高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第五章　第一節(jié)　任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（導(dǎo)學(xué)案）

第五章三角函數(shù)第一節(jié)任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念1.了解任意角的概念和弧度制;2.能進(jìn)行弧度與角度的互化;3.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1.角的概念的推廣(1)定義:一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

(2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.

點(diǎn)睛終邊相同的角不一定相等,但是相等的角終邊一定相同.(4)象限角:象限角角的表示第一象限的角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限的角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}

第三象限的角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限的角{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}

2.弧度制的定義和公式(1)定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號(hào)rad表示.

(2)公式:角α的弧度數(shù)公式|α|=lr(l角度與弧度的換算①1°=π180②1rad=180π°弧長(zhǎng)公式l=|α|r

扇形面積公式S=12lr=12|α|點(diǎn)睛(1)在同一個(gè)式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用;(2)利用公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度.3.任意角的三角函數(shù)(1)定義:設(shè)α是一個(gè)任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=

yx(x≠0)(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于原點(diǎn)O的任一點(diǎn),其到原點(diǎn)O的距離為r,則sinα=

yr,cosα=

xr,tanα=

yx((3)三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanαα點(diǎn)睛三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào):一全正、二正弦、三正切、四余弦.1.若角α∈0,π2,則sinα<α<tanα.2.α所在象限與α2α所在象限一二三四α2一、三一、三二、四二、四教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯(cuò)易混1,234,51.(教材變式)角-863°的終邊所在的象限是 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選C.-863°=-2×360°-143°,-863°和-143°的終邊相同,故-863°的終邊在第三象限.2.(教材提升)下列與角11π4的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 (A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈ZC.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z解析：選C.與11π4的終邊相同的角可以寫成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z3.(結(jié)論2)設(shè)θ是第三象限角,且cosθ2=-cosθ2,則θ2是 (A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：選B.因?yàn)棣仁堑谌笙藿?所以π+2kπ<θ<3π2+2kπ,k∈Z,所以π2+kπ<θ2<3π4+kπ,k∈Z,所以θ2的終邊落在第二、四象限,又cosθ2=-cosθ2,所以cos4.(忽視隱含條件)設(shè)α是第二象限角,P(x,8)為其終邊上的一點(diǎn),且sinα=45,則x=(A.-3 B.-4C.-6 D.-10解析：選C.因?yàn)镻(x,8)為其終邊上的一點(diǎn),且sinα=45,所以sinα=8x2+82=45,解得5.(混淆弧度制和角度制)已知扇形的圓心角為60°,其弧長(zhǎng)為2π,則此扇形的面積為.

解析：因?yàn)棣?60°=π3,l=αr,所以r=2ππ3=6,所以扇形面積S=12lr答案:6π角的概念的推廣角度1區(qū)域角[典例1]如圖,試用弧度制寫出終邊落在陰影部分的角的集合.(1)解析：(方法一)由于終邊在y=-x(x≤0)的角的集合為αα=2kπ+3π4,k∈Z,由于終邊在x非正半軸的角的集合為{α|(方法二)在[0,2π)內(nèi),終邊落在陰影部分的角的集合為3π4,π,所以所求角的集合為α3π(2)解析：由于終邊在y=-x(x≤0)的角的集合為αα=2kπ+3π4,k∈終邊在y=x(x>0)的角的集合為αα終邊在y=x(x≤0)的角的集合為ααβπβ5πβπ表示區(qū)域角的步驟(1)按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的角α和β的集合;(3)結(jié)合起始、終止邊界可得區(qū)間角集合.提醒根據(jù)區(qū)域?qū)懖坏仁綍r(shí),要注意包含邊界用≥或≤,不包含邊界用>或<.角度2象限角及終邊相同的角[典例2]已知α=π3(1)寫出與角α終邊相同的角的集合,并求出在(-4π,-π)內(nèi)與角α終邊相同的角;(2)若角β與角α終邊相同,判斷角β2是第幾象限的角解析：(1)與角α終邊相同的角的集合為θθ令-4π<2kπ+π3<-π,得-136<k<-又k∈Z,所以k=-2,-1,所以在(-4π,-π)內(nèi)與角α終邊相同的角是-11π3,-5π(2)由(1)知,β=2kπ+π3(k∈Z),則β2=kπ+π6(k∈Z),則當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),角β2是第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),角β1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.確定nα,αn(n∈N*先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出nα或αn的范圍,然后根據(jù)n的可能取值討論確定nα或αn1.集合αkπ+π4≤解析：選C.當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此時(shí)α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍一樣;當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此時(shí)α表示的范圍與π+π2.若角α的終邊在y軸的負(fù)半軸上,則角α+2π3的終邊在 (A.第一象限 B.第二象限C.y軸的正半軸上 D.x軸的負(fù)半軸上解析：選A.由角α的終邊在y軸的負(fù)半軸上可知α=3π2+2kπ,k∈Z故α+2π3=3π2+2kπ+2π3=13π6+2kπ,k∈Z,而13π6=2π+π6【加練備選】1.已知角α的終邊與5π3的終邊重合,則α3的終邊不可能在 (A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選A.因?yàn)榻铅恋慕K邊與5π3的終邊重合,所以α=5π3+2kπ,k∈Z,所以α3=5π9+23kπ,k∈Z,令k=3n(n∈Z),則α3=5π9+2n令k=3n+1(n∈Z),則α3=11π9+2nπ(n∈Z),此時(shí)令k=3n+2(n∈Z),則α3=17π9+2nπ(n∈Z),此時(shí)α所以α3的終邊不可能在第一象限2.若角α的終邊與函數(shù)f(x)=x-1的圖象相交,則角α的集合為 ()A.αB.αC.αD.α解析：選C.當(dāng)角α的終邊與直線y=x重合時(shí),角α的終邊與函數(shù)f(x)=x-1的圖象無交點(diǎn).又因?yàn)榻铅恋慕K邊為射線,所以2kπ-3π4<α<2kπ+π4,k∈角度3角的對(duì)稱問題[典例3]寫出滿足下列條件的角.(1)角α的終邊與780°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,且-90°<α<0°,則α=;

解析：因?yàn)棣?k·360°-780°(k∈Z),又-90°<α<0°,所以α=-60°.答案:-60°(2)角β的終邊與780°角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,且450°<β<540°,則β=.

解析：因?yàn)棣?(2k+1)·180°-780°(k∈Z),又450°<β<540°,所以β=480°.答案:480°(3)角γ的終邊與780°角的終邊垂直,則γ=.

解析：γ=k·180°+90°+780°(k∈Z)=n·180°+150°(n∈Z).答案:n·180°+150°(n∈Z)常見的角的對(duì)稱關(guān)系1.若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則β=k·360°+(180°-α),k∈Z.2.若角α與角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,則β=k·360°+(-α),k∈Z.3.若角α與角β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則β=k·360°+(180°+α),k∈Z.4.若角α與角β的終邊相互垂直,則β=k·180°+(90°+α),k∈Z.1.若角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則下列等式成立的是 ()A.sinα=sinβ B.cosα=cosβC.tanα=tanβ D.1tanα解析：選A.因?yàn)棣?β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè)角α終邊上一點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P'(-x,y),且點(diǎn)P與點(diǎn)P'到原點(diǎn)的距離相等,設(shè)為r,則P'(-x,y)在β的終邊上,由三角函數(shù)的定義得sinα=yr,sinβ=yr,所以sinα2.(多選題)下列條件中,能使α和β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的是 ()A.α+β=540° B.α+β=360°C.α+β=180° D.α+β=90°解析：選AC.假設(shè)α,β為0°~180°內(nèi)的角,如圖所示,由α和β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,所以α+β=180°,又根據(jù)終邊相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°,k∈Z,所以A,C滿足條件.扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用[典例4](1)一扇形的圓心角α=π3,半徑R=10cm,則扇形的面積為解析：由已知得α=π3,R=10cm,所以S扇形=12α·R2=12·π3·102=50π答案:50π3cm(2)如圖,點(diǎn)A,B,C是圓O上的點(diǎn).①若AB=4,∠ACB=π6,求劣弧AB②已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8,求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小.解析：①因?yàn)椤螦CB=π6,所以∠AOB=2∠ACB=π3,又OA=OB,所以△AOB為等邊三角形,所以O(shè)A=AB=4,則劣弧AB的長(zhǎng)為π3·OA②設(shè)圓O的半徑為r,扇形AOB的弧長(zhǎng)為l,圓心角為α.因?yàn)樯刃蜛OB的周長(zhǎng)為8,所以2r+l=8.方法一:扇形面積S=12l·r=14l·2r≤14·2r+l22所以當(dāng)扇形面積取得最大值時(shí),圓心角α=lr=2方法二:扇形面積S=12l·r=12(8-2r)·r=-r2+4r=-(r-2)則當(dāng)r=2時(shí),S取得最大值,此時(shí)l=8-2r=4,所以當(dāng)扇形面積取得最大值時(shí),圓心角α=lr=2[變式]若本例(1)條件不變,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積.解析：l=α·R=π3×10=10π3(cm),S弓形=S扇形-S三角形=50π3-12·R2·sinπ3=50π3-50π-7533應(yīng)用弧度制解決問題的思路1.求扇形面積最大值的問題時(shí),常轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)或基本不等式求最值問題;2.在解決弧長(zhǎng)問題、扇形面積問題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形.提醒一個(gè)半徑為r的弧長(zhǎng)l必須滿足0<l<2πr.1.(2023·成都模擬)《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競(jìng)技活動(dòng),刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”,擲鐵餅者的一只手臂長(zhǎng)約為π4米,整個(gè)肩寬約為π8米.“弓”所在圓的半徑約為1.25米.則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732) (A.1.612米 B.1.768米C.1.868米 D.2.045米解析：選B.由題意得,“弓”所在的弧長(zhǎng)為l=π4+π4+π8=5π8(米),R=1所以其所對(duì)的圓心角α=lR=5π85所以雙手之間的距離d=R2+R2=2×1.2.已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積是4cm2,求扇形的圓心角.解析：設(shè)該扇形的圓心角為α,半徑為R,由題意得2R+Rα=10,12α【加練備選】1.已知扇形OAB的圓心角為120°,半徑長(zhǎng)為6cm,求:(1)AB的長(zhǎng);(2)該扇形所含弓形的面積.解析：(1)因?yàn)棣?120°=120×π180=2π3,所以l=23π×6=4π(cm)(2)如圖所示,扇形面積公式S=120π×62360=12π(cm因?yàn)椤螼BC=30°,r=6,所以O(shè)C=3,所以BC=62-32=33,則故S△OAB=12AB·OC=12×63×3=93(cm2所以該扇形所含弓形的面積為S-S△OAB=(12π-93)(cm2).2.某地政府部門欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌,該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的).已知OA=2米,OB=x米(0<x<2),線段BA、線段CD與BC、AD的長(zhǎng)度之和為6米,圓心角為θ弧度.(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)記該宣傳牌的面積為y,試問x取何值時(shí),y的值最大?并求出最大值.解析：(1)根據(jù)題意,BC的長(zhǎng)度為xθ米,AD的長(zhǎng)度為2θ米,所以2(2-x)+xθ+2θ=6,所以θ=2x+2x+2(2)依據(jù)題意,可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=12θ×22-12θx2,化簡(jiǎn)得y=-x2+x+2,0<x所以當(dāng)x=12時(shí),ymax=-122+12+2=9所以當(dāng)x=12時(shí),y的值最大,且最大值為9三角函數(shù)的定義角度1根據(jù)定義求三角函數(shù)值[典例5]已知角α的終邊在函數(shù)y=12x(x>0)的圖象上,求sinα,cosα的值解析：方法一:在函數(shù)y=12x(x>0)的圖象上取一點(diǎn)P(2,1),則r=|OP|=5,因此sinα=15=55,cosα=25=255,即sinα=方法二:在函數(shù)y=12x的圖象上取一點(diǎn)P(2t,t)(t>0),則r=|OP|=(2t因此sinα=t5t=55,cosα=2[變式]已知角α的終邊在函數(shù)y=12x的圖象上,求sinα,cosα的值解析：在函數(shù)y=12x的圖象上取一點(diǎn)P(2t,t)(t≠0)r=|OP|=(2t)2+t當(dāng)t>0時(shí),同典例5的方法二.當(dāng)t<0時(shí),r=-5t.因此sinα=t-5t=-55,cosα=綜上所述,sinα=55,cosα=255或sinα=-55,cos三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|OP|=r,然后利用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α的終邊所在的直線方程,可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,再利用三角函數(shù)的定義求解,應(yīng)注意分情況討論.提醒若角的終邊在一條直線上,用參數(shù)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),要注意參數(shù)的取值范圍.角度2三角函數(shù)的符號(hào)[典例6]若α是第四象限角,則點(diǎn)Pcosα2,tanα2在 ()A.第二或第四象限B.第一或第三象限C.第三或第四象限D(zhuǎn).第一或第二象限解析：選C.因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?即2kπ-π2<α<2kπ,k∈Z,所以kπ-π4<α2<kπ,k當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),2nπ+3π4<α2<2nπ+π,n∈Z,此時(shí)則cosα2<0,tanα2<0,點(diǎn)當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),2nπ-π4<α2<2nπ,n∈Z,此時(shí)則cosα2>0,tanα2<0,點(diǎn)P在第四象限.所以點(diǎn)P三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷方法已知一角的三角函數(shù)值(sinα,cosα,tanα)中任意兩個(gè)的符號(hào),可分別確定出角的終邊所在的可能位置,二者的交集即為該角的終邊位置.注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.1.若角α滿足sinα·cosα<0,cosα-sinα<0,則α在 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選B.因?yàn)閟inα·cosα<0,所以α是第二或第四象限角;當(dāng)α是第二象限角時(shí),cosα<0,sinα>0,滿足cosα-sinα<0;當(dāng)α是第四象限角時(shí),cosα>0,sinα<0,則cosα-sinα>0,不符合題意;綜上所述α是第二象限角.2.(2022·常州模擬)已知角α的終邊在直線y=-3x上,則10sinα+3cosα的值為 (A.-610 B.610C.0 D.-310解析：選C.由題知cosα≠0.設(shè)角α的終邊上一點(diǎn)(a,-3a)(a≠0),則r=a2+9a2=10當(dāng)a>0時(shí),r=10a,sinα=-3a10cosα=a10a=10sinα+3cosα=-310+310當(dāng)a<0時(shí),r=-10a,sinα=-3a-10a=3101010sinα+3cosα=310-3103.已知點(diǎn)M是圓x2+y2=1上的點(diǎn),以射線OM為終邊的角α的正弦值為-22,求cosα和tanα的值解析：設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),由題意可知sinα=-22,即y1=-22,因?yàn)辄c(diǎn)M在圓x2+y所以x12+y12=1,即x12+-22±22,所以當(dāng)x1=22時(shí),cosα=22當(dāng)x1=-22時(shí),cosα=-22,tanα【加練備選】1.(多選題)已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P35,m5,則sinα的值可能是 ()A.45 B.35 C.-45 D解析：選AC.由題意可得sinα=m32+m2=m5,解得m=±4.當(dāng)m=4時(shí),sinα=452.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系中,角α以x正半軸為始邊,終邊與單位圓(原點(diǎn)為圓心)交于點(diǎn)-12,n,則符合條件的角α可以是 ()A.-π3 B.2π3 C.4π3 解析：選BC.當(dāng)α=-π3時(shí),cos-π3=12-12,故錯(cuò)誤;當(dāng)α=2π3時(shí),cos2π3=-12,故正確;當(dāng)α=4π3時(shí),cos4π3=-cosπ3=-12,故正確;當(dāng)α=7π3時(shí),cos7π3.(1)已知θ是第二象限角,試判斷tan(sinθ)tan(cosθ)的符號(hào).(2)若sin(cosθ)cos(sinθ)<0,求θ的終邊的位置.解析：(1)因?yàn)棣仁堑诙笙藿?所以0<sinθ<1<π2,-π2<-1<cosθ<0,所以tan(sinθ)>0,tan(cosθ)<0,所以tan(sinθ)tan(cosθ(2)因?yàn)?π2<-1≤sinθ≤1<π所以cos(sinθ)>0.又s