山東省臨沂市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試模擬（二模）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

山東省臨沂市2024屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試模擬（二模）數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1.已知i為虛數(shù)單位，（l-i）2-z=1+^i,則口=（）

A.-B.-C.—D.—

4242

2.若4=xeZ——<0LB={x|log5x<l},則A3的元素個(gè)數(shù)為（）

8—x

3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,m,12,14,21,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

2

極差;，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（）

4.若有2名女生和4名男生到“山東旅發(fā)”大會(huì)的兩個(gè)志愿服務(wù)站參加服務(wù)活動(dòng)，分

配時(shí)每個(gè)服務(wù)站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數(shù)為（）

5.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+0）（|d<T）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為卜則（）

A.〃x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

B.x=*是圖象的一條對(duì)稱軸

C/（%）在「二,』上的值域?yàn)?

v7L64j[2

D.將/（%）圖象上的所有點(diǎn)向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

JT

6.若實(shí)數(shù)mb,c滿足。=2sin—,我=7,3c=10,貝lj（）

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

7.已知正方體ABC。—AgCQ]中，M,N分別為CG，G。的中點(diǎn)，貝U（）

A.直線MN與A。所成角的余弦值為亞

3

B.平面與平面BCR夾角的余弦值為零

C.在BC[上存在點(diǎn)Q,使得B.Q±BD.

D.在BtD上存在點(diǎn)P,使得PAII平面BMN

22

8.橢圓二+2=1（。>〃>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，P為橢圓上第一象限內(nèi)的

ab

一點(diǎn)，且尸耳與y軸相交于點(diǎn)Q，離心率e=半，若。耳=2「耳,則

4=（）

A.-B.-C.-D.-

8833

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知｛4｝是等差數(shù)列，S”是其前冏項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是（）

A.若%+%=9，％+/=18,則q+gu5

B.若a?+q=4,則S14=28

C.若Si5<0，則邑〉58

D.若｛4｝和｛%.%J都為遞增數(shù)列,則an>0

10.設(shè)4（4乂），8（%，%）是拋物線C：必=盯上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A,3為切點(diǎn)的

切線交于點(diǎn)P（%,%）.若弦A3過(guò)焦點(diǎn)R則（）

A.xr+x2-2x0B.若的方程為x-2y-l=0,貝!]%2=一4

C.點(diǎn)P始終滿足=O□.△2鉆面積的最小值為16

11.已知定義在R上的函數(shù)〃尤）滿足〃x+l）+（x+3）=〃2024）,

/（—x）=/（x+2）,且/']=:，貝U（）

A."%）的最小正周期為4B./（2）=0

2024（1\

C.函數(shù)/（%—1）是奇函數(shù)k——卜-2024

k=l\2）

三、填空題

12.1l+g｝l+x)7展開式中必項(xiàng)的系數(shù)為.

13.若直線y=取+1與曲線y=b+lnx相切，則a。的取值范圍為.

四、雙空題

14.根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X滿足：對(duì)于任意的

〃eN*,X="+1的樣本在X>n的樣本里的數(shù)量占比與X=1的樣本在全體樣本中的

數(shù)量占比相同，均等于g即P(X=〃+l|X>〃)=P(X=l)=g則

P(X>n)=,設(shè)a“=〃P(X=〃)，｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，則S“=.

五、解答題

15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

ccos(A-B)=2y/3asinBcosC-ccosC.

⑴求C；

CD2

(2)若點(diǎn)。在線段A3上，且BD=2ZM,求「——的最大值.

2礦+5b-

16.“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力.為了解年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度,

隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面的不完整的2x2列聯(lián)表所示(單位:

人).

非常喜感覺(jué)一合

歡般計(jì)

男

3t100

性

女

t

性

合

60

計(jì)

(1)求f的值，試根據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)

度與性別有關(guān)；

⑵從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和

2名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進(jìn)一步交

流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

參考公式：.其中〃=a+〃+c+d.

[a+bJ)(c+"d)(/a+'c,)(b+d)

a

0.10.050.01???

3.84

%2.706.63???

615

17.如圖，在四梭錐PA3CD中，底面A3CD為菱形，ZBAD^60°,〃平面

AMHN,點(diǎn)M,N,8分別在棱P3,PD,PC上，且肱V，尸C.

(2)若“為PC的中點(diǎn)，PA=PC,以與平面P3D所成角為60。，四棱錐P-ABCD被

平面AMHN截為兩部分，記四棱錐尸-體積為匕，另一部分體積為匕，求匕.

%

18.已知向量a=(0,1),匕=(1,0),點(diǎn)P(l,0),。(—1,0)，直線尸。，Q。的方向向量分

另U為2/la+Z?,2a+Ab,其中;leR,記動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為E.

(1)求E的方程；

⑵直線/與E相交于A,3兩點(diǎn)，

(i)若/過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)C為E上異于A,3的一點(diǎn)，且直線AC,3C的斜率原c均存

在，求證：第c?演c為定值；

(ii)若/與圓。：/+/相切，點(diǎn)N為A3的中點(diǎn)，且|AB|=2|QV|,試確定圓。

的半徑r.

19.已知函數(shù)/(x)=ln(ax)+(a-l)x-eX.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求證：〃尤)存在唯一的極大值點(diǎn)%,且/(%)<-2；

(2)若/(%)存在兩個(gè)零點(diǎn)，記較小的零點(diǎn)為玉，%是關(guān)于元的方程

ln(l+%)+3=2期+cos%的根,證明：e?+l>2e%1.

參考答案

1.答案：B

解析：

2.答案：C

解析：

3.答案：A

解析：

4.答案：C

解析：

5.答案：D

解析：

6.答案：A

解析：

7.答案：C

解析：

8.答案：B

解析：

9.答案：BC

解析：

10.答案：ACD

解析：

11.答案：AB

解析：

12.答案:42

解析：

13.答案：

解析：

14.答案：；5—+

解析:

15.答案：（DC=；TT

（2）-

9

解析：⑴由ccos（A-5）=2y/3asinBcosC-ccosC得

ccos（A-B）+ccosC=2y/3asin5cosC,

c（cos（A-5）-cos（A+B））=2y/3asinBcosC,

BP2csinAsinB=26asinBcosC,

EPsinCsinAsinB=A/3sinAsinBcosC,

即sinC=A/3COSC,

tanC=A/3,

又，Ce（0,7i）,

??.C=-.

3

（2）。點(diǎn)在線段AB上，且BD=2ZM,

CD=-CA+-CB,

33

-2421-24

CD=-CA+-CB+-CACB

999

=-b2+—a~+—ab<—b2+—a1+—（a2+Z?2]=-a2+—Z?2,

999999V799

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2a2+5b-

CD?

2a2+5b2~2a2+5b29

CD2

即的最大值為L(zhǎng)

2a~+5b~9

16.答案：（1）年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.

QQ

（2）分布列見解析，E（X）=—

解析：（1）由題意可知：3f+（60—f）=100,解得/=20,

2x2歹!J聯(lián)表如下:

非常喜感覺(jué)一合

歡般計(jì)

男

6040100

性

女

8020100

性

合

14060200

計(jì)

2_200x(60x20-80x40)2

140x60x100x100

200x20(X)2

?9.524>6.635.

140x60x100x100

根據(jù)小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推

斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.0L

(2)設(shè)進(jìn)一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為m,女性中非常喜歡“趕大集”的

人數(shù)為〃，則X=7"+〃，且X的所有可能取值為1,2,3,4.

C3CC；_2_1

p(X=l)=p(=0,n=l)=

mC；C；3015

C；C；C；C；C3C?13

P(X=2)=P(m=l,n=l)+P(m=0,n=2)=Z.Jz.11Jz.___

反FF

-1r\r\

P(X=3)=P(m=2,n=1)+P(m=l,n=2)=

C5C3305

C；C；C；_3_1

p(X=4)=P(m=2,n=2)=

C；C；-30-10,

+3XJX3

3030303015

17.答案：(1)證明見解析

叫

解析：(1)連接AC交3。于點(diǎn)0,連接。P,

因?yàn)??！ㄆ矫鍭MHN,且平面AB￡＞平面=

所以BD//MN.

因?yàn)镸NLPC,

所以5￡＞，PC,

因?yàn)椤窤BCD為菱形，

所以BDLAC,OB=OD,

因?yàn)镻CAC=C,且PC,ACu平面以C,

所以平面必C,POu平面必C,

所以5￡＞，PO,

所以P5=PD.

(2)因?yàn)锽4=PC,且。為AC中點(diǎn)，

所以O(shè)PLAC,

由(1)得OPL5D,且3￡＞AC=O,

所以8,平面A3CD,

又因?yàn)锳BCD為菱形，ZBAD^60°,

令A(yù)B=2.

所以ACLBZ),A0=6，BO=l.

又因?yàn)橐耘c平面P3D所成角為60。，平面P3D,

所以NAPO=60。，NB4c=30。，

所以。d=無(wú)4。=1,

3

所以Vp_ABCD=~-SaABCDOP=

又因?yàn)椤盀镻C中點(diǎn)，

所以尸”=,尸。=1,

2

在△PAC中，記AHOP=G,

易知點(diǎn)G在MN上，且點(diǎn)G為△PAC重心,

又因?yàn)镸NIIBD,

24

所以腦V=_&)=—,

33

又S：=-PA-PH-sinl200=-x2xlx—=—

2222

所以匕=2VM-APH=1'S^APH-MN=，

2A/32A/3473

所以匕=!一s

9~~~9~

所以X=L

匕2

（法二）：關(guān)于求匕的第二種方法（建系法）,

以。為原點(diǎn)，OA,OB,0P分別為x,y,z軸建系，

所以0,0）,B（0,1,0）；尸（0,0,1）,H——^-,0,—,A^fo,——

設(shè)平面AMHN的法向量為〃=(%,%,z0),

R[3A/31_

n-AH=0—~丁玉+/交

..，a即n22,

n?MN=0吐4。

解得上。―=0,

[%=0

令“0=1，

則〃=(1,0,39.

因?yàn)榍?(6,0,-1),

_\n-PB\而

所以尸到平面AMHN的距離h==匚,

H7

記中，AH2+PH2-2PA-PH-cosZAPH=1,

所以4￥=近，

1o,114A/21273

所以X=§，5?姓.八丁萬(wàn)*V7x§x—,

所以％=Vp_ABCO-K=，

所以U=L

匕2

2

18.答案：(1),-匕=1

4

⑵半

解析：(1)設(shè)。(匹y).

則PD=(九一l,y),QD=(x+l,y),

又因?yàn)閍=(0,1),。=(1,0),

所以22a+b=(l,2；l),2a+/lZ?=(42),

22(x-l)-y=0

由已知得，＜

2(x+l)-2y=0

2

消2得：Y—匕=1,

4

2

所以點(diǎn)。的軌跡方程為f—匕=1.

4

(2)設(shè)直線/與E的兩個(gè)交點(diǎn)為A&,yJ,B(x2,y2),

(i)因?yàn)橹本€/過(guò)原點(diǎn)，

所以點(diǎn)A,3關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

設(shè)C(x,y),

22

所以七c（c=3?==3?2=7，

X-Xxx-x2X-Xx%+玉X―玉

X：靖=]

由「；，得丁2_r=4代_出，

--匕=1

14

2_2

所以&ic-%BC=J―>T=4-

x-x1

（ii）因?yàn)镹為A3的中點(diǎn)，K\AB\=2\ON\,

所以。4。8=0.

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/的方程為x=±r,此時(shí)點(diǎn)A,3關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)

A在第一象限，

所以X]=%=r,

2

因?yàn)?/p>

所以X；=r=g,

273

所以r

丁

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=^+b,

y=kx+b

由<2y2,得（4—左2）尤2_2必先_（人？+4）=0,

X----=1

4

-僅2+4）

所以石+%=，/馬=

f]4-F

因?yàn)椤?。8=0,

所以占4+%%=。，

即（1+左2）占尤2+的（石+為2）+'2=°，

整理得：3/=4+4/

又因?yàn)?與圓相切，

綜上可得廠=平，

所以圓。的半徑是空.

3

19.答案：(1)證明見解析

⑵證明見解析

解析：⑴當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=ln%-eA,xe(0,+oo),

所以/(x)=--e\

所以/'(X)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，且/[￡|=2-￡〉0,/⑴=1—e<0,

則現(xiàn)€心,1],使得當(dāng)XG(O,Xo)時(shí)，/(%)>0,

當(dāng)時(shí)，(%)<0,且/''(Xo)=O,即，=e%,

所以“可在(0,%)上單調(diào)遞增，在(%,+00)上單調(diào)遞減，

所以/(“存在唯一的極大值點(diǎn)X。,

而/(X。)+2=InX。一e陽(yáng)+2=-x0--+2=--~—<0,

X。%

所以/(%)<-2.

(2)^ln(ar)+(?-l)x-eA=0,得ln(or)+ax=x+e",

設(shè)g(x)=x+e，，顯然g(x)在定義域上單調(diào)遞增，

而at+ln(ax)=建⑷+ln(av),則有g(shù)ln(or)=g(x),

所以x=ln(ot).

依題意，方程x=ln(ox)有兩個(gè)不等的實(shí)根，

即函數(shù)/z(x)=x-In(雙)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，

顯然awO,當(dāng)a<0時(shí)，的定義域?yàn)?—8,0),

力⑴在(YO,0)上單調(diào)遞增，入⑴最多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意,

所以a>0,/，(x)的定義域?yàn)?0,+8),

所以求導(dǎo)，得"(x)=l-工，

X

當(dāng)Ovxvl時(shí)，li(%)<0,當(dāng)％>1時(shí)，九)〉0,

所以人力在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增,

要使妝x)有兩個(gè)零點(diǎn)，必有1-lna<0,即，>e,

止匕時(shí)不口=->0,即h{x}在(0,1)有一