2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識 第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.4.通過實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個(gè)平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.必備知識溫故知新【教材梳理】1.向量的有關(guān)概念名稱定義說明向量既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向線段具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段表示，也可用字母a,b,c，?表示有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度向量的模向量AB的大小稱為向量AB的長度（或稱模），記作AB

向量的模是數(shù)量零向量長度為0

的向量叫做零向量，記作0—單位向量長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量a是非零向量，則±a平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量兩向量可以相等也可以不相等，但不能比較大小相反向量與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-0的相反向量仍是02.向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律（性質(zhì)）加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則交換律：a+b=b+a.并規(guī)定：a+0=0+a減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a-數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算λa是一個(gè)向量，其長度：λa=其方向：當(dāng)λ>0時(shí)，與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，與a的方向相反設(shè)λ，μ∈λμa=μλ+μa=λa+b=3.向量共線定理向量aa≠0與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b常用結(jié)論1.加法運(yùn)算的推廣（1）加法運(yùn)算的推廣：A1（2）向量三角不等式：a-b≤a±b≤a+b.兩向量不共線時(shí)，可由“2.線性運(yùn)算重要結(jié)論（1）若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=（2）若G為△ABC的重心,則GA（3）若OA=λOB+μOC（λ，μ為實(shí)數(shù)），則點(diǎn)A，（4）如圖,△ABC中,BD=m,CD=n,則AD=nm+自主評價(jià)牛刀小試1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同. （×）（2）a與b是否相等與a，b的方向無關(guān). （√）（3）零向量與任一向量平行. （√）（4）若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線. （×）（5）當(dāng)兩個(gè)向量a，b共線時(shí)，一定有b=λaλ∈2.（教材題改編）下列說法正確的是（D）A.單位向量都相等 B.若a//bC.若a=b，則a=b 解：對于A，單位向量的模相等，但方向不一定相同，所以錯(cuò)誤.對于B，當(dāng)a//b時(shí)，a與b不一定相等對于C，當(dāng)a=b時(shí)，不一定有a=b，因?yàn)閍=b需a=b且a對于D，a=λbb≠0，則a//3.【多選題】（教材題改編）下列選項(xiàng)中，向量a,b一定共線的有（ABC）A.a=2e,b=-2C.a=4e1-25解：對于A，a=-對于B，a=-對于C，a=4b.故A，B，對于D，若a=λb，e1,e2不共線，則1故選ABC.4.