若一個(gè)數(shù)的次方等于，則這個(gè)數(shù)稱為的次方根．即，若，則稱的次方根（）．①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒(méi)有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作.（2）性質(zhì)：①；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；③當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．考點(diǎn)2冪的有關(guān)概念（1）規(guī)定：①；②，③Q）④、，且（2）性質(zhì)：①、Q），②、Q），③Q）（注）上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用．考點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)．圖象與性質(zhì)：a＞10＜a＜1圖象圖像特征圖像分布在一、二象限，與y軸相交，落在x軸的上方.都過(guò)點(diǎn)（0，1）第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于1；第二象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0且小于1.第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0且小于1；第二象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于1.從左向右圖像逐漸上升.從左向右圖像逐漸下降.性質(zhì)（1）定義域：R（2）值域：（0，+∞）（3）過(guò)定點(diǎn)（0，1），即x＝0時(shí)，y＝1.(4)x＞0時(shí)，y＞1；x＜0時(shí)，0＜y＜1x＞0時(shí)，0＜y＜1；x＜0時(shí)，y＞1.（5）在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)二、例題精析【例題1】【題干】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.【解析】同答案【例題2】【題干】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（＞0）（1）；（2）；（3）【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】同答案【例題3】【題干】計(jì)算：．【答案】【解析】原式＝．【例題４】【題干】化簡(jiǎn)：【答案】a2【解析】原式＝.提示：這是一組很基本的指數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧.根式運(yùn)算或根式與指數(shù)混合運(yùn)算時(shí)將根式化為指數(shù)式運(yùn)算較為方便，對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示，如果有特殊要求，可根據(jù)要求寫出結(jié)果，但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【例題5】【題干】比較下列各組數(shù)的大?。?）（2）與（3）與（4），，【答案】．【解析】（1）由在上是增函數(shù)，∵，∴．（2）由在R上是增函數(shù)，∵，∴，即．（3）由在R上是增函數(shù)，∵，∴，即．（4）由在R上是減函數(shù)，∵，∴，又在上是增函數(shù)，∵，∴；故．【例題6】【題干】已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求該函數(shù)的值域；(3)證明是上的增函數(shù)．【答案】（1）奇函數(shù)（2）（3）見(jiàn)解析【解析】（1）∵定義域?yàn)?且＝＝∴是奇函數(shù)；（2）＝∵＞1，∴0＜＜2即函數(shù)的值域?yàn)?；?）設(shè)，,且＜，則－＝－＝＜0，∴是上的增函數(shù)．提示：函數(shù)的性質(zhì)綜合問(wèn)題，需要準(zhǔn)確把握定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等基本概念，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用通性通法．三、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.求值下列各式的值：①；②；③；④【答案】①4②③32④【解析】①．②．③．④．2．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C．【解析】原式＝＝＝，故選C．；【鞏固】1．若，則等于（）A．2－1 B．2－2 C．2＋1 D．＋1【答案】A．【解析】注意到．∴＝＝＝＝．選A．2．在下列圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）【答案】A．【解析】由函數(shù)知＞0，于是拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)在軸左邊，B、D兩個(gè)答案被排除．對(duì)于答案C，顯然，＝2，函數(shù)為增函數(shù)，圖象與之不符，被淘汰．故選A．提示：從圖象看，＝0，關(guān)鍵由與大小決定．重要的條件是指數(shù)函數(shù)的底＞0，使得對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)＜0．再由0＜＜1，便定出的位置．【拔高】1．設(shè)，則（）A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞【答案】D．【解析】化為同底，再利用單調(diào)性即可．∵，，，又∵函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，∴＞＞，故選D．2．求函數(shù)y＝3的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】定義域(－∞，＋∞)值域單調(diào)減區(qū)間［1，＋∞【解析】(1)定義域顯然為(－∞，＋∞)．(2)∵，∴是的增函數(shù)，∴，即函數(shù)的值域?yàn)椋?3)當(dāng)≤1時(shí)，＝為增函數(shù)，是的增函數(shù)，由↑→↑→↑∴原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1］；當(dāng)＞1時(shí)，＝為減函數(shù)，是的增函數(shù)，由↑→↓→↓∴原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為［1，＋∞．提示：這是復(fù)合函數(shù)的典型例子．是指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，由于外層指數(shù)函數(shù)是的增函數(shù)，所以該函數(shù)的單調(diào)性由內(nèi)層函數(shù)也就是二次函數(shù)決定．另一類由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算而形成的函數(shù)，其單調(diào)性和奇偶性的判定需采用前面所學(xué)辦法．課程小結(jié)（1）指數(shù)運(yùn)算常規(guī)方法將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，負(fù)指數(shù)化為正指數(shù)，根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)．（2）時(shí)，與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．（3）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無(wú)限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無(wú)限接近軸）．（4）比較大小問(wèn)題的處理方法①看類型②化為同底用單調(diào)性③其它類型找中間量．（5）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以根據(jù)各層函數(shù)單調(diào)性去判別．課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.求值（1）（2）（3）【答案】（1）；(2)；(3)；【解析】同答案2.指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】．【解析】同答案3.已知指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（3，），求【答案】【解析】由，得，即，，∴；；．4.求函數(shù)的定義域．【答案】【鞏固】1.計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）（1）；（2）．【答案】（1）原式＝＝＝4；（2）原式＝＝．【解析】同答案2.計(jì)算下列各式（1）；（2）＞0）．【答案】（1）原式＝＝＝＝＝；（2）原式＝．【解析】同答案3.已知的值.【答案】【解析】，，，而，.4．函數(shù)在上的最大值與最小值的和為3，則．【答案】2；5．函數(shù)y＝的值域是_____．【答案】(0，1)【拔高】1．若N*，則（） A．2 B． C． D．【答案】A2．下列各式中正確的是（）【答案】D．【解析】由是減函數(shù)，得＜，答案B、C被淘汰．又＜，故選D．3．函數(shù)與具有不同的單調(diào)性，則與的大小關(guān)系是（）A．＜B．＝C．＞D．不能確定