人教版九年級數(shù)學(xué)下冊導(dǎo)學(xué)案27 2 相似三角形

27.2相似三角形

27.2.2相似三角形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握相似三角形中對應(yīng)線段的比等于相似比，并運(yùn)用其解決問題.（重

點(diǎn)、難點(diǎn)）

2.理解相似三角形面積的比等于相似比的平方，并運(yùn)用其解決問題.（重點(diǎn)）

【自主學(xué)習(xí)】

—＞知識鏈接

1.相似三角形的判定方法有哪幾種？

2.三角形除了三個(gè)角，三條邊外，還有哪些耍素?

【合作探究】

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：相似三角形對應(yīng)線段的比

思考如圖，4ABCsXNB'C,相似比為k,它們對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平

分線的比各是多少？

證明如圖，ZXABCB'C,相似比為k,求它們對應(yīng)高的比.

試一試仿照求高的比的過程，當(dāng)^ABCsXA'B'C',相似比為k時(shí)，求它們對應(yīng)

中線的比、對應(yīng)角平分線的比.

【要點(diǎn)歸納】相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.

類似地，可以證明相似三角形對應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.

一般地，我們有：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.

【典例精析】

硝已知△ABCsaDEF,BG、EH分別是AABC和ZWEF的角平分線，BC=6cm,

EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的長.

【針對訓(xùn)練】1.如果兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)高的比為2:3,那么對應(yīng)角平分線的比是,

對應(yīng)邊上的中線的比是.

2.已知AABCs△ABC,,相似比為3:4,若BC邊上的高AD=12cm,則B'C邊上

的高A'D'=.

思考如果4ABCs^ABC',相似比為k,它們的周長比也等于相似比嗎？為什么？

【要點(diǎn)歸納】相似三角形周長的比等于相似比.

探究點(diǎn)2：相似三角形面積的比

思考如圖，AABCsXNB'C',相似比為k,它們的面積比是多少？

證明畫出它們的高，由前面的結(jié)論，我們有隼=攵，半=k,

B'CA'D'

c—BC?AD4r~.

S/XABC_2_BCA。

S___-1…-B'C

【要點(diǎn)歸納】由此得出：相似三角形面積的比等于相似比的平方.

【針對訓(xùn)練】L已知兩個(gè)三角形相似，請完成下列表格：

相似比2k.......

周長比.......

3

面積比10000.......

2.把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形，

(1)如果邊長擴(kuò)大為原來的5倍，那么面積擴(kuò)大為原來的倍；

(2)如果面積擴(kuò)大為原來的100倍，那么邊長擴(kuò)大為原來的倍.

3.兩個(gè)相似三角形的一對對應(yīng)邊分別是35cm,14cm,

(1)它們的周長差為60cm,這兩個(gè)三角形的周長分別是；

(2)它們的面積之和是58cm2,這兩個(gè)三角形的面積分別是

闞國如圖，在AABC和ZWEF中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD.若ZXABC的

邊BC上的高為6,面積為12百，求4DEF的邊EF上的高和面積.

【針對訓(xùn)練】如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7,較大三角形一邊上的高為7,則較

小三角形對應(yīng)邊上的高為

___ApAnQ

網(wǎng)1如圖，D,E分別是AC,AB上的點(diǎn)，已知AABC的面積為100cm2,且上="=?

1~1ACAB5

求四邊形BCDE的面積.

AA

BC

【針對訓(xùn)練】如圖，AABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC、BC上，且DE〃BC,EF/7AB.當(dāng)

D點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，求S㈣邊叫BFEB：SAABC的值.

二、課堂小結(jié)

相似三角形對應(yīng)線段的比等于

相似比

相似三角形的性質(zhì)相似三角形面積的比等于相似

比的平方

相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用

當(dāng)堂檢測

1.判斷：

(1)一個(gè)三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，這個(gè)三角形的周長也擴(kuò)大為原來的5倍

()

(2)一個(gè)四邊形的各邊長擴(kuò)大為原來的9倍，這個(gè)四邊形的面積也擴(kuò)大為原來的9倍

()

2.在ZXABC和ADEF中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD,AP,DQ是中線，若AP

=2,則DQ的值為()

A.2B.4C.1D.-

2

3.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長比等于一

—,面積比等于.

4.兩個(gè)相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm,若較大三角形的周長是42cm,

面積是12cm2,則較小三角形的周長是cm,面積為cm2.

5.AABC中，DE〃BC,EF〃AB,已知AADE和4EFC的面積分別為4和9,求

△ABC的面積.

6.如圖，4ABC中，DE〃BC,DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,SAADE=2SADCE.求

SAADE:SAABC.

【分析】從題干分析可以得到△ADEs^ABC,要證明它們面積的比，直接的就是先求出

相似比，觀察得到4ADE與4DCE是同高，得到AE與CE的比，進(jìn)而求解.

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識鏈接

解：（1）定義：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似

（2）平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

（3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似

（4）兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似

（5）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似

（6）一組直角邊和斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似

解：還有高，中線，平分線等等

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：相似三角形對應(yīng)線段的比

證明解：如圖，分別作出4ABC和△A'B，C的高AD和A'D'.

貝|J/ADB=NA'D'B，=9O°.VAABCB'C,AZB=ZB'.

ADAB,

：.AAABDAB'D'.，----=-----=k.

AD'A'B'

【典例精析】

gT解：；AABC=（相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比）,

EHEF

486

,解得EH=3.2.AEH的長為3.2cm.

EH4

【針對訓(xùn)練】1.2:32:32.16cm

An

思考解：等于，如果4ABCsaABC,相似比為k,那么半=半；

A'B'B'CC'A1

因此AB=kA'B',BC=kB'C,CA=kCA，，

“kAB+BC+CAkA'B'+kB'C'+kC'A',

從而-----------------=--------------------=k.

AB'+B'C'+C'A'AB'+B'C'+C'A!

探究點(diǎn)2：相似三角形面積的比

【針對訓(xùn)練】L

相似比2100k.......

3

1

周長比2100k..

3

]_

面積比410000k2..

9

2.(1)5(2)10

3.(1)100cm,40cm(2)50cm2,8cmJ

DFDPi

雨解：在Z\ABC和z^DEF中，AB=2DE,AC=2DF,二——=——=-.

1~1ABAC2

又VZD=ZA,；.ADEFsAABC,相似比為

2

VAABC的邊BC上的高為6,面積為12石，.二△DEF的邊EF上的高為^X6=3,

2

面積為(g)X12V5=3A/5.

【針對訓(xùn)練】V14

___4/740T

麗解：,?ZBAC=ZDAE,且——=——=二，二AADE^AABC.

1~1ACAB5

,/它們的相似比為3:5,A面積比為9:25.

又,:AABC的面積為100cm2,；.AADE的面積為36cm2.

，四邊形BCDE的面積為100-36=64(cm2).

【針對訓(xùn)練】解：：DE/7BC,D為AB中點(diǎn)，,AADEsAABC,

ApAF)1

即相似比為1:2,面積比為1:4.

ACAB2

CE1

又?:EF/7AB,AEFCsAABC，相似比為——=-,

AC2

???面積比為1:4.

=

設(shè)SAABC=4,則SAADE1,SZ\EFC=1,

S四邊形BFED=SAABC-SA.WE—SAEFC=4-1—1—2,

S四邊形BFED:Sz\ABC=2:4=一.

2

當(dāng)堂檢測

1.(1)V(2)X2.C3.1:11:44.14-

5.解：DE〃BC,EF〃AB,

AADEs/^ABC,ZADE=ZEFC,ZA=ZCEF,

.'△ADEs/XEFC.

XVSAADE：SAEFC=4:9,:.AE:EC=2:3,則AE:AC=2:5,

?,SAADE:SAABC=4:25，??SAABC=25.

qLAEDFAF

6.解：過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F,則含比=7----------=黑=2,

1

S4DCEEC?DFEC

2

AE2

——=-.又?:DE〃BC,二AADE^AABC.

AC3

..S&ADEAE2

—,即SAADE:SAABC=4:9.

,△ABCAC9

27.2相似三角形

27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.能夠利用相似三角形的知識，求出不能直接測量的物體的高度和寬度.（重點(diǎn)）

2.進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，提高分析問

題、解決問題的能力.（難點(diǎn)）

【自主學(xué)習(xí)】

一、知識鏈接

據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立

一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度.你知道他是怎么測量

的嗎？

【合作探究】

二、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1:利用相似三角形測量高度

【典例精析】

H如圖，木桿EF長2m,它的影長FD為3m,測得0A為201m,求金字塔的

高度BO.

【要點(diǎn)歸納】測高方法一：

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決.

表達(dá)式：物I高：物2高=影I長：影2長

【針對訓(xùn)練】1.如圖，要測量旗桿AB的高度，可在地面上豎一根竹竿DE,測量出DE的

長以及DE和AB在同一時(shí)刻下地面上的影長即可，則下面能用來求AB長的等式是

()

ABEFABDE-ABBCABAC

A.-B.-C.-D.-

DEBCEFBCDEEFDEDF

B

A(

第1題圖第2題圖

2.如圖，九年級某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身

高1.6米的楚陽同學(xué)站在C處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時(shí)刻,

其他成員測得AC=2米，AB=10米，則旗桿的高度是米.

思考還可以有其他測量方法嗎？

【要點(diǎn)歸納】測高方法二：

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.

【針對訓(xùn)練】如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平

面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端C處，已知AB=2米,

且測得BP=3米，DP=12米，那么該古城墻的高度是（）

A.6米B.8米C.18米D.24米

探究點(diǎn)2：利用相似三角形測量寬度

甌如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P,在近岸取點(diǎn)Q和

S,使點(diǎn)P,Q,S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選

擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R.己知測得QS=45m,

ST=90m,QR=60m,請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬PQ.

甌如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河的這

一邊選點(diǎn)B和C,使AB1BC,然后，再選點(diǎn)E,使EC1BC，用視線確定BC和AE

的交點(diǎn)D.此時(shí)如果測得BD=80m,DC=30m,EC=24m,求兩岸間的大致距離AB.

【要點(diǎn)歸納】測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.

探究點(diǎn)3：利用相似解決有遮擋物問題

例4如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m,兩樹底部的距

離BD=5m,一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距離地面1.6m,她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路

從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂

端C了？

【分析】如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置（視點(diǎn)）為點(diǎn)F,畫出觀察者的水平視線FG,它交AB,

CD于點(diǎn)H,K.

視線FA,FG的夾角ZAFH是觀察點(diǎn)A的仰角.類似地，ZCFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰

角，由于樹的遮擋，區(qū)域I和II都在觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）之內(nèi).再往前走就根本看

不至UC點(diǎn)了.

二、課堂小結(jié)

利用相似三角形測量高度

相似三角形的應(yīng)用利用相似三角形測量寬度

舉例

利用相似解決有遮擋物問題

【達(dá)標(biāo)練習(xí)】

1.小明身高1.5米，在操場的影長為2米，同時(shí)測得教學(xué)大樓在操場的影長為60米，則

教學(xué)大樓的高度應(yīng)為（）

A.45米B.40米C.90米D.80米

2.小剛身高1.7m,測得他站立在陽光下的影子長為0.85m,緊接著他把手臂豎直舉起，

測得影子長為1.1m,那么小剛舉起的手臂超出頭頂（）

A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m

3.如圖，有點(diǎn)光源S在平面鏡上面，若在P點(diǎn)看到點(diǎn)光源的反射光線，并測得AB=10

cm,BC=20cm,PC±AC,且PC=24cm,則點(diǎn)光源S到平面鏡的距離SA為.

第3題圖第4題圖

4.如圖，為了測量水塘邊A、B兩點(diǎn)之間的距離，在可以看到A、B的點(diǎn)E處，取AE、

BE延長線上的C、D兩點(diǎn)，使得CD〃AB.若測得CD=5m,AD=15m,ED=3m,則

A、B兩點(diǎn)間的距離為m.

5.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高

度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在

同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到

旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.

A

6.如圖，某一時(shí)刻，旗桿AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上.小

明測得旗桿AB在地面上的影長BC為9.6m,在墻面上的影長CD為2m.同一時(shí)刻，

小明又測得豎立于地面長1m的標(biāo)桿的影長為1.2m.請幫助小明求出旗桿的高度.

參考答案

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1:利用相似三角形測量高度

【典例精析】

題］解：?.,太陽光是平行的光線，

又：NAOB=NDFE=90°,AAABO^ADEF.

.BOOAOAEF201x2

BO==134(m).

"~EF~~FDFD

因此金字塔的高度為134m.

【針對訓(xùn)練】l.C2.8

【針對訓(xùn)練】B

探究點(diǎn)2：利用相似三角形測量寬度

甌解：：NPQR=/PST=90。，ZP=ZP,AAPQR^APST.

即上一空,60

?PQ=QR—,PQx90=(PQ+45)x60.

"PS~STPQ+QSSTPQ+45

解得PQ=90.因此，河寬大約為90m.

甌解：NADB=NEDC,/ABC=NECD=90。,/.△ABD^AECD.

ABBD加AB80,

——=——，即——=一，解得AB=64.

ECDC2430

因此，兩岸間的大致距離為64m.

探究點(diǎn)3：利用相似解決有遮擋物問題

亟解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹的頂

端點(diǎn)A,C恰在一條直線上.VABX1,CD±1,AABCD.△AEH△CEK.

.EHAHEH8-1.6婦，解得EH=8.

>.—jIA|J

EKCKEH+512-1.610.4

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn),

當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

當(dāng)堂檢測

1.A2.A3.12cm4.20.

DEEF

5.解：由題意可得：△DEF^ADCA,則——=——，

DCCA

?.?DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，

，電解得：AC=10,故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(米).

20CA

答：旗桿的高度為11.5米.

6.解：如圖：過點(diǎn)D作DE〃BC,交AB于點(diǎn)E,Z.DE=CB=9.6m,BE=CD=2m,

在同一時(shí)刻物高與影長成正比例，，EA:ED=1:1.2,AAE=8m.

AAB=AE+EB=8+2=10(m),:.學(xué)校旗桿的高度為10m.

27.3位似

第1課時(shí)位似圖形的概念及畫法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握位似圖形的概念、性質(zhì)和畫法.（重點(diǎn)）

2.掌握位似與相似的聯(lián)系與區(qū)別.（難點(diǎn)）

【自主學(xué)習(xí)】

一、知識鏈接

如圖，是幻燈機(jī)放映圖片的示意圖，在幻燈機(jī)放映圖片的過程中，這些圖片之間有什么關(guān)系？

連接圖片上對應(yīng)的點(diǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【合作探究】

三、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：位似圖形的概念

觀察與思考下列圖形中有相似多邊形嗎？如果有，這種相似有什么特征？

【要點(diǎn)歸納】兩個(gè)相似多邊形，如果它們對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，我們就把這樣的

兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

判斷兩個(gè)圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是:這兩個(gè)圖形是相似的，二是:要

有特殊的位置關(guān)系，即每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn).

【針對訓(xùn)練】1.畫出下列圖形的位似中心:

ED

甲

第1題圖第2題圖

2.如圖，BC〃ED,下列說法不正確的是()

A.兩個(gè)三角形是位似圖形B.點(diǎn)A是兩個(gè)三角形的位似中心

C.B與D、C與E是對應(yīng)位似點(diǎn)D.AE:AD是相似比

探究點(diǎn)2：位似圖形的性質(zhì)

觀察與思考從左圖中我們可以看到，△OABS^OA'B，，則空=絲=組

OA'OB'A'B'

AB〃AB.右圖呢？你得到了什么？

【要點(diǎn)歸納】1.位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對應(yīng)角

相等，對應(yīng)邊的比相等.

2.位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.(位似圖形的相似比也

叫做位似比)

3.對應(yīng)線段平行或者在一條直線上.

【針對訓(xùn)練】如圖，四邊形木框ABCD在燈泡O發(fā)出的光照射下形成的影子是四邊形

A，B，CD，，若OB:O，B，=1:2,則四邊形ABCD的面積與四邊形AB，CD，的面積比為

()

A.4：1B.V2：1C.1：V2D.1：4

探究點(diǎn)3：畫位似圖形

H把四邊形ABCD縮小到原來的g.

(1)在四邊形外任選一點(diǎn)0(如圖)；

(2)分別在線段0A、OB、0C、0D上取點(diǎn)A'、B'、C、D',使得

OA'OB'PCOP'I

~OA~~OB~~OC~~OD~T'

⑶順次連接點(diǎn)A，、B,、C'、D,所得四邊形A'B'CD'就是所要求的圖形.

0?

思考對于上面的問題，還有其他方法嗎？如果在四邊形外任選一個(gè)點(diǎn)0,分別在0A、

OB、0C、0D的反向延長線上取A、B\C\D\使得空=空=上匕="=上呢？

OAOBOCOD2

如果點(diǎn)0取在四邊形ABCD內(nèi)部呢？分別畫出這時(shí)得到的圖形.

【針對訓(xùn)練】如圖，AABC,根據(jù)要求作△ABC,使△AB,Cs^ABC,且相似比為1:5.