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文檔簡介
天津市八校2023-2024學年高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題
(二)
學校:..姓名:.班級:考號:
一、單選題
1.設(shè)集合A={-3,2,5},B={0,l,6},C={-l,4,5},貝|(AC)B=(
A.{5,6}B.{-3,0,1,5}C.{6,0,1,5}D.{0,2,4)
2.已知a,6eR,貝!|“。=》=。”是"|。+a=0”的().
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
設(shè)。=2叫"JJ
3.c=log32,則a,b,c的大小關(guān)系為(
A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a
4.已知函數(shù)y=/(x)的部分圖象如圖所示,則〃力的解析式可能為().
x
C.〃x)=D.f(x)=
5.已知數(shù)列{%}為不單調(diào)的等比數(shù)歹!j,A,數(shù)列也}滿足么則數(shù)列
。29
4lo
也}的最大項為().
1D-i
B-I
6.有人通過調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),兒子成年時的身高與父親的身高呈線性相關(guān),且兒子成年時的
身高y(單位:cm)與父親的身高x(單位:cm)的經(jīng)驗回歸方程為£=0.839x+28.957,
根據(jù)以上信息,下列判斷正確的為().
A.兒子成年時的身高與父親的身高的樣本相關(guān)系數(shù)r=Q839
B.父親的身高為170cm,兒子成年時的身高一定在171cm到172cm之間
C.父親的身高每增加1cm,兒子成年時的身高平均增加Q839cm
D.兒子在成年時的身高一般會比父親高
7.已知正方體A3CQ-A耳6。的外接球的體積為36兀,點E為棱A3的中點,則三棱錐
6-4血的體積為().
A.1B.2有C.迪D.165/3
33
8.將函數(shù)〃尤)=8$2二$向8$犬-1的圖象向左平移弓個單位長度得到函數(shù)?(力的圖象,
2o
下列結(jié)論正確的是().
A.g(x)是最小正周期為兀的偶函數(shù)B.點g,o1是g(x)的對稱中心
C.g(x)在區(qū)間后片上的最大值為3D.g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減
9.已知拋物線y2=2px(p>。)的焦點為尸,拋物線上的點M(4,%)到下的距離為6,雙曲
22
線二-當=1e>0,人>0)的左焦點£在拋物線的準線上,過點耳向雙曲線的漸近線作垂線,
ab
垂足為則目與雙曲線兩個焦點構(gòu)成的三角形面積的最大值為().
A.2B.73C.75D.3
二、填空題
10.i為虛數(shù)單位,則3=_________.
1-21
11.在X3-J-的展開式中,V的系數(shù)為____________.
IY尤J
12.己知直線y=2x+l與圓尤?+/+2依+2丁+1=。(4片0)交于A8兩點,直線
爾+產(chǎn)2=0垂直平分弦42,則。的值為.
13.兩個三口之家進行游戲活動,從6人中隨機選出2人,則這2人來自同一個家庭的概率
為;若選出的2人來自同一個家庭,游戲成功的概率為0.6,若來自不同的家庭,
游戲成功的概率為0.3,則游戲成功的概率為.
14.在四邊形A3CD中,/A=120,AC=1,AB=2DC,M為中點.記A£>=a,AB=b,
試卷第2頁,共4頁
用a,6表示BM=_________________;若AN=1DC,則ND-的最大值
4
為.
2|%+臼x<0
15.設(shè)aeR,函數(shù)〃力=七],若函數(shù)y=/(x)-阿恰有4個零點,貝I]實數(shù)
|%-5x+4|,x>0-??
a的取值范圍為.
三、解答題
16.在銳角ABC中,角AB,C的對邊分別為a,b,c.已知〃=3,6=20,ABC的面
積為3.
⑴求c的值;
(2)求sinB的值;
(3)求sin(23—C)的值.
17.如圖,在直三棱柱ABC-4耳£中,ACLBC,AC=BC=2,CC1=3,歹為8c的中點,
點、D,E分別在棱A4和棱CG上,且短)=1,CE=2.
⑴求證:4尸〃平面
⑵求平面ACGA與平面BDE夾角的余弦值;
⑶求點A到平面BDE的距離.
22
18.已知橢圓+當=1(。>6>0)的左、右焦點分別為入鳥,點尸的坐標為(ab),且線
ab
段。尸的長是長軸長的史.
(1)求橢圓的離心率e;
⑵若直線P8交橢圓于M,N兩點(M在N的上方),過尸2作PN的垂線/交》軸于點
若線段0”延長線上的一個點"滿足的面積為半,.
①證明四邊形。尸”N是菱形;
②若口與|=g,求橢圓的方程.
19.已知{%}為等差數(shù)列,{9}是公比為2的等比數(shù)列.q=1,且%-4=1,a^-bx=b3-a6.
⑴求數(shù)列{%}和加“}的通項公式;
ak---\bk,左為奇數(shù),
Iak)
⑵若q=
(1
打“+一,左為偶數(shù)?
\a2n+l-k
①當左為奇數(shù),求,+。2“+-;
In
②求
k=l
20.已知/(x)=x+arlnx(?eR),
⑴當4=2時,求“X)在點(e,〃e))處的切線方程;
⑵討論/(x)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)存在極大值,且極大值為1,求證:/(x)<e-x+x2.
試卷第4頁,共4頁
參考答案:
1.C
【分析】利用交集與并集的概念計算即可.
【詳解】易知AC={5},所以(AC)B={6,0,l,5}.
故選:C
2.A
【分析】根據(jù)題意可直接判斷充分性,舉例說明必要性不成立即可.
【詳解】若4=6=0,則|。+4=0,即充分性成立;
若卜+4=0,例如〃=1,6=-1,滿足條件,但。=6=0不成立,即必要性不成立;
綜上所述:"。=6=0”是“|。+4=0”的充分不必要條件.
故選:A.
3.B
【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得lv,v〉v2,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得0<c<l,即可得
到結(jié)果.
【詳解】M=20-5,且2°<2°」<2口5<2|,
即lvav〃v2,X0=log31<log32<log33=1,
即0<C<l,所以6>4>C.
故選:B
4.D
【分析】根據(jù)/'(0)=0排除A,根據(jù)定義域排除B,根據(jù)奇偶性排除C,進而可得答案.
【詳解】對于A,"》)=」_|_1在%=0處無意義,故A錯誤;
ex-l
對于B:〃x)=M的定義域為R'故B錯誤;
對于C:的定義域為{x|xw±l},
2
討'一(T)'_尤2
且3舟丁「=/(x),則/(X)為偶函數(shù),故C錯誤;
答案第1頁,共14頁
X
對于D,滿足圖中要求,故D正確.
故選:D.
5.C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念求公比及通項公式,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最大項即可.
2a4111
【詳解】由題意可知一寸『“=5或"二,
又{《}為不單調(diào)的等比數(shù)列,所以q=一;,則%
故年=1一%包
若要求{2}的最大項,需”為偶數(shù),則2=1+&「',
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知當〃=2時,仇=£為他,}的最大項.
O
故選:C
6.C
【分析】根據(jù)題意,由線性回歸方程的性質(zhì),對選項逐一判斷,即可得到結(jié)果.
£(%-可(y-9)£(%-可(%-方
1=1
【詳解】因為r=且J-----------
£”)2
£(一)2
Vi=li=li=l
即「與6不一定相等,故A錯誤;
當父親身高為170cm時,孩子身高可能在171cm到172cm之間,
而不是一定,故B錯誤;
因為亍=0.839X+28.957,即父親的身高每增加1cm,
兒子成年時的身高平均增加0.839cm,故C正確;
由回歸方程可知,是否比父親高還得取決于父親身高,因此判斷不了兒子成年時一般比父親
高,故D錯誤;
故選:C
7.B
【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計算正方體棱長,再根據(jù)三棱錐的體積公式計算
答案第2頁,共14頁
即可.
【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對角線,
4
所以V=-7lX=36兀=>AB=2A/3,
3
所以VcAED=-xC1Cx-xADxAE=-x2^x2y/3xy/3=2y/3.
,326
故選:B
8.D
【分析】先由二倍角余弦公式和輔助角公式化簡再平移得到g(x)=-?sin2x,由正弦函數(shù)
的奇偶性得到A錯誤;代入得到B錯誤;由正弦函數(shù)的單調(diào)性得到C錯誤,D正確.
.、*即、\21cos2x+l1._1v2f_兀)
【洋用牛】/x=cosx-sinxcosx——=-----------sin2x——=——cos2x+—,
v722222^4)
向左平移方個單位長度得到函數(shù)g(x),則g(x)=*cos[2[無+/]+£=-亨sin2x,
對于A:由以上解析可得雇元)為奇函數(shù),故A錯誤;
對于B:當x=9時,g(x)=-交sin(2x']=-變,故B錯誤;
4s',214)2
7r3
對于C:因為函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為2E+342XV2E+5兀,%eZ,即
713
fai+—<x<fai+—7i,^eZ,
44
jrjr
同理得函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為kn--,kn+-,ksZ
■jr
所以一五,0是g(x)的一個遞減區(qū)間,
JT
又當xe0,-時,g(x)<0,
所以g(Hmax=g(_f1)=一,Sin(一《)=亨,故C錯誤;
TT兀
D:由C的解析可知,所以減區(qū)間為hi--,k7i+-,kwZ,
L44J
所以當k=0時可得,g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故D正確;
故選:D.
答案第3頁,共14頁
9.A
【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求P、F、片,再由雙曲線的性質(zhì),基本不等式
計算即可.
【詳解】設(shè)雙曲線右焦點F?,易知尸[券,o],MF=4+^=6np=4,
即尸(2,0),大(一2,0),乙(2,0),而雙曲線的一條漸近線為y尤,
易知忸儲+>2=02=4所以|OH|=a,
yja+b
由雙曲線的性質(zhì)可知Sg%=2SHFfi=ab,
由基本不等式可知MW=2,當且僅當a=b=亞時取得等號.
故選:A
74
10.-+-i
55
【分析】利用復數(shù)的乘、除法運算計算即可.
3-2i(3-2i)(l+2i)7+4i74.
【詳解】由------------——--------------------------------=--------------=11
l-2i(l-2i)(l+2i)1+455,
74
故答案為:j+—i
11.224
【分析】根據(jù)二項式定理通項公式可得結(jié)果.
【詳解】因為通項公式為4+1=C;(x3廣[-胃[=卜0)'。/々,
6333
當24-:r=3nr=6時,TM=(-^)Cfx=8x28x=224x,
所以/的系數(shù)為224,
故答案為:224.
12.2
【分析】利用圓的性質(zhì),兩直線位置關(guān)系計算即可.
【詳解】由題意可知(x+ay+(y+l)2=a2,即圓心C(一a,—l),
又直線如+y+2=0垂直平分弦A8,所以nu+y+2=0過圓心,
答案第4頁,共14頁
1
-ma-1+2=0m=—
所以2.
2m-1x1=0
a=2
故答案為:2
221
13.-/0.40.42/—
550
【分析】先計算從6人中選2人的所有種數(shù),再計算同一家庭的種數(shù),求概率即可;由全概
率公式計算即可得第二空.
2C2
【詳解】由題意可知從6人中隨機選出2人,則這2人來自同一個家庭的概率為片=記=不
C1C13
而來自不同家庭的概率為6
2321
貝慚戲成功的概率為尸=0.6x1+0.3x1=丁=0.42.
2
故答案為:—;0.42
o1一33
14.—a—b——
216
【分析】利用給定的基底,利用向量的線性運算求出利用數(shù)量積的運算律及定義,余
弦定理、基本不等式求出最大值即得.
【詳解】由M是AD中點,AD=a,AB=b,得=AM-43=5a-。;
在四邊形ABC。中,令A(yù)D=m,DC=n,由AB=2DC,^AB//CD,AB=2nf
由NB4O=120,得NADC=60,在△ADC中,由余弦定理得,
AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC,BP1=m2+n2-mn>mn,當且僅當m=n時取等號,
由⑷^AN=-b,ND=AD-AN=a--b,
488
13jtbND-BM=(a--b)?(—a-b)=—+—b--a-b=—m2+—n2---m-2ncosl20
8228162216
117125,12533
=—(m2+n2)Hmn=--\----mn<—H=一
21621621616
33
所以的最大值為
16
答案第5頁,共14頁
irr33
故答案為:~a~^;7-
216
15.一1<〃<0或lva<2
【分析】對實數(shù)。的取值進行分類討論,分別畫出不同取值情況的/(%)的函數(shù)圖象,函數(shù)
y=-阿恰有4個零點,說明的圖象與尸畫的圖象有四個交點,通過尸網(wǎng)斜
率的變化即可確定實數(shù)。的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)y=〃尤)-阿恰有4個零點,
所以y=〃x)的圖象與y=H的圖象有四個交點,
當a=0時,如圖所示,
\/
/y=/(x)的圖象與尸網(wǎng)=0的圖象僅有兩個交點,與題意不
-3-2-'1|012345X
符;
當〃<0時,如圖所示,
由圖可知,當a<-2時,,=畫與y=/(x)在(-8,0)有一個交點,在(0,+8)有兩個交點,
與題意不符,
在xe[l,4]上,當/("=一%2+5%-4與y=px相切時,
丫=一+5犬一4
,得一f+5%+ar-4=0,
)y=—ax
貝必=(5+a)2-16=0,得Q=-1(舍去a=-9),
所以當-2<av-l時,丁=畫與y=/(x)在(-8,0)有無交點,在(。,+e)有兩個交點,與題
答案第6頁,共14頁
意不符,
當(7=-1時,>=網(wǎng)與y=/(x)在(T,0)有無交點,在(0,+8)有三個交點,與題意不符,
當-l<a<0時,產(chǎn)網(wǎng)與y=/(x)在(-8,0)有無交點,在(0,+8)有四個交點,符合題意;
y——%+5%一4
聯(lián)立《,得—爐+5元—?―4=0,
[y=ax
貝必=(5--16=0,得。=1(舍去a=9),
由圖可知,當0<“<1時,丁=畫與y=在(-8,0)有兩個交點,在(0,+oo)有四個交點,
與題意不符,
當4=1時,、=附與y=/(x)在(-8,0)有兩個交點,在(0,+8)有三個交點,與題意不符,
當I<a<2時,,=畫與y=/(x)在(-8,0)有兩個交點,在(0,+8)有兩個交點,符合題意,
當a22時,、=網(wǎng)與y=/(x)在(-8,0)有一個交點,在(。,+8)有兩個交點,與題意不符.
綜上所述,-l<a<0或l<a<2.
故答案為:—1<。<0或
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想,
需要通過討論。取值范圍的不同,結(jié)合x范圍的限制,判斷交點個數(shù),然后推出。的范圍即
可.
16.⑴石
⑵亭
⑶逑
10
答案第7頁,共14頁
【分析】(1)利用三角形面積公式s=;帥sinC可得角C,再用余弦定理求C;
hc
(2)根據(jù)正弦定理號=-^即得;
smBsinC
(3)先用二倍角公式求出sinZB.cosZB,然后再用兩角差的正弦公式求值.
【詳解】(1)SAM=,QbsinC='x3x2A/5sinC=3^sinC=3,
22
二sinC=正,又ABC是銳角三角形,
2
7T
-C=~,又由三角形余弦定理得:
4
c2=a2+b2—labcosC=9+8—2x3x2A/2COS—=5,
4
c—?
b
(2)由三角形正弦定理得:即氤-",
sinBsinC
272x叵
T_275.
/.sinB=------;='
V55
⑶又Bel0,^1,/.cosB=Vl-sin2B_5,
~5
/.sin2B=2sinBcosB=2x-x,
555
43
cos2B=COS2B-sin2B=—
555J
又
c三
4V2f3^1A/275/2
.-.sin(2B-C)=sin28cosc-cos2BsinC=—X---------------------X-----------=-----------
52I210
17.(1)證明見解析
(3)l
【分析】(1)取BE的中點G,證明AF//DG即可;
答案第8頁,共14頁
(2)建立空間直角坐標系,向量法求兩個平面夾角的余弦值;
(3)向量法求點到平面的距離.
【詳解】(1)證明:取BE的中點G,連接fU,DG,則FG//CG/M4,
且網(wǎng)=審=2,...BG〃4。且FG=4。,
則四邊形AOG尸為平行四邊形,,4尸//。6.
又A^cz平面及定,OGu平面3DE,
二A尸〃平面&5及
(2)解:直三棱柱ABC-A與G中,AC1BC.以C為原點,以。;CBCG的方向為》軸、
y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,
則3(020),£(0,0,2),0(2,04),:.BE=(0,-2,2),BD=(2,-2,1),
n-BE=-2y+2z=0,
設(shè)平面BDE的一個法向量為n=(x,y,z),則
n?BD=2x—2y+z=0,
即令y=l,則z=l,x=g,得到平面3DE的一個法向量〃=
易知平面AC£A的一個法向量為根=(0,1,0).
設(shè)平面ACCM與平面mE的夾角為
-x0+lxl+lx0
|m-n|22
貝Ucos8=|cosm,n|
1^1Ini3
-+1+1
4
7
.??平面ACGA與平面BZ汨夾角的余弦值為;.
答案第9頁,共14頁
(3)解:4(2,0,3),^D=(O,O,-2),
|-2l4
d=
???點4到平面BDE的距離=|,;|^~=3.
2
18.⑴
42
⑵①證明見解析;②3-+2vL=i.
164
【分析】(1)利用條件中線段長關(guān)系可構(gòu)造齊次式求離心率;
(2)①根據(jù)上問結(jié)論化簡橢圓方程,分別求直線DH、PN的方程,根據(jù)面積求出
\DF2\^\F2H\,再求出N坐標,可判定|明|=優(yōu)尸|,從而證明結(jié)論;②直接由口用=(解方
程即可.
【詳解】(1)由已知得長軸長為2a,則也=aS=YZn3/=4b2,;.a2=4c2,£=e=L
2a2a4a2
22
(2)①證明:由(1)知。2=4。2,〃=3。2,所以橢圓方程為》+9=1,
易知尸(2c,瘋?),工(c,0),
所以k==6,
PF,
2"C
故直線DH的方程為y=T(x—c),直線PN的方程為y=c),
令x=0,則丁=4。,|。周二2yc,
易知|P閭=2c,
=lx2cx^l=^l2
:.SPDFccPDH\DF.\=\F2H\,
r2332'DHI4II4I
y=6(x-c)
22
聯(lián)立方程組|yvnl5f-24cx=0,
'命+密之
Qr
解得X]=0,尤2=5,
M在N的上方,.??N(0,-&),|NK|=2c,
即質(zhì)|=國尸|,
答案第10頁,共14頁
由上得,四邊形。尸"N的對角線互相垂直且平分,故四邊形。PHN是菱形.
②解:由叱仁孚=g,c=孚,從而"胃涉=2,
19.(1)??=?>"=2"
⑵①公*;②胄+3$22向
【分析】(1)利用等差等比數(shù)列的通項公式列方程求解;
(2)①利用條件直接求解;②求出當上為偶數(shù)時,+。2“+—,然后利用倒序相加以及錯位相
減法求和即可.
【詳解】(1)設(shè)數(shù)列{%}的公差為%也}的公比為2,%=1,
1+2d-4=1
由已知可得得a=2,d=l,
1+31_4=的_(1+51),
a
??n="〃=2";
(2)①,k為奇數(shù),,2幾十l—k為偶數(shù).
1]1
,?/+。2〃+1-左=ak%+a2n+\-(2n+\-k)'^2n+l-(2n+l-k)
\ak71”2〃+1-(2〃+1-&))
k+1
ak+—jbk=2akbk=2k-2=k-2^;
ak)
②當k為偶數(shù),2〃+l-左為奇數(shù),
Ck+C2n+\-k=a2n+\-k4〃+l-k+a2n+l-kp2n+l-jt=2aZn+l-Mzn+l-k
\a2n+\-k7Va2n+l-k7
答案第11頁,共14頁
=2(2n+l-k\2rn+1-k=(2n+l-k)-^n+2-k
2n
令邑”=£康,
k=\
SC
2n=Cj+C2++Cln-1+2n,
SCC
即2?=1n+2?-l++C2+Ct,
2s2"=(。+C2n)+(C2+C2?-l)+++。2)+(。2“+G),
CC+C+C+C
2s2"=(q+C2n)+(c3+C2n_2)+++C?)+(。2+2,>-1)+(42n-3)+(2nl)
=1X22+3X24++(2H-1)-22Z!+(2n-1)-22"+(2H-3)-22^2++lx22
所以S?"=1x2+3x23++(2n-1)-22n-1+(2/i-1)-Z2"-1+(2/i-3)-22n-3++1x2
所以4s2“=1x23+3x25++(2n-1)-22n+1+(-1)-22n+1+(2?-3)-22"-1++lx23
所以
352112M+12n+I2-12n-33
-3S2?=2+2(2+2++2T)-(2n-1)-2-(2M-1)-2+2(2"+2++2)+2
,3_o2n-l403_n2n-lA
=2+2x--=---------(2H-1)-22"+1-(2H-1)-22"+1+2X-------------+2
1-4v7v71-4
20,10-12”i+i
33
所以5「曰+巨?Wx”.
20.(l)y=5x-2e
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】(1)利用導數(shù),求切點處切線的方程;
(2)利用導數(shù),分類討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)由極大值,求出。的值,通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證明不等式.
【詳解】(1)當a=2時,f(x)=x+2xlwc,貝|〃e)=e+2e=3e,
又r(x)=3+21nx,則切線的斜率左=/'(e)=5,
所求切線方程為y-3e=5(x-e),即
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