天津市八校2023-2024學年高三年級下冊聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題（二）（含答案解析）

天津市八校2023-2024學年高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題

（二）

學校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.設(shè)集合A={-3,2,5},B={0,l,6},C={-l,4,5},貝|(AC)B=(

A.{5,6}B.{-3,0,1,5}C.{6,0,1,5}D.{0,2,4)

2.已知a,6eR,貝!|“。=》=。”是"|。+a=0”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

設(shè)。=2叫"JJ

3.c=log32,則a,b,c的大小關(guān)系為（

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.已知函數(shù)y=/（x）的部分圖象如圖所示，則〃力的解析式可能為（）.

x

C.〃x)=D.f(x)=

5.已知數(shù)列｛%｝為不單調(diào)的等比數(shù)歹!j,A，數(shù)列也｝滿足么則數(shù)列

。29

4lo

也｝的最大項為（）.

1D-i

B-I

6.有人通過調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，兒子成年時的身高與父親的身高呈線性相關(guān)，且兒子成年時的

身高y（單位：cm）與父親的身高x（單位：cm）的經(jīng)驗回歸方程為￡=0.839x+28.957,

根據(jù)以上信息，下列判斷正確的為（）.

A.兒子成年時的身高與父親的身高的樣本相關(guān)系數(shù)r=Q839

B.父親的身高為170cm,兒子成年時的身高一定在171cm到172cm之間

C.父親的身高每增加1cm,兒子成年時的身高平均增加Q839cm

D.兒子在成年時的身高一般會比父親高

7.已知正方體A3CQ-A耳6。的外接球的體積為36兀，點E為棱A3的中點，則三棱錐

6-4血的體積為（）.

A.1B.2有C.迪D.165/3

33

8.將函數(shù)〃尤）=8$2二$向8$犬-1的圖象向左平移弓個單位長度得到函數(shù)？（力的圖象，

2o

下列結(jié)論正確的是（）.

A.g（x）是最小正周期為兀的偶函數(shù)B.點g，o1是g（x）的對稱中心

C.g（x）在區(qū)間后片上的最大值為3D.g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減

9.已知拋物線y2=2px（p>。）的焦點為尸，拋物線上的點M（4,%）到下的距離為6,雙曲

22

線二-當=1e>0,人>0）的左焦點￡在拋物線的準線上，過點耳向雙曲線的漸近線作垂線,

ab

垂足為則目與雙曲線兩個焦點構(gòu)成的三角形面積的最大值為（）.

A.2B.73C.75D.3

二、填空題

10.i為虛數(shù)單位，則3=_________.

1-21

11.在X3-J-的展開式中，V的系數(shù)為____________.

IY尤J

12.己知直線y=2x+l與圓尤?+/+2依+2丁+1=。（4片0）交于A8兩點，直線

爾+產(chǎn)2=0垂直平分弦42,則。的值為.

13.兩個三口之家進行游戲活動，從6人中隨機選出2人，則這2人來自同一個家庭的概率

為;若選出的2人來自同一個家庭，游戲成功的概率為0.6,若來自不同的家庭，

游戲成功的概率為0.3,則游戲成功的概率為.

14.在四邊形A3CD中，/A=120,AC=1,AB=2DC,M為中點.記A￡>=a,AB=b,

試卷第2頁，共4頁

用a,6表示BM=_________________;若AN=1DC,則ND-的最大值

4

為.

2|%+臼x<0

15.設(shè)aeR,函數(shù)〃力=七],若函數(shù)y=/(x)-阿恰有4個零點，貝I]實數(shù)

|%-5x+4|,x>0-??

a的取值范圍為.

三、解答題

16.在銳角ABC中，角AB,C的對邊分別為a,b,c.已知〃=3,6=20,ABC的面

積為3.

⑴求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(23—C)的值.

17.如圖，在直三棱柱ABC-4耳￡中，ACLBC,AC=BC=2,CC1=3,歹為8c的中點，

點、D,E分別在棱A4和棱CG上，且短)=1,CE=2.

⑴求證：4尸〃平面

⑵求平面ACGA與平面BDE夾角的余弦值；

⑶求點A到平面BDE的距離.

22

18.已知橢圓+當=1(。>6>0)的左、右焦點分別為入鳥，點尸的坐標為(ab),且線

ab

段。尸的長是長軸長的史.

(1)求橢圓的離心率e；

⑵若直線P8交橢圓于M,N兩點(M在N的上方)，過尸2作PN的垂線/交》軸于點

若線段0”延長線上的一個點"滿足的面積為半,.

①證明四邊形。尸”N是菱形;

②若口與|=g,求橢圓的方程.

19.已知｛%｝為等差數(shù)列,｛9｝是公比為2的等比數(shù)列.q=1,且%-4=1,a^-bx=b3-a6.

⑴求數(shù)列｛%｝和加“｝的通項公式;

ak---\bk,左為奇數(shù),

Iak)

⑵若q=

(1

打“+一，左為偶數(shù)?

\a2n+l-k

①當左為奇數(shù)，求，+。2“+-；

In

②求

k=l

20.已知/(x)=x+arlnx(?eR),

⑴當4=2時，求“X)在點(e,〃e))處的切線方程;

⑵討論/(x)的單調(diào)性;

(3)若函數(shù)存在極大值，且極大值為1,求證：/(x)<e-x+x2.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】利用交集與并集的概念計算即可.

【詳解】易知AC={5},所以（AC）B={6,0,l,5}.

故選：C

2.A

【分析】根據(jù)題意可直接判斷充分性，舉例說明必要性不成立即可.

【詳解】若4=6=0,則|。+4=0,即充分性成立；

若卜+4=0,例如〃=1,6=-1,滿足條件，但。=6=0不成立，即必要性不成立；

綜上所述："。=6=0”是“|。+4=0”的充分不必要條件.

故選：A.

3.B

【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得lv，v〉v2,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得0<c<l,即可得

到結(jié)果.

【詳解】M=20-5,且2°<2°」<2口5<2|，

即lvav〃v2,X0=log31<log32<log33=1,

即0<C<l,所以6>4>C.

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)/'（0）=0排除A,根據(jù)定義域排除B,根據(jù)奇偶性排除C,進而可得答案.

【詳解】對于A,"》）=」_|_1在％=0處無意義，故A錯誤;

ex-l

對于B：〃x）=M的定義域為R'故B錯誤;

對于C：的定義域為{x|xw±l},

2

討'一（T）'_尤2

且3舟丁「=/（x）,則/（X）為偶函數(shù)，故C錯誤;

答案第1頁，共14頁

X

對于D,滿足圖中要求，故D正確.

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念求公比及通項公式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最大項即可.

2a4111

【詳解】由題意可知一寸『“=5或"二,

又｛《｝為不單調(diào)的等比數(shù)列，所以q=一;，則%

故年=1一%包

若要求｛2｝的最大項，需”為偶數(shù)，則2=1+&「'，

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知當〃=2時，仇=￡為他,｝的最大項.

O

故選：C

6.C

【分析】根據(jù)題意，由線性回歸方程的性質(zhì)，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

￡（%-可（y-9）￡（%-可（%-方

1=1

【詳解】因為r=且J-----------

￡”）2

￡（一）2

Vi=li=li=l

即「與6不一定相等，故A錯誤;

當父親身高為170cm時，孩子身高可能在171cm到172cm之間，

而不是一定，故B錯誤；

因為亍=0.839X+28.957,即父親的身高每增加1cm,

兒子成年時的身高平均增加0.839cm,故C正確；

由回歸方程可知，是否比父親高還得取決于父親身高，因此判斷不了兒子成年時一般比父親

高，故D錯誤；

故選：C

7.B

【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計算正方體棱長，再根據(jù)三棱錐的體積公式計算

答案第2頁，共14頁

即可.

【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對角線,

4

所以V=-7lX=36兀=>AB=2A/3,

3

所以VcAED=-xC1Cx-xADxAE=-x2^x2y/3xy/3=2y/3.

,326

故選：B

8.D

【分析】先由二倍角余弦公式和輔助角公式化簡再平移得到g(x)=-?sin2x,由正弦函數(shù)

的奇偶性得到A錯誤；代入得到B錯誤；由正弦函數(shù)的單調(diào)性得到C錯誤,D正確.

.、*即、\21cos2x+l1._1v2f_兀)

【洋用牛】/x=cosx-sinxcosx——=-----------sin2x——=——cos2x+—,

v722222^4)

向左平移方個單位長度得到函數(shù)g(x),則g(x)=*cos[2[無+/]+￡=-亨sin2x,

對于A：由以上解析可得雇元)為奇函數(shù)，故A錯誤；

對于B：當x=9時，g(x)=-交sin(2x']=-變，故B錯誤；

4s'，214)2

7r3

對于C：因為函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為2E+342XV2E+5兀,％eZ,即

713

fai+—<x<fai+—7i,^eZ,

44

jrjr

同理得函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為kn--,kn+-,ksZ

■jr

所以一五,0是g(x)的一個遞減區(qū)間，

JT

又當xe0,-時，g(x)<0,

所以g(Hmax=g(_f1)=一,Sin(一《)=亨，故C錯誤；

TT兀

D：由C的解析可知，所以減區(qū)間為hi--,k7i+-,kwZ,

L44J

所以當k=0時可得，g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確；

故選：D.

答案第3頁，共14頁

9.A

【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求P、F、片，再由雙曲線的性質(zhì)，基本不等式

計算即可.

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點F?，易知尸［券，o］，MF=4+^=6np=4,

即尸（2,0）,大（一2,0）,乙（2,0）,而雙曲線的一條漸近線為y尤，

易知忸儲+>2=02=4所以|OH|=a,

yja+b

由雙曲線的性質(zhì)可知Sg%=2SHFfi=ab,

由基本不等式可知MW=2,當且僅當a=b=亞時取得等號.

故選：A

74

10.-+-i

55

【分析】利用復數(shù)的乘、除法運算計算即可.

3-2i(3-2i)(l+2i)7+4i74.

【詳解】由------------——--------------------------------=--------------=11

l-2i(l-2i)(l+2i)1+455,

74

故答案為：j+—i

11.224

【分析】根據(jù)二項式定理通項公式可得結(jié)果.

【詳解】因為通項公式為4+1=C；（x3廣［-胃［=卜0）'。/々,

6333

當24-：r=3nr=6時，TM=（-^）Cfx=8x28x=224x,

所以/的系數(shù)為224,

故答案為：224.

12.2

【分析】利用圓的性質(zhì)，兩直線位置關(guān)系計算即可.

【詳解】由題意可知（x+ay+（y+l）2=a2,即圓心C（一a,—l）,

又直線如+y+2=0垂直平分弦A8,所以nu+y+2=0過圓心,

答案第4頁，共14頁

1

-ma-1+2=0m=—

所以2.

2m-1x1=0

a=2

故答案為：2

221

13.-/0.40.42/—

550

【分析】先計算從6人中選2人的所有種數(shù)，再計算同一家庭的種數(shù)，求概率即可；由全概

率公式計算即可得第二空.

2C2

【詳解】由題意可知從6人中隨機選出2人，則這2人來自同一個家庭的概率為片=記=不

C1C13

而來自不同家庭的概率為6

2321

貝慚戲成功的概率為尸=0.6x1+0.3x1=丁=0.42.

2

故答案為：—;0.42

o1一33

14.—a—b——

216

【分析】利用給定的基底，利用向量的線性運算求出利用數(shù)量積的運算律及定義，余

弦定理、基本不等式求出最大值即得.

【詳解】由M是AD中點，AD=a,AB=b,得=AM-43=5a-。；

在四邊形ABC。中，令A(yù)D=m,DC=n,由AB=2DC,^AB//CD,AB=2nf

由NB4O=120,得NADC=60，在△ADC中，由余弦定理得,

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC,BP1=m2+n2-mn>mn,當且僅當m=n時取等號,

由⑷^AN=-b,ND=AD-AN=a--b,

488

13jtbND-BM=(a--b)?(—a-b)=—+—b--a-b=—m2+—n2---m-2ncosl20

8228162216

117125,12533

=—(m2+n2)Hmn=--\----mn<—H=一

21621621616

33

所以的最大值為

16

答案第5頁，共14頁

irr33

故答案為：~a~^;7-

216

15.一1<〃<0或lva<2

【分析】對實數(shù)。的取值進行分類討論，分別畫出不同取值情況的/(%)的函數(shù)圖象，函數(shù)

y=-阿恰有4個零點，說明的圖象與尸畫的圖象有四個交點，通過尸網(wǎng)斜

率的變化即可確定實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)y=〃尤)-阿恰有4個零點，

所以y=〃x)的圖象與y=H的圖象有四個交點，

當a=0時，如圖所示，

\/

/y=/(x)的圖象與尸網(wǎng)=0的圖象僅有兩個交點，與題意不

-3-2-'1|012345X

符；

當〃<0時，如圖所示，

由圖可知，當a<-2時，,=畫與y=/(x)在(-8,0)有一個交點，在(0,+8)有兩個交點，

與題意不符，

在xe[l,4]上，當/("=一%2+5%-4與y=px相切時，

丫=一+5犬一4

，得一f+5%+ar-4=0,

)y=—ax

貝必=(5+a)2-16=0,得Q=-1(舍去a=-9),

所以當-2<av-l時，丁=畫與y=/(x)在(-8,0)有無交點，在(。,+e)有兩個交點，與題

答案第6頁，共14頁

意不符,

當(7=-1時，>=網(wǎng)與y=/(x)在(T,0)有無交點，在(0,+8)有三個交點，與題意不符,

當-l<a<0時，產(chǎn)網(wǎng)與y=/(x)在(-8,0)有無交點，在(0,+8)有四個交點，符合題意;

y——%+5%一4

聯(lián)立《，得—爐+5元—?―4=0,

[y=ax

貝必=(5--16=0,得。=1(舍去a=9),

由圖可知，當0<“<1時，丁=畫與y=在(-8,0)有兩個交點，在(0,+oo)有四個交點，

與題意不符，

當4=1時，、=附與y=/(x)在(-8,0)有兩個交點，在(0,+8)有三個交點，與題意不符,

當I<a<2時，,=畫與y=/(x)在(-8,0)有兩個交點，在(0,+8)有兩個交點，符合題意,

當a22時，、=網(wǎng)與y=/(x)在(-8,0)有一個交點，在(。,+8)有兩個交點，與題意不符.

綜上所述，-l<a<0或l<a<2.

故答案為：—1<。<0或

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想,

需要通過討論。取值范圍的不同，結(jié)合x范圍的限制，判斷交點個數(shù)，然后推出。的范圍即

可.

16.⑴石

⑵亭

⑶逑

10

答案第7頁，共14頁

【分析】(1)利用三角形面積公式s=；帥sinC可得角C,再用余弦定理求C；

hc

(2)根據(jù)正弦定理號=-^即得;

smBsinC

(3)先用二倍角公式求出sinZB.cosZB,然后再用兩角差的正弦公式求值.

【詳解】(1)SAM=，QbsinC='x3x2A/5sinC=3^sinC=3,

22

二sinC=正，又ABC是銳角三角形，

2

7T

-C=~,又由三角形余弦定理得：

4

c2=a2+b2—labcosC=9+8—2x3x2A/2COS—=5,

4

c—?

b

(2)由三角形正弦定理得:即氤-",

sinBsinC

272x叵

T_275.

/.sinB=------；='

V55

⑶又Bel0,^1,/.cosB=Vl-sin2B_5,

~5

/.sin2B=2sinBcosB=2x-x,

555

43

cos2B=COS2B-sin2B=—

555J

又

c三

4V2f3^1A/275/2

.-.sin(2B-C)=sin28cosc-cos2BsinC=—X---------------------X-----------=-----------

52I210

17.(1)證明見解析

(3)l

【分析】(1)取BE的中點G,證明AF//DG即可;

答案第8頁，共14頁

(2)建立空間直角坐標系，向量法求兩個平面夾角的余弦值;

(3)向量法求點到平面的距離.

【詳解】(1)證明：取BE的中點G,連接fU,DG,則FG//CG/M4,

且網(wǎng)=審=2,...BG〃4。且FG=4。，

則四邊形AOG尸為平行四邊形，，4尸//。6.

又A^cz平面及定，OGu平面3DE,

二A尸〃平面&5及

(2)解：直三棱柱ABC-A與G中，AC1BC.以C為原點，以。;CBCG的方向為》軸、

y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則3(020),￡(0,0,2),0(2,04),:.BE=(0,-2,2),BD=(2,-2,1),

n-BE=-2y+2z=0,

設(shè)平面BDE的一個法向量為n=(x,y,z),則

n?BD=2x—2y+z=0,

即令y=l,則z=l,x=g,得到平面3DE的一個法向量〃=

易知平面AC￡A的一個法向量為根=(0,1,0).

設(shè)平面ACCM與平面mE的夾角為

-x0+lxl+lx0

|m-n|22

貝Ucos8=|cosm,n|

1^1Ini3

-+1+1

4

7

.??平面ACGA與平面BZ汨夾角的余弦值為;.

答案第9頁，共14頁

(3)解:4(2,0,3),^D=(O,O,-2),

|-2l4

d=

???點4到平面BDE的距離=|,;|^~=3.

2

18.⑴

42

⑵①證明見解析；②3-+2vL=i.

164

【分析】（1）利用條件中線段長關(guān)系可構(gòu)造齊次式求離心率；

（2）①根據(jù)上問結(jié)論化簡橢圓方程，分別求直線DH、PN的方程，根據(jù)面積求出

\DF2\^\F2H\,再求出N坐標，可判定|明|=優(yōu)尸|,從而證明結(jié)論；②直接由口用=（解方

程即可.

【詳解】（1）由已知得長軸長為2a,則也=aS=YZn3/=4b2,；.a2=4c2,￡=e=L

2a2a4a2

22

（2）①證明：由（1）知。2=4。2,〃=3。2,所以橢圓方程為》+9=1,

易知尸（2c,瘋?），工（c,0）,

所以k==6，

PF，

2"C

故直線DH的方程為y=T（x—c）,直線PN的方程為y=c）,

令x=0,則丁=4。，|。周二2yc,

易知|P閭=2c,

=lx2cx^l=^l2

:.SPDFccPDH\DF.\=\F2H\,

r2332'DHI4II4I

y=6（x-c）

22

聯(lián)立方程組|yvnl5f-24cx=0,

'命+密之

Qr

解得X]=0,尤2=5，

M在N的上方，.??N（0,-&）,|NK|=2c,

即質(zhì)|=國尸|,

答案第10頁，共14頁

由上得，四邊形。尸"N的對角線互相垂直且平分，故四邊形。PHN是菱形.

②解：由叱仁孚=g，c=孚，從而"胃涉=2，

19.(1)??=?>"=2"

⑵①公*；②胄+3$22向

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式列方程求解;

（2）①利用條件直接求解；②求出當上為偶數(shù)時，+。2“+—，然后利用倒序相加以及錯位相

減法求和即可.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為％也｝的公比為2,%=1,

1+2d-4=1

由已知可得得a=2,d=l,

1+31_4=的_(1+51)，

a

??n="〃=2"；

(2)①，k為奇數(shù),，2幾十l—k為偶數(shù).

1]1

,?/+。2〃+1-左=ak%+a2n+\-(2n+\-k)'^2n+l-(2n+l-k)

\ak71”2〃+1-(2〃+1-&))

k+1

ak+—jbk=2akbk=2k-2=k-2^；

ak)

②當k為偶數(shù),2〃+l-左為奇數(shù)，

Ck+C2n+\-k=a2n+\-k4〃+l-k+a2n+l-kp2n+l-jt=2aZn+l-Mzn+l-k

\a2n+\-k7Va2n+l-k7

答案第11頁，共14頁

=2(2n+l-k\2rn+1-k=(2n+l-k)-^n+2-k

2n

令邑”=￡康，

k=\

SC

2n=Cj+C2++Cln-1+2n，

SCC

即2?=1n+2?-l++C2+Ct,

2s2"=(。+C2n)+(C2+C2?-l)+++。2)+(。2“+G),

CC+C+C+C

2s2"=(q+C2n)+(c3+C2n_2)+++C?)+(。2+2,>-1)+(42n-3)+(2nl)

=1X22+3X24++(2H-1)-22Z!+(2n-1)-22"+(2H-3)-22^2++lx22

所以S?"=1x2+3x23++(2n-1)-22n-1+(2/i-1)-Z2"-1+(2/i-3)-22n-3++1x2

所以4s2“=1x23+3x25++(2n-1)-22n+1+(-1)-22n+1+(2?-3)-22"-1++lx23

所以

352112M+12n+I2-12n-33

-3S2?=2+2(2+2++2T)-(2n-1)-2-(2M-1)-2+2(2"+2++2)+2

,3_o2n-l403_n2n-lA

=2+2x--=---------(2H-1)-22"+1-(2H-1)-22"+1+2X-------------+2

1-4v7v71-4

20,10-12”i+i

33

所以5「曰+巨?Wx”.

20.(l)y=5x-2e

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)利用導數(shù)，求切點處切線的方程；

(2)利用導數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)由極大值，求出。的值，通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證明不等式.

【詳解】(1)當a=2時，f(x)=x+2xlwc,貝|〃e)=e+2e=3e,

又r(x)=3+21nx,則切線的斜率左=/'(e)=5,

所求切線方程為y-3e=5(x-e),即