云南省達標名校2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

云南省達標名校2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知球面上有三點，如果，且球心到平面的距離為，則該球的體積為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．3．已知，則的值為（）A． B． C． D．24．在△ABC中，角所對的邊分別為,且則最大角為（）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公比()A． B． C．或 D．以上都不對6．下列命題正確的是（）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱.B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱.C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱.D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.7．把函數(shù)的圖像上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖像所表示的函數(shù)是（）A． B．C． D．8．已知數(shù)列{an}滿足且，則的值是()A．－5 B．－ C．5 D．9．若正數(shù)滿足，則的最小值為A． B．C． D．310．在數(shù)列中，若，，，設數(shù)列滿足，則的前項和為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若存在實數(shù)使得關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____.12．已知銳角、滿足，，則的值為______.13．正項等比數(shù)列中，為數(shù)列的前n項和，，則的取值范圍是____________．14．在平面直角坐標系中，點在第二象限，，，則向量的坐標為________.15．設為實數(shù)，為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如，.記，則的取值范圍為，現(xiàn)定義無窮數(shù)列如下：，當時，；當時，，若，則________.16．如圖為函數(shù)（，，，）的部分圖像，則函數(shù)解析式為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前n項和為，，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列的前n項和為，求證：.18．在平面直角坐標系中，已知A(-1,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足MAMB=12，設動點（1）求動點M的軌跡方程，并說明曲線C是什么圖形；（2）過點1,2的直線l與曲線C交于E,F兩點，若|EF|=455（3）設P是直線x+y+8=0上的點，過P點作曲線C的切線PG,PH，切點為G,H，設C'(-2,0)，求證：過19．已知，（1）求；（2）若，求.20．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.21．隨著高校自主招生活動的持續(xù)開展，我市高中生掀起了參與數(shù)學興趣小組的熱潮.為調查我市高中生對數(shù)學學習的喜好程度，從甲、乙兩所高中各自隨機抽取了40名學生，記錄他們在一周內平均每天學習數(shù)學的時間，并將其分成了6個區(qū)間：、、、、、，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）試估計甲高中學生一周內平均每天學習數(shù)學的時間的中位數(shù)甲（精確到0.01）；（2）判斷從甲、乙兩所高中各自隨機抽取的40名學生一周內平均每天學習數(shù)學的時間的平均值甲與乙及方差甲與乙的大小關系（只需寫出結論），并計算其中的甲、甲（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

的外接圓半徑為球半徑球的體積為，故選B.2、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域為，結合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域為.若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、B【解析】

根據(jù)兩角和的正切公式，結合，可以求出的值，用同角的三角函數(shù)的關系式中的平方和關系把等式變成分子、分母的齊次式形式，最后代入求值即可.【詳解】..故選：B【點睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關系式的應用，考查了二倍角的正弦公式，考查了兩角和的正切公式，考查了數(shù)學運算能力.4、C【解析】

根據(jù)正弦定理可得三邊的比例關系；由大邊對大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，從而求得角的大小.【詳解】由正弦定理可得：設，，最大為最大角本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，涉及到三角形中大邊對大角的關系，屬于基礎題.5、C【解析】

根據(jù)和可得，解得結果即可.【詳解】由得，所以，所以，所以，解得或故選：C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量的運算，屬于基礎題.6、C【解析】試題分析：有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體，A錯；有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯；用一個平行于底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，D錯；由棱柱的定義，C正確；考點：1、棱柱的概念；2、棱臺的概念.7、C【解析】

根據(jù)左右平移和周期變換原則變換即可得到結果.【詳解】向左平移個單位得：將橫坐標縮短為原來的得：本題正確選項：【點睛】本題考查三角函數(shù)的左右平移變換和周期變換的問題，屬于基礎題.8、A【解析】試題分析：即數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列．考點：1．等比數(shù)列的定義及基本量的計算；2．對數(shù)的運算性質．9、A【解析】

由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，因為，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，故選A.【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構造，利用基本不是準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、D【解析】

利用等差中項法得知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)已知條件可求出等差數(shù)列的首項與公差，由此可得出數(shù)列的通項公式，利用對數(shù)與指數(shù)的互化可得出數(shù)列的通項公式，并得知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項和公式可求出.【詳解】由可得，可知是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即．由，可得，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，數(shù)列的前項和為，故選D.【點睛】本題考查利用等差中項法判斷等差數(shù)列，同時也考查了對數(shù)與指數(shù)的互化以及等比數(shù)列的求和公式，解題的關鍵在于結合已知條件確定數(shù)列的類型，并求出數(shù)列的通項公式，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉化為含的絕對值不等式，對分成三種情況，結合絕對值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡得恒成立.當時，顯然成立.當時，可得，，可得且，可得，即，解得.當時，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數(shù)的單調性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.12、【解析】

計算出角的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關系計算出的值和的值，然后利用兩角差的余弦公式可計算出的值.【詳解】由題意可知，，，，則，.因此，.故答案為.【點睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時也考查了同角三角函數(shù)的平方關系求值，解題時要明確所求角與已知角之間的關系，合理利用公式是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于中等題.13、【解析】

利用結合基本不等式求得的取值范圍【詳解】由題意知，，且，所以，當且僅當?shù)忍柍闪?，所?故答案為：【點睛】本題考查等比數(shù)列的前n項和及性質，利用性質結合基本不等式求最值是關鍵14、【解析】

由三角函數(shù)的定義求出點的坐標，然后求向量的坐標.【詳解】設點，由三角函數(shù)的定義有，得，，得，所以，所以故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義的應用和已知點的坐標求向量坐標，屬于基礎題.15、【解析】

根據(jù)已知條件，計算數(shù)列的前幾項，觀察得出無窮數(shù)列呈周期性變化，即可求出的值?！驹斀狻慨敃r，，，，，……，無窮數(shù)列周期性變化，周期為2，所以?！军c睛】本題主要考查學生的數(shù)學抽象能力，通過取整函數(shù)得到數(shù)列，觀察數(shù)列的特征，求數(shù)列中的某項值。16、【解析】

由函數(shù)的部分圖像，先求得，得到，再由，得到，結合，求得，即可得到函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的部分圖像，可得，所以，又由，即，又由，即，解得，即，又因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)和的關系式，利用，整理化簡得到，從而證明是等差數(shù)列；（2）利用由（1）寫出的通項，利用裂項相消法求出，從而證明【詳解】（1）因為，所以當時，兩式相減，得到，整理得，又因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為3；（2）當時，，解得或，因為，所以，由（1）可知，即公差，所以，所以，所以【點睛】本題考查根據(jù)與的關系證明等差數(shù)列，裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.18、（1）動點M的軌跡方程為(x+2)2+y2=4，曲線C是以(-2,0)為圓心，2為半徑的圓（2）l的方程為2x-y=0或【解析】

（1）利用兩點間的距離公式并結合條件MAMB=12，化簡得出曲線C的方程，根據(jù)曲線（2）根據(jù)幾何法計算出圓心到直線的距離d=455，對直線l分兩種情況討論，一是斜率不存在，一是斜率存在，結合圓心到直線的距離d=（3）設點P的坐標為m,-m-8，根據(jù)切線的性質得出PG⊥GC'，從而可得出過G、P、C'x2【詳解】（1）由題意得(x+1)2+y所以動點M的軌跡方程為(x+2)2曲線C是以(-2,0)為圓心，2為半徑的圓；（2）①當直線l斜率不存在時，x=1，不成立；②當直線l的斜率存在時，設l:y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，圓心C(-2,0)到l的距離為d=-3k+21+∴d2=165=(2-3k)2∴l(xiāng)的方程為2x-y=0或2x-29y+56=0；（3）證明：∵P在直線x+y+8=0上，則設P(m,-m-8)∵C'為曲線C的圓心，由圓的切線的性質可得PG⊥GC'，∴經(jīng)過G,P,C'的三點的圓是以PC'為直徑的圓，則方程為(x+2)(x-m)+y(y+m+8)=0，整理可得x2令x2+y解得x=-2y=0或則有經(jīng)過G,P,C'三點的圓必過定點，所有定點的坐標為(-2,0)，(-5,-3).【點睛】本題考查動點軌跡方程的求法，考查直線截圓所得弦長的計算以及動圓所過定點的問題，解決圓所過定點問題，關鍵是要將圓的方程求出來，對帶參數(shù)的部分提公因式，轉化為方程組求公共解問題．19、（1）（2）【解析】

（1）兩邊平方可得，根據(jù)同角公式可得，；（2）根據(jù)兩角和的正切公式，計算可得結果.【詳解】（1）因為，所以，即.因為，所以，所以，故.（2）因為，所以，所以.【點睛】本題考查了兩角同角公式，二倍角正弦公式，兩角和的正切公式，屬于基礎題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結論；（2）先由面面垂直性質定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因為平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC.點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；（2）證明線面