陜西省洛南中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

陜西省洛南中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．右圖中，小方格是邊長為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．已知，，則（）A．2 B． C．4 D．3．若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知兩個等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意的正整數(shù)，都有，則等于()A．1 B． C． D．5．函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．6．在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是（）A． B． C． D．7．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則角（）A． B． C． D．8．如圖，在三角形中，點是邊上靠近的三等分點，則()A． B．C． D．9．已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．1110．已知：平面內(nèi)不再同一條直線上的四點、、、滿足，若，則（）A．1 B．2 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為________.12．在中，，，面積為，則________．13．如圖，在圓心角為，半徑為2的扇形AOB中任取一點P，則的概率為________.14．中醫(yī)藥是反映中華民族對生命、健康和疾病的認(rèn)識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系，是中華文明的瑰寶.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中成藥的藥物成份的含量（單位：）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關(guān)系：.檢測這種藥品一個批次的5個樣本，得到成份的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，估計這批中成藥的藥物功效的平均值為__________藥物單位．15．函數(shù)的定義域記作集合，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個面上分別標(biāo)有點數(shù)，，，），記骰子向上的點數(shù)為，則事件“”的概率為________.16．已知，則______；的最小值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了解某城市居民的月平均用電量情況，隨機(jī)抽查了該城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），得到頻率分布直方圖（如圖所示）.數(shù)據(jù)的分組依次為、、、、、、.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求該城市所有居民月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；（3）在月平均用電量為的四組用戶中，采用分層抽樣的方法抽取戶居民，則應(yīng)從月用電量在居民中抽取多少戶？18．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，且邊上的中線的長為,求邊的值．19．已知函數(shù)，（1）若，求a的值，并判斷的奇偶性；（2）求不等式的解集.20．如圖，直三棱柱中，，，，，為垂足.（1）求證：（2）求三棱錐的體積.21．已知數(shù)列的前項和（）；（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求；（3）設(shè)（），，是否存在最小的自然數(shù)，使得不等式對一切正整數(shù)總成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由三視圖可知，該幾何體為棱長為2的正方體截去一個三棱錐，由正方體的體積減去三棱錐的體積求解．【詳解】根據(jù)三視圖，可知原幾何體如下圖所示，該幾何體為棱長為的正方體截去一個三棱錐，則該幾何體的體積為．故選：D．【點睛】本題考查了幾何體三視圖的應(yīng)用問題以及幾何體體積的求法，關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原原來的空間幾何體，是中檔題．2、C【解析】

先求出的坐標(biāo)，再利用向量的模的公式求解.【詳解】由題得=（0,4）所以．故選C【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)的求法和向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】由題意得圓心為，半徑為．圓心到直線的距離為，由直線與圓有公共點可得，即，解得．∴實數(shù)a取值范圍是．選C．4、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)將化為同底的，再化簡，將分子分母配湊成前n項和的形式，再利用題干條件，計算?！驹斀狻俊叩炔顢?shù)列，的前項和分別為，，對任意的正整數(shù)，都有，∴．故選B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題。5、D【解析】

令，即有，則，運用基本不等式即可得到所求最小值，注意等號成立的條件.【詳解】令，即有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.故選：【點睛】本題考查基本不等式，配湊法求解，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

如圖，取中點，則平面，故，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，，即，故，故選C.7、C【解析】

利用余弦定理求三角形的一個內(nèi)角的余弦值，可得的值，得到答案．【詳解】在中，因為，即，利用余弦定理可得，又由,所以，故選C．【點睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，合理利用余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

利用向量的三角形法則以及線性運算法則進(jìn)行運算,即可得出結(jié)論.【詳解】因為點是邊上靠近的三等分點,所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查向量的加?減法以及數(shù)乘運算,需要學(xué)生熟練掌握三角形法則和共線定理.9、B【解析】

由題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，正實數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以的最小值為9.故選：B.【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值問題，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運算能，屬于據(jù)此話題.10、D【解析】

根據(jù)向量的加法原理對已知表示式轉(zhuǎn)化為所需向量的運算對照向量的系數(shù)求解.【詳解】根據(jù)向量的加法原理得所以，，解得且故選D.【點睛】本題考查向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用來求的通項.【詳解】，化簡得到，填.【點睛】一般地，如果知道的前項和，那么我們可利用求其通項，注意驗證時，（與有關(guān)的解析式）的值是否為，如果是，則，如果不是，則用分段函數(shù)表示.12、【解析】

由已知利用三角形面積公式可求c，進(jìn)而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)正弦定理即可計算求解.【詳解】，，面積為,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案為：【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，求出圓心角扇形區(qū)域的面積，進(jìn)而設(shè)，由數(shù)量積的計算公式可得滿足的區(qū)域，求出其面積，代入幾何概率的計算公式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，則則扇形的面積為設(shè)若，則有，即；則滿足的區(qū)域為如圖的陰影區(qū)域，直線與弧的交點為，易得的坐標(biāo)為，則陰影區(qū)域的面積為故的概率故答案為：【點睛】本題考查幾何概型，涉及數(shù)量積的計算，屬于綜合題．14、92【解析】

由題可得，進(jìn)而可得，再計算出，從而得出答案．【詳解】5個樣本成份的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以，，即，解得因為，所以所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位【點睛】本題考查求幾個數(shù)的平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出，屬于一般題．15、【解析】要使函數(shù)有意義，則且，即且，即，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點數(shù)為，則，則事件“”的概率為.16、50【解析】

由分段函數(shù)的表達(dá)式，代入計算即可；先求出的表達(dá)式，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，求最小值即可.【詳解】由，可得，，所以；由的表達(dá)式，可得，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，綜上，的最小值為0.故答案為：5；0.【點睛】本題考查求函數(shù)值，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)最值的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）眾數(shù)為度，中位數(shù)為度；（3）戶.【解析】

（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值；（2）利用頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點值為眾數(shù)，可得出該城市所有居民月平均用電量的眾數(shù)，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得該城市所有居民月平均用電量的中位數(shù)；（3）計算出月用電量在的用戶在月平均用電量為的用戶中所占的比例，乘以可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以；（2）月平均用電量眾數(shù)的估計值為度，，故中位數(shù)，所以，，解得，故月平均用電量中位數(shù)的估計值為度；（3）月均用電量在、、、的用戶分別為戶、戶、戶、戶，其中，月均用電量為的用戶在月平均用電量為的用戶中所占的比例為，所以在月均用電量為的用戶中應(yīng)抽?。☉簦?【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，同時也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理和三角恒等變換的公式化簡即得；（Ⅱ）設(shè)，則，，由余弦定理得關(guān)于x的方程，解方程即得解.【詳解】（Ⅰ）由題意，∴，∴，則，∵，∴，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得：，即，解得，即．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1），，是偶函數(shù)（2）或【解析】

（1）先由已知求出，然后結(jié)合利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性即可；（2）討論當(dāng)時，當(dāng)時對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】解：（1）由題意得，，即，則，，則，函數(shù)的定義域為，則，是偶函數(shù)；（2）當(dāng)時，在上是減函數(shù)，，，解得，所以原不等式的解集為；當(dāng)時，在上是增函數(shù)，，，即，所以原不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為.【點睛】本題考查了利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，主要考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題.20、(1)見證明；(2)【解析】

（1）先證得平面，由此證得，結(jié)合題意所給已知條件，證得平面，從而證得.（2）首先證得平面，由計算出三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：，∴，又，從而平面∵//，∴平面，平面，∴又，∴平面，于是（2）解：，∴平面∴【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的判定定理的運用，考查三棱錐體積的求法，屬于中檔題.21、（1）否；（2）；（3）；【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列中與的關(guān)系式，即可求解數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求解；（2）由（1）知，求得當(dāng)時，，當(dāng)時，，利用等差數(shù)列的前項和公式，分類討論，即可求解.（3）由（1）得